相似三角形
——“K 字型”相似模型
教学目标：
1、理解“K 型图”的特征与其中两个三角形相似的条件，
2、利用“K 型图”中两个三角形的相似性解决一些计算、证明等问题；
教学重点难点：
1、在已知图形中观察关键特征——“K 型”；
2、在非“K 型”图形中画辅助线，得到“K 型”图形；
3、在“K 型”图的两个三角形中，探索其相似条件。
教学过程：
一、前测练习
1.如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF ⊥BE ，交CD 于F ，连结BF ，则∆ ∽∆
2.在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且∠ADE=60°, 则∆ ∽∆
二、模型探究
课前完成填空，上课请学生回答答案，根据答案回答以下问题：
问题1判定这两个三角形相似的依据是什么？
学生答：两个角对应相等的两个三角形相似。
问题2图中已知角有什么共同特征？
学生答：图1中顶点共线三角都是直角，图2中顶点共线三角都是60°。
问题3若顶点共线三等角的度数不是90°也不是60°，对应两个三角形还相似吗？
图形演示，提问：此时这两个三角形相似吗？请同学们自己画图并证明。
请学生叙此时述证明过程：
已知： n C ADE B =∠=∠=∠
求证：ABD ∆∽DEC ∆
证明： n B =∠
n ADB BAD -=∠+∠∴180 A
B D E
n ADE =∠
n ADB CDE -=∠+∠∴180
CDE BAD ∠=∠∴
C B ∠=∠
ABD ∆∴∽DEC ∆
（或者依据外角等于不相邻的两内角之和）
展示学生书写，教师分析，该同学找出的两三角形相似的第一个条件是（C B ∠=∠）
第二个条件是（CDE BAD ∠=∠），他是怎么证明这两个角相等呢？方法1、外角等于不相邻的两内角之和；方法2、三角形的内角和等于平角求解，都可行。
问题4若保持共线三等角的度数不变，改变边的长度，对应两个三角形还相似吗？
学生答：相似。因为我们是依据两个角对应相等判定两个三角形相似的。
问题5由此你得到了什么结论？
学生答：只要满足共线三角的度数相等，则这两个三角形相似的。
问题6此图形形如英语字母谁？
学生答：字母K
教师答：我们就把这个基本图形叫做K 字形，这是我们证明两三角形相似的一个基本图形。观察下图，请大家找出图中的对应边，由此可得到怎样的比例式？你能将该式转化为等积式吗？
通过刚才的研究发现，我们利用K 型得相似，利用相似可得出边之间的关系。下面我们就一起来研究K 字形在相似三角形中的应用。
三、模型运用（一）
例1如图，已知点A （0，4）、B （4，1），BC ⊥x 轴于点C ，点P 为线段OC 上一点，且PA ⊥PB ．则点P 的坐标为
是否符合K 型特征？
一 线：
三 等 角：
相似三角形：
变式练习1如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB= AD=6,∠ABC=∠C=70°，点E 、F 分别在线段AD 、DC 上，且∠BEF=110°, 若AE=3，求DF 的长 ．
处理方式：学生独立完成，请学生回答。
A D
B
C E 变式练习2如图，由8个大小相等的小正方形构成的图案，它的四个顶点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABC
D 的边AB 、BC 、CD 、DA 上。若AB=4cm ，BC=6cm ，求DG 的长 ．
DHG ∆∽CGF ∆，相似比为1:2
设DG=x,则CG=4-x,CF=2x
BFE ∆∽CGF ∆，相似比为1:1
CG=BF=4-x
6=+CF BF
624=+-∴x x
2=∴x cm DG 2的长为∴
处理方式：学生独立完成，利用投票器选择答案，利用统计图分析学生的完成情况，请学生回答。
教师总结：当两个三角形K 型相似且相似比为1:1（或表述为有一组对应边相等）时，我们称这两个三角形为K 型全等。
四、模型应用（二）
例2如图，在四边形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC 上任取一点E ，连接DE ，作EF ⊥DE ，交直线AB 于点F ．若点F 在线段AB 上，且AF=CE ，求CE 的长．
是否符合K 型图特征？
能否根据已知条件构造K 型图？
怎么构造K 型图？
学生答：过点D 作H BC 于点交BC DH ⊥。
为什么这样构造？
学生答：在直线BC 上，
90=∠=∠FED B ，所以过D 作BC DH ⊥，构造出一线三等角。 处理方式：引导学生分析构造K 型图，留时间给学生书写。
变式训练3 如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD 、BC 上，且DC=3DE=3a ．将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP=
是否符合K 型图特征？
能否根据已知条件构造K 型图？
怎么构造K 型图？
为什么这样构造？
处理方式：抽学生回答答案。
变式训练4 (中考改变)如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠ADC =90°，∠B=120°，AD=3，AB=6．在AB 上取点E ，使得∠DEC=120°．则AE 的长是______．
是否符合K 型图特征？
能否根据已知条件构造K 型图？ 怎么构造K 型图？
为什么这样构造？
处理方式：抽学生回答答案。
