云南省普通高中学业水平测试数学仿真卷(八)扫描版缺答案

河南省2023级普通高中学业水平考试数
学(含答案)
考试概况
本次考试为普通高中学业水平考试数学科目，考试时间为120分钟，总分150分。

试卷共8道大题，分别为选择题、填空题、判断题、计算题和证明题。

考试内容
试卷内容主要包括数及运算、代数式与方程、几何图形、三角函数和立体几何等内容。

试题分析
本次考试难度适中，特别是选择题和填空题较为简单，多为基础知识的考查。

计算题难度适中，需要考生熟练掌握运算方法和公式的应用。

而证明题难度较大，需要考生对所学知识进行深刻的理解和归纳总结。

答案解析
考试后，各种渠道陆续公布了本次考试的答案。

对于选择题、判断题和填空题，答案比较固定，只需掌握好基础知识即可得到高分。

对于计算题和证明题，答案思路比较重要，需要考生结合所学知识进行分析和求解。

总结
本次考试总体难度适中，考察知识点比较全面，但重点还是基础知识的考查。

考生应该注重对基础知识的巩固和学习，熟练掌握常用的运算方法和公式，同时也要注重对证明题的理解和分析能力的培养。

2021年普通高中学业水平考试 科合格性考试数学仿真模拟卷07（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知234x -=，则x 等于( ) A ．±18 B ．±8C ．344D ．±232 1．【解析】由题意，可知234x-=，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A ．【答案】A2．若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{0} C ．{1} D ．{－1，1} 2.【解析】M ∩N ＝{1}，故选C ． 【答案】C3．已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．33.【解析】本题考查函数的奇偶性．令x ＝－1可得f (－1)－g (－1)＝1⇒f (1)＋g (1)＝1，故选C ． 【答案】C4．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3C ． 3D ．14.【解析】利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋（3）2＝1，半径r ＝2，∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3.【答案】B5．函数f (x )＝2x ＋1的定义域是( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12B ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞C ．⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．(－∞，＋∞) 5.【解析】由2x ＋1≥0，解得x ≥－12，故选B ． 【答案】B6．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．46.【解析】(2a －b )·b ＝(3，x )·(－1，x )＝x 2－3＝0， ∴x ＝±3，∴|a |＝2. 【答案】C7．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b7.【解析】∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0.∴－a <0，b >－A ． ∴－a <b <0<－b <A ． 【答案】C8．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数8.【解析】因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，故选A ．【答案】A9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．149.【解析】由不等式组，作出可行域如下： 在点A (2，3)处，z ＝3x ＋y 取最大值为9. 【答案】C10．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－710.【解析】利用等比数列的通项公式求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 【答案】D11．当x ＞0时，下列不等式正确的是( ) A ．x ＋4x ≥4 B ．x ＋4x ≤4 C ．x ＋4x ≥8 D ．x ＋4x ≤8 11.【解析】由均值不等式可知，当x ＞0时，x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时取“＝”，故选A ．【答案】A12．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、C ．已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．312.【解析】由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋22－524b ＝23，∴b ＝3，答案选D ． 【答案】D13．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A ．15 B ．25 C ．825 D ．92513.【解析】从5人中选2人共有10种选法，其中有甲的有4种选法，所以概率为410＝25. 【答案】B14．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（ ） A ．七尺五寸B ．六尺五寸C ．五尺五寸D ．四尺五寸14．【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解． 从冬至日起，日影长构成数列{a n }，则数列{a n }是等差数列，则a 5+a 6+a 7+a 8＝32，S 7所以解可得，a 1＝，d ＝﹣1．故a 10＝【答案】D ．15．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．415.【解析】在平面直角坐标系中，作出变量x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当z ＝2x ＋y 过点B (2，0)时，z 最大，所以z max ＝4，所以z ＝2x ＋y 的最大值4.故选D ． 【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上) 16．f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________． 16.【解析】f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2. 【答案】－217．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． 17.【解析】设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求． 【答案】2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝018．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人．18.【解析】由题意知抽取女生97人，设该校共有女生x 人．则x ×2002 000＝97，解得x ＝970. 【答案】97019．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝______．19.【解析】由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T2＝（22）2－22，∴T ＝4，∴ω＝α2.【答案】α2三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 20．(12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .20．解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2，所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)S n ＝2(12)12n --＋n ×1＋(1)2n n -×2＝2n ＋1＋n 2－2. 21．(12分)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ， (1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为AD 的中点，求证：CE ∥平面PAB ． 21.证明：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又CD ⊥PC ，PA ∩PC ＝P ， ∴CD ⊥平面PAC ．(2)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1， ∴∠BAC ＝45°，∠CAD ＝45°，AC ＝ 2.∵CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥CA ，∴AD ＝2.又E 为AD 的中点，∴AE ＝BC ＝1，∴四边形ABCE 是正方形， ∴CE ∥AB ．又AB ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴CE ∥平面PAB ． 22．(12分)如图是半径为1m 的水车截面图,在它的边缘(圆周)上有一定点P ,按逆时针方向以角速度rad /s π(每秒绕圆心转动rad 3π)作圆周运动,已知点P 的初始位置为0P ,且06xOP π∠=,设点P 的纵坐标y 是转动时间t (单位:s )的函数,记为()y f t =.(1) 求()30,2f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,并写出函数()y f t =的解析式； (2) 选用恰当的方法作出函数()f t ,06t ≤≤的简图； (3) 试比较13131,,345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小(直接给出大小关系,不用说明理由). 22．解：(1)()10sin62f π==,()32sin cos 23662f πππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭, ()sin 36y f t t ππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,0t ≥.(2)用“五点法”作图,列表得：描点画图:说明:的变化过程也可给满分.(3) 13131345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

数 2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试模拟卷（二）学位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”本试卷共22小题，满分150分。

考试用时90分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

─、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U =R ，集合{}|13Ax x =<<，则CC UU AA =（ ）A ．{|1x x <或3}x >B ．{}|3x x ≥C ．{|1x x ≤或3}x ≥D ．{}|1x x ≤2．下列函数中，在区间（0，＋∞）上是减函数的是（ ）A ．y ＝x 2B ．y ＝1x C ．y ＝2x D ．y ＝lg x 3. 已知角α的终边过点()1,2P −，则tan α等于（ ）A. 2B. 12−C. 2−D.124．函数lg y x =+的定义域是（ ）A ．{1x x >或}0x <B ．{}01x x <<C ．{1x x ≥或}0x ≤D ．{}01x x <≤5．已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件6．不等式(2x −1)(x +2)>0的解集是（A ．）{2x x <−∣，或12x>B ．12∣ >xx C ．122xx−<<∣ D ．{2}xx <−∣ 7．已知平面向量a ＝（－2，4），b ＝（n ，6），且a ∥b ，则n ＝（ ）A. 3 B ．2C ．1D ．－18．已知,0x y >且xy ＝36，则x y +的最小值为（ ）A． B ．4C ．6D ．129. 要得到函数4y sin x =−（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ）A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位10. 已知函数()122,0,log ,0,x x f x x x ≤= > 则()()2f f −=（ ）A. －2B. －1C. 1D. 211．如图1，在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线1B C 与EF 所成的角的大小为（ ） A ．90° B ．60°C ．45°D ．30°12. 某同学计划2023年高考结束后，在A ，B ，C ，D ，E 五所大学中随机选两所去参观，则A 大学恰好被选中的概率为（ ） A.45B.35C.25 D. 15二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。

湖南省普通高中学业水平合格性考试（压轴卷）数学时量：90分钟满分：100分一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}|24A x x =<<，{}|13B x x =≤≤，则A B ⋃=（）A.{}|23x x <≤B.{}|23x x <≤C.{}|14x x ≤< D.{}|14<<x x 【答案】C 【解析】【分析】由并集的定义可得出答案.【详解】因为{}|24A x x =<<，{}|13B x x =≤≤，所以{}|14A B x x =≤< ，故选：C.2.“1x >”是“21x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为1x >，则21x >，但是21x >不一定有1x >，所以“1x >”是“21x >”成立的充分不必要条件．故选：A ．3.已知角θ的终边经过点(1,P ，则cos θ的值为（）A.B.C.1 D.12【答案】D【解析】【分析】根据三角函数定义求解即可.【详解】由任意角的三角函数定义可得1cos 2θ==.故选：D.4.命题“(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（）A.(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠-B.(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=-C.(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-D.(0,),ln 1x x x ∀∉+∞=-【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-”.故选：C5.如图，一只转盘，均匀标有8个数，现转动转盘，则转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是（）A.12B.25C.35D.23【答案】A 【解析】【分析】利用概率公式计算即可得.【详解】共有8个数，其中偶数的个数为4个，故4182P ==.故选：A.6.在ABC 中，1c =，2a =，30C =︒，则A =（）A.60︒ B.90︒C.45︒D.120︒【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理，求出sin A ，从而求出角A .【详解】由正弦定理得，sin sin a cA C=，所以21sin sin 30A =︒，解得sin 1A =，由A 为三角形内角，所以90A =︒，故选：B.7.若平面//α平面β，l ⊂α，则l 与β的位置关系是（）A.l 与β相交B.l 与β平行C.l 在β内D.无法判定【答案】B 【解析】【分析】利用面面平行的性质定理即可得解.【详解】//αβ ，l ⊂α，利用线面平行的性质定理可得l //β.故选：B8.函数()2log 2y x =-在区间[]3,4上的最大值为（）A.0 B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】由定义域求出2x -的范围，进而求出y 的范围与最大值.【详解】因为[]3,4x ∈，所以[]21,2x -∈，所以()2log 2[0,1]x -∈，最大值为1，故选：B.9.sin690︒的值为（）A.12B.2C.12-D.32【解析】【分析】直接用诱导公式可求解.【详解】()1sin 690sin 72030sin 302︒=︒-︒=-︒=-故选：C10.若函数()225f x x ax =-+在区间[)1,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.(],2∞- B.[)2,∞+ C.[)4,+∞ D.(],4-∞【答案】D 【解析】【分析】结合二次函数的对称轴，列式求实数a 的取值范围.【详解】由题意，得函数()f x 的图象的对称轴为直线4a x =．∵函数()225f x x ax =-+在区间[)1,+∞上是增函数，∴14a≤，解得4a ≤，∴实数a 的取值范围是(],4-∞．故选:D ．11.某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：射击次数501002004001000射中8环以上的次数4478158320800根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（）A.0.78B.0.79C.0.80D.0.82【答案】C 【解析】【分析】利用频率估计概率即可求解.【详解】大量重复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在0.8，所以这名运动员射击一次射中8环以上的概率为0.8，故选：C.12.已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则((1))=f f （）A.e B.-1C.0D.1【答案】D【分析】先求得()1f ，然后求得()()1f f .【详解】()1ln10f ==，()()()0101f f f e ===.故选：D13.若函数()()sin R,0,02πy x x ωϕωϕ=+∈>≤<的部分图象如图，则（）A.π2=ω，π4ϕ=B.π3ω=，π2ϕ=C.π4ω=，π4ϕ=D.π4ω=，5π4ϕ=【答案】C 【解析】【分析】根据最小正周期求出ω，根据函数过点()1,1求出ϕ.【详解】由图可知3124T =-=，所以8T =，又0ω>，所以2π8ω=，解得π4ω=；所以πsin 4y x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又函数过点()1,1，所以πsin 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πϕ≤<2，所以ππ9π444ϕ≤+<，所以ππ42ϕ+=，所以π4ϕ=.故选：C14.关于函数()x x f x e e -=-，下列判断正确的是（）A.图象关于y 轴对称，且在(,)∞∞-+上是减函数B.图象关于y 轴对称，且在(,)∞∞-+上是增函数C.图象关于原点对称，且在(,)∞∞-+上是减函数D.图象关于原点对称，且在(,)∞∞-+上是增函数【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性及单调性即可得解.【详解】解：函数的定义域为R ，因为()()xxf x e f x e--=-=-，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，又因为,x x y e y e -==-都是R 上的减函数，所以函数()f x 在(,)∞∞-+上是减函数.故选：C .15.在空间四边形ABCD 中，AC=BD ，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连接各边中点E ，F ，G ，H ，所得四边形EFGH 的形状是（）A.梯形 B.矩形C.正方形 D.菱形【答案】D 【解析】【分析】根据空间四边形中各点的位置，结合中位线的性质可得EFGH 是平行四边形，再由AC=BD 即可判断四边形EFGH 的形状.【详解】如图所示，空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD 可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH ，由中位线的性质及基本性质4知，EH ∥FG ，EF ∥HG ；∴四边形EFGH 是平行四边形，又AC=BD ，∴HG=12AC=12BD=EH ，∴四边形EFGH 是菱形.故选：D 16.设10,,2,32α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，则使幂函数()f x x α=的定义域为R ，且为偶函数的α的值是（）A.0B.12C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】分别对0α=，12，2，3时的幂函数分析判断即可【详解】当0α=时，()0f x x =，其定义域为{}0x x ≠，所以不合题意，当12α=时，()12f x x =，其定义域为{}0x x ≥，所以不合题意，当2α=时，2()f x x =，其定义域为R ，且为偶函数，所以符合题意，当3α=时，3()f x x =，其定义域为R ，而此函数为奇函数，所以不合题意，故选：C17.《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成1111ABCD A B C D -的正四棱台（如图所示，其中上底面与下底面的面积之比为1:16，方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为3567m ，则该方亭的上底面边长为（）mA.3B.4C.6D.12【答案】A 【解析】【分析】设11A B x =，表达出4AB x =，方亭的高为3x ，由棱台的体积公式列出方程，求出3x =，得到答案.【详解】因为上底面与下底面的面积之比为1:16，设11A B x =，则4AB x =，故方亭的高为3x ，故方亭的体积为(22221161635673x x x x x ++⋅⋅=，解得3x =，故113A B =m ，即该方亭的上底面边长为3m.故选：A18.已知函数()()252,13,1x a x x f x a x ⎧-+-≥=⎨-<⎩在(),∞∞-+上是增函数，则a 的取值范围为（）A.51,2⎛⎫⎪⎝⎭B.()1,2 C.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.(]1,2【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 在()-∞+∞，上是增函数，所以()1250125123a a a a ⎧-+>⎪>⎨⎪-+⨯-≥-⎩，解得12a <≤，所以a 的取值范围是(]1,2.故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，19.已知-组数据为1-，0，1，2，3．则该样本的平均数为______，中位数为______．【答案】①.1②.1【解析】【分析】根据题意，利用平均数的计算公式和中位数的概念及求法，即可求解.【详解】由样本数据1,0,1,2,3-，可则样本的平均数为1012315x -++++==，根据样本中位数的求法，可得样本数据的中位数为1.故答案为：1；1.20.已知i 是复数的虚数单位，且32ii ia b -=+(),a b ∈R ，则a b +的值为______．【答案】5-【解析】【分析】计算出32ii-，从而求出a ，b 以及a b +的值.【详解】因为232i (32i)i 3i 223i i i 1--+===---，所以2a =-，3b =-，所以5a b +=-，故答案为：5-.21.在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则三角形ABC 为___________三角形.（填“锐角”､“钝角”或“直角”）【答案】钝角【解析】【分析】根据数量积的性质，判断出A 的范围，可得结论.【详解】解：因为cos 0AB AC AB AC A ⋅=<，故cos 0A <，而A 为三角内角，故A 为钝角，所以ABC 是钝角三角形.故答案为：钝角.22.设0a ＞，0b ＞，且21a b +=，则12a a a b++的最小值是_______．【答案】1+##1【解析】【分析】由换元法与基本不等式求解即可.【详解】设a xa b y=⎧⎨+=⎩，则b y x =-，21a b x y +=+=，12122211a x x y x y xa ab x y x y x y++=+=+=++≥+，当且仅当2y x xy=即1x =，2y =-时等号成立，故当1a =-，3b =-时，12aa a b++取最小值1+.故答案为：1+.三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，23.某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若产品的质量指数在[8，10]内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率．【答案】（1）6X =甲，5X =乙（2）815【解析】【分析】（1）由频率分布直方图直接求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数即可；（2）先确定甲、乙生产线的样品中抽取的优等品的个数，再利用列举法写出所有情况，利用古典概率模型求解即可．【小问1详解】解：甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：30.05250.15270.2290.12 6.4x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=甲；乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为：30.15250.1270.2290.052 5.6x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=乙．【小问2详解】由题意可知，甲生产线的样品中优等品有100×0.1×2＝20件，乙生产线的样品中优等品有100×0.05×2＝10件．从甲生产线的样品中抽取的优等品有20642010⨯=+件，记为a ，b ，c ，d ；从乙生产线的样品中抽取的优等品有10622010⨯=+件，记为E ，F ；从这6件产品中随机抽取2件的情况有：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，E ），（a ，F ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，d ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），（E ，F ），共15种；其中符合条件的情况有：（a ，E ），（a ，F ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），共8种．故所求概率815P =．24.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，122AA AC CB AB ===．（1）证明：1BC ∥平面1ACD ；（2）求异面直线1BC 和1A D 所成角的大小；【答案】（1）证明见解析（2）π6.【解析】【分析】（1）连接1AC 交1AC 于点F ，由三角形中位线定理得1//BC DF ，由此能证明1BC ∥平面1ACD ；（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为轴正方向，CB 的方向为轴正方向，1CC 的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出异面直线1BC 与1A D 所成角．【小问1详解】证明：连接1AC 与1AC 相交于点F ，连接DF ，由矩形11ACC A 可得点F 是1AC 的中点，又D 是AB 的中点，1//BC DF ，1BC ⊄ 平面1A CD ，DF ⊂平面1A CD ，故1//BC 平面1ACD 【小问2详解】∵122AA AC CB AB ===，不失一般性令12AA AC CB ===，22AB =则222AC CB AB +=，∴AC BC ⊥．以C 为坐标原点，CA的方向为轴正方向，CB的方向为轴正方向，1CC 的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．则(1,1,0)D ，()10,0,2C ，()12,0,2A ，(0,2,0)B ，()10,2,2BC =- ，()11,1,2A D =-- ,设异面直线1BC 与1A D 所成角为θ，π(0]2,θ∈，则1111110243cos cos ,286BC A D BC A D BC A Dθ--⋅=〈〉==⋅ ，∴π6θ=，∴异面直线1BC 与1A D 所成角为π6.另解：由（1）得1A DF ∠或其补角为异面直线1BC 和1A D 所在角，设2AB =，则1112DF BC====，1A D ==11112A F A C==．在1A DF中，由余弦定理得，2221113cos 2A DF +-∠==，且()10,πA DF ∠∈，1π6A DF ∴∠=，∴异面直线1BC 和1A D 所成角的大小为π6..25.已知函数()1f x ax x=+．（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若0a >，判断()f x 在⎛⎝的单调性，并用定义法证明；（3）若1a =，()()e 18xg x f =-，判断函数()g x 的零点个数，并说明理由．【答案】（1）奇函数（2）()f x 在⎛⎝上单调递减，证明见解析（3）()g x有两个不同的零点，理由见解析【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义直接判断即可；（2）任取120x x <<<，可得()()()21211210f x f x x x a x x ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，由单调性定义可得结论；（3）令e x t =，()()1180h t t t t =+->，令()0h t =可求得t 的值，由此可求得对应的x 的取值，即()g x 的零点.【小问1详解】由题意知：()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，()()1f x ax f x x-=--=- ，()f x \为定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数.【小问2详解】()f x 在⎛ ⎝上单调递减，证明如下：任取120x x <<<()()()2121212112111f x f x ax ax x x a x x x x ⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭；120x x <<<，121x x a ∴<，1210a x x ∴-<，又210x x ->，()()210f x f x ∴-<，()f x \在⎛⎝上单调递减.【小问3详解】当1a =时，()1f x x x =+，()1e 18e x x g x ∴=+-；令e x t =，则0t >，()()1180h t t t t =+->；令()0h t =，解得：18852t ±=，e x t = 在R 上单调递增，∴当1885ln2x -=或1885ln 2x +=时，()0g x =，()g x ∴有两个不同的零点.。