二次函数复习学案

课题；二次函数（1）教学目标：1．理解并掌握二次函数的性质，能熟练运用图象性质解决简单的数学问题.2．学会灵活应用待定系数法求二次函数关系式,能正确确定抛物线的对称轴和顶点.3．能利用二次函数解决实际问题，如：最大利润问题、最大高度问题、最大面积问题等.会通过建立坐标系来解决实际问题.4．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，解决二次函数的综合应用.教学重、难点：重点：二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．】难点：二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题．教法与学法指导：本节课主要采用“解读考试要求----知识梳理----师生构建知识网络-----题组训练，夯实基础-----考点剖析----针对训练----回顾反思-----当堂检测----布置作业的课堂教学模式.在教学过程中，以学生总结为主，教师给予适当的指导.本节课我通过回顾知识点来巩固二次根式的主要内容，然后利用知识树,帮助学生梳理本章的内容，通过自主学习，小组合作及师生互动完成典型例题，揭示解题技巧,再通过变式训练得到发展和提高. 在整个复习过程中, 始终抓住中考这条主线, 从中考命题趋势分析入手,引导学生针对中考的热点问题复习回顾,让学生积极主动参与教学,真正体会到学习数学的成就感.课前准备：教师：导学案、课件.学生：课前完成学案：知识要点回顾，以及知识树的构建.教学过程：一、解读中考，弄清目标活动内容1：中考要求1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义.2．会运用描点法画出二次函数的图像，能从图像上认识二次函数的性质.3．会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并解决简单的实际问题.4．会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.5．知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.}处理方式：先让学生独立思考，再小组交流，师生互动，补充完善，达成共识．设计意图：让学生明确中考对本节知识点的要求，使学生在复习过程中把握复习的方向,明确复习的重点，掌握解题的方法与技巧．二、知识梳理，厚积薄发（多媒体展示，课前学案完成）活动内容1：导入新课导语：华罗庚教授说：读书要从薄到厚，又从厚到薄。

二次函数复习学案考题特点：《二次函数》在广州中考题所占分值较多。

题型有填空题、选择题、解答题。

主要考查内容有：函数的取值范围，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，简单函数图象的画法，求二次函数的顶点坐标及最大值与最小值，几何图形与二次函数的关系。

难题主要放在几何图形与函数的综合探索。

自主复习1.二次函数，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。

2.函数y=x2的图象叫线，它开口向，对称轴是，顶点坐标为 .3. 把二次函数配方成的形式为，它的图象是，开口向，顶点坐标是，对称轴是。

4.将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新抛物线的解析式为（）.A. B. C. D.5.二次函数，当时，。

此抛物线与x轴有个交点。

例题精讲例1.已知二次函数的图象如图所示，求其解析式。

例2.已知二次函数。

（1）填写下表，画出函数的图象；（2）根据图象说明：1.求方程的解；2.当x取何值时，y>0 ？3.当x取何值时，y<0 ？4.当x取何值时，y随x的增大而减少？例3.如图是抛物线形拱桥，当水面在AB时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水面下降1米，水面宽度增加多少？巩固提高1. 抛物线的顶点坐标是（）A. （0，1）B.（0，-1）C.（1,0）D.（-1,0）2．二次函数与x轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33.在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）4．下列图形中，阴影部分面积为1的是（）5.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是．6.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为．7.已知二次函数的图象如图所示，则点在第象限．8. 二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC（1）求C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值。

9.某旅行社团去外地旅游，30人起组团，每人收费800元，旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加1人，每人的收费就降低10元。

二次函数复习(一)知识点归纳：1．二次函数的定义：一般地，形如c b a c bx ax y ,,(2++=为常数，)0≠a 的函数，叫做二次函数．(其中x 是自变量，c b a ,,分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项)2．二次函数解析式的三种形式：一般式：)0(2≠++=a c bx ax y顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y3．)0(2≠++=a c bx ax y 图象的特征：（1）a 决定了抛物线的形状与大小：其中a 的正负决定其开口方向；||a 越大图象相对开口越小．（2 c b a ,,共同决定了抛物线在坐标系中的位置，其中顶点坐标为：)44,2(2ab ac a b --，对称轴为：直线ab x 2-=，图象在y 轴的截距为c ．4．待定系数法求二次函数解析式：（已知函数类型时，求函数解析式的方法）(二) 例题分析例1．考查二次函数的定义：（1）若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 ．（2）函数)1(x x y -=的二项式系数为 ；一次项系数为 ；常数项为 ．（3）已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2的图像经过原点，则m 的值是 ．例2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像特征：（1） 在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2例3 考查函数、方程、不等式之间的关系：（1）抛物线y=x 2+6x+8与y 轴交点坐标（ ）（A ）（0，8） （B ）（0，-8） （C ）（0，6） （D ）（-2，0）（（2）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠（a ）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（b ）写出不等式20ax bx c ++>的解集． （c ）写出y 随x 的增大而减小的自变量x的取值范围．（d ）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（3）．如图，是二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 和一次函数y 2＝mx ＋n 的图象，观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围______________．例4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的最值： （1）二次函数ｙ＝ｘ２＋ｘ－５取最小值是，自变量ｘ的值是（2）抛物线()y x =-+23212的顶点坐标是（ ）A. （2，1）B. （-21，）C. 231，⎛⎝ ⎫⎭⎪D. -⎛⎝ ⎫⎭⎪231， （3） 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与接受概念所用时间x （单位：min ）之间满足()y x x x =-++≤≤0126430302..．y 值越大，表示接受能力越强．①x 在什么范围内时，学生的接受能力逐渐增强？x 在什么范围内时，学生的接受能力逐渐降低？②第10 min 时，学生的接受能力是多少？③第几分钟时，学生的接受能力最强？例5．考查用待定系数法求二次函数的解析式：（1）已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝53，求这条抛物线的解析式。

二次函数复习学案◆复习要求1．二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、抛物线平移以及增减性．2．求抛物线解析式的三种常用方法，并会灵活运用3．利用抛物线性质解决与之有关的生活实际问题．4．能解决抛物线与直线、相似三角形、圆等综合性问题．◆典型例题【例1】（1）抛物线y=－3+（x+1）2的顶点坐标是______，对称轴是_____，当x______时，y•随x的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．（2）已知函数y=（m+1）x2m m 是二次函数，且图象的开口向下，则m=______，当x_____时，y随x的增大而增大；当x_____时，y随x的增大而减小．（3）要用长20m的铁栏杆，一面靠墙（墙的长度是15m），围成一个矩形的花圃，如果设垂直于墙的一边长为x（m），矩形的面积为y（m2），则y与x的关系式为_______，x•的取值X围是_______，当x_______时，y有最大值．（4）已知抛物线y=x2－2x+k－1，当k_____时，抛物线与x轴只有一个交点；当k_____时，抛物线与x轴有两个交点；当k______时，抛物线与x轴无交点．（5）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a+b，a+b+c，a－b+c，4a－2b+c这些代数式中，值为正的有（）．A．5个B．4个C．3个D．2个（6）已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它们在同一坐标系中的大致图象是（）．【例2】（1）如图，抛物线的图象经过A、B、C三点，求此抛物线的解析式、顶点坐标、对称轴，并讨论它们的增减性.（2）已知抛物线经过A（－1，0），B（3，0）和C（0，－3），求此抛物线解析式．（3）已知抛物线经过点（0，1），且顶点是（－1，2），求此抛物线的解析式．【例3】如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰好是水面中心，OA=，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？（2）若水池喷出的水流线形状与（1）相同，水池的半径为，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少米？（精确到）◆课堂作业1、如图，点A（－1，0），B（4，0）在x轴上，以AB为直径的半圆P交y轴于点C．（1）求经过A、B、C3点的抛物线的解析式；（2）设AC的垂直平分线交OC于D，连结AD并延长半圆P于点E，AC与EC相等吗？证明你的结论；（3）设点M为x轴负半轴上一点，OM=12AE，是否存在过点M的直线，使该直线与（1）中的抛物线的两个交点到y轴的距离相等？若存在，求这条直线的解析式；若不存在，请说明理由．2、如图，已知：m、n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=－x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC•把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．◆课后巩固（一）1．抛物线y=13（x－2）2－3与x轴的交点坐标是_______．2．已知一个二次函数的图象开口向下，且与y轴的负半轴相交，请写出一个满足条件的二次函数的解析式____________．3．某二次函数满足下列表格中的x，y的值：x …－2 －1 0 1 2 3 …y …9 4 1 0 1 4 …则该二次函数的解析式为_________，对称轴是_________，顶点坐标是_______．4．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论中：①abc>0；②b=2a；③a+b+c<0；④a－b+c>0；⑤4a+2b+c<0．正确的个数是（）．A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，将抛物线y=ax2+bx+c沿x轴翻转到虚线位置，那么所得到的抛物线的解析式为（）．A．y=－ax2+bx+c B．y=－ax2－bx+cC．y=－ax2－bx－c D．y=－ax2+bx－c6．已知抛物线y=3x2－2x+a与x轴有交点，则a的取值X围是（）．A．a<13B．a≤13C．a≤－13D．a≥137．已知抛物线y=12x2+x－52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．8．如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6m，宽度OM为12m，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求脚手架三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．◆课后巩固（二）1．已知二次函数y=12x2+bx+c的图象经过点A（c，－2），对称轴是直线x=3，则其解析式为________．2．抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图象如图1所示，那么该抛物线在y•轴的右侧与x轴的交点的坐标是________．3．已知：二次函数的图象过点（0，3），图象向右平移3个单位后的对称轴是y轴，向下平移2个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为________．4．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点P的横坐标是4，图象与x轴交于点A（m，0）和点B，且m>4，那么AB的长为（）．A．8－2m B．2m－8 C．m+4 D．m5．已知二次函数y=－2x2+2kx－3的顶点在x轴的负半轴上，则k的值等于（）．A．6 B．－6 C．6D．－66．如图是抛物线形拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46m，水位上升3m就达到警戒水位线CD，这时水面宽4m3，若洪水到来时，水位以每小时的速度匀速上升，则水过警戒线后淹到拱桥顶部的时间是（）．A．10h B．9h C．12h D．8h7．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x （月）之间的关系（即前x个月的利润和y与x的关系）．（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与时间x（月）的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？8．如图，抛物线y=－32－2333x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D．（1）求点A、B、C的坐标；（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC．①求E的坐标；②试判断四边形AEBC的形状，并说明理由；（3）试探求：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．◆典型例题参考答案【例1】解：（1）（－13）；直线x=－1；x>－1；x<－1；（2）m=－2；x<0；x>0．（3）y=－2x2+20x，52≤x≤10，x=5；（4）将方程组2210()y x x ky x⎧=-+-⎨=⎩轴消y后得x2－2x+k－1=0，∴△=8－4k．当△=0时，k=2；当△>0时，k<2；当△<0时，k>2．（5）数形结合，x=－1时，y>0；x=1时，y<0；x=－2时，y>0，a>0，－2b a>0，c<0，△=b 2－4ac>0，∴选A ．（6）两个函数的常数项相同，应交在y 轴同一点，∴排除A ，C ，D 中a ，c 异号，△>0，抛物线与x 轴应有两个交点，∴排除D ，∴选B ．【例2】解：（1）设y=ax 2+bx+c ，再将A （－1，0），B （0，－3），C （4，5）代入可求得a=1，b=－2，c=－3．∴y=x 2－2x －3，即y=（x －1）2－4．∴顶点（1，－4），对称轴是直线x=1，当x<1时，y 随x 的增大而减小；当x>1时，y 随x 的增大而增大．（2）∵A （－1，0），B （3，0）在x 轴上，∴设y=a （x+1）（x －3），再将C （0，－3）代入得a=1，y=（x+1）（x －3），即y=x 2－2x －3．（3）∵抛物线的顶点是（－1，2），∴设解析式为y=a （x+1）2+2，再将（0，1）代入得a=－1，∴y=－（x+1）+2，即y=－x 2－2x+1．【例3】解：（1）以柱子OA 所在直线为y 轴，过点O 的水平面线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，由题意可知右侧抛物线过点A （0，），顶点（1，）．∴设解析式为y=a （x －1）2，∴，a=－1，∴抛物线解析式为y=－（x －1）2，即y=－x 2．要求水池的半径，就是求当y=0时，点C的横坐标．∴－（x－1）2+2.25=0．∴，（不合题意，舍去）．即半径至少要．（2）∵形状与（1）相同，∴a=－1设最高点坐标为（m，k），解析式为y=－（x－m）2+k，由题意可得点（0，）和点（，0）在抛物线上．∴m=117，，即最高应达到．◆课堂作业参考答案1、解：（1）连结BC，由△AOC∽△BOC，得OC2=OA·OB=4，∴OC=2，∴点C坐标（0，2）．∵A（－1，0），B（4，0）在x轴上，∴设解析式y=a（x+1）（x－4），将C（0，2）代入，得a=－12，∴y=－12x2+32x+2．（2）AC=CE．理由：易证∠ACD=∠CBA，∠ACD=∠CAE，∴∠CAE=∠ABC AC=EC．（3）不存在符合条件的直线．理由：连结BE．设AD=x，则OD=OC－CD=2－x，由x2=12+（2－x）2，得x=54，即AD=54．由△AOD∽△AEB，得OA ADAE AB=14，∴AE=4，OM=12AE=2，∴M（－2，0）．设过M点的直线解析式为y=kx+b．∴0=－2k+b ，∴b=2k ，∴y=kx+2k ．① 由2213222y kx k y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩消y ， 得12x 2+（k －32）x+2k －2=0．② 由题意得方程②的两个根互为相反数，∴k=32，但这时方程②无实根， ∴不存在符合要求的直线． 2、解：（1）解方程x 2－6x+5=0，得x 1=5，x 2=1．由m<n ，有m=1，n=5．所以点A 、B 的坐标分别为A （1，0），B （0，5）．将A （1，0），B （0，5）的坐标分别代入y=－x 2+bx+c ，得105.b c c -++=⎧⎧⎨⎨=⎩⎩b =-4解这个方程组,得c =5.． 所以抛物线的解析式为y=－x 2－4x+5．（2）由y=－x 2－4x+5，令y=0，得－x 2－4x+5=0，解这个方程，得x 1=－5，x 2=1．所以C 点的坐标为（－5，0），由顶点坐标公式计算，得点D （－2，9），过D 作x 轴的垂线交x 轴于M ．则S △DMC =12×9×（5－2）=272，S 梯形MDBO =12×2×（9+5）=14． S △BOC =12×5×5=252． 所以S △BCD =S 梯形MDBO +S △DMC －S △BOC =14+272－252=15． （3）设P 点的坐标为（a ，0），因为线段BC 过B 、C 两点，所以BC 所在的直线方程y=x+5．那么，PH 与直线BC 的交点坐标为E （a ，a+5），PH 与抛物线y=－x 2－4x+5•的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）．由题意，得①EH=32EP，即（－a2－4a+5）－（a+5）=32（a+5）．解这个方程，得a=－32或a=－5（舍去）．②EH=23EP，得（－a2－4a+5）－（a+5）=23（a+5）．解这个方程，得a=－23或a=－5（舍去）．P点的坐标为（－32，0）或（－23，0）．◆课后巩固（一）参考答案1．（5，0），（－1，0）2．如：y=－x2+3x－4 3．y=x2－2x+1 对称轴是直线x=1，顶点（1，0）4．A 5．C 6．B7．（1）y=12（x+1）2－3 顶点（－1，－3）对称轴是直线x=－1（2）设A（x1，0），B（x2，0），∴x1+x2=－2，x1x2=－5，∴│x1－x2│2=（x1+x2）2－4x1x2=24，│x1－x28.（1）M（12，0），P（6，6）（2）y=－16x2+2x（3）A（m，－16m2+2m），OB=m，AB=DC=－16m2+2m，AD=BC=12－2m，∴L=AB+AD+DC=－13（m－3）2+15，当m=3时，即OB=3m时，L的最大值为15m．◆课后巩固（二）参考答案1．y=12x2－3x+2 2．（1，0）3．y=19x2+23x+3 4．B 5．D 6．C7．（1）y=12x2－2x （2）10月末（3）万元8．（1）A（－3，0），B（1，0），C（0）（2）①E（－2）②AEBC是矩形∵AEBC 是平行四边形，且∠ACB=90° （3）存在，D （－1）A 点关于BC 的对称点A′，直线A′D ：y=6x+2，直线BC ：y=交点P （－37，7）．。

九年级数学集体备课教案中心备课者：黄新总第4课时二次函数专题复习学案（4）一、典型例题讲评例1、点O 是坐标原点，点A (n ，0)是x 轴上一动点(n ＜0)。

以AO 为一边作矩形AOBC ，使OB =2OA ,点C 在第二象限。

将矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90°得矩形AGDE 。

过点A 得直线y =kx +m (k ≠0)交y 轴于点F ，FB =F A 。

抛物线y =ax 2+bx +c 过点E 、F 、G 的垂线，垂足为点M 。

（1）求k 的值；（2）点A 位置改变使，△AMH 的面积和矩形AOBC二、课堂练习2、如图1，点A 是直线y ＝kx （k ＞0，且k 为常数）上一动点，以A 为顶点的抛物线y ＝(x －h)2＋m 交直线y ＝x 于另一点E ，交 y 轴于点F ，抛物线的对称轴交x 轴于点B ，交直线EF 于点C .（点A,E,F 两两不重合）(1)请写出h 与m 之间的关系；（用含的k 式子表示）(2)当点A 运动到使EF 与x 轴平行时(如图2)，求线段AC 与OF 的比值； (3)当点A 运动到使点F 的位置最低时(如图3)，求线段AC 与三、课后作业3、已知：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． 其中点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA 、OC 的长（OA<OC ）是方程x 2-5x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1． （1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的解析式；（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连结CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．4、如图1，已知：抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点C ，经过B C 、两点的直线是122y x =-，连结AC ．（1）B C 、两点坐标分别为B （_____，_____）、C （_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；（2）判断ABC △的形状，并说明理由；（3）若ABC △内部能否截出面积最大的矩形DEFC （顶点D E F 、、、G 在ABC △各边上）？若能，求出在AB 边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．[抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪]图1图2(备用)。

第18课时 二次函数一、 复习目标1、 识记二次函数的一般形式和顶点式，并能用待定系数法求它的解析式。

2、 掌握二次函数的图像和性质。

二、 重点、难点重点：⑴用待定系数法求二次函数的解析式；⑵用配方法求二次函数的最值。

难点：深入理解二次函数图像的特征。

三、 复习过程 ㈠知识梳理1、 二次函数的解析式⑴一般形式： 。

⑵顶点式： 。

2、 二次函数的图像与性质二次函数k h x a y +-=2)(的图像是 ，它的对称轴是直线 ，顶点坐标是 当0>a 时，抛物线开口 ，函数在=x 时，达到最 值 ；当0<a 时，抛物线开口 ，函数在=x 时，达到最 值 。

3、 二次函数与一元二次方程的联系 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴是否有交点取决于一元二次方程02=++c bx ax是否有实数根。

⑴当ac b 42- 时，一元二次方程02=++c bx ax有两个不相等的实数根（21x x ≠），抛物线就与x 轴有两个不同的交点，其坐标是（ ）和（ ）。

反之亦然。

⑵当ac b 42- 时，一元二次方程02=++c bx ax有两个相等的实数根（ 21x x = ），抛物线就与x 轴只有一个交点，其坐标是（ ），这一点就是抛物线的顶点。

反之亦然。

⑶当ac b 42- 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线就与x 轴没有交点。

反之亦然.㈡问题导学2、已知抛物线的顶点是（1，-4），且经过点（0，-3），则这条抛物线的解析式是 。

(第2题)3、抛物线322--=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 4、二次函数322-+-=x x y 的最大值是 。

5、将抛物线22(1)3y x =+-向右平移1个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为 ． ㈢合作探究例1 求满足下列条件的二次函数的解析式 ⑴图像经过A （-1,3）、B （1,3）、C （2,6）三点； ⑵图像经过A （-1,0）、B （3,0），函数有最大值8； ⑶图像顶点坐标是（-1,9），与x 轴两交点的距离是6.㈣达标检测1．抛物线()412--=x y 的顶点坐标是( )A ．（1,4）B ．（1.-4）C ．（-1，4）D ．(-1,-4)2、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，当0>y 时，x 的取值范围是（ ） A ．14<<-x B ．4-<x 或1>x C ．13<<-x D ．3-<x 或1>x3、抛物线的对称轴是直线2=x ，与x 轴的两个交点的 距离是8，则这两个交点的坐标是 。

函数一轮复习学案八（二次函数）一、知识梳理1.二次函数的解析式2．二次函数的图象与性质3．二次函数图像的对称轴通常有以下三种求法：(1)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝－b2a. (2)若二次函数f (x )对任意x 1，x 2∈R 都有f (x 1)＝f (x 2)，则对称轴为x ＝x 1＋x 22.(3)若二次函数y＝f(x)对定义域内所有x都有f(a＋x)＝f(a－x)，则对称轴为x＝a(a为常数)．4．二次函数最值的类型及解法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系实行分类讨论；(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．二、典型例题考点一求二次函数解析式例1设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)且图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为求f(x)的解析式.例2已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．考点二二次函数在某个闭区间上的最值例3 已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．例4函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1] (t∈R)上的最大值为g(t)．(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最大值．考点三二次函数图象与性质的应用例5已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)当a=-2时,求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数；(3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.例6 已知函数f(x)＝x|x－2|.(1)写出f(x)的单调区间；(2)解不等式f(x)＜3；(3)设0＜a≤2，求f(x)在[0，a]上的最大值．考点四：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题例7设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0,求实数a的取值范围.例8若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．二次函数反馈练习一命题人：徐相炳 做题人：程云一、填空题.1、若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝______．2、设函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是________．3、已知二次函数f(x)=ax 2+bx+1的值域为［0，+∞）且f(-1)=0,则a =________，b =________.4、若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a 、b ∈R)是偶函数，且它的值域为(-∞,4]，则该函数的解析式f(x)=__________.5、若二次函数)(x f y =满足)3()3(x f x f -=+，则方程0)(=x f 的两根和为_________.6、若函数y=x 2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-254,-4],则m 的取值范围为_________.7、已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________．8、已知函数()f x 是二次函数，不等式()0f x >的解集是(0,4)，且()f x 在区间[1,5]-上的最大值是12，则()f x 的解析式为 ．9、函数)2()1()(22-+-+=a x a x x f 的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围为 .10、已知f （x ）=m （x-2m ）（x ＋m ＋3），g （x ）=2x-2。

二次函数复习学案（1）班级姓名等级【考点透视】1、理解二次函数的概念；2、会化二次函数的一般式为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3、会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(x-h)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4、会用待定系数法求二次函数的解析式（一般式、顶点式、交点式）；5、利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和一元二次不等式之间的联系。

【知识梳理】1.二次函数的图象：在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+ )2+ 的形式,先确定顶点( , ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.2.理解二次函数的性质：我们通常从以下5个方面来理解二次函数的性质，并利用性质解决问题：1、开口方向：由a决定；2、顶点坐标( , )；3、对称轴: ；4、极值: ；5函数增减性: 3.利用待定系数法确定二次函数解析式：(1)一般地,所给条件是抛物线上任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设一般式为：y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解，这是通用的，也是最复杂的方法；(2)若已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设顶点式为：y=a(x-h)2+k，顶点是（h，k），这是简便方法;(3)若已知抛物线与x•轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴或已知一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,都可设交点式为：y=a(x-x1)(x-x2)来求解，简便方法.4.二次函数与一元二次方程的关系：抛物线y=ax2+bx+c,当y=0时转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即(1)当抛物线与x轴有两个交点时==＞方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根==＞⊿ 0，反之，也成立；(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点==＞方程ax2+bx+c=0有两个相等实根==＞⊿ 0，反之，也成立；（3）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点==＞•方程ax2+bx+c=0有实根==＞⊿ 0，反之，也成立；（4）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点==＞•方程ax2+bx+c=0无实根==＞⊿ 0，反之，也成立；5.二次函数与一元二次不等式的关系：利用二次函数的图象可以解一元二次不等式：1、求一元二次方程ax2+bx+c=0的根；2、利用抛物线与x轴的交点和a 的取值画出二次函数y=ax 2+bx+c 的大致图象；2、结合函数图形解一元二次不等式。

文科数学一轮复习学案16 二次函数一、考试要点：1.掌握二次函数的概念、图象及性质；2.能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．二、知识梳理：1．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)；(3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2．二次函数的图象和性质三、课前热身1. （2010四川）函数2()1f x x mx =++的图象关于直线1x =对称的充要条件是 （ ）A ．2m =-B ．2m =C ．1m =-D ．1m =2. (2012·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．3. 函数2(2)3,[,]y x a x x a b =+++∈的图象关于直线1x =对称，则________a b ==四、考点分析考点一 求二次函数的解析式例题1：若二次函数0,)(2≠++=a c bx ax x f 满足1)0(,2)()1(==-+f x x f x f 。

（1） 求函数f(x)的解析式。

（2）在区间]1,1[-上有m x x f +>2)(恒成立，求实数m 的取值范围。

考点二 二次函数的图象与性质例2：(2013·盐城模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．变式训练2：函数2()42f x x ax =++在区间(,6)-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.3≥aB.3≤aC.3-≥aD.3-≤a五、课堂练习1. 若函数2()(2)(1)3f x a x a x =-+-+满足()()f x f x =-,则函数的单调减区间是A.(,0]-∞B.[0,)+∞C.(,1]-∞D.[1,)+∞2. 函数2()23,[2,2)f x x x x =++∈-，下列说法正确的是 （ ）A.函数有最大值11，有最小值2B.函数有最大值11，有最小值3C.函数无最大值，有最小值3D.函数无最大值，有最小值23.已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2或a ≥3B ．2≤a ≤3C ．a ≤－3或a ≥－2D ．－3≤a ≤－2 4. 若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.03≥-≤m m 或B.03≤≤-mC.3-≥mD.3-≤m六、能力提升5.如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都又有)2()2(t f t f -=+，那么（ ）A.)4()1()2(f f f <<B.)4()2()1(f f f <<C.)1()4()2(f f f <<D.)1()2()4(f f f <<重点班：(2013·广东联考)已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R (R 为实数集)，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个零点．求实数a 的取值范围．。

人教版九年级数学上册第22章二次函数《复习课》导学案第二十二章复课1.知道二次函数的概念、图象和性质,能根据解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数的增减性.2.知道抛物线与对应的一元二次方程的关系,会用待定系数法求二次函数的解析式.3.能够运用二次函数解决一些实际问题,从中体会数学建模思想.4.重点:二次函数解析式的求法,二次函数的图象、性质和应用.◆体系构建◆核心梳理1.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程的关系:(1)当b2-4ac>时,抛物线与x轴有2个交点,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解;(2)当b2-4ac=时,抛物线与x轴有1个交点,对应的一元二次方程有两个相等的实数解;(3)当b2-4ac<时,抛物线与x轴无交点,对应的一元二次方程无实数解.3.填表:特征函数启齿偏向对称轴极点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)最值最小值最大值最小值k最大值k最小值最大值最小值k最大值k最小值y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k a>时启齿向上a<时开口向下a>时开口向上a<时启齿向下a>时启齿向上a<时启齿向下a>时开口向上a<时开口向下a>时启齿向上y轴y轴x=hx=hy=ax2+bx+ca<时开口向下x=-(-,)最大值专题一:二次函数的概念、图象和性质1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个代数式中,值为正数的有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个2.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象可能是(C)3.如图,已知二次函数y 1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于A(-2,4),B(8,2),则能使y1>y2成立的x的取值范围是x<-2或x>8.【方法归纳交流】根据抛物线的开口方向判断a的正负;根据抛物线与y轴的交点判断c的值;若抛物线的对称轴在y 轴左侧,则a与b同号,若抛物线的对称轴在y轴右侧,则a与b异号;根据抛物线与x轴交点的个数判断b2-4ac的符号.专题二:求抛物线的顶点和对称轴4.求抛物线y=x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标.(用两种方法)解:(1)y=(x2-8x+10)=[(x2-8x+16)-16+10]=(x-4)2-3,所以抛物线的开口向上,对称轴是x=4,顶点坐标是(4,-3).(2)对称轴:x=-=4,y最小==-3,顶点坐标为(4,-3).【方法归纳交流】求抛物线的顶点和对称轴一般有两种方法:配方法和公式法.专题三:抛物线的平移5.申明抛物线y=-3x2-6x+8通过如何的平移,可获得抛物线y=-3x2.解:配方:y=-3x2-6x+8=-3(x2+2x-)=-3[(x2+2x+1)-1-]=-3(x+1)2+11,∴抛物线的顶点坐标是(-1,11),∴把抛物线y=-3x2-6x+8先向右平移1个单位长度,再向下平移11个单位长度得到y=-3x2.6.如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A、B,且过点C(5,4).(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标;(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的解析式.解:(1)把C(5,4)代入y=ax2-5ax+4a,得25a-25a+4a=4。