专题整合集训专题能力训练1集合与常用逻辑用语专题能力训练第10页一、能力突破训练1.(2019浙江,1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A)∩B=()A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}答案:A解析:∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.2.已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}答案:C解析:由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.3.设x∈R,则“-”是“x3<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由-,可得0<x<1.由x3<1,可得x<1.所以“-”是“x3<1”的充分不必要条件.故选A.4.已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},那么P∪Q=()A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)答案:A解析:取P,Q的所有元素,得P∪Q={x|-1<x<2},故选A.5.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}答案:B解析:∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6}.∵C={x∈R|-1≤x≤5},∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.6.(2019天津十二重点中学联考(一))设x∈R,则“2x<”是“<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:∵2x<⇔2x<2-3⇔x<-3,<1⇔->0⇔x>2或x<0,∴x<-3能推出x>2或x<0,x>2或x<0不能推出x<-3,∴“2x<”是“<1”的充分不必要条件,故选A.7.已知集合A={x||x-2|>1},B={x|y=--},则()A.A∩B=⌀B.A⊆BC.B⊆AD.A=B答案:A解析:由|x-2|>1,得x-2<-1或x-2>1,即x<1或x>3;由--得1≤x≤3,因此A={x|x<1或x>3},B={x|1≤x≤3},A∩B=⌀,故选A.8.(2019北京海淀区一模)已知a<b,则下列结论中正确的是()A.∀c<0,a>b+cB.∀c<0,a<b+cC.∃c>0,a>b+cD.∃c>0,a<b+c答案:D解析:A不一定成立,如a=1,b=10,c=-1,a>b+c不成立;B也不一定成立,如a=9.5,b=10,c=-1,a<b+c不成立;C不成立,因为a<b,c>0,所以a<b+c恒成立,D正确.9.已知命题p:“∃x∈R,x2+2ax+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(2,3)D.(2,4)答案:A解析:由p为假命题知,∀x∈R,x2+2ax+a>0恒成立,∴Δ=4a2-4a<0,∴0<a<1,故选A.10.若命题“∃x∈R,x2+2mx+m+2<0”为假命题,则m的取值范围是()A.(-∞,-1]∪[2,+∞)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.[-1,2]D.(-1,2)答案:C解析:若命题“∃x∈R,x2+2mx+m+2<0”为假命题,则命题等价于x2+2mx+m+2≥0恒成立,故只需要Δ=4m2-4(m+2)≤0⇒-1≤m≤2.故选C.11.下列命题正确的是()A.∃x∈R,x2+2x+3=0B.∀x∈N,x3>x2C.x>1是x2>1的充分不必要条件D.若a>b,则a2>b2答案:C解析:x2+2x+3=(x+1)2+2>0,选项A错;x3-x2=x2(x-1)不一定大于0,选项B错;若x>1,则x2>1成立,反之不成立,选项C正确;取a=1,b=-2,满足a>b,但a2>b2不成立,选项D错,故选C.12.设a,b是非零向量,则“a·b=|a||b|”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:设a,b所成的角为θ,则a·b=|a|·|b|·cosθ,由已知得cosθ=1,即θ=0,a∥b.而当a∥b 时,θ还可能是π,此时a·b=-|a||b|,故“a·b=|a|·|b|”是“a∥b”的充分不必要条件,故选A.13.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是()A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥βD.a⊂α,b∥β,α⊥β答案:C解析:A.a,b可能垂直也可能不垂直,平行都有可能;B.a∥b;D.a,b可能垂直、不垂直或是平行都有可能;C.由α∥β,b⊥β,知b⊥α,又a⊂α,则b⊥a,故C正确.14.已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.答案:1解析:由已知得1∈B,2∉B,显然a2+3≥3,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1.<0,q:0<x<m,若p是q成立的充分不必要条件,则m的取值范围15.设p:-是.答案:(2,+∞)<0,得0<x<2.∵p是q成立的充分不必要条件,解析:由-∴(0,2)⫋(0,m),∴m>2.16.已知集合A={y|y=log2x,x>1},B=y,x>1,则A∩B=.答案:解析:由已知,得A={y|y>0},B=,则A∩B=.17.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=.答案:2解析:∵1≠0,∴a+b和a中必有一个为0,当a=0时,无意义,故a+b=0,∴两个集合分别为{1,0,a},{0,-1,b},∴a=-1,b=1,b-a=2.18.已知集合A={(x,y)|y=-},B={(x,y)|y=x+m},且A∩B≠⌀,则实数m的取值范围是.答案:[-7,7]解析:集合A表示以原点为圆心,7为半径的圆在x轴及其上方的部分,A∩B≠⌀,表示直线y=x+m与圆有交点,作出示意图(图略)可得实数m的取值范围是[-7,7].二、思维提升训练19.设函数y=-的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=()A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)答案:D解析:由4-x2≥0,得A=[-2,2],由1-x>0,得B=(-∞,1),故A∩B=[-2,1).故选D.20.已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=()A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)答案:B解析:∵Q={x∈R|x2≥4}={x∈R|x≤-2或x≥2},∴∁R Q={x∈R|-2<x<2}.∴P∪(∁R Q)={x∈R|-2<x≤3}=(-2,3].故选B.21.若f(x)是R上的奇函数,且x1,x2∈R,则“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:∵函数f(x)是奇函数,∴若x1+x2=0,则x1=-x2,则f(x1)=f(-x2)=-f(x2),即f(x1)+f(x2)=0成立,即充分性成立;若f(x)=0,满足f(x)是奇函数,当x1=x2=2时,满足f(x1)=f(x2)=0,此时满足f(x1)+f(x2)=0,但x1+x2=4≠0,即必要性不成立,故“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的充分不必要条件,所以A选项正确.22.已知x,y∈R,则“x+y≤1”是“x≤,且y≤”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:当“x+y≤1”,如x=-4,y=1,x+y≤1,但没有“x≤,且y≤”;当“x≤,且y≤”时,根据不等式的性质有“x+y≤1”.故“x+y≤1”是“x≤,且y≤”的必要不充分条件.23.设全集U=R,集合M={x|y=-},N={y|y=3-2x},则图中阴影部分表示的集合是()A. B.C. D.答案:B解析:M=,N={y|y<3},故阴影部分N∩(∁U M)={x|x<3}∩.24.已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:当m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;但反过来不成立,即m∥α不一定有m∥n,m与n还可能异面.故选A.25.“对任意x∈,k sin x cos x<x”是“k<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:当x∈时,sin x<x,且0<cos x<1,∴sin x cos x<x.∴k<1时有k sin x cos x<x.反之不成立.如当k=1时,对任意的x∈,sin x<x,0<cos x<1,∴k sin x cos x=sin x cos x<x成立,这时不满足k<1,故应为必要不充分条件.26.将函数y=sin(3x+φ)的图象向左平移个单位长度后,得到函数f(x)的图象,则“φ=是f(x)是偶函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:把函数y=sin(3x+φ)的图象向左平移单位长度后,得到的图象的解析式是y=sin3x++φ,该函数是偶函数的充要条件是+φ=kπ+,k∈Z,所以“φ=”是“f(x)是偶函数”的充分不必要条件.故选A.27.下列命题中的真命题是()A.∃x∈R,使得e x≤0B.sin2x+≥3(x≠kπ,k∈Z)C.函数f(x)=2x-x2有两个零点D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件答案:D解析:对任意的x∈R,e x>0恒成立,A错误;当sin x=-1时,sin2x+=-1,B错误;f(x)=2x-x2有三个零点(x=2,4,还有一个小于0),C错误;当a>1,b>1时,一定有ab>1,但当a=-2,b=-3时,ab=6>1也成立,故D正确.28.设A,B是非空集合,定义A B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B},已知M={y|y=-x2+2x,0<x<2},N={y|y=2x-1,x>0},则M N=.答案:∪(1,+∞)解析:M={y|y=-x2+2x,0<x<2}=(0,1],N={y|y=2x-1,x>0}=,M∪N=(0,+∞),M∩N=,所以M N=∪(1,+∞).29.已知集合A={x|x=2k-1,k∈N*},B={x|x=8k-8,k∈N*},从集合A中取出m个不同元素,其和记为S;从集合B中取出n个不同元素,其和记为T.若S+T≤967,则m+2n的最大值为.答案:44解析:欲使m,n更大,则所取元素尽可能小,所以从最小元素开始取,S=-=m2,T=-=4n2-4n,∴m2+4n2-4n≤967,即(2n-1)2+m2≤968,m,n∈N*.令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数,则t2+m2≤968,由基本不等式,∴m+t≤44,当且仅当m=t=22时取等号,∵t为奇数,∴m+t的最大值在t=22附近取到,则t=21,m=23(舍);t=21,m=22,成立;t=23,m=21(舍);t=23,m=20,成立;故m+t的最大值为43,∴m+2n的最大值为44. 30.设非直角三角形ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的编号)①“sin A>sin B”是“a>b”的充分必要条件②“cos A<cos B”是“a>b”的充分必要条件③“tan A>tan B”是“a>b”的充分必要条件④“sin 2A>sin 2B”是“a>b”的充分必要条件⑤“cos 2A<cos 2B”是“a>b”的充分必要条件答案:①②⑤解析:由①sin A>sin B,利用正弦定理得a=2r sin A,b=2r sin B(r为△ABC的外接圆半径),故sin A>sin B,等价于a>b,反之也成立,所以①正确;由②cos A<cos B,利用函数y=cos x在区间(0,π)内单调递减得A>B,等价于a>b,反之也成立,所以②正确;由③tan A>tan B,不能推出a>b,如A为锐角,B为钝角,虽然有tan A>tan B,但由大角对大边得a<b,所以③错误;由④sin2A>sin2B,不能推出a>b,如A=45°,B=60°时,虽然有sin2A>sin2B,但由大角对大边得a<b,④错误;由⑤cos2A<cos2B,利用二倍角公式得sin2A>sin2B,∴sin A>sin B等价于a>b,⑤正确.。
