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6.1 非线性系统的举例●在粘性阻尼条件下，系统的运动微分方程为线性二阶常微分方程⏹线性振动理论能表征很多实际问题⏹对于不能用常系数线性微分方程来描述的物理系统，需要讨论非线性微分方程●忽略质量变化，单自由度系统的运动方程的一般形式可以写为⏹带有非线性特征的系统称为非线性系统，其运动称为非线性振动或者非线性响应⏹叠加原理不适用于非线性系统⏹通常，非线性振动不是简谐的，其频率随振幅改变非线性现象的一个重要类型是弹性恢复力与变形不成比例硬化弹簧软化弹簧32014/11/14质量附在长度为的拉直的弦AB 的中部，弦的初始张力用表示。
令质量在弦的横向上离开平衡位置的距离为，弦中产生的弹性恢复力如图(b )所示该系统自由振动方程：对称硬化弹簧的例子2014/11/144由几何关系代入运动方程显然这是一个非线性方程如果认为是小振动，有，因此52014/11/14●单摆，重，长度。
单摆离开竖直位置的夹角为, 单摆关于轴的回复力矩为，绕轴的转动方程为●代入质量的惯性矩, 有●小振幅情况为简谐振动，●振幅较大，对称软化弹簧的例子2014/11/14 6对比两种情况的非线性方程72014/11/14硬化情形分段线性化恢复力2014/11/148软化情形92014/11/14●如果动力荷载使结构或机器部件变形时超出了材料弹性范围，造成的运动称为非弹性响应●一建筑的二维矩形钢框架，受横向力作用于屋顶。
如果柱的弯曲刚度小于梁的弯曲刚度，随着荷载无限增加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。
102014/11/14●对应的载荷-位移曲线●实验表明，最大的正力和最大的负力在数值上是相等的●滞后回线关于原点对称2014/11/1411线性软化弹性卸载反向加载弹性卸载●曲线部分常常用直线代替，用以模拟真实的材料行为●双线性非弹性恢复力2014/11/1412双线性●理想弹塑性恢复力●滞后回线表示的能量耗散在这里被假定通过塑性铰损失掉，结构的其余部分依然保持能量守恒●这种能量耗散机制称为滞后阻尼2014/11/1413刚塑形带有摩擦抗力的单自由度系统及其滞后回线142014/11/14●下图两个问题在数学上是相同的⏹前者是属于刚塑形恢复力的情况，弹性变形与塑形范围相比很小⏹后者是没有弹簧的质量在摩擦力的阻滞下运动⏹除粘性阻尼外，其它类型的耗散机制均导致非线性⏹通常，假定质量、阻尼和刚度特征不随位移、速度和加速度而改变。
梁横向振动的近似解法弹性体的固有振动有两种提法，一种是微分方程的特征值问题，另一种是泛函的驻值问题。
从精确解得角度看，两者完全等价，从近似解得角度看，求泛函驻值问题比求微分方程的近似解容易。
精确解法主要是分离变量法，此处略去不谈。
一方程的建立假设：梁的各截面中心主惯性轴在同一平面，外载也在同一平面，梁在该平面内的横向振动引起弯曲变形，低频振动时可以忽略剪切变形及截面绕中性轴转动惯量的影响。
∂2∂x 2 EJ ∂2y ∂x 2 +ρA ∂2y ∂t 2=p x,t −∂∂xm x,t (1) p(x,t),m(x,t)分别为单位长度梁上分布的外力和外力矩。
假设：y(x,t)=Y(x)bsin(ωt +ϕ)代入(1)式的齐次形式，有：(EJY ′′)′′−ω2ρAY =0 (2)上式改写成：(EJY ′′i )′′=ω2ρAY i上式两边同时乘以Y i 并在全梁上积分，i ，j 互换得到两个式子并相减等于0可以得到主振型的关于质量和刚度正交性，并且可以得到相应的频率p378。
固有频率的变分式命题：这个式子与边界条件的组合所确定的特征值ω2及相应的特征函数Y(x) 等价于下列泛函所取驻值及相应的自变函数，该自变函数满足位移边界条件P389。
ω2=st EJ(Y ′′)2dx l 0ρAY 2dx l 0 (3)证明：1，(3)式各驻值及相应的函数Y(x)是(2)式的的特征值和特征函数。
驻值时，一阶变分等于0，δ(ω2)=0展开后，得到三个item 相加得0：EJY ′′ ′′−ω2ρAY δYdx − EJY ′′ ′l0δY ︱0l +EJY ′′δY ‘︱0l=0 (∗) 由δY 的任意性，第一个item 等于0，可以得到(2)式，由第二、三项可以得到Y(x)的边界条件。
2，(3)式加(2)式后反过来可以得到δ(ω2)=0。
从而证明泛函的驻值问题与微分方程的特征值问题完全等价。
另外，可以由泛函(3)证明主振型的正交性。
非线性振动的研究对象、方法及发展简史在自然界、工程技术、日常生活和社会生活中，普遍存在着物体的往复运动或状态的循环变化，这类现象称为振荡。
例如大海的波涛起伏、花的日开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和萧条等形形色色的现象，都具有明显的振荡特性。
振动是一种特殊的振荡，即平衡位置附近微小或有限的振荡。
如声波和超声波、工程技术中的机器和结构物的机械振动、无线电和光学中的电磁振荡等。
从最小的初等粒子到巨大的天体，从简单的摆到复杂的生物体，无处不存在振动现象。
有时人们力图防止或减小振动，有时又力图制造和利用振动。
尽管振动现象的形式多种多样，但有着共同的客观规律和统一的数学表达形式。
因此有可能建立统一的理论来进行研究，即振动力学。
振动力学是力学、声学、无线电电子学、自动控制理论等学科，以及机械、航空、土木、水利等工程学科的理论基础之一。
它应用数学分析、实验量测和数值计算等方法，探讨振动现象的机理和基本规律，为解决与振动有关的实际问题提供理论依据。
根据描述振动的数学模型的不同，振动理论区分为线性振动理论和非线性振动理论。
线性振动理论适用于线性系统，即质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统，其数学描述为线性常系数常微分方程；不能简化为线性系统的系统为非线性系统，研究非线性系统的振动理论就是非线性振动理论。
线性振动理论是对振动现象的近似描述，在振幅足够小的大多数情况下，线性振动理论可以足够准确地反映振动的客观规律。
频率、振幅、相位、激励、响应、模态等，都是在线性理论中建立起来的基本概念。
实际机械系统中广泛存在着各种非线性因素，如电场力、磁场力、万有引力等作用力非线性，法向加速度、哥氏加速度等运动学非线性，非线性本构关系等材料非线性，弹性大变形等几何非线性等。
因此，工程实际中的振动系统绝大多数都是非线性系统。
由于非线性微分方程尚无普遍有效的精确求解方法，而线性常微分方程的数学理论已十分完善，因此将非线性系统以线性系统代替是工程中常用的有效方法，但仅限于一定的范围。
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线性振动理论和振动近似解法简略史
摘要：读史使人明智，本文意在对线性振动理论和工程振动近似解法的发展做简要明了
的阐述，其中线性振动理论史以科学家对具体模型的解答为路线，依次阐述：单摆、弦线、
梁、膜、板壳、三维弹性体理论、激励响应和强迫振动理论。工程近似解法以时间为顺序依
次阐述各近似解法，依次简要阐述：邓克莱法、逐步近似法、阵型叠加法，传递矩阵法、瑞
立法、里茨法、有限元法。部分近似解法做了较为详细的解释。
关键词 线性振动 近似解法 简略史
1 线性振动理论
1.1单摆
单摆是最早引起人们注意的振动之一，真正对单摆的研究要追溯到16世纪，早在1581
年，伽利略发现了摆的等时性，之后科学家对单摆的研究主要就是计算摆的周期，当然也包
括伽利略本人。伽利略在1638年用落体公式推得摆动周期正比于摆长与重力加速度比的平方
根,还从能量的角度讨论摆的周期，但始终没得到正确的比例系数。结束摆周期的计算是在17
世纪中后叶，惠更斯利用几何方法，得到摆振动周期的正确公式。1678年牛顿在其划时代的
《自然哲学的数学原理》中建立运动变化与受力的关系，使振动问题的动力学研究成为可能 ,
假设了介质阻力与速度及速度平方成正比,形成阻尼概念的雏形，在1728年欧拉考察了摆在
有阻尼介质中的运动建立并求解了相应的二阶常微分方程，至此单摆在无阻尼和有阻尼的条
件下的周期计算基本结束，后期对摆的研究主要集中在摆的大幅振动和其具有的非线性特征。
图一 单摆周期的发现及求解简略图
1638年 伽利略 摆动周期正比于摆长与
重力加速度比的平方根，即：
l
Tkg
1673年 伽利略 利用几何方法得到单摆振动周期的正确公式
近似解：2lTg
准确解：
T4l/g*Ksin/2
1728年 欧拉 建立并求解了摆在有阻尼
介质中的运动相应的二阶常微分方程
1581年 伽利略 单摆等时性
2
1.2弦线
在振动力学研究兴起之前,有两个典型的振动问题引起注意,一个是单摆摆动，另一个就是
弦线振动。弦线振动是无穷多自由度连续系统的振动,单摆摆动是单自由度离散系统的振动,
振幅不大时都可认为是线性的。单摆振动比较简单,对后来线性振动的发展影响不大,弦线振动
则成为18世纪振动力学研究的中心问题之一。
人们对于弦的定性定量的认识要追溯到公元前6世纪的古希腊数学家、哲学家毕达哥拉
斯，他曾证明用三条弦发出某一个乐音，以及它的第五度音和第八度音时，这三条弦的长度之
比为6:4:3。战国时期的古人已定量地总结出弦线发音与长度的关系,将基音弦长分为三等份,
减去或增加一份可确定相隔五度音程的各个音。
对弦的研究主要集中在振动频率的计算和求解振动方程，17世纪法国著名的数学家
马林·梅森曾用实验方法测定弦振动频率以此推断出密度和张力相同且发出谐音的短弦频
率，1638年伽利略明确弦线振动频率与其长度、密度和张力的关系。弦线振动理论的建立在
18世纪，1727年约翰·贝努利将弦质量集中在等距离分布的点上，建立无阻尼自由振动系统
模型并解出解析解。1746年达朗贝尔考虑弦线位移随时间和弦上位置的变化导出描述弦线振
动的波动方程并求出行波解。1753年丹尼尔·伯努利用无穷多个振动模态的叠加得到弦线振动
的驻波解。法国力学家、数学家拉格朗日在1759年从驻波解出发推导出行波解,从而在物理
上充分理解了均匀弦线的振动规律。1762年欧拉和1763年达朗贝尔分别研究了非均匀弦线和
重弦线的振动，之后其他连续体的振动问题也相继提出。
图二 弦线振动问题的发展简略图
1638年 伽利略 弦线振动频率与其长度、密度和张力的关系
1636年 梅森 实验法测定弦振动频率
1727年 约翰·贝努利 无阻尼自由振动系统模型并解出解析解.
1753年 丹尼尔·伯努利 弦线振动的驻波解
1759年 拉格朗日 驻波解出发推导出行波解,从而在物理上充
分理解了均匀弦线的振动规律
1746年 达朗贝尔 导出描述弦线振动的波动方程并求出行波解.
1762年 欧拉 非均匀弦线振动
1763年 达朗贝尔 重弦线的振动
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1.3梁
在数学家和力学家解决了单摆和弦线振动后开始着手更为复杂的振动问题，研究主要集
中在梁、膜、板壳和圆柱，并在此研究上得出三维弹性体理论、激励响应和强迫振动理论。
早在17世纪中叶欧拉就研究导出了梁的自由、铰支和固定三类边界条件下梁横向振动的
振形函数与频率方程,然而他却忽略了截面转动和剪切变形的影响，直到19世纪末和20世纪
初才分别由瑞利和铁摩辛柯加以补充修正。集中质量梁和离散化的连续梁在20世纪初被相继
解出。
1.4膜
1759年欧拉将膜视为两组互相正交的弦而解决了矩形膜的振动问题,但处理圆形膜的尝
试未能成功,直到1829年泊松才完全解决了膜振动问题。1868年Mathieu在研究椭圆薄膜振
动时涉及以余弦函数为系数的常微分方程，至今一些对椭圆膜振动的研究主要在几何非线性、
非线性惯性和阻尼效应条件下的Mathieu方程的求解。
1.5板壳
早期对板壳的研究，主要是对部分模型建立和求解运动微分方程以得出解析解，模型的
限制使得其求解范围小，满足不了日益庞大的工程建设。1789年雅格布·伯努利将板视为两组互
相正交的梁导出其运动微分方程。1787年Chladni对玻璃和金属板振动波节线的实验极大地
促进了板和壳振动的研究, 1828年纳维建立板弯曲振动的严格理论，1891年Lamb研究了圆
柱形壳和球壳的伸长性振动。
1.6三维弹性体
谈到三位弹性体，我们须先谈谈人人皆知的胡克定律，和广义胡克定律。1678年胡克提
出弹性定律,建立了弹性体变形与恢复力间的线性关系,引入了振动系统的基本组成部分——
弹簧。广义胡克定律的应用更为广泛，它是弹性力学和材料力学的前提和基础，1828年纳维
提出并研究了三维弹性体的振动。三维弹性体振动理论由泊松于1829年和克莱布施于1862
年分别建立,作为特例,泊松解决了弹性体的扭转振动问题。
1.7激励响应、强迫振动
自从1807年杨提出了载荷的动力效应，在不到一个世纪里，振动物体的激励相应和强迫
振动理论就基本建立起来，1829年蓬斯莱研究了杆在冲击作用下的轴向振动,并发现脉冲力能
引起杆的共振,可用以说明一队士兵用整齐步伐通过悬索桥的危险性。1834年度哈密将任意外
激励视为一系列冲量激励的叠加,从而建立了分析强迫振动的普遍公式。1849年斯托克斯发现
了初位移激励与初速度激励两者响应的联系,并且由此对外激励得到与度哈密相同的结果。
1883年圣维南研究杆件振动时也有类似的结果。一般弹性体受迫振动的数学理论在1894年
由庞加莱基本建立,1906年希尔伯特和皮卡分别借助积分方程完成。
2 近似解法
随着科学技术的发展和工程力学的需求，早期的振动力学理论已达不到日益庞大和复杂
的工程需求，在19世纪前后近似解法应需求而生，其主要表现在航空航天、航海运输和动力
机械等复杂系统振动问题。1894年邓克莱给出估算多圆盘轴横向振动基频的简单实用方法,
即邓克莱法，其忽略阻尼，主要用于计算基频的下限。1898年Vianell在计算压杆的屈曲载荷
时提出逐步近似方法，1904年斯托德拉将该方法推广用于计算轴杆的主频率,发展为振型迭代
法，1950年汤姆逊用矩阵重新表述该方法而形成传递矩阵法。1873年瑞利基于动能和势能的
分析给出了确定系统基频的近似方法,即瑞利法，它和邓克莱法一起，常用来估算工程中常用
的一阶固有频率，瑞利法得到的基频略大于精确解。1909年里茨推广了瑞利法使之可同时求
几个低阶固有频率。
对于现在工程普遍应用的有限单元法，其最早可上溯到20世纪40年代。Courant第一次
应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理来求解圣维南扭转问题。现代有限单
4
元法的第一个成功的尝试是在 1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位移
法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。1960
年，Clough进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了"有限单元法"，使人们认识到它的
功效，60年以后有限元法以成为复杂工程振动问题近似计算的主要方法， 至今有限元理论
已发展非常成熟，基于其发展的有限元分析软件Ansys已成为人们解决复杂问题常用的工具。
图三 近似解法的发展简略图
3结语
科学的发展是一个由简单到复杂的过程，振动力学也不例外，从其发展史不难看出，振
动力学的发展也是按照从简单的单摆开始到稍微复杂一点的弦线再到更为复杂梁、膜、板壳，
最后研究三维弹性体理论、激励响应和强迫振动理论等复杂理论。近似解法中不少重要的解
法便是对前人的总结和改进，我们要学会利用前人的研究成果大胆创新，不仅是知识的积累
还有思想的创新。
知识、阅历和时间有限，不到之处还望谅解。
1894年 邓克莱 邓克莱法
1898年 Vianell 提出逐步近似法
1904年 斯托德 阵型叠加法
1950年 汤姆逊 传递矩阵法
1873年 瑞利 基于动能和势能的分
析
1909年 里茨 推广了瑞利法给出里茨法
1960年 Clough首次提出有限单元法
