人教版八年级上册数学 期末试卷培优测试卷
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人教版八年级上册数学 期末试卷培优测试卷
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.取一副三角板按图()1拼接,固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=,将三角板45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00)45(a ≤≤得到ABM ,图()2所示.试问:
()1当a 为多少时,能使得图()2中//AB CD ?说出理由,
()2连接BD ,假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ,当00)45(a ≤≤时,探索DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况,并给出你的证明.
【答案】(1)15°;(2)DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105,证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=,即可求出a ;
(2)DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105︒,由FEM CAM C ∠=∠+∠,30C ∠=︒, EFM BDC DBM ∠=∠+∠, 45M ∠=︒,即可利用三角形内角和求出答案.
【详解】
()1当a 为15时,//AB CD ,
理由:由图()2,若//AB CD ,则30
BAC C ∠=∠=, 453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-︒=︒,
所以,当a 为15时,//AB CD .
注意:学生可能会出现两种解法:
第一种:把//AB CD 当做条件求出a 为15,
第二种:把a 为15当做条件证出//AB CD ,
这两种解法都是正确的.
()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105︒
证明: ,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=︒,
30FEM CAM ∴∠=∠+︒,
EFM BDC DBM ∠=∠+∠,
DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠,
180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=︒,
3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+︒+︒=︒,
1803045105DBM CAM BDC ∴∠+∠+∠=︒--=︒,
所以,DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105.
【点睛】
此题考查旋转的性质,平行线的性质,三角形的外角定理,三角形的内角和,(2)中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.
2.已知:在平面直角坐标系中,A 为x 轴负半轴上的点,B 为y 轴负半轴上的点.
(1)如图1,以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆,若2OA =,4OB =,试求C 点的坐标;
(2)如图2,若点A 的坐标为()
23,0-,点B 的坐标为()0,m -,点D 的纵坐标为n ,以B 为顶点,BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问:当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时,整式2253m n +-化,请说明理由;
(3)如图3,E 为x 轴负半轴上的一点,且OB OE =,OF EB ⊥于点F ,以OB 为边作等边OBM ∆,连接EM 交OF 于点N ,试探索:在线段EF 、EN 和MN 中,哪条线段等于EM 与ON 的差的一半?请你写出这个等量关系,并加以证明.
【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化,值为3-;(3)EN=
12
(EM-ON),证明见详解. 【解析】
【分析】 (1)作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅,由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标;
(2)作DP ⊥OB 于点P ,可以证明AOB BPD ≅,则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值,从而可以求出结论2253m n +-的值不变为3-.
(3)作BH ⊥EB 于点B ,由条件可以得出
∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅,则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12
(EM-ON).
【详解】
(1)如图(1)作CQ ⊥OA 于Q,
∴∠AQC=90°
, ∵ABC △为等腰直角三角形,
∴AC=AB,∠CAB=90°
, ∴∠QAC+∠OAB=90°,
∵∠QAC+∠ACQ=90°,
∴∠ACQ=∠BAO,
又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,
∴AQC BOA ≅(AAS),
∴CQ=AO,AQ=BO,
∵OA=2,OB=4,
∴CQ=2,AQ=4,
∴OQ=6, ∴C(-6,-2).
(2)如图(2)作DP ⊥OB 于点P ,
∴∠BPD=90°,
∵ABD △是等腰直角三角形,
∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°, ∵∠OBD+∠BDP=90°,
∴∠ABO=∠BDP ,
又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,
∴AOB BPD ≅
∴AO=BP ,
∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n, ∵A ()23,0-,
∴OA=3
∴m+n=23
∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时,AO=BP=m+n=23
∴整式2253m n +-3-
(3)()12
EN EM ON =- 证明:如图(3)所示,在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长,交x 轴于H.