2014-2015学年第二学期命题作业王芳芳

课时作业(九)一、选择题1．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数( )A．2 B．1C．0 D．由a确定答案 C解析f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0恒成立．f(x)单调，故无极值点．2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析导数的图像看符号，先负后正的分界点为极小值点．3．若函数y＝e x＋mx有极值，则实数m的取值范围( )A．m>0 B．m<0C．m>1 D．m<1答案 B解析 y ′＝e x＋m ，则e x＋m ＝0必有根，∴m ＝－e x<0. 4．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝( ) A.1ln2B ．－1ln2C ．－ln2D ．ln2答案 B解析 由y ＝x ·2x ，得y ′＝2x ＋x ·2x·ln2. 令y ′＝0，得2x(1＋x ·ln2)＝0. ∵2x＞0，∴x ＝－1ln2.5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜12答案 A解析 f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝3x 2－3b 在(0,1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0.∴b ＞0，f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的范围为0＜b ＜1.6．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1＜a ＜2 B ．－3＜a ＜0 C ．a ＜－1或a ＞2 D ．a ＜－3或a ＞6答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， ∵f (x )有极大值和极小值， ∴f ′(x )＝0有两个不等实根．∴Δ＝4a 2－4·3(a ＋6)＞0，即(a －6)(a ＋3)＞0， 解得a ＞6或a ＜－3.7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)，则极小值为( ) A ．0 B ．－427C ．－527D ．1答案 A又f (1)＝1－p －q ＝0，联立方程组，解得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0， 解得x ＝1或x ＝13.经检验知x ＝1是函数的极小值点． ∴f (x )极小值＝f (1)＝0.8．三次函数当x ＝1时，有极大值4，当x ＝3时，有极小值0，且函数图像过原点，则此函数可能是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9x D ．y ＝x 3＋6x 2－9x答案 B解析 三次函数过原点，且四个选项中函数的最高次项系数均为1， ∴此函数可设为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx . 则f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由题设知⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3＋2b ＋c ＝0，f ′3＝27＋6b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6，c ＝9.∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x .∴f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)．可以验证当x ＝1时，函数取得极大值4；当x ＝3时，函数取得极小值0，满足条件． 9．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c )答案 A解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知x ＝1和x ＝－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则1－1＝－2b3a，得b ＝0.二、填空题10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.答案 3解析f′(x)＝x2＋a′·x＋1－x2＋a·x＋1′x＋12＝2x ·x ＋1－x 2＋a ·1x ＋12＝x 2＋2x －a x ＋12，因为函数f (x )在x ＝1处取得极值， 所以f ′(1)＝3－a4＝0，解得a ＝3.11．设函数f (x )＝x ·(x －c )2在x ＝2处有极大值，则c ＝________. 答案 6解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，∵f (x )在x ＝2处有极大值，∴f ′(2)＝0，即c 2－8c ＋12＝0，解得c 1＝2，c 2＝6.当c ＝2时，则f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(3x －2)(x －2)． 当x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )递增不合题意， ∴c ≠2，∴c ＝6.12．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的编号是________．(写出所有不正确说法的编号)(1)当x ＝32时函数取得极小值；(2)f (x )有两个极值点； (3)c ＝6；(4)当x ＝1时函数取得极大值．答案(1)解析 f ′(x )的符号为正→负→正， 则f (x )的单调性为增→减→增． 草图如右图． 三、解答题13．设x ＝1和x ＝2是函数f (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＋1的两个极值点． (1)求a 和b 的值； (2)求f (x )的单调区间．解析 (1)f ′(x )＝5x 4＋3ax 2＋b ， 由题意知f ′(1)＝5＋3a ＋b ＝0，f ′(2)＝24×5＋22×3a ＋b ＝0.解得a ＝－253，b ＝20.(2)由(1)知f ′(x )＝5x 4－25x 2＋20＝5(x 2－1)(x 2－4)＝5(x ＋1)(x ＋2)(x －1)(x －2)． 当x ∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)时，f ′(x )>0， 当x ∈(－2，－1)∪(1,2)时，f ′(x )<0.因此，f (x )的单调递增区间是(－∞，－2)，(－1,1)，(2，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(－2，－1)，(1,2)．14．一个三次函数y ＝f (x )，当x ＝3时取得极小值y ＝0，又在此函数的曲线上点(1,8)处的切线经过点(3,0)，求函数f (x )的表达式．解析 由题意，点(3,0)在曲线上，故可设y ＝a (x －3)3＋b (x －3)2＋c (x －3)． ∵当x ＝3时，y 取得极小值，∴y ′|x ＝3＝0.而y ′＝3a (x －3)2＋2b (x －3)＋c ，把x ＝3代入得c ＝0. ∴y ＝a (x －3)3＋b (x －3)2，y ′＝3a (x －3)2＋2b (x －3)．∵曲线过点(1,8)，∴－8a ＋4b ＝8.① ∵曲线在点(1,8)处的切线经过点(3,0)， ∴该切线的斜率k ＝81－3＝－4.另一方面，应有k ＝y ′|x ＝1， 从而12a －4b ＝－4.② 由①②两式解得a ＝1，b ＝4.∴y ＝(x －3)3＋4(x －3)2，即y ＝x 3－5x 2＋3x ＋9. 15．已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a ∈R )(1)当a ＝1时，求函数f (x )在点x ＝1处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值；(3)若函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数，试确定a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－ln x ，f ′(x )＝2x －1x，f ′(1)＝1，又f (1)＝1，∴切线方程为y ＝x .(2)定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －ax，当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，f (x )不存在极值．当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝2a 2，当x >2a 2时，f ′(x )>0，当x <2a2时，f ′(x )<0, ∴当x ＝2a 2时，f (x )有极小值a 2－a 2ln a 2. (3)∵f (x )在(2，＋∞)上递增，∴f ′(x )＝2x －a x≥0对x ∈(2，＋∞)恒成立，即a ≤2x 2恒成立．∴a ≤8.16．求函数f (x )＝ln xx的极值．分析 首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值．解析 函数f (x )＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，由导数公式表和求导法则，得f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝e. 下面分两种情况讨论： (1)当f ′(x )>0时，0<x <e ； (2)当f ′(x )<0时，x >e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↘故当x ＝e 时函数取得极大值，且极大值为f (e)＝e .17．已知函数f (x )＝3ax 4－2(3a ＋1)x 2＋4x . (1)当a ＝16时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在(－1,1)上是增函数，求a 的取值范围．解析(1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)．当a ＝16时，f ′(x )＝2(x ＋2)(x －1)2，f (x )在(－∞，－2)内单调减，在(－2，＋∞)内单调增，在x ＝－2时，f (x )有极小值．所以f (－2)＝－12是f (x )的极小值．(2)在(－1,1)上，f (x )单调增加，当且仅当f ′(x )＝4(x －1)(3ax 2＋3ax －1)≥0，即3ax 2＋3ax －1≤0，①(ⅰ)当a ＝0时①恒成立；(ⅱ)当a ＞0时①成立，当且仅当3a ·12＋3a ·1－1≤0. 解得a ≤16.(ⅲ)当a ＜0时①成立，即3a (x ＋12)2－3a 4－1≤0成立，当且仅当－3a4－1≤0.解得a ≥－43. 综上，a 的取值范围是[－43，16]．►重点班·选做题18．已知函数f (x )＝a 3x 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋1，其中a 为实数．(1)已知函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值；(2)已知不等式f ′(x )>x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立，求实数x 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1，由于函数f (x )在x ＝1时取得极值，所以f ′(1)＝0，即a －3＋a ＋1＝0，∴a ＝1. (2)方法一 由题设知：ax 2－3x ＋a ＋1>x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立， 即a (x 2＋2)－x 2－2x >0对任意a ∈(0，＋∞)都成立．设g (a )＝a (x 2＋2)－x 2－2x (a ∈R )，则对任意x ∈R ，g (a )为单调递增函数(a ∈R )． 所以对任意a ∈(0，＋∞)，g (a )>0恒成立的充分必要条件是g (0)≥0，即－x 2－2x ≥0，∴－2≤x ≤0.于是x 的取值范围是{x |－2≤x ≤0}．方法二 由题设知：ax 2－3x ＋a ＋1>x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立， 即a (x 2＋2)－x 2－2x >0对任意a ∈(0，＋∞)都成立．于是a >x 2＋2x x 2＋2对任意a ∈(0，＋∞)都成立，即x 2＋2xx 2＋2≤0.所以－2≤x ≤0.所以x 的取值范围是{x |－2≤x ≤0}．1．已知函数f (x )在点x 0处连续，下列命题中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极小值C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极大值 答案 C2．根据图像指出下列函数的极值点． ①y ＝x ＋4x(x ≠0)；②y ＝|lg|x －1||.答案 ①(2,4)极小值点，(－2，－4)极大值点． ②(0,0)，(2,0)极小值点．3．求函数y ＝x 3－22x －12的极值．解析 ∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y ′＝x －22x ＋12x －13，令y ′＝0，得x 1＝－1，x 2＝2.∴当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：x (－∞，－1) －1 (－1,1) (1,2) 2 (2，＋∞) y ′ ＋0 － ＋0 ＋y极大值↘非极值故当x ＝－1时，y 有极大值，为－8.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

星课时作业»往h 生摊特曲*匕内容单歿曲册酋 ［学业水平训练］1. (2013高考浙江卷)已知i 是虚数单位，则(2 + i)(3 + i)=() A . 5 -5i B . 7 — 5iC . 5 + 5iD . 7 + 5i 解析：选 C.(2 + i)(3 + i) = 6 + 2i + 3i — 1 = 5 + 5i.1 + 2i 1 + 2i 1 + 2i i1 解析：选 B. = ==— 1 + 1i. 1 — i 2 — 2i 22 3.若复数z 满足总=2i ，则z 对应的点位于（）A .第一象限 C .第三象限解析：选B. •亠=2i ,1 + iz = 2i(1 + i) =— 2+ 2i ，故选 B.1 1 — i+ i = + i1+ i1 — i2 1 1 1 1=2— 2i + i = 2+， 件一诂2+新=于.「•z = 2 + i.— 55 .•.Z + = 2+ i + = 2+ i + 2+ i = 4+ 2i.z2 — i)T 2l ( 1 — i 2 ) B . 1 —1 +_ D . 1 1 — 2i 2. (2013高考课标全国卷I1.A . — 1 —歹1C . 1 +』B .第二象限D .第四象限 4. (2014 1A.2C至^>. 2 高考课标全国卷I ）设2 2 B. 古 + i ，则 |z|=( 选 B.z = 解析: 5. （2014郑州质检）若复数z = 2— i , 2 — i 4 + 2iA . C . 解析：选 C. -.z = 2 — i ,则7+5等于(B . 2 + i D . 6 + 3i 6.已知i 是虚数单位，则i 3 i + 1i — 1星课时作业»往h生摊特曲*匕内容单歿曲册酋解析：〔二^ = —i 1 + i = 1 —i =—1.i —1 i—1 —1 —i答案：—17.已知z= (2 —i)3,贝V z^z = __________ .解析：z-7 = |z|2= 1(2—i)32 = ( .5)6= 125.答案：1252&若—=a+ bi(i 为虚数单位，a, b€ R)，贝V a + b= ____________1 —i2解析：’•-- =a+ bi,1 —i2 1 + i= a+ bi,1 —i 1 + i即 1 + i = a+ bi,••a= 1, b = 1,••a+ b= 2.答案：2i —2 i —1 —3—2i9. (2014 廊坊高二检测)计算：1 + i i — 1 + i+ 2—3i .i —2 i —1解：因为1 + i i —1 + ii —2 i—1i2— 1 + ii —2 i—1—2+ i=i —1,—3 —2i —3—2i 2+ 3i2—3i 2 —3i 2+ 3i—13i=13=—i,i —2 i —1 —3 —2i所以+ ——1 + i i —1 + i2 —3i=i —1+ (—i) = — 1.10. 已知复数z= 1 + i，求实数a, b,使得az+ 2b z = (a + 2z)2.解: '-z= 1+ i,• z = 1 —i,•'az+ 2b z = (a + 2b)+ (a —2b)i,(a+ 2z)2= [(a + 2) + 2i]2=(a+ 2)2—4 + 4(a+ 2)i =(a2+ 4a)+ 4(a+ 2)i. ••a, b都是实数.•••由az+ 2b z = (a+ 2z)2,a + 2b = a2+ 4a,得a —2b = 4 a+ 2 ,a i=—2 a2=—4,解得或b i=—1 b2= 2.故所求实数为a i=—2, b i=—1 或a2= —4, b2= 2.［高考水平训练］1.设z1= i4+ i5+ i6+…+ i12, z2= i4i5 i6…• 1 2，则下列正确的是()A . Z1 = Z2 C. Z1 = 1 + z2B . z1=—Z2 D . Z2= 1 + Z1解析：选A.巾= i4 1 —i9i41—i=i4= 11 —iZ2= i4+ 5+ 6+ 7+…+ 12= i72= 1-Z1 = Z2.2.已知x= 1 + 2i 是方程x2—mx+ 2n= 0 的一个根(m, n € R)，贝卩m+ n = 解析：把x= 1 + 2i代入x2—mx+ 2n= 0中，得(1 + 2i)2—m(1 + 2i) + 2n = 0,即1 —4 + 4i —m—2mi + 2n=0,-■(2 n—m—3)+ (4 —2m)i =0,根据复数相等的充要条件，—3 —m+ 2n= 0,得4 —2m= 0,5n = 2,即2m = 2,5 c 9-m + n= 2 + 2 =g 答案：g3.已知复数z= 3 + bi(b € R),且(1 + 3i) z•为纯虚数.(1)求复数Z；⑵若3=化，求复数3的模|必2+ i解：(1)(1 + 3i) (3 + bi) = (3 —3b) + (9+ b)i.因为(1 + 3i) z•为纯虚数，所以3—3b = 0,且9+ 0,所以b= 1,所以z= 3 + i.7 —i 7 15 = 5—5i,所以7 2+ -5=2.4.设i为虚数单位，复数z和3满足z w+ 2iz—2i w+ 5 = 0.⑴若z和3满足二—z= 2i，求z和3；(2)求证：如果|z|= ,3，那么|3—4i|的值是一个常数.并求这个常数. 解：⑴因为W—z= 2i,所以z= 3 —2i.代入z 3+ 2iz —2i 3 + 5 = 0,得(~ —2i)( 3+ 2i) —2i 3+ 1= 0,所以3 3 —4i 3+ 2i 3 + 5 = 0.设3= x+ yi(x, y 駅),则上式可变为(x+ yi)(x—yi) —4i(x+ yi) + 2i( x—yi) + 5= 0.所以x2+ y2+ 6y+ 5—2xi = 0.x2+ +6y+ 5= 0,所2x= 0,x = 0 x= 0,所以或y =—1 y=—5.所以3=—i,z=—i 或3= —5i, z= 3i.⑵由z 3+2iz—2i 3+ 1 = 0,得z(3+ 2i) = 2i 3—1,所以|z||3+ 2i| = |2i3—1|.①设3= x+ yi(x, y 駅),则|3+ 2i| = x + (y + 2)i|="'x2+ y+ 2 2= x2+ y2+ 4y + 4.|2i3—1|= | —(2y+ 1) + 2xi|=■ '[ —2y+ 1 ]2+ 4x2=\：.:-4x2+ 4y2+ 4y+ 1.又|z|= 3,所以①可化为3(x2+ y2+ 4y+ 4) = 4x2+ + 4y+ 1. 所以x2+ y2—8y= 11.所以|3—4i|= |x+ (y—4)i|=x2+ y—4 2= x2+ y2—8y + 16= 3 .3.所以7 2+ -5所以|3—4i|的值是常数，且等于 3 .3.。

2014—2015学年度第二学期期末考试五年级数学试题（时间：90分钟）等级：一、认真思考，填一填。

1．如果电梯上升15层记作+15，那么它下降2层应记作（）。

2．把5米长的木料平均截成8段，每段占这根木料的（）（）,每段长（）米。

3．23 =（）÷（）=（）15 5÷8=（）（）=30（）4．用分数表示下面各图中的阴影部分。

5．在里填上“＞”、“＜”或“=”。

59 58 53 35 78 91013 0.33 2.25 214 0.83 566．在括号里填上合适的容积或体积单位。

一个热水瓶的容积约是2（）。

一间教室的体积约是144（）。

一本词典的体积大约是900（）。

一个墨水瓶的容积约是60（）。

7．用棱长1厘米的小正方体木块拼成一个正方体模型，至少要用（）块小正方体木块，这个正方体模型的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。

8．一个长方体的底面积是18平方厘米，体积是45立方厘米。

它的高是（）厘米。

9．从第1盒中任意摸出一个球，摸出白球的可能性是（），从第2盒中任意摸出一个球，摸出白球的可能性是（）。

二、火眼金睛，判一判。

1．0既不是正数也不是负数。

（）2．北偏东30°，也可以说成东偏北30°。

（）3．真分数都小于1，假分数都大于1。

（）4．如果甲、乙两数的最大公因数是1，那么这两个数的最小公倍数就是它们的积。

（）5．长方体有12条棱，8个顶点，6个面，相对面的面积相等。

（）三、开动脑筋，选一选。

1．某一天白天的最高气温是9℃，夜晚最低气温－3℃。

白天和夜晚气温相差（）℃。

A．6 B．12 C．－122．分子与分母相差1的分数一定是（）。

A．真分数B．假分数C．最简分数3．如果a=2×3×5，b=2×2×3，那么a和b的最大公因数和最小公倍数分别是（）。

A．4和60 B．6和60 C．6和3604．右面的两个长方体是由一样的小正方体拼成的，这两个长方体（）。

2014-2015学年度下学期第二次质量检测卷高二数学（理）注意事项：1．本试题共分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，全卷共150分，时间120分钟。

2．第I 卷必须使用2B 铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。

3．第II 卷必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置，在草稿纸和本卷上答题无效。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．z 是z 的共轭复数，若2)(,2=-=+i z z z z (i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是( )A ．i -B ．iC ．1D ．1- 2．已知xf x f x x f x ∆-∆+=→∆)2()2(lim,1)(0则的值是( ) A ． 41 B ． 41- C ． 2 D ． ln 23．下面使用类比推理正确的是( )． A ．“若33a b ⋅=⋅，则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅，则a b =”B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）” D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）” 4．若二项式7)2(x a x +的展开式中31x的系数是84，则实数a = ( )A ．2B ．54C ．1D ．425．若离散型随机变量X 的分布列如图，则常数c 的值为( )X 0 1Pc c -29 c 83-A ．3132或B ．32C ．31D ．16．用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程03=-+b ax x ，至少有一个实根”时要做的假设是( )A ．方程03=-+b ax x 没有实根B ．方程03=-+b ax x 至多有一个实根C ．方程03=-+b ax x 至多有两个实根D ．方程03=-+b ax x 恰好有两个实根7．用数学归纳法证明“))(12(5312)()2)(1(*N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++”时，从1+==k n k n 到，等式左边需要增乘的代数式是( ) A ．12+k B ．112++k k C ．1)22)(12(+++k k k D ．132++k k8．若⎰+=12)(2)(dx x f x x f ，则⎰10)(dx x f =( )A ．1-B ．31-C ．31D ． 19．某校计划组织高二年级四个班级开展研学旅行活动，初选了甲、乙、丙、丁四条不同的研学线路，每个班级只能在这四条线路中选择其中的一条，且同一条线路最多只能有两个班级选择，则不同的方案有( )A ．240种B ．204种C ．188种D ．96种 10．定义在R 上的函数)(x f 满足：'()()1,(0)5f x f x f +>=，则不等式x x e x f e +>4)(的解集为 ( )A ．)0,(-∞B ．),0()0,(+∞-∞C ．),3()0,(+∞-∞D ．),0(+∞第II 卷 非选择题 （共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置)11．把5件不同的产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有____________种(用数字作答)．12．设6655443322106)12()12()12()12()12()12()23(-+-+-+-+-+-+=-x a x a x a x a x a x a a x 则=++531a a a ________________． 13．计算dx x ⎰-1024=______________．14．关于)5,4,3,2,1(=i x i 的方程)(10*54321N x x x x x x i ∈=++++的所有解的组数是__________．(用数字作答)15．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图， 下列说法正确的是 （只填序号）①函数()f x 在1x =处取得极小值1- ； ②函数()f x 在0x =和1x =处取得极值；③函数()f x 在(,1)-∞上是单调递减函数，在(1,)+∞上是单调递增函数； ④函数()f x 在(,0)-∞和(2,)+∞上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数；⑤函数()f x 在0x =处取得极小值，在2x =处取得极大值．三、解答题(本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)16．（本小题满分12分）已知复数(13i)(1i)(13i)z i-+--+=错误！未找到引用源。

[学业水平训练]1．已知回归直线方程y ^＝2－2.5x ，若变量x 每增加1个单位，则( ) A ．y 平均增加2.5个单位 B ．y 平均增加1个单位 C ．y 平均减少2.5个单位 D ．y 平均减少2个单位解析：选C.因为由y ^＝2－2.5x ，得b ＝－2.5<0，若变量x 每增加1个单位，则y 平均减少2.5个单位，故选C.2．对于线性相关系数r ，以下说法正确的是( ) A ．r 只能为正值，不能为负值B ．|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大；相反则越小C ．|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越小；相反则越大D ．不能单纯地以r 来确定线性相关程度解析：选B.根据线性相关系数r 的意义可知，B 正确． 3．三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的回归方程是( ) A.y ^＝5－17x B.y ^＝－17＋5x C.y ^＝17＋5x D.y ^＝17－5x解析：选B.因为回归直线经过样本点的中心(x ，y )． 又因为x ＝3＋7＋113＝7，y ＝10＋20＋243＝18，代入可知(7,18)满足方程y ^＝－17＋5x .4．下列关于残差图的描述中错误的是( ) A ．残差图的横坐标可以是样本编号B ．残差图的横坐标可以是解释变量或预报变量C ．残差点分布的带状区域的宽度越窄，相关指数越小D ．残差点分布的带状区域的宽度越窄，回归平方和越大解析：选C.残差图和相关指数都可以刻画回归模型的拟合效果，残差点分布的带状区域越窄，相关指数R 2越大，说明回归模型的拟合效果越好，故选C.5．(2014·安顺高二检测)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现( )A.y ＝2x2C ．y ＝12(x 2－1) D ．y ＝2.61cos x解析：选B.作出散点图如图，从散点图观察，结合选项知，应为对数函数模型，故选B.6．如果散点图中的所有的点都在一条直线上，则残差为________，残差平方和为________，相关指数为________．解析：因为散点图中的所有的点都在一条直线上，所以y i ＝y ^i ，相应的残差e ^i ＝y i －y ^i ＝0，残差平方和∑n i ＝1e ^2i＝0.相关指数R 2＝1－∑ni ＝1 (y i －y ^i )2∑n i ＝1(y i －y )2＝1－0＝1. 答案：0017．(2014·姜堰高二检测)已知方程y ^＝0.85x －82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x 的单位是cm ，y ^的单位是kg ，那么针对某个体(160,53)的残差是________．解析：把x ＝160代入y ^＝0.85x －82.71， 得y ^＝0.85×160－82.71＝53.29，所以残差e ^＝y －y ^＝53－53.29＝－0.29. 答案：－0.298．下列关于统计的说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数，方差恒不变；②回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x ，y )；③线性回归模型中，随机误差e ＝y i －y ^i ；④设回归方程为y ^＝－5x ＋3，若变量x 增加1个单位，则y 平均增加5个单位； 其中正确的为________(写出全部正确说法的序号)．解析：①正确；②正确；③线性回归模型中，随机误差应为e ^i ＝y i －y ^i ，故错误；④若变量x 增加1个单位，则y 平均减少5个单位，故错误． 答案：①②9．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的已知∑7i ＝1x 2i ＝280，∑7i ＝1y 2i ＝45309，∑i ＝1x i y i ＝3487.(1)求x ，y ；(2)已知纯利y 与每天销售件数x 线性相关，试求出其回归方程． 解：(1)x ＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋97＝6，y ＝66＋69＋73＋81＋89＋90＋917＝5597≈79.86.(2)因为y 与x 有线性相关关系，所以b ^＝∑7i ＝1x i y i －7x y ∑7i ＝1x 2i－7x 2＝3487－7×6×5597280－7×36＝4.75， a ^＝79.86－6×4.75＝51.36.故回归方程为y ^＝4.75x ＋51.36.10(1)作y 和x 的散点图，根据该图猜想它们之间是什么相关关系；(2)如果是线性相关关系，请用给出的参考数据求回归直线方程；否则说明它们之间更趋近于什么非线性相关关系；(3)假如2014年广告费用支出为10万元，请根据你得到的模型，预报该年的销售量y ，并用R 2的值说明解释变量对于预报变量变化的贡献率． 解：(1)散点图如图，根据散点图可知，它们成线性正相关关系．(2)由数据表知x ＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y ＝15×(30＋40＋60＋50＋70)＝50，由公式得：b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i－5x 2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5，因此，回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5.(3)当x ＝10时，y ^＝6.5×10＋17.5＝82.5(万件)， 因此，预报该年的销售量大约为82.5万件．R 2＝1－(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202≈0.85.因此，回归效果较好，广告费用支出能解释85%的销售量的变化．[高考水平训练]1．若某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ＝bx ＋a ＋e (单位：亿元)，其中b ＝0.8，a ＝2，|e |≤0.5.如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过( ) A ．10亿元 B ．9亿元 C ．10.5亿元 D ．9.5亿元 解析：选C.代入数据y ＝10＋e ，因为|e |≤0.5，所以|y |≤10.5，故不会超过10.5亿元．2．某人调查了若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的线性回归方程y ^＝0.254x ＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：设家庭年收入原来为x 万元，现在为(x ＋1)万元，由题意，得年饮食支出平均增加0.254(x ＋1)＋0.321－(0.254x ＋0.321)＝0.254(万元)． 答案：0.2543．已知x ，y 之间的5对于表中数据，甲、乙两位同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ^＝12x ＋12，试利用“最小二乘法”判断哪条直线拟合效果更好？解：用y ^＝13x ＋1作为拟合直线时，所得y 值与y 实际值的差的平方和，即残差平方和为i ＝15(y i－y ^i )2＝⎝⎛⎭⎫43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫103－42＋⎝⎛⎭⎫113－52＝73. 用y ^＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 值与y 实际值的差的平方和，即残差平方和为i ＝15(y i －y ^i )2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝⎛⎭⎫72－32＋(4－4)2＋⎝⎛⎭⎫92－52＝12. ∵12<73，而残差平方和小的拟合效果好， ∴直线y ^＝12x ＋12拟合效果更好．4．在一化学反应过程中某化学物质的反应速度y (克/分)与一种催化剂的量x 克有关，现收集了解：根据收集的数据作散点图：根据样本点分布情况，可选用两种曲线模型来拟合．(1)可认为样本点集中在某二次曲线y ＝c 1x 2＋c 2的附近，令t ＝x 2，则变换后样本点应该分布在直线y ＝b ^t ＋a ^(b ^＝c 1，a ^＝c 2)的周围． 由题意得变换后t 与y 的样本数据表作y 与t 的散点图，如图所示：由y 与t 的散点图可观察到样本数据点并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程y ^＝b ^t ＋a ^来拟合，即不宜用二次曲线y ＝c 1x 2＋c 2来拟合y 与x 之间的关系．(2)根据x 与y 的散点图也可以认为样本点集中在某一条指数型函数曲线y ＝c 1e c 2x 的周围． 令z ＝ln y ，则z ＝c 2x ＋ln c 1， 即变换后样本点应该分布在直线 z ＝b ^x ＋a ^(a ^＝ln c 1，b ^＝c 2)的周围，由y 与x 的数据表可得z 与x 的数据表：作出z 与x 的散点图，如图所示：由散点图可观察到大致在一条直线上， 所以可用线性回归方程来拟合它． 由z 与x 数据表，得到线性回归方程 z ^＝0.181x －0.848，所以非线性回归方程为y ^＝e 0.181x －0.848，因此，该化学物质反应速度对催化剂的量的非线性回归方程为y ^＝e 0.181x －0.848.。

(230) 北京理工大学远程教育学院2014-2015学年第二学期《应用文写作》期末大作业（A）教学站学号姓名手机号成绩说明：答题时写明题号后直接作答，不用抄写原题内容（一般最多用两页纸）；可手写或用小4号字打印。

一、根据下面材料代写一份函和复函。

要求标题三要素齐全，格式规范，用词准确，落款时间自拟。

（50分）XX大学化学系，为了使三年级的学生了解现代有机化学的发展现状，特去函XX市化工研究所，希望能安排学生前去参观，并请该所著名研究员×××介绍情况。

该化工研究所见此函以后，经研究同意该大学化学系的请求，并邀请化学系来人面商参观事宜。

二、根据下述材料选择合适文种，拟定相应公文标题，正文要合乎该文种的一般格式，用词要妥当，落款时间自拟。

（20分）X市和平大街路面年久失修，为保障广大市民出行安全，特委托XX市政公司进行该路段的修护，为期半个月。

因影响交通，特向各界告知。

三、阅读下面材料，代XX市XX客车有限公司撰写一则公文，标题三要素齐全，内容概括简练，用词准确，时间根据材料自拟。

（30分）3月15日，东方乐园前开来一辆编号为XX的空调大客车。

乘客上车后，乘务员宣布每位票款3元。

乘客说：“平常只收2元，为何……”还没等乘客说完，乘务员说：“不坐可以下车！”于是十几位乘客下了车。

其他乘客见天阴要下雨，只好忍气吞声地买了票。

奇怪的是，乘务员一律只收款不给车票。

车到市内，一些乘客没要车票便接连下车走了，有些乘客则非要车票不可，乘务员才每人给了一张2元的车票，票上印着“XX市XX客车有限公司机动车票”字样。

对此，XX市XX客车有限公司决定对敲竹杠的司机、乘务员罚款200元，停职检查一周，并在全公司通报批评。

1。

2014—2015学年度第二学期阶段检测高三数学(理)一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=2121,,A , {}A x x y yB ∈==,|2， 则B A = （ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B. {}2 C. {}1 D. Φ 2. 在复平面内，复数iiz 212+-=的共轭复数的虚部为 ( )A ．- 25B ． 25C ．25 iD ．- 25 i3．将函数)sin(ϕ+=x y 2的图象沿x 轴向左平移8π个 单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取 值为( )A.43π B. 4π C. 0 D. - 4π 4．阅读程序框图，若输入64==n m ,， 则输出i a ,分别是（ ）A ．312==i a ,B ．412==i a ,C ．38==i a ,D ．48==i a ,5．某校在一次期中考试结束后，把全校文、理科总分前10名学生的数学成绩（满分150分）抽出来进行对比分析，得到如图所示的茎叶图. 若从数学成绩高于120分的学生中抽取3人， 分别到三个班级进行数学学习方法交流， 则满足理科人数多于文科人数的情况有( )种A ． 3081B ． 1512C ． 1848D ． 20146．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （ ）A ．34πB ．23πC ．πD ．π37．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若1<x , 则 11<≤-x ”的逆否命题是“若1≥x , 则1-<x 或1≥x ”;正视图侧视图俯视图理科 文科1413 1211 8 6 6 9 8 810 9 8 9 80 1 2 6 8 8 6 9 9 6 第（5）题 图B ．命题“R x ∈∀, 0>x e ”的否定是“R x ∈∀, 0≤xe ”；C ．“0>a ”是“函数x ax x f )()(1-=在区间),(0-∞上单调递减”的充要条件；D ．已知命题x x R x p lg ln ,:<∈∀；命题203001x x R x q -=∈∃,: , 则 “)()(q p ⌝∨⌝为真命题”. 8. 已知点M 是AB C 的重心，若A =60°，3=⋅AC AB ，则||的最小值为（ ）A B C ．3D ．2 9．设21x x ,分别是方程1=⋅xa x 和1=⋅x x a log 的根(其中1>a ), 则212x x +的取值范围是( )A. ),(+∞3B. ),[+∞3C. ),(+∞22D. ),[+∞2210．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(,*N n S a a n n ∈+==+12111，在等差数列{}n b 中，52=b ，且公差2=d .使得n b a b a b a n n 602211>+++ 成立的最小正整数n 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．511．已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，且 6=⋅OB OA （O 为坐标原点），则ABO ∆与AOF ∆面积之和的最小值为( ) A. 4 B.3132 C. 1724 D.1012．已知函数;)(201543212015432x x x x x x f ++-+-+= ;)(201543212015432x x x x x x g --+-+-= 设函数),()()(43-⋅+=x g x f x F 且函数)(x F 的零点均在区间),,](,[Z b a b a b a ∈<内,则a b -的最小值为（ ）8.A 9.B 10.C 11.D二．填空题（本题共4个小题，每小5分，满分20分）13．已知11(1a dx -=+⎰，则61[(1)]2a x xπ---展开式中的常数项为_____ 14．任取],[11-∈k ,直线)(2+=x k y 与圆422=+y x 相交于N M ,两点，则32≥||MN 的概率是15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 满足322211-=≥=++a n a S S n n n ),(， 则=n S第18题图16．已知)()(02≠+=a bx ax x f ， 若,)(,)(412211≤≤≤-≤-f f 且02=-+b bc ac （a,b,c R ），则实数c 的取值范围是三．解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．( 本小题满分12分) 在ABC ∆中，若32=||AC ，且.sin cos cos B C A ⋅=⋅+⋅ （1）求角B 的大小；（2）求ABC ∆的面积S .18. ( 本小题满分12分) 某高校在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动.该高校2014级某班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示. （1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率.（2）从该班中任意选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.（3）从该班中任意选两名学生，用η表示 这两人参加活动次数之和，记“函数2()1f x x x η=--在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率.19．(本题满分12分)已知四棱锥ABCD P -中，ABCD PC 底面⊥，2=PC ，且底面ABCD 是边长为1的正方形，E 是侧棱PC 上的一点(如图所示).（1）如果点F 在线段BD 上，BF DF 3=，且PAB EF 平面//，求ECPE的值； （2）在（1）的条件下，求二面角C EF B --的余弦值.20．(本题满分12分)已知椭圆)(:0122221>>=+b a b y a x C 的离心率为23=e ,且过点),(231,抛物线)(:0222>-=p py x C 的焦点坐标为),(210-.P C D A BEF 第19题图（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；(2)若点M 是直线0342=+-y x l :上的动点，过点M 作抛物线2C 的两条切线，切点分别是B A ,，直线AB 交椭圆1C 于Q P ,两点.(i)求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标； (ii)当OPQ ∆的面积取最大值时，求直线AB 的方程.21.(本小题满分12分)已知函数.ln )(x x f = （1）若直线m x y +=21是曲线)(x f y =的切线，求m 的值； （2）若直线b ax y +=是曲线)(x f y =的切线，求ab 的最大值；（3）设),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 是曲线)(x f y =上相异三点，其中.3210x x x <<< 求证：.)()()()(23231212x x x f x f x x x f x f -->--选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE ＝AC ,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB , （I ）求PF 的长度.（II ）若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度 23.(本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=． (1)求圆心C 的直角坐标；(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲AC PDOE F B第20 题图已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++ (1) 解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈；(2) 若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围.高三数学参考答案一．CBBAC BDBAC BC 二．13． __-20___ ；14. 33；15.- n+1n+2 ；16. [-3-212 , -3+212 ]三．解答题17. 解：（1）由题可知：在∆ABC 中，⎪AC uuu r⎪ = 2 3 , AB uuu r⋅cosC + BC uuu r⋅cosA = AC uuu r⋅sinB ，因为： AC ＝ + ，AB uuu r⋅cosC + BC uuu r ⋅cosA = （AB uuu r +BC uuur ）⋅sinB ， 即：（cosC － sinB ）AB uuu r+ （cosA － sinB ）BC uuu r＝ 0-------2分而AB uuu r 、BC uuu r是两不共线向量，所以：⎩⎨⎧==B A BC sin cos sin cos ⇒ cosC ＝ cosA ，0 < A,C < π , ∴ A = C , ∆ABC 为等腰三角形.在等腰∆ABC 中，A + B + C ＝ π ， ∴ 2A + B = π , A = π2 - B 2 ；由上知：cosA = cos( π2 - B2 )= sin B 2 = sinB, ∴sin B 2 = 2sin B 2 cos B 2 , ∴ cos B 2 ＝ 12 , 0 < B 2 < π2,∴ B 2 = π3 , B = 2π3,-------------6分 （2）由（1）知：则A = C = π6 , 由正弦定理得：⎪AC ⎪sin 2π3= ⎪BC ⎪sin π6 ,∴⎪⎪ = 2 , S ∆ABC = 12 ⎪AC uuu r⎪⋅⎪⎪sin π6 = 12 ×2 3 ×2 ×12 = 3 --12分18.解：（1）从该班任取两名学生，他们参加活动的次数恰好相等的概率：P = 25022022525C C C C ++ = 2049 ,故P = 1 - 2049 = 2949 .-----4分 (2) 从该班中任选两名学生，用ξ表示这两学生参加活动次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别为：0 ，1，2，于是P(ξ = 0)= 2049 , P(ξ = 1)= 25012512012515CC C C C += 2549 ,P(ξ = 2)= 25012015C C C = 449 , 从而ξ的分布列为： E ξ = 0⨯2049 + 1⨯ 2549 + 2⨯ 449 = 3349.---------------8分(3) 因为函数f(x) = x 2- ηx – 1 在区间(3,5)上有且只有一个零点，则 f(3)⋅f(5) < 0 , 即：(8 - 3η)(24- 5η) < 0 , ∴83 < η < 245 -------10分又由于η的取值分别为：2,3,4,5,6,故η = 3或4,故所求的概率为：P(A)= 2502251512012515C C C C C C ++ = 37 .------------------12分 19．解：(1)连接CF 并延长交AB 于K ，连接PK ，因为：EF//平面PAB ,EF ⊂ 平面PCK ，平面PCK ⋂平面PAB = PK ， ∴ EF// PK ，因为DF=3FB ，AB//CD ，∴ CF=3KF ， 又因为：EF// PK ，∴ CE= 3PE, ∴ PE EC = 13-----4分(2) 以C 为原点，CD ，CB ，CP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间坐标系 （如图所示）则有：C(0,0,0) , D(1,0,0),A(1,1,0)B(0,1,0),P(0,0,2), E(0,0, 32 ),F(14 ,34 ,0)故EFuu u r= (14 ,34 ,- 32),BF uu u r= (14 ,- 14,0) zCFuu r= (14 ,34,0)-----------6分 设1n u r= (x 1,y 1,z 1)是平面BEF 的一个法向量则有：11113044211044n EF x y z n BF x y ìïï?+-=ïïíïï?-=ïïîu r uu u r u r uu u r ,取x=1得：1n u r = (1，1，23) ----------------------------------8分 同理：平面CEF 的一个法向量为：2n ur= (3,-1,0) -----------------10分cos<1n u r ,2n ur > = 1n u r ⋅2n ur|1n u r |⋅|2n ur | = 35555 所以：二面角B —EF —C 的余弦值为：- 35555 .-----------12分20．解：(1)椭圆C 1：x 24+ y 2=1；C 2：x 2=-2y ----4分(2)(i)设点M(x 0,y 0),且满足2x 0-4y 0+3=0,点A(x 1,y 1) ,B(x 2 ,y 2), 对于抛物线y= - x22 ,y ' = - x , 则切线MA 的斜率为-x 1 ,从而切线MA 的方程为：y –y 1=-x 1(x-x 1),即：x 1x+y+y 1=0 ,同理：切线MB 的方程为：x 2x+y+y 2=0 ，又因为同时过M 点，所以分别有：x 1x 0+y 0+y 1=0和x 2x 0+y 0+y 2=0，因此A ，B 同时在直线x 0x+y+y 0=0上，又因为：2x 0-4y 0+3=0，所以：AB 方程可写成：y 0(4x+2)+(2y-3x)= 0,显然直线AB 过定点：(- 12 ,- 34 ).---------6分(ii)直线AB 的方程为：x 0x+y+y 0=0，代入椭圆方程中得：(1+4x 02)x 2+8x 0y 0x+4y 02-4=0令P(x 3,y 3),Q(x 4,y 4) , ∆ = 16(4x 02- y 02+1)>0, x 3+x 4 = - 8x 0y 04x 02+1 ；x 3x 4 = 4y 02-44x 02+1|PQ | = 1+x 02·(x 3+x 4)2-4x 3x 4 = 1+x 02·16(4x 02-y 02+1)1+4x 02-------8分 点O 到PQ 的距离为：d= |y 0|1+x 02从而S ∆OPQ = 12 ·|PQ |·d = 12 ×1+x 02·16(4x 02-y 02+1)1+4x 02 ×|y 0|1+x 02= 2×y 02(4x 02-y 02+1)1+4x 02 ≤ y 02+(4x 02- y 02+1)1+4x 02=1 ---------10分A C PDOE F B 当且仅当y 02 = 4x 02- y 02+1时等号成立,又2x 0-4y 0+3=0联立解得：x 0= 12 ,y 0= 1或x 0= - 114 ,y 0= 57 ；从而所求直线AB 的方程为：x+2y+2=0 或x-14y-10=0------------12分 21.解：(1)设切点为(x 0,lnx 0), k=f '(x)= 1x 0 = 12 ,x 0 = 2 ,∴切点为(2,ln2),代入y= 12x + m 得：m = ln2-1.----------------4分(2)设y = ax+b 切f(x)于(t,lnt)(t>0), f '(x)= 1x , ∴ f '(t)= 1t ,则切线方程为：y = 1t (x-t)+lnt ,y = 1t x+lnx-1 , a= 1t ,b= lnt-1∴ab= 1t (lnt-1), 令g(t)= 1t (lnt-1), g '(t)= - 1t 2 (lnt-1)+ 1t 2 = 2-lntt2若t ∈(0,e 2)时，g '(t)>0，∴ g(t)在(0,e 2)上单调增；t ∈(e 2,+∞)时，g '(t)<0, ∴ g(t)在(e 2,+∞)上单调递减；所以，当t= e 2时，ab 的最大值为：g(e 2)= 1e 2 (lne 2-1)= 1e 2 ------------------------8分(3)先证：1x 2 <f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1 < 1x 1 ,即证：1x 2 <lnx 2-lnx 1x 2-x 1 < 1x 1,只证：1- x 1x 2 <ln x 2x 1 < x 2x 1 - 1 , 令x 2x 1= t >1, 设h(m) =lnt –t +1 ,h '(m)= 1t - 1<0 , 所以：h(t)在(1,+ ∞)上单调递减，则h(t)<h(1)=ln1-1+1=0,即证：ln x 2x 1 < x 2x 1 – 1. 以下证明：1- x 1x 2 <ln x 2x 1令p(t)= lnt+1t -1 , p '(t)= 1t - 1t 2 >0 , 所以：p(t)= lnt+1t -1在(1,+ ∞)上单调递增，即：p(t)>p(1)=0 ,即有：lnt+1t -1>0, ∴1- x 1x 2 <ln x 2x 1获证.故1x 2 <f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1 < 1x 1 成立 ,同理可证：1x 3 <f(x 3)-f(x 2)x 3-x 2 < 1x 2 ，综上可知：：f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1 > f(x 3)-f(x 2)x 3-x 2 成立------------12分选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号. 22.解：（I ）连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠,AOC P OCP ∠=∠+∠, 从而PFD OCP ∠=∠,故PFD ∆∽PCO ∆,∴PF PD PC PO=, …………4分 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234PC PD PF PO ⋅===. …………6分 （II ）若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为21OF r =-=即1r =所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT则2PT 248PB PO =⋅=⨯=，即PT = …………10分 23.解：（I ）θθρsin 2cos 2-= ，θρθρρsin 2cos 22-=∴， ………（2分） 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分） 即1)22()22(22=++-y x ，)22,22(-∴圆心直角坐标为．…………（5分） （II ）：直线l 上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ， …………（8分） ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 ………（10分） 24.解：(1)不等式()10f x a +->，即210x a -+->。

课时作业1 命题时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．下列语句是命题的是( )A ．偶函数的和是偶函数吗？B ．sin 45°＝ 3.C ．求证：两条相交直线必交于一点．D ．x 2－4x －3＝0.答案：B2．已知直线m ，n 及平面α，β，则下列命题正确的是( )A . ⎭⎬⎫m ∥αn ∥β⇒α∥βB . ⎭⎬⎫m ∥αm ∥n ⇒n ∥α C . ⎭⎬⎫m ⊥αα⊥β⇒m ∥β D .⎭⎬⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 解析：若m ⊆β，n ⊆α，有可能α与β相交，故选项A 错；选项B 中，n 有可能在平面α内；选项C 中，m 有可能在平面β内．故选D .答案：D3．若A 、B 是两个集合，则下列命题中是真命题的是( )A ．如果A ⊆B ，那么A ∩B ＝AB ．如果A ∩B ＝A ，那么(∁U A)∩B ＝ØC ．如果A ⊆B ，那么A ∪B ＝AD ．如果A ∪B ＝A ，那么A ⊆B图1解析：用集合的Venn 图处理本题，从图1可知，选项A 正确；选项B ，(∁U A)∩B ≠Ø；选项C 中，A ∪B ＝B.而选项D 应该是A ⊇B.答案：A4．下列命题是真命题的是( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x<y ，则x 2<y 2解析：选项A ，由1x ＝1y，得x ＝y ；选项B ，由x 2＝1，得x ＝±1；选项C ，当x ＝y ＝－1时，x ，y 没有意义；选项D ，当x ＝－3，y ＝1时，x<y ，但x 2＝9>1＝y 2.故选A .答案：A5．给出下列三个命题：①四个非零实数a ，b ，c ，d 满足ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 成等比数列；②若整数a 能被2整除，则a 是偶数；③△ABC 中，若A>30°，则sin A>12. 其中为假命题的序号是( )A ．②B ．①②C ．②③D ．①③解析：①中，若a ＝－1，b ＝52，c ＝2，d ＝－5满足ad ＝bc ，但a ，b ，c ，d 不成等比数列，故是假命题；③中，若150°<A<180°时，sin A<12，故是假命题． 答案：D6．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a>0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则B 为锐角解析：y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题； 当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；当AB →·BC →>0时，向量AB →与BC →的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题．答案：B二、填空题(每小题8分，共24分)7．命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”，写成“若p ，则q ”的形式为__________________________________________．答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除8．有下列四个命题：①22340能被3或5整除；②不存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0；③对任何的实数x ，均有x ＋1>x ；④方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根．其中假命题有________．(只填序号)解析：可易知①②③为真命题；④中Δ＝4－12<0，方程x 2－2x ＋3＝0无实根，因而④为假命题． 答案：④9．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f (x )＝3＋log 2x 的图象与g (x )的图象关于________对称，则函数g (x )＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)答案：①关于x 轴对称时，g (x )＝－3－log 2x ；②关于y 轴对称时，g (x )＝3＋log 2(－x )；③关于(0,0)对称时，g (x )＝－3－log 2(－x )．三、解答题(共40分)10．(10分)将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)末位数字是0或5的整数，能被5整除；(2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实数根．解：(1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除．真命题．(2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实数根．假命题．11．(15分)命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，求实数a 的取值范围．解：因为ax 2－2ax －3>0不成立，所以ax 2－2ax －3≤0恒成立．(1)当a ＝0时，－3≤0成立；(2)当a ≠0时，应满足：⎩⎨⎧ a <0，Δ≤0，解之得－3≤a <0. 由(1)(2)得a 的取值范围为[－3,0]．12．(15分)已知集合A ＝{x|x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x|x<0}．若A ∩B ＝Ø是假命题，求实数m 的取值范围．解：设全集U ＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m ＋6)≥0}＝{m|m ≤－1或m ≥32}． 若设方程x 2－4mx ＋(2m ＋6)＝0的两根分别为x 1、x 2，当两根均为非负实根时，有⎩⎨⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0，解得m ≥32. 而{m|m ≥32}关于U 的补集是{m|m ≤－1}． ∴实数m 的取值范围是{m|m ≤－1}．。

[学业水平训练]1．(2014·长春模拟)复数z ＝1－i 的虚部是( )A ．iB ．－iC ．－1D ．1解析：选C.z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中b 为虚部，故z ＝1－i 的虚部为－1.2．i 2014的值为( )A ．1B ．iC ．－1D ．－i解析：选C.i 2014＝(i 2)1007＝(－1)1007＝－1.3．(2014·新乡模拟)在复数范围内，i 为虚数单位，若实数x ，y 满足x ＋y ＋(x －y )i ＝2，则x －y 的值是( )A ．1B ．0C ．－2D ．－3解析：选B.实数x ，y 满足x ＋y ＋(x －y )i ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝0，可得x －y ＝0. 4．若(x －2y )i ＝2x ＋1＋3i ，则实数x ，y 的值分别为( )A ．－12，－74B ．－12，74C.12，74D.12，－74解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝32x ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－12y ＝－74. 5．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD.2＋2i解析：选A.3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，故所求复数为3－3i.6．(2014·泸州模拟)已知i 是虚数单位，x ，y ∈R ，若x －3i ＝(8x －y )i ，则x ＋y ＝________.解析：由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0－3＝8x －y， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3，所以x ＋y ＝3. 答案：37．已知复数z ＝a ＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为________．解析：若z 为实数，则a 2－1＝0，得a ＝±1.答案：±18．下列命题中：①若m ，n ∈R 且m >n ，则m ＋i>n ＋i ；②两个虚数不能比较大小．其中正确的是________．解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，故①错误；②是正确的．答案：②9．已知x ，y ∈R ，(x ＋2y －1)＋(x －3y ＋4)i ＝10－5i ，求x ，y .解：因为x ，y ∈R ，所以(x ＋2y －1)，(x －3y ＋4)是实数，所以由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝10，x －3y ＋4＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4.所以x ＝3，y ＝4.10．实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2－4m －5)＋(m 2－5m )i 是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)复数z 为实数，则m 2－5m ＝0，解得m ＝0或m ＝5；(2)复数z 为虚数，则m 2－5m ≠0，解得m ≠0且m ≠5；(3)复数z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m －5＝0，m 2－5m ≠0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1或m ＝5，m ≠0且m ≠5，∴m ＝－1.[高考水平训练]1．已知关于x 的方程x 2＋mx ＋2＋(2x ＋2)i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i解析：选B.由题意知n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1， ∴z ＝3－i.2．复数z ＝sin θ－1＋i(1－2cos θ)，且θ∈(0，π)，若z 是实数，则θ＝________. 解析：若z 为实数，则1－2cos θ＝0，即cos θ＝12，因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3. 答案：π33．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )，且z <0，求实数k 的值． 解：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，则z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )应为实数，即⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k <0，k 2－5k ＋6＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧0<k <3，k ＝2或3，即k ＝2.4．若复数(a ＋b －2)＋(m －2)i ＝0(a >0，b >0，m ∈R )，求mab 的最大值． 解：由复数(a ＋b －2)＋(m －2)i ＝0，根据复数相等的定义， 只需要⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，m －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，m ＝2， 所以mab ＝2ab ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2×1＝2， 当且仅当a ＝b ＝1时，mab 取得最大值2.。

第一章 1.1 1.1.3一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则曲线在点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2解析： 因为ΔyΔx ＝2(x ＋Δx )2－2x 2Δx ＝4x ＋2Δx ，所以f ′(x )＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (4x ＋2Δx )＝4x .则点A 处的切线斜率k ＝f ′(2)＝8.答案： C2．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程为( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0解析： 由导数定义求得y ′＝2x ，∵抛物线y ＝x 2的切线与直线2x －y ＋4＝0平行，∴y ′＝2x ＝2⇒x ＝1，即切点为(1,1)，∴所求切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选D.答案： D3．已知曲线y ＝x 3上过点(2,8)的切线方程为12x －ay －16＝0，则实数a 的值为() A ．－1 B ．1C ．－2D ．2解析： ∵y ′|x ＝2＝lim Δx →0 (2＋Δx )3－8Δx＝lim Δx →0[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12，∴12a ＝12，∴a ＝1.故选B.答案： B4．若曲线y ＝x 2－1的一条切线平行于直线y ＝4x －3，则切点坐标为( )A ．(2,3)B ．(3,8)C ．(4,15)D ．(－2,3)解析： 由导数定义求得y ′＝2x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，则由题意知y ′|x ＝x 0＝4，即2x 0＝4，∴x 0＝2，代入曲线方程得y 0＝3，故选A.答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________． 解析： 根据题意可设切点为P (x 0，y 0)，因为Δy ＝(x ＋Δx )2－3(x ＋Δx )－(x 2－3x )＝2x Δx ＋(Δx )2－3Δx ，Δy Δx＝2x ＋Δx －3， 所以f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx －3)＝2x －3. 由f ′(x 0)＝0，即2x 0－3＝0，得x 0＝32， 代入曲线方程得y 0＝－94， 所以P ⎝⎛⎭⎫32，－94. 答案： ⎝⎛⎭⎫32，－94 6．给出下列四个命题：①若函数f (x )＝x ，则f ′(0)＝0；②曲线y ＝x 3在点(0,0)处没有切线；③曲线y ＝3x 在点(0,0)处没有切线；④曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)处的切线斜率为6.其中正确命题的序号是________．解析： ①f (x )＝x 在点x ＝0处导数不存在．②y ＝x 3在点(0,0)处切线方程为y ＝0.③y ＝3x 在点(0,0)处切线方程为x ＝0.④k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →02(1＋Δx )3－2×13Δx ＝6. 故只有④正确．答案： ④三、解答题(每小题10分，共20分)7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解析： 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)的斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.8．(1)已知曲线y ＝2x 2－7在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标．(2)在曲线y ＝x 2上哪一点处的切线，满足下列条件：①平行于直线y ＝4x －5；②垂直于直线2x －6y ＋5＝0；③与x 轴成135°的倾斜角．分别求出该点的坐标．解析： (1)设切点P (x 0，y 0)，由y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx ＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x ， 得k ＝y ′|x ＝x 0＝4x 0，根据题意4x 0＝8，x 0＝2，代入y ＝2x 2－7得y 0＝1.故所求切点为P (2,1)．(2)f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ， 设P (x 0，y 0)是满足条件的点．①因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)．②因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·13＝－1，得 x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94. ③因为切线与x 轴成135°的倾斜角，则其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14. 尖子生题库 ☆☆☆(10分)已知抛物线y ＝x 2，直线l ：x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线l 的最短距离． 解析： 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＝1， 所以x 0＝12， 所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.。

第一章常用逻辑用语§命题与量词1.1.1命题课时目标了解命题的概念，会判断一个命题的真假．1．命题数学中把用语言、符号或式子表达的，能够____________的________叫做命题．其中判断为真的语句叫做__________，判断为假的语句叫做__________．一个命题，一般可以用一个________________表示，如p，q，r，….2．一般来说，__________、祈使句、____________都不是命题．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是不是平面图形呢？2．下列语句是命题的是()①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤这座山真险啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤3．下列命题中，是真命题的是()A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集B．若x2＝1，则x＝1C．空集是任何集合的真子集D．x2－5x＝0的根是自然数4．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列命题：①M的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中元素不都是P的元素．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．45．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是()A．这个数能被2整除B．这个数能被3整除C．这个数既能被2整除，也能被3整除D．这个数是6的倍数6．在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行7．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．8．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p是____________________，结论q是__________________________．9．下列语句是命题的是________．(填序号)①求证3是无理数；②x2＋4x＋4≥0；③你是高一的学生吗？④一个正数不是素数就是合数；⑤若x∈R，则x2＋4x＋7>0.三、解答题10．判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)对任意的x∈N，都有x3>x2成立；(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．11．设有两个命题：p：|x|＋|x－1|≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．能力提升12．设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0. 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．41．判断一个语句是否为命题的关键是能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题．2．真命题是可以经过推理证明正确的命题，假命题只需举一反例说明即可．课时作业答案解析第一章 常用逻辑用语§1.1 命题与量词1.1.1 命 题知识梳理1．判断真假 语句 真命题 假命题 小写英文字母2．疑问句 感叹句作业设计1．B [A 、D 是疑问句，不是命题，C 中语句不能判断真假．]2．A [④中语句不能判断真假，⑤中语句为感叹句，不能作为命题．]3．D [A 中方程在实数范围内无解，故是假命题；B 中若x 2＝1，则x ＝±1，故B 是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C 是假命题；所以选D .]4．B [命题②④为真命题．]5．C [命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．]6．D7．①④解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形．8．若一个函数是奇函数 这个函数的图象关于原点对称9．②④⑤解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数12既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0恒成立，x 2＋4x ＋7＝(x ＋2)2＋3>0恒成立．10．解 (1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x ＝0时，x 3>x 2不成立．(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆．11．解 若命题p 为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m ≤1；若命题q 为真命题，则7－3m>1，即m<2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎨⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎨⎧m>1，m<2. 故m 的取值范围是1<m<2.12．D [①m ＝1时，S ＝{x|1≤x ≤l}，此时1≤x 2≤l 2.若x 2∈S ，则l 2≤l ，即0≤l ≤1.又∵l ≥1，∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14. 又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2＝12且m ≤0，则－22≤m ≤0， ∴③正确．]13．B [①由面面垂直知，不正确；②由线面平行判定定理知，缺少m 、n 相交于一点这一条件，故不正确；③由线面平行判定定理知，正确；④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确．综上所述知，③④正确．]。

四种命题间的相互关系(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·杭州高二检测)命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的等价命题是( )A.如果x<a2+b2,那么x<2abB.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C.如果x<2ab,那么x<a2+b2D.如果x≥a2+b2,那么x<2ab【解析】选C.等价命题即为原命题的逆否命题,故选C.2.(2014·长春高二检测)若命题p的等价命题是q,q的逆命题是r,则p与r是( )A.互逆命题B.互否命题C.互逆否命题D.不确定【解析】选B.因为p与q的条件与结论既互换又否定,且q与r的条件与结论互换,所以p与r的条件与结论是相互否定的,故p与r是互否命题.【举一反三】本题中的条件“q的逆命题是r”若换为“q的否命题是r”,其他条件不变,其结论又如何呢? 【解析】选A.因为p与q是互逆否命题,q与r是互否命题,所以p与r是互逆命题.3.(2014·海口高二检测)在命题“若函数f(x)是偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称”的逆命题,否命题,逆否命题中结论成立的是( )A.都真B.都假C.否命题假,逆命题真D.逆否命题假【解析】选A.因为f(x)是偶函数,与f(x)的图象关于y轴对称是等价的,故四种命题均为真命题.4.关于命题:“设a,b为实数,若ab=0,则a,b至少有一个为0.”有下列说法: ①原命题为真命题;②逆命题为真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b不都为0”;④逆否命题为“设a,b为实数,若a,b都不为0,则ab≠0”.其中,说法不正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①原命题为真命题;②逆命题为“设a,b为实数,若a,b至少有一个为0,则ab=0”,真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b都不为0”,故③不正确;④正确.5.关于原命题“在△ABC中,若cosA=2sinBsinC,则△ABC是钝角三角形”的叙述:①原命题是假命题;②逆命题为假命题;③否命题是假命题;④逆否命题为真命题.其中,正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解题指南】利用三角形内角和定理以及三角恒等变换,建立三角形内角的关系判断原命题的真假,逆命题的真假尝试特殊角的钝角三角形验证三角恒等式是否成立.【解析】选C.在△ABC中,若cosA=2sinBsinC,则-cos(B+C)=2sinBsinC,得cosBcosC+sinBsinC=0,得cos(B-C)=0,故B-C=90°或B-C=-90°,即B=C+90°或C=B+90°,故△ABC是钝角三角形,原命题与逆否命题为真命题.逆命题和否命题互为逆否命题,是假命题,如在钝角△ABC中,A=15°,B=15°,C=150°,cosA=cos15°=,sinB=sin15°=,sinC=sin150°=,2sinBsinC=≠cosA.6.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题的等价命题是( )A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3【解析】选D.由于原命题的否命题的等价命题,即为原命题的逆命题,故选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·成都高二检测)下列命题中是真命题的是_______.①命题“面积相等的三角形全等”的否命题;②命题“若m≤1,则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题;③命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.【解析】命题①的否命题:面积不相等的三角形不全等,是真命题.命题②的逆否命题:若x2-2x+m=0无实根,则m>1,是真命题.命题③是假命题.因此其逆否命题也是假命题.故真命题为①②.答案:①②8.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是_________.【解析】①中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1的顶点中任何三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①的逆命题不是真命题.②中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点,所以②的逆命题为真命题.答案:②【举一反三】本题的两个命题中逆否命题为假命题的是.【解析】命题②为假命题,因此它的逆否命题为假命题.答案:②9.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为,是命题(填真、假).【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可. 【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0真三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·周口高二检测)写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.m>时,mx2-x+1=0无实根.【解析】将原命题改写成“若p,则q”的形式为“若m>,则mx2-x+1=0无实根”.逆命题:“若mx2-x+1=0无实根,则m>”,是真命题;否命题:“若m≤,则mx2-x+1=0有实根”,是真命题;逆否命题:“若mx2-x+1=0有实根,则m≤”,是真命题.11.(2014·大连高二检测)已知命题p:方程x2+mx+1=0有实数根;命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,若命题p,q中有且仅有一个为真命题,求实数m的取值范围.【解题指南】解答本题可先根据命题p,q为真命题分别求出m的取值范围,然后分p真q假与p假q真两种情况分别求m的取值范围.【解析】方程x2+mx+1=0有实数根,所以Δ1=m2-4≥0,所以p:m≥2或m≤-2;方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,所以Δ2=16(m-2)2-16<0,所以q:1<m<3.①p真q假:所以所以m≥3或m≤-2.②p假q真:所以所以1<m<2,所以实数m的取值范围为1<m<2或m≥3或m≤-2.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·福州高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.0【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.【解析】选C.由ab≤得:a+b=1,则有ab≤,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab≤,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab≤但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.2.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是( )A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题【解题指南】若原命题的真假情况不易判断时,可通过判断其逆否命题的真假来确定原命题的真假,若要说明某一命题是假命题,只需举一反例即可.【解析】选A.原命题“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a,b都小于1,则a+b<2”,是真命题,故原命题为真;原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,是假命题,如a=3,b=-2,满足条件,可是结论不成立.3.(2014·上海高二检测)已知命题α:如果x<3,那么x<5;命题β:如果x≥3,那么x≥5;命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题A.①③B.②C.②③D.①②③【解析】选 A.根据逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确.4.(2013·咸阳高二检测)已知下列三个命题:①“若x2=4,则x=2”的逆命题;②“正方形是菱形”的否命题;③“若m>2,则不等式x2-2x+m>0的解集为R”.其中真命题的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.对①,逆命题正确.对②,否命题为:若一个四边形不是正方形,则这个四边形不是菱形,故不正确.对于③,Δ=4-4m,当m>2时,Δ<0,所以二次函数f(x)=x2-2x+m开口向上,与x轴无交点,所以x2-2x+m>0的解集为R,正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·新乡高二检测)给定下列命题:①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根;②“若a>b,则a+c>b+c”的否命题;③“菱形的对角线垂直”的逆命题.其中真命题的序号是.【解析】①因为Δ=4-4(-k)=4+4k>0,所以是真命题.②否命题:“若a≤b,则a+c≤b+c”是真命题.③逆命题:“对角线垂直的四边形是菱形”是假命题.答案:①②6.设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1≥0的解集是R;②函数f(x)=log m x是减函数(m>0且m≠1).如果这两个命题中有且只有一个真命题,则m的取值范围是.【解析】若①真,②假,则故m>1.若①假,②真,则无解.综上所述,m的取值范围是m>1.答案:m>1【举一反三】本题中若两命题均为真命题,则m的取值范围是.【解析】若①②均真,则故0<m<1.答案:0<m<1三、解答题(每小题12分,共24分)7.若方程x2+2px-q=0(p,q是实数)没有实数根,则p+q<.(1)判断上述命题的真假,并说明理由.(2)试写出上述命题的逆命题,并判断真假,说明理由.【解析】(1)上述命题是真命题.由题意,得方程的判别式Δ=4p2+4q<0,得q<-p2, 所以p+q<p-p2=-+≤,所以p+q<.(2)逆命题:如果p,q是实数,p+q<,则方程x2+2px-q=0没有实数根.逆命题是假命题,如当p=1,q=-1时,p+q<,但原方程有实数根x=-1.8.有甲、乙、丙三个人,命题p:“如果乙的年龄不是最大,那么甲的年龄最小”和命题q:“如果丙不是年龄最小,那么甲的年龄最大”都是真命题,则甲、乙、丙的年龄的大小能否确定?请说明理由.【解析】设甲、乙、丙三人的年龄分别为a,b,c,显然命题p和q的结论是矛盾的,因此应从它的逆否命题来看.由命题p可知,乙不是最大时,则甲最小.所以丙最大,即c>b>a,而它的逆否命题也为真.即“甲不是最小,则乙最大”,为真,即b>a>c,同理由命题q为真可得:a>c>b或b>a>c,又命题p与q均为真,可得b>a>c.故甲、乙、丙三人的年龄大小顺序是:乙大,甲次之,丙最小.。

武汉二中广雅中学九年级（下）数学周练（三）（命题人：张伟 张玉海 满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1．在－2，－1，0，3这四个数中，最小的数是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．32．函数y ＝2 x 中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＞2B ．x ≤2C ．x ≥2D ．x ＜23则这10名同学年龄的平均数和中位数分别是（ ）A ．13.5，13.5B ．13.5，13C ．13，13.5D ．13，144．下列运算正确的是（ ）A ．2a 2＋a ＝3a 2B ．(－a )2÷a ＝aC ．(－a )3·a 2＝－a 6D ．(2a 2)3＝6a 65．（2014•山西）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA ，OB ，∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．80°6．（2013•青岛）如图，△ABO 缩小变为△A′B′O′，其中A 、B 的对应点分别为A′、B′，A′、B′均在图中格点上，若线段AB 上有一点P (m ，n )，则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）A．(2m ，n ) B ．(m ，n ) C ．(2m ，2n )D ．(m ，2n ) C第5题图 第6题图 第7题图7．（2014•洪山区一模）如图，是由七个相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2014•南充）为积极响应武汉市创建“全国文明城市”的号召，武汉二中广雅中学九年级1500名学生参加了文明创建知识竞赛，成绩记为A 、B 、C 、D 四等．从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制成如图两幅不完整的统计图表，根据图表信息，以下说法不正确的是（ ）A ．样本容量是200B ．D 等所在扇形的圆心角为15°C ．样本中C 等所占百分比是10%D ．估计全校学生成绩为A 等大约有900人9．如图，n ＋1个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，设△B 2D 1C 1的面积为S 1，△B 3D 2C 2的面积为S 2，…，△B n +1D n C n 的面积为S n ，则S 5＝（ ）A ．354B ．365C ．358D ．335EP DC BA第9题图 第10题图 第13题图10．圆内接矩形ABCD 中，BC ＝8，AC ＝10，点P 是矩形的边BC 上一动点，连接AP ，点E 为AP 上一点，且AE ，AP 的长为一元二次方程21ax 2＋(a ＋1)x ＋18a ＝0(a ≠0)的两根，则线段CE 长度的最小值为（ ）A ．132B ．73C ．3132-D ．373-二、填空题（每小题3分，共18分）11．分解因式：x 2y －y ＝_______________．12．中国航母辽宁舰是中国人民韩剧第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，数67500用科学记数法可表示为______________．13．如图，太阳光线与地面夹角为60°，一电线杆AB 的高为10米，则其影长AC 为___米．14．（2014•遵义）如图，边长为2的正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的延长线于点F ，作△CPF 的外接圆⊙O ，连接BP 并延长交⊙O 于点E ，连接EF ，则EF 的长为______________．第14题图 第15题图 第16题图15．（2014•苏州）如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接P A ．设P A ＝x ，PB ＝y ，则y 关于x 的函数关系式是_______________．16．（2014•哈尔滨）如图，在△ABC 中，4AB ＝5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG ＝FD ，连接EG 交AC 于点H ，若点H 是AC 的中点，则FDAG 的值为__________． 三、解答题（共8小题，共72分）17．（本题满分8分）直线y ＝kx ＋4经过点A (1，5)，求关于x 的不等式kx ＋4≤0的解集．18．（本题满分8分）（2014•巴中）如图，在四边形ABCD 中，点H 是BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ，F ，连接BE ，CF ．（1）请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，并证明；（2）在问题（1）中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由．19．（本题满分8分）（2014•成都）创建全国文明城市“我知晓、我参与、我奉献”，在创建过程中，武汉二中广雅中学九年级学生中有20名志愿者参加了长春街社区的文明创建宣传工作，其中男生8人，女生12人．（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求宣到女生的概率；（2）若某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树形图或列表法说明理由．20．（本题满分8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt △ABC 的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为(－7，1)，点B的坐标为(－3，1)，点C 的坐标为(－3，3)．（1）若P (m ，n )为Rt △ABC 内一点，平移Rt △ABC 得到Rt △A 1B 1C 1，使点P (m ，n )移到点P 1(m ＋6，n )处，试在图中画出Rt △A 1B 1C 1，并直接写出点A 1的坐标为_______；（2）将原来的Rt △ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到Rt △A 2B 2C 2，试在图中画出Rt △A 2B 2C 2，并直接写出点A 到A 2运动路线长度为______________；（3）将Rt △A 1B 1C 1绕点P 旋转90°可以和Rt △A 2B 2C 2完全重合，请直接写出P 的坐标为___________________．21．（本题满分8分）（2014•泸州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AC 和BD 相交于点E ，且DC 2＝CE ·CA ．（1）求证：BC ＝CD ；（2）分别延长AB ，DC 交于点P ，过点A 作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ，若PB ＝OB ，CD ＝22，求DF 的长．22．（本题满分10分）（2014•青岛）武汉市某工艺品厂设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可以多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数关系；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该工艺品厂要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）23．（本题满分10分）（2014•湘潭）△ABC 为等边三角形，边长为a ，DF ⊥AB ，EF ⊥AC ．（1）求证：△BDF ∽△CEF ；（2）若a ＝4，设BF ＝m ，四边形ADFE 面积为S ，求出S 与m 之间的函数关系，并探究当m 为何值时，S 取最大值，并求出它的最大值；（3）已知tan ∠EDF ＝23，求线段AF 的长．备用图24．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k与直线y＝kx＋1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k＝1时，求A，B两点的坐标；（2）如图2，当k＝1时，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），交y轴于P点，过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于M、N两点，连接MP，NP，求证：MP⊥NP；（3）如图3，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D 的左侧），在直线y＝kx＋1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．图1图2图3。