广东省深圳市翠园中学2012—2013学年第二学期高二数学理科试卷

2013年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）参考答案及评分标准 2013.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题． 9．31π+10．e1 11．341 12．3-13．9，1-n n （注：第一个空填对给2分，第二个空填对给3分） （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）47 15．（几何证明选讲选做题）︒30（注：也可以填6π）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2122sin =π-）（C ，且222c b a <+．（1）求角C 的大小； （2）求cb a +的取值范围．解：（1）（法一）因为222c b a <+，由余弦定理，02cos 222<-+=abcb a C ，C ∠为钝角．2分因为21)22sin(=π-C ，又23222π<π-<πC ，所以6522π=π-C ，解之，得32π=∠C ． ……………………………………………………5分（法二）因为而222c b a <+，由余弦定理，02cos 222<-+=abcb a C ，C ∠为钝角，2分所以π<<π22C ，又21)22sin(2cos -=π--=C C ，所以342π=C ，32π=∠C ．……………………………………………………………………5分（2）（法一）由（1），得A B ∠-π=∠3，30π<<A ．根据正弦定理，CBA cb a sin sin sin +=+32sin)3sin(sin π-π+=A A ………………………………………7分⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=A A A sin 21cos 23sin 32)3sin(32π+=A ………………10分 又3233π<π+<πA ，所以1)3sin(23≤π+<A ，从而cb a +的取值范围为]332,1(．…………………………………………………………12分 （法二）由（1），32π=∠C ，根据余弦定理，ab b a ab b a c++=π-+=2222232cos2 ……………………………………………………7分2222)(432)()(b a b a b a ab b a +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+≥-+=． 所以，342≤⎪⎭⎫⎝⎛+c b a ，332≤+c b a ． ……………………………………………………………10分 又c b a >+，1>+cb a ．所以cb a +的取值范围为]332,1(．…………………………………………………………12分 17、（本小题满分12分）一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球．规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率；（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望． 解：（1）设1A 表示事件“第1次操作从箱中取出的是红球”，1B 表示事件“第1次操作从箱中取出的是白球”； 2A 表示事件“第2次操作从箱中取出的是红球”， 2B 表示事件“第2次操作从箱中取出的是白球”．则21B A 表示事件“第1次操作从箱中取出的是红球，且第2次操作从箱中取出的是白球”．由条件概率的计算公式，得)(21B A P 2565253)|()(121=⨯==A B P A P ．…………………2分21A B 表示事件“第1次操作从箱中取出的是白球，且第2次操作从箱中取出的是红球”． 由条件概率的计算公式，得2585452)|()()(12121=⨯==B A P B P A B P ．…………………4分2121A B B A +表示事件“进行第二次操作后，箱中红球个数为4”． 而21B A 与21A B 是互斥事件，所以)()()(21212121A B P B A P A B B A P +=+258256+=2514=．……………………………………………………………………6分（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X ，则=X 3，4，5． ………………………8分2595353)3(=⨯==X P ，2514)4==X P （，2525152)5(=⨯==X P （或25225142591)4()3(1)5(=--==-=-==X P X P X P ）．进行第二次操作后，箱中红球个数X 的分布列为：………………………10分进行第二次操作后，箱中红球个数X 的数学期望=EX 25932525251442593=⨯+⨯+⨯． ………………………………………………………12分18、（本小题满分14分）如图6，已知四边形ABCD 是矩形，22==BC AB ，三角形PAB 是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD ．（1）若O 是CD 的中点，证明：PA BO ⊥； （2）求二面角D PA B --的余弦值． 解：（法一）（1）连结OA 、OP ．∵ABCD 是矩形，且BC AB 2=，O 是CD 的中点， ∴AO BO ⊥．①………………………………………1分又∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，⊂AD 平面ABCD ，CD AD ⊥，∴⊥AD 平面PCD ．DOCABPEF6图而⊂PD 平面PCD ，∴PD AD ⊥．同理PC BC ⊥．直角△ADP 和直角△BCP 中，BC AD =，PB PA =，∴PD PC =．…………………3分 ∴CD PO ⊥．又⊂PO 平面PCD ，∴⊥PO 平面ABCD ，而⊂BO 平面ABCD ，∴PO BO ⊥．②………………………………………………………………………………………5分由①②及O PO AO = ，AO 、⊂PO 平面PAO ，得⊥BO 平面PAO ．又⊂PA 平面PAO ，所以PA BO ⊥．………………………………………………………………7分（2）延长BO 、AD 相交于点E ，∵AB OD //，且AB OD 21=，∴O 、D 分别是EB 、EA 的中点．…………………………………………………………………8分取PA 中点F ，连结BF 、EF ，∵△PAB 是正三角，∴BF PA ⊥．③ 又由（1），BO PA ⊥，而B BO BF = ，BF 、⊂BO 平面BEF ，所以，⊥PA 平面BEF ．∵⊂EF 平面BEF ，∴EF PA ⊥．④ ……………………………10分而⊂EF 平面DPA ，∴BFE ∠是二面角D PA B --的一个平面角． ∵22==BC AB ，△PAB 是正三角，∴22=BE ，3=BF ，3=EF ．△BEF 中，由余弦定理，得=⨯⨯-+=∠332)22()3()3(cos 222BFE 31-．即二面角D PA B --的余弦值为31-．………………………………………………………14分（法二）（1）∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，⊂AD 平面ABCD ， 而ABCD 是矩形，CD AD ⊥，∴⊥AD 平面PCD ． 又⊂PD 平面PCD ，∴PD AD ⊥．同理PC BC ⊥．直角△ADP 和直角△BCP 中，BC AD =，PB PA =，∴PD PC =．取AB 中点Q ，连结OP 、OQ ，则OC 、OP 、OQ 两两垂直．………………………2分以O 为原点，分别以OC 、OP 、OQ 为x 轴、yz 轴，建立空间直角坐标系．∵22==BC AB ，∴)1,0,1(-A ，)1,0,1(B ．又△PAB 是正三角，△PCD 是等腰三角形， ………………………………………………3分 222222=--=-=ODAD PA ODPD OP ，∴)0,2,0(P ．从而，)1,0,1(--=BO ，)1,2,1(--=PA ， …………………………………………5分01)1()2(0)1(1=⨯-+-⨯+-⨯-=⋅PA BO ．所以PA BO ⊥，PA BO ⊥．……………………………………………………………………7分（2）由（1），)1,2,1(--=PA ，)0,0,2(=AB ．设平面BPA 的法向量为),,(1111z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n PB n PA ⇒⎩⎨⎧==+--02021111x z y x ， 取11=y ，解之，得⎪⎩⎪⎨⎧===210111z y x ，所以，平面BPA 的一个法向量为)2,1,0(1=n ．……………9分又)1,2,1(--=PA ，)1,0,0(=DA ．设平面DPA 的法向量为),,(2222z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022n DA n PA ⇒⎩⎨⎧==+--0022222z z y x ，取12=y ，解之，得⎪⎩⎪⎨⎧==-=012222z y x ，所以，平面DPA 的一个法向量为)0,1,2(2-=n ．……11分3101)2()2(100211)2(0,cos 222222212121=++-++⨯+⨯+-⨯=>=<n n ．………………………13分因为法向量1n 和2n 均指向二面角D PA B --外，所以二面角D PA B --的平面角与角><21,n n 互补，故二面角D PA B --的余弦值为31-．…………………………………………14分19、（本小题满分14分）已知数列}{n a ，}{n b 满足：01=a ，20131=b ，且对任意的正整数n ，n a ，1+n a ，n b 和1+n a ，1+n b ，n b 均成等差数列．（1）求2a ，2b 的值；（2）证明：}{n n b a -和}2{n n b a +均成等比数列；（3）是否存在唯一的正整数c ，使得n n b c a <<恒成立？证明你的结论． 解：（1）62112=+=b a a ，92122=+=b a b ．………………………………………………………2分（2）依题意，对任意的正整数n ，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+++22111n n n n n n b a b b a a ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=++②①4341212111 n n n n n n b a b b a a ，……4分因为414341212111=-⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++n n n nn n nn n n b a b a b a b a b a （常数），*N ∈n ，又0201311≠-=-b a ，所以，}{n n b a -是首项为2013-，公比为41的等比数列；…………6分因为124341221212211=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++++nn n n n n nn n n b a b a b a b a b a （常数），*N ∈n ， 又04026211≠=+b a ，所以，}2{n n b a +是首项为4026，公比为1的等比数列．……………8分（3）由（2），得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-14201340262n n n n n b a b a ， …………………………………………………………9分解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=--1146711342413421342n n n n b a ，*N ∈n ． ……………………………………………………10分显然，}{n a 是单调递增数列，}{n b 是单调递减数列，且n n b a <<1342，*N ∈n ．即存在的正整数1342=k ，使得对任意的*N ∈n ，有n n b a <<1342． …………………12分 又令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--1467114134211n n ，得1342222>-n ，而1024210=，4096212=，所以1222≥-n ，7≥n ．即对任意的*N ∈n 且7≥n 时，134313421341<<<<n n b a ．所以，正整数1342=k 也是唯一的．综上所述，存在唯一的正整数1342=k ，使得对任意的*N ∈n ，有n n b k a <<．………14分 （注：如果仅是通过极限的描述性语言说明k 的存在性和唯一性，且k 的值是正确的，计扣2分） 20、（本小题满分14分）已知动点M 到点)1,0(F 的距离与到直线4=y 的距离之和为5． （1）求动点M 的轨迹E 的方程，并画出图形；（2）若直线l ：m x y +=与轨迹E 有两个不同的公共点A 、B ，求m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，求弦长||AB 的最大值．解：（1）设动点M 的坐标为),(y x ，依题意，点M5|4|)1(22=-+-+y y x ．……………………2分化简整理，得y x 42=（4≤y ）或)5(162--=y x （4≥y ）．所以，动点M 的轨迹E 的方程为y x42=（4≤y ）或)5(162--=y x（4≥y ）．…4分其图形是抛物线42xy =和5162+-=xy 位于44≤≤-x 的部分（如图7）． ………………………5分（2）记抛物线段42xy =（44≤≤-x ）为1E ，抛物线段5162+-=xy （44≤≤-x ）为2E ，1E 与2E 的公共点为)4,4(-C 和)4,4(D ．当直线l ：m x y +=经过点)4,4(-C 时，8=m ．由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=51682xy x y ，解之，得⎩⎨⎧=-=44y x 或⎩⎨⎧-=-=412y x ． 因为点)4,12(--不在抛物线段2E 上，所以，要使直线l ：m x y +=与轨迹E 有两个不同的公共点，则8<m ………①．…………………………………………………………………………7分当直线l ：m x y +=与抛物线42xy =相切时，由12'==xy ，得切点坐标⎩⎨⎧==12y x ，1-=m ． 因为切点)1,2(在抛物线段1E 上，所以，要使直线l ：m x y +=与轨迹E 有两个不同的公共点，则1->m ………②．…………9分综合①②，所求m 的取值范围为)8,1(-． …………………………………………………10分 （3）当01≤<-m 时，直线l 与轨迹E 的两个不同的公共点A 、B 均在抛物线段1E 上， 且24||||0=≤<OD AB ．当80<≤m 时，直线l 与轨迹E 的两个不同的公共点A 、B 分别在抛物线段1E 与抛物线段2E 上，且A 点是直线l 抛物线42xy =两个交点中左下方的点，B 点是直线l 抛物线5162+-=xy 两个交点中右上方的点（如图7）．由⎪⎩⎪⎨⎧=+=42x y mx y ，解之，得m x +±=122，点A 的横坐标m x A +-=122． 由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=5162xy m x y ，解之得m x -±-=948，点B 的横坐标m x B -+-=948． 所以)(2||A B x x AB -=)5921(22--++=m m ．…………………………………12分 令m m m f -++=921)(（80<≤m ），由)9)(1()129(2)1(5)9)(1(212991121)('m m m m m m m m m mmm f -+++--=-++--=--+=，得当10<≤m 时，0)('>m f ，)(m f 单调递增；当81<<m 时，0)('<m f ，)(m f 单调递减．所以，25)1()]([max ==f m f ．故1=m 时，21020||max ,-=AB ． …………………………………………………………14分 （注：也可以通过一元二次方程在闭区间]4,4[-有解的思路来求m 的取值范围；求||AB 的最值也可以利用换元法、判别式法、均值不等式、柯西不等式等方法．其他解法，酌情给分．）21．（本小题满分14分）定义|ln ||e ),(y x y y y x x ---＝｜ρ，其中R ∈x ，+∈R y ． （1）设0>a ，函数),()(a x x f ρ=，试判断)(x f 在定义域内零点的个数； （2）设b a <<0，函数),(),()(b x a x x F ρρ-=，求)(x F 的最小值；（3）记（2）中的最小值为),(b a T ，若}{n a 是各项均为正数的单调递增数列，证明：2ln )(),(1111a a a a T n n i i i -<+=+∑．解：（1）|ln ||e |)(a x a a x f x ---=（0>a ），函数)(x f 的定义域为R ．当a x ln ≥时，a x ≥e ，a a a ax x f x -+-=ln e )(，∵0e )('≥-=a x f x ，∴)(x f 在),[ln ∞+a 上为增函数；…………………………………2分 当a x ln ≤时，a x ≤e ，a a a ax x f x +--=ln e )(，∵0e )('≥-=x a x f ，∴)(x f 在]ln ,(a -∞上为增函数． …………………………………4分 综上所述，)(x f 在定义域内为增函数． 又0|ln ln |||)(ln =---=a a a a a a f ．所以，)(x f 在定义域内有且仅有一个零点．……………………………………………………5分 （2）易知)(x F 的定义域为R ，),('),(')('b x a x x F ρρ-=． 而b a <<0，所以b a ln ln <，由（1）容易得到下列结论：①当b a x ln ln <≤时，0)e ()e ()('<-=---=b a b a x F x x ，∴)(x F 在]ln ,(a -∞上为减函数，从而)(ln )(a F x F ≥．…………………………………………6分②当b x a ln ln ≤≤时，)(e 2)e ()e ()('b a b a x F xx x +-=---=，令0)('=x F ，得2lnba x +=．当2ln ln b a x a +<≤时，0)('<x F ，)(x F 单调递减；当b x b a ln 2ln≤<+时，0)('>x F ，)(x F 单调递增．∴当2ln b a x +=时，)(x F 有最小值)2(lnb a F +．…………………………………………………7分③当x b a ≤<ln ln 时，0)e ()e ()('>-=---=a b b a x F xx ，∴)(x F 在),[ln ∞+b 上为增函数，从而)(ln )(b F x F ≥．…………………………………………8分综上所述，当2lnb a x +=时，)(x F 有最小值2ln )(ln ln )2(lnb a b a b b a a b a F ++-+=+． …………………………………10分 （3）由（2）知2ln)(ln ln ),(ba b a b b a a b a T ++-+=．先证明2ln )(),(11i i i i a a a a T -<++，*N ∈i ，即证明：2ln )(2ln)(ln ln 11111i i i i i i i i i i a a a a a a a a a a -<++-++++++，*N ∈i ．将i a 视为常数，1+i a 视为变量，构造下列函数：2ln )(2ln)(ln ln )(i i i i i a t t a t a t t a a t G --++-+=，其中0>≥i a t ．则2ln 12ln1ln )('--+-+=t a t t G i 0ln<+=ta t i ，)(t G 在),[∞+i a 上单调递减，而02ln )(ln 2ln ln )(=---+=i i i i i i i i i a a a a a a a a a G ， 因为}{n a 是各项均为正数的单调递增数列，i i a a >+1，*N ∈i ， 所以0)(1<+i a G ，即2ln )(2ln)(ln ln 11111i i i i i i i i i i a a a a a a a a a a -<++-++++++，*N ∈i ．所以2ln )(),(11i i i i a a a a T -<++，*N ∈i ． ………………………………………………………12分于是，2ln )(2ln )(),(111111a a a aa a T n ni i i ni i i -=-<+=+=+∑∑． ………………………………14分。

翠园中学2016-2017学年度第二学期期中考试高二理科数学命题：娄菊香 宋刚一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知(1+2i)=4+3i z ，则z =（ ）．A B C ．2D 2．已知抛物线22(0)y px p =>过点(2,2)A ，则它的准线方程式（ ）．A ．12x =-B ．12y =-C ．12x =D ．12y =3．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则2y x >的概率为（ ）．A ．14 B ．12 C ．34 D ．134．执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为0.99，则判断框内可填入的条件是（ ）．A ．100i <B ．100i ≤C ．99i <D ．98i < 5．设随机变量X 服从正态分布(2,9)N ，若(1)(1)P X c P X c >+=<-，则c 等于（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．46．定积分10dx ⎰等于（ ）．A ．π24- B ．π12- C ．π14- D ．π12- 7．设a ∈R ，则“1a =”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式种数是（ ）．A ．105B ．510C ．510A D ．510C9．一袋中装有4个白球、2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时，取球次数为随机变量X ，则(5)P X ==（ ）． A ．827B ．427C ．881D ．168110．如图所示，已知空间四边形OABC ，OB OC =，且π3A OB A OC ∠=∠=，则c o s ,O A B C的值为（ ）．A ．0B ．12C D 11．函数3()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则（ ）． A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <12．焦点在x 轴上的椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ）．A ．14B ．13C ．12D ．23二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡的横线上） 13．已知(2,1,3)a =-，(1,2,1)b =-，若()a a b λ⊥-，则实数λ的值为__________．14．某单位要在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2名到某、地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是__________．15．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，有如下下列命题： ①若A B C >>，则sin sin sin A B C >>．②若cos cos cos A B Ca b c==，则ABC △为等边三角形． ③若sin 2sin 2A B =，则ABC △为钝角三角形． ④若(1tan )(1tan )2A B ++=，则ABC △为钝角三角形．⑤存在A ，B ，C ，使得tan tan tan tan tan tan A B C A B C <++成立． 其中正确的命题为__________（写出所有正确命题．．．．的序号）． 16．()22212x mx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 项的系数250，则实数m 的值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）已知函数22()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过(1,0)，(2,0)点，如图所示． （1）求0x 的值． （2）求a ，b ，c 的值．18．（本题满分12分）如图，A 地到火车站共有两条路径1L 和2L ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所有时间落在各时间段内频率如下表：（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的认识，针对（1）的选择方案，分布列和数学期望．19．（本题满分12分）如图，ABCD 是块矩形硬纸板，其中2AB AD =，AD =E 为DC 的中点，将它沿AE 折成直二面角D AE B --． （1）求证：AD ⊥平面BDE ． （2）求二面角B AD E --的余弦值．20．（12分）为研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．（Ⅰ）（i）请根据图示，将22⨯列联表补充完整：（ii（Ⅱ）将频率视作概率，从高二年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的分别列与数学期望．参考公式：22()() ()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++++++．参考数据：21（1）若点C坐标为，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程．（2）过点(,0)P m作倾斜角为3π4的直线l交（1）中曲线于M，N两点，若点(1,0)Q恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．22．已知函数2()2lnf x x a x=+．（Ⅰ）若函数()f x的图象再(2,(2))f处的切线斜率为1，求实数a的值．（Ⅱ）求函数()f x的单调区间．（Ⅲ）若函数2()()g x f xx=+在[]1,2上是减函数，求实数a的取值范围．。

2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题．9．]0,1[- 10．π2880 11．1- 12．503 13．68 （注：第9题答案也可以写成}01|{≤≤-x x ，如果写成01≤≤-x ，不扣分．） （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）1- 15．（几何证明选讲选做题）21三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)6cos(sin )(π-+=x x x f ，R ∈x ．（1）求)(x f 的最大值；（2）设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若A B 2=且)6(2π-=A f a b ，求角C 的大小．解：（1）)6cos(sin )(π-+=x x x f x x x sin 21cos 23sin ++= ……………………2分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x cos 21sin 233)6sin(3π+=x ．（注：也可以化为)3cos(3π-x ） …4分所以)(x f 的最大值为3． …………………………………………………………6分（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）（2）因为)6(2π-=A f a b ，由（1）和正弦定理，得A B 2sin 32sin =．………………7分又A B 2=，所以A A 2sin 322sin =，即A A A 2si n 3cos si n =， ………………9分而A 是三角形的内角，所以0sin ≠A ，故A A sin 3cos =，33tan =A ， ………………11分所以6π=A ，32π==A B ，2ππ=--=B A C ． ……………………………………12分17．（本小题满分12分）深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2． ………………………………………1分设“第一次训练时取到i 个新球（即i =ξ）”为事件i A （=i 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以51)0()(26230====C C P A P ξ， ………………………………………3分53)1()(2613131====C C C P A P ξ，………………………………………5分51)2()(26232====C C P A P ξ． ………………………………………7分所以ξ的分布列为（注：不列表，不扣分）ξ的数学期望为1525150=⨯+⨯+⨯=ξE ．……………………………………8分（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ． 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++．而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥，所以，)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++．由条件概率公式，得253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）， …………………………………9分2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）， …………………………………10分151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）． …………………………………11分所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P ． …………………………………12分18．（本小题满分14分）如图5，已知正方形ABCD 在水平面上的正．投影（投影线垂直于投影面）是四边形''''D C B A ，其中A 与'A 重合，且'''CC DD BB <<．（1）证明//'AD 平面C C BB ''，并指出四边形'''D C AB 的形状； （2）如果四边形'''D C AB 中，2'=AD ，5'=AB ，正方形ABCD 的边长为6，求平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值． 证明：（1）依题意，⊥'BB 平面'''D C AB ，⊥'CC 平面'''D C AB ，⊥'DD 平面'''D C AB ，所以'//'//'DD CC BB ． ……………2分（法1）在'CC 上取点E ，使得'DD CE =， 连结BE ，E D '，如图5－1．因为'//DD CE ，且'DD CE =，所以E CDD '是平行四边形，DC E D //'，且DC E D ='．又ABCD 是正方形，AB DC //，且AB DC =，所以AB E D //'，且AB E D ='，故'A B E D 是平行四边形， ………………………………4分从而BE AD //'，又⊂BE 平面C C BB ''，⊄'AD 平面C C BB ''，15-图CD)'(A A B'C 'D 'B E所以//'AD 平面C C BB ''． ………………………………………………………………6分四边形'''D C AB 是平行四边形（注：只需指出四边形'''D C AB 的形状，不必证明）．……7分（法2）因为'//'CC DD ，⊂'CC 平面C C BB ''，⊄'DD 平面C C BB ''， 所以//'DD 平面C C BB ''．因为ABCD 是正方形，所以BC AD //，又⊂BC 平面C C BB ''，⊄AD 平面C C BB ''， 所以//AD 平面C C BB ''． ………………………………………………………………4分而⊂'DD 平面'ADD ，⊂AD 平面'ADD ，D AD DD = '，所以平面//'ADD 平面C C BB ''，又⊂'AD 平面'ADD ，所以//'AD 平面C C BB ''． …………6分四边形'''D C AB 是平行四边形（注：只需指出四边形'''D C AB 的形状，不必证明）．……7分解：（2）依题意，在Rt △'ABB 中，1)5()6(''2222=-=-=AB AB BB ，在Rt △'ADD 中，2)2()6(''2222=-=-=AD AD DD ，所以3021''''=-+=-+=AA DD BB CC ．（注：或312''''=+=+=+=BB DD EC CE CC ） ………………………………………8分连结AC ，'AC ，如图5－2， 在Rt △'ACC 中，33)32(''2222=-=-=CC AC AC ．所以222''''AB C B AC =+，故'''C B AC ⊥．……10分 （法1）延长CB ，''B C 相交于点F ，则31''''==CC BB FC FB ，而2''=C B ，所以223'=FC ． 连结AF ，则AF 是平面ABCD 与平面'''D C AB 的交线．在平面'''D C AB 内作AF G C ⊥'，垂足为G ， 连结CG ．因为⊥'CC 平面'''D C AB ，⊂AF 平面'''D C AB ，所以AF CC ⊥'． 从而⊥AF 平面G CC '，AF CG ⊥．25-图CD)'(A A B'C 'D 'B FG所以'CGC ∠是平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的一个锐二面角． …………………………12分在Rt △F AC '中，553223)3(2233'''22=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⨯=AF F C A C G C ， 在Rt △G CC '中，53035533''2222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=G C CC CG ． 所以66''cos cos ==∠=CG G C CGC θ， 即平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66．……………………14分（法2）以'C 为原点，A C '为x 轴，''B C 为y 轴，建立空间直角坐标系（如图5－3），则平面'''D C AB 的一个法向量)1,0,0(=n ．设平面ABCD 的一个法向量为),,(z y x =m ， 因为)0,0,3(A ，)1,2,0(B ，)3,0,0(C ，所以)1,2,3(-=，)2,2,0(-=，而AB ⊥m ，BC ⊥m ， 所以0=∙AB m 且0=∙BC m ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-022023z y z y x ， 取1=z ，则2=y ，3=x ，所以平面ABCD 的一个法向量为)1,2,3(=m ．（注：法向量不唯一，可以是与)1,2,3(=m 共线的任一非零向量）……………………12分661001)2()3(|110203||||||,cos |cos 222222=++⨯++⨯+⨯+⨯==><=∙n m n m n m ||θ．所以平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66． …………………14分（法3）由题意，正方形ABCD 在水平面上的正．投影是四边形''''D C B A ， 所以平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值ABCDD C AB S S '''=． …………………D12分而6)6(2==ABCD S ，632''''''=⨯=⨯=AC C B S D C AB ，所以66cos =θ， 所以平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66． …………………14分19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足：11=a ，22=a ，且3)1)(cos 2(2+-+=+n n a n a π，*N ∈n ． （1）求通项公式n a ；（2）设}{n a 的前n 项和为n S ，问：是否存在正整数m 、n ，使得122-=n n mS S ？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对),(n m ，若不存在，请说明理由． 解：（1）当n 是奇数时，1cos -=πn ；当n 是偶数时，1cos =πn ．所以，当n 是奇数时，22+=+n n a a ；当n 是偶数时，n n a a 32=+． ……………………2分又11=a ，22=a ，所以1a ，3a ，5a ，…，12-n a ，…是首项为1，公差为2的等差数列；2a ，4a ，6a ，...，n a 2，...是首项为2，公比为3的等比数列． (4)分所以，⎪⎩⎪⎨⎧⨯=-为偶数为奇数n n n a nn ,32,12． ………………………………………………6分（2）由（1），得)()(24212312n n n a a a a a a S +++++++=-)3262()]12(31[1-⨯++++-+++=n n132-+=n n ，13321321122212-+=⨯--+=-=---n n a S S n n n n n n ． (8)分所以，若存在正整数m 、n ，使得122-=n n mS S ，则133211313211212122-+⨯+=-+-+==----n n n S S m n n n n n n 3332111=⨯+≤--n n ． ………………9分显然，当1=m 时，122122)13(113--=-+⨯≠-+=n n n n S n n S ；当2=m 时，由1222-=n n S S ，整理得1321-=-n n ．显然，当1=n 时，11013211-=≠=-； 当2=n 时，1233212-==-，所以)2,2(是符合条件的一个解． ……………………………11分当3≥n 时， +⨯+⨯+=+=----2211111221)21(3n n n n C C 2111421--++≥n n C C 3422+-=n n1)2(22-+-=n n12->n ．…………………………12分当3=m 时，由1223-=n n S S ，整理得1=n ， 所以)1,3(是符合条件的另一个解．综上所述，所有的符合条件的正整数对),(n m ，有且仅有)1,3(和)2,2(两对． ……14分（注：如果仅写出符合条件的正整数对)1,3(和)2,2(，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给2分，共4分） 20．（本小题满分14分）如图6，已知动圆M 过定点)1,0(F 且与x 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为'F ，动点'F 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设),(00y x A 是曲线C 上的一个定点，过点A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q ．① 证明：直线PQ 的斜率为定值；② 记曲线C 位于P 、Q 两点之间的那一段为L ．若点B 在L 上，且点B 到直线PQ 的距离最大，求点B 的坐标．解：（1）（法1）设),('y x F ，因为点)1,0(F 在圆M 上， 且点F 关于圆心M 的对称点为'F ，所以)21,2(+y x M ， …………1分 且圆M 的直径为22)1(|'|-+=y x FF ．…………2分由题意，动圆M 与y 轴相切， 所以2)1(2|1|22-+=+y x y ，两边平方整理得：y x 42=，所以曲线C 的方程为y x 42=． (5)16-图分（法2）因为动圆M 过定点)1,0(F 且与x 轴相切，所以动圆M 在x 轴上方， 连结'FF ，因为点F 关于圆心M 的对称点为'F ，所以'FF 为圆M 的直径． 过点M 作x MN ⊥轴，垂足为N ，过点'F 作x E F ⊥'轴，垂足为E （如图6－1）．在直角梯形'EOFF 中，1|'||||'|||2||2|'|+=+===E F FO E F MN MF F F ， 即动点'F 到定点)1,0(F 的距离比到x 轴的距离大1． …………………………………………3分又动点'F 位于x 轴的上方（包括x 轴上），所以动点'F 到定点)1,0(F 的距离与到定直线1-=y 的距离相等．故动点'F 的轨迹是以点)1,0(F 为焦点，以直线1-=y 为准线的抛物线．所以曲线C 的方程为y x 42=． ………………………………………………5分（2）①（法1）由题意，直线AP 的斜率存在且不为零，如图6－2．设直线AP 的斜率为k （0≠k ），则直线AQ 的斜率为k -． ……………………………6分因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42=上的点， 所以4200x y =，直线AP 的方程为)(4020x x k xy -=-． 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(440202x x k x y y x ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==4200x y x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=4)4(4200k x y k x x ， 所以点P 的坐标为)4)4(,4(200k x k x +-+-， 以k -替换k ，得点Q 的坐标为)4)4(,4(200k x k x +--． ………………………………8分所以直线PQ 的斜率23216)4()4(4)4(4)4(00002020x k kx k x k x k x k x k PQ -=-=+----+--+=为定值．………………10分26-图（法2）因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42=上的点，所以4200x y =，)4,(200x x A ． 又点P 、Q 在曲线C ：y x 42=上，所以可设)4,(211x x P ，)4,(222x x Q ， …………6分而直线AP ，AQ 的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，即022220120214444x x x x x x x x ---=--，整理得0212x x x -=+． …………8分所以直线PQ 的斜率2424440021122122x x x x x x x x k PQ -=-=+=--=为定值． ………………10分②（法1）由①可知，P )4)4(,4(200k x k x +-+-，Q )4)4(,4(200k x k x +--， 2x k PQ-=，所以直线PQ 的方程为)4(24)4(0020k x x x k x y -+-=+--， 整理得016422200=-++k x y x x ． ……………………………………11分设点)4,(2x x B 在曲线段L 上，因为P 、Q 两点的横坐标分别为k x 40+-和k x 40--， 所以B 点的横坐标x 在k x 40+-和k x 40--之间，即||4||400k x x k x +-≤≤--，所以||4||40k x x k ≤+≤-，从而22016)(k x x ≤+．点B 到直线PQ 的距离42|162|164|16442|20220022022020+-++=+-+⨯+=x k x x x x x k x x x x d 4216)(42142|16)(|202202020220++++-=+-+=x k x x x x k x x ． ………12分当0x x -=时，421622max +=x k d ．注意到||4||4000k x x k x +-≤-≤--，所以点)4,(200x x -在曲线段L 上． 所以，点B 的坐标是)4,(200x x -． ……………………………………………………………14分（法2）由①可知，2x k PQ -=，结合图6－3可知， 若点B 在曲线段L 上，且点B 到直线PQ 的距离最大， 则曲线C 在点B 处的切线PQ l //． ………………11分设l ：b x x y +-=20，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=yx b x x y 4220， 消去y ，得04202=-+b x x x ．令△0)4(14)2(20=-⨯⨯-=b x ，整理，得420x b -=．……12分 代入方程组，解得0x x -=，420x y =．所以，点B 的坐标是)4,(200x x -． ……………………………………………………………14分（法3）因为抛物线C ：y x 42=关于y 轴对称，由图6－4可知，当直线AP 的倾斜角大于︒0且趋近于︒0时，直线AQ 的倾斜角小于︒180且趋近于︒180，即当直线AP 的斜率大于0且趋近于0时，直线AQ 的斜率小于0且趋近于0．从而P 、Q 两点趋近于点)4,(200x x A 关于y 轴的对称点)4,('20x x A -． ………………11分由抛物线C 的方程y x 42=和①的结论，得42x y =，PQ x x x x k xx y =-=='-=-=22|000．所以抛物线C 以点)4,('200xx A -为切点的切线PQ l //． ……………………12分所以曲线段L 上到直线PQ 的距离最大的点就是点'A ，即点B 、点'A 重合． 所以，点B 的坐标是)4,(200xx -． ……………14分 21．（本小题满分14分）已知函数x x x x f ln )(-=，)()()(a f x x f x g '-=，其中)(a f '表示函数)(x f 在a x =处的导数，a 为正常数． （1）求)(x g 的单调区间；（2）对任意的正实数21,x x ，且21x x <，证明：36-图46-图)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-；（3）对任意的*N ∈n ，且2≥n ，证明：nn f n ln 2ln )1(1ln 13ln 12ln 1⋅+-<+++ ． 解：（1）x x f ln )('-=，a x x x x x g ln ln )(+-=，xa a x a f x f x g ln ln ln )()()(=+-='-'='． ……………………………………2分所以，),0(a x ∈时，0)('>x g ，)(x g 单调递增；),(∞+∈a x 时，0)('<x g ，)(x g 单调递减．所以，)(x g 的单调递增区间为],0(a ，单调递减区间为),[∞+a ． ……………………4分（2）（法1）对任意的正实数21,x x ，且21x x <，取1x a =，则),(12∞+∈x x ，由（1）得)()(21x g x g >，即)()()()()()(21221111x g x f x x f x f x x f x g ='->'-=，所以，)()()()(11212x f x x x f x f '-<-……①； ………………………6分取2x a =，则),0(21x x ∈，由（1）得)()(21x g x g <，即)()()()()()(22222111x g x f x x f x f x x f x g ='-<'-=，所以，)()()()(21212x f x x x f x f '->-……②．综合①②，得)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-． ………………………8分（法2）因为x x f ln )('-=，所以，当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ；当),1(∞+∈x 时，0)(<'x f ．故)(x f 在]1,0(上单调递增，在),1[∞+上单调递减．所以，对任意的正实数21,x x ，且21x x <，有)1(21f x x f <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，)1(12f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛． ……………6分 由)1(21f x x f <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，得1ln 121212<-x xx x x x ，即0)ln (ln 12212<---x x x x x ， 所以0)ln (ln )()()()(1221211212<---='---x x x x x x f x x x f x f ．故)()()()(11212x f x x x f x f '-<-．……①；由)1(12f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛，同理可证)()()()(21212x f x x x f x f '->-．……②． 综合①②，得)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-． ………………………8分（3）对2,,2,1-=n k ，令xk x x k ln )ln()(+=ϕ（1>x ），则 22))(ln ()ln()(ln )(ln )ln(ln )('x k x x k x k x x x x x k x k x x x k +++-=+-+=ϕ， 显然k x x +<<1，)ln(ln 0k x x +<<，所以)ln()(ln k x k x x x ++<，所以0)('<x k ϕ，)(x k ϕ在),1(∞+上单调递减．由2≥-k n ，得)2()(k k k n ϕϕ≤-，即2ln )2ln()ln(ln k k n n +≤-． 所以)ln()2ln(ln 2ln k n k n -+≤，2,,2,1-=n k ． ……………………………10分 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2ln 1ln 1)1ln(13ln 1ln 12ln 1ln 13ln 12ln 12n n n n 2ln ln ln 2ln )1ln(3ln 3ln )1ln(ln 2ln 2ln ln n n n n n n +++-+-++= nn n n n n ln 2ln ln 2ln ln 2ln 3ln )1ln(ln 2ln 2ln ln ++++-++≤ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n ln 2ln ln 3ln 2ln 2 ． ………………………………12分又由（2）知n n f n f n f ln )(')()1(-=<-+，所以)1()(ln +-<n f n f n ．)1()()3()2()2()1(ln 2ln 1ln +-++-+-<+++n f n f f f f f n)1(1)1()1(+-=+-=n f n f f ． 所以，n n f n n n ln 2ln )1(1ln 2ln ln 3ln 2ln ln 13ln 12ln 1+-<+++≤+++ ．……………………14分。

广东省深圳市翠园、宝安中学2013年高三5月第二次联考数学（理）试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集I 是实数集R .2{|4}M x x =>与2{|1}N x =≥，则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x < B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤ D ．{}22x x -≤≤(第1题图)2． 在复平面内，复数2009122i z i -=-对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若把函数1sin 3cos +-=x x y 的图象向右平移m （m>0）个单位，使点（3π，1）为其对称中心，则m 的最小值是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π4．已知物体的运动方程是23416441t t t s +-=（t 表示时间，单位：秒；s 表示位移，单位：米），则瞬时速度为0米每秒的时刻是 ( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒5．设函数f(x) (x∈R)为奇函数，f(1)=21，f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(5)=( ) A ．0 B ．1 C ．25D ．56．设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 ( ) A ．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β B ．当α⊂b 时，若b⊥β，则βα⊥C ．当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD ．当α⊂b ，且α⊄c 时，若c∥α，则b∥c7．已知曲线22:x y C =，点(0,2)A -及点(3,)B a ，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C挡住，则实数a 的取值范围是 ( )A ．（4，＋∞） B.（－∞，4） C.（10，＋∞） D.（－∞，10）8． 定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示， 给出下列四个命题中：(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解； (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解； (3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解； (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。

三明市2012—2013学年第二学期普通高中阶段性考试高二理科数学试题（考试时间：2013年7月 日上午8：30—10：30 满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上）1．集合{i ,N 5}n x x n n *=∈≤且（其中i 是虚数单位）中元素的个数是A ．1B ．2C ． 4D ．52．已知曲线C 的参数方程为2cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，为参数），则下列各点不在曲线C 上的坐标是A ．） B．C ．D ．1,1（　） 3．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 为偶数，那么a ，b 中至少有一个为偶数”，则正确的假设内容是A ．a ,b 都为偶数B ．ab 不为偶数C ．a ,b 都不为偶数D ．a ,b 中有一个不为偶数4．标准正态总体(0,1)N 在正态总体的研究中占有非常重要的地位，如图是标准正态曲线，已知0)0.3Pa x <<=（-， 则)P x a >（等于 A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7D.15．在复平面上点P 对应的复数1i z =-+（其中i 是虚数单位），以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标是 A ．(1,)4πB ．3)4πC ．)4πD. 3(1,)4π6．下面是一个22⨯列联表：则表中a 、b A ．94、96 B ．52、54 C ．52、50 D ．54、527．在二项式101()x x-的展开式中，系数最大的项是（ ）A ．第5项B ．第6项C ． 第7项 D. 第5项和第7项８．设凸n 边形的对角线条数为(f n ），若凸1n +边形的对角线条数(+1=(+f n f n m ）），则m 的表达式为A ．1n +B ．nC ． 1n - D. 2n -9．从高二年段4个文科班和5个理科班中任意选出3个班级参加学校活动，若选出的班级至少有一个文科班和一个理科班，则不同的选法种数为 A ．70B ．84C ． 140D. 42010．夏令营组织25名营员去游览宁化天鹅洞、将乐玉华洞、泰宁大金湖三个景点,规定每人必须去一处,最多去两处游览．在所有可能的游览方案中,设游览景点完全相同的人数为m 人,则m 的最小值是 A.8 B. 7 C. 6 D. 5二、填空题（本大题共5小题中，每小题4分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上）11．在三段论中,若大前提为：无限不循环小数是无理数；小前提为：3是无限不循环小数；则结论为: ☆☆☆.12．曲线C 经过伸缩变换5,3x x y y '=⎧⎨'=⎩后得到曲线Γ：221259x y ''+=，则曲线C 的方程为☆☆☆. 13．从装有3个红球和2个白球的袋子中不放回地依次摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次仍然摸到红球的概率☆☆☆.14．某商场用以往的统计数据得到A 、B 两种方案的盈利表，经计算它们的均值都是50万元，根据经验，商场盈利越稳定，对商场越有利.请结合下表中的数据进行决策，该商场应选择的方案是☆☆☆. (填A 方案或B 方案)自然状况AB1S0.20 55 56 2S 0.30 45 51 3S0.50514715．高二数学研究性学习小组在研究+2+4k k k m m mC C C 、、(,)m k k m **∈∈≤N N 且是否具有某种关系时,按如下规律进行取值：第一组：2412121C C C ６２ 第二组：681022121C C C １ 第三组：111315323232C C C 第四组：171921454545C C C ……请你猜测第n 组的第三个数rp C 中r 的表达式为☆☆☆.（结果用含n 的式子表示）三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分13分）已知复数12=1i ,2i z z b =－＋（其中i 是虚数单位，R b ∈）. （Ⅰ）若21z z ⋅为纯虚数,求b 的值；（Ⅱ）若21z z 在复平面上对应点的横坐标为1,求21||zz 的值.17．（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)；在极坐标系中(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)，抛物线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．（Ⅰ）将抛物线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．18．（本小题满分13分）从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如下表所示.已知8名女大学生的平均身高为165cm ,平均体重为55kg . （Ⅰ）求345x x x ++及4y 的值；（Ⅱ）若选取身高为自变量x ，根据女大学生的身高预报体重的线性回归方程为0.8y x a =+（a 为实数）,请你预报一名身高为168cm 的女大学生的体重.19．（本小题满分13分）已知230123(12)n n n x a a x a x a x a x -=+++++．（Ⅰ）若1121n n C -+=,求3a 的值； （Ⅱ）若100123(1)3n n a a a a a -+-++-=,求012135(21)(21)n nn n n n nS C C C n C n C -=+++⋅⋅⋅+-++的值．20．（本小题满分14分）学校组织甲、乙、丙、丁4名学生到A 、B 、C 三个工厂进行社会实践活动，每个学生只能去一个工厂.（Ⅰ）问有多少种不同分配方案？（Ⅱ）若每个工厂都有学生去，求学生甲到A 工厂进行社会实践活动的概率；（Ⅲ）若每个学生选择A 工厂的概率都是13，记ξ为选择A 工厂的学生人数，求ξ的分布列及数学期望.21．（本小题满分14分）以下是求2222123(N )n n *++++∈的一种方法． 先求和1223++(1)n n ⨯+⨯+，可以通过：[]1(1)(1(2(1(13k k k k k k k k +=++-+））-）），得到以下n 个裂项式：(123012),⨯⨯⨯-⨯⨯112=3(234123),⨯⨯⨯-⨯⨯123=34(345234),⨯⨯⨯-⨯⨯13=3……()()()()1(1)1211,3n n n n n n n n ⨯+=⎡++--+⎤⎣⎦ 将上述n 个裂项式累加得到：()()1122311(2)3n n n n n ⨯+⨯+++=++，再根据2(1)k k k k +=+，得到22221(11)(22)(33)()(1)(2)3n n n n n ++++++++=++，即()22221123123(1)(2)3n n n n n +++++++++=++，从而求得22221123(1)(21).6n n n n ++++=++(Ⅰ)请你写出123⨯⨯，234⨯⨯及()()12n n n ++的裂项式；(Ⅱ)设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23333123n S n =++++，类比上述方法，求n S 的表达式；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，设211(1)(1)n n nb m a a =---，若1n n b b +>对任意n *∈N 恒成立，求实数m 的取值范围．三明市2012—2013学年第二学期普通高中阶段性考试高二理科数学试题参考答案与评分标准一、选择题：二、填空题：1112．221x y += 13．12 14．B 方案 15．2562n n ++三、解答题：16．解：（Ⅰ）12z z ⋅＝(1i)(2i)b -+＝(2)(2)i b b ++-，…………………………………4分因为21z z ⋅为纯虚数，所以2＋b ＝0且b －2≠0，则b ＝－2． ……………………6分 （Ⅱ）12z z ＝2i 1i b +-＝22i 22b b-++， ………………………………………9分 因为12z z 在复平面上对应点的横坐标为1, 所以22b-＝1，则b ＝0， ………………………………………11分 因此12z z ＝1＋i ，所以21zz． ………………………………………13分17．解：（Ⅰ）由2cos sin ρθθ=，得22cos sin ρθρθ=，即y ＝x 2，则抛物线C 的直角坐标方程为y ＝x 2. ………………………………………4分（Ⅱ）将直线l的参数方程1,2,x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入抛物线C的方程，得2＝2(1)-.整理得220t -=，则12122t t t t +==-， …………………………………9分 所以|AB |＝12||t t -AB. ………13分 18．解：（Ⅰ）因为8名女大学生的平均身高为165cm ,所以345x x x ++=8⨯165-（3⨯165+155+170），即345x x x ++=500． ………………3分 因为女大学生的平均体重为55kg ，所以－7＋2－5＋(4y －55)＋9＋6－8＋4＝0，解得4y ＝54. ……………………6分 （Ⅱ）因为女大学生的平均身高为165cm ,平均体重为55kg .由回归方程0.8y x a =+（a 为实数），得550.8165a =⨯+，解得a ＝－77，………10分 所以线性回归方程为0.877y x =-，当168x =时，57.4y =．即对于女大学生的身高为168cm 时，由回归方程可预报其体重大约为57.4kg ．……13分19. 解：（Ⅰ）因为1211n n n C C -++=＝(1)2n n +＝21，所以2420n n +-=，解得n ＝6，n ＝－7（舍去）， 则n ＝6，所以333461(2)T C x =⋅⋅-＝380x -，因此380a =-. ………………………5分（Ⅱ）令1x =- ，则1033n =，所以10n =， ………………………7分因为012135(21)(21)n nn n n n nS C C C n C n C -=+++⋅⋅⋅+-++， 由组合数性质得0121(21)(21)(23)3n n n n n n n S n C n C n C C C -=++-+-+⋅⋅⋅++，……………10分 相加得2S ＝0121(22)()n nn n n n n n C C C C C -++++++＝(22)2n n +⋅，因此S ＝(1)2n n +⋅. ………………………12分 当n ＝10时，S ＝11×210＝11264. ……………………13分 20. 解：（Ⅰ）34＝81种， ………………………………………3分（Ⅱ）223323234313C A A P C A +==， ……………………………………6分 （Ⅲ）依题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，则4411()()(1)(0,1,2,3,4)33i ii P i C i ξ-==-=， ……………………………………9分所以16(0)81P ξ==，32(1)81P ξ==，24(2)81P ξ==，8(3)81P ξ==，1(4)81P ξ==， 则ξ的概率分布列如下：数学期望E ξ＝4×3＝3. ……………………………………14分 （或16322416140123481818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）. 21. 解：（I ）1123=12341234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（－０），123=234512344⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯４（－），[]1(1)(2)=(1)(2)(n 3)1)(1)(2)4n n n n n n n n n n +++++-++－(. …………………3分 （Ⅱ）由（I ）得1123=12341234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（－０）， 123=234512344⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯４（－）， ……[]1(1)(2)=(1)(2)(n 3)1)(1)(2)4n n n n n n n n n n +++++-++－(，H 相加得：1123234(1)(2)=(1)(2)(n 3)4n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+++++++，……………5分注意到32(1)(2)32n n n n n n ++=++，所以333322221233(123)2(123)n n n ++++++++++++++1(1)(2)(n 3)4n n n =+++， …………………6分 则由已知可求得：23333221123(1)4n S n n n =++++=+， …………………7分故1(1)2n S n n =+. …………………8分(Ⅲ)由1(1)2n S n n =+，得n a n =，221112(1)(1)()1n n n m b m m a a n n -=---=++-， 则2211212111111()()()()(2)()11111n n m m b b m n n n n n n n n n n +---=+--=-++--+++++ 1111111()(2)(2)11(1)1m m n n n n n n n n=-++-=---++++， ……………10分 因为1n n b b +>对任意n *∈N 恒成立，而1(1)n n + ＞0，所以11201m n n --->+对任意n *∈N 恒成立，即1121m n n<--+对任意n *∈N 恒成立， 设11()2(1)1g x x x x=--≥+ ，容易证明()g x 在[1,)+∞上单调递增，则当n ＝1时，min 11(2)1n n --+＝12，所以m ＜12.即实数m 的取值范围是1(,)2-∞． ………………………………………………………14分欢迎下载，资料仅供参考!!!。

翠园中学高二年级第一次月考数学试卷本试卷共20小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填涂在答题卷上． 2．选择题将答案代号用2B 铅笔填在答题卷的选择题答案栏中，不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，只将答题卷交回．一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )1. 己知4,,1--x 成等比数列,则x 的值为A.2 ;B.25 C. 2或-2 D. 25或25-2.在△ABC 中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =A. 3．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于A ．06030或 B ．06045或 C ．060120或 D ．015030或 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于A.10B.12C.15D. 305.在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=A ．090 B ．060 C ．0120 D ．01506.在等比数列{}n a 中，如果,8,44231=+=+a a a a 那么该数列的前8项和为 A ．12 B ．24 C ．48 D ．204 7．A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是A ．)2,2(B ．)2,2(-C ．]2,1(-D ．]2,2[- 8.已知数列{}n a 中,12,211-==+n n a a a , 则数列{}n a 的通项公式=n a A. 12-nB. n2 C. 121--n D. 121+-n9．在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是 A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形10.定义在-00+∞⋃∞（，）（，）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ,{}()n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。

高二期末考试文科数学 2013.07.03第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 1、已知函数f(x)=ax2+c ，且f ′(1)=2，则a 的值为－1 D.02、若2i =a +bi i+(a ，b∈R，i 为虚数单位) 则a+b= A.1 B.2 C.－1 D.－23、集合M={2，log 3a}，N={a ，b}，若M∩N={1}，则M∪N=A. {0，1，2}B. {0，1，3}C. {0，2，3}D.{1，2，3}4、函数2x 1f(x)=lnx-的定义域为 A. (0，+∞) B. (0，1)∪(1，+∞) C. (0，1) D. (1，+∞)5、函数f(x)=2x +3x 的零点所在的区间是A.(－2，－1)B. (1，0)C. (0， 1)D. (1，2)6、设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=2x(1－x)，则5f()=2- A.12- B.14- C.14 D.127、在极坐标系中，圆ρ=2sin θ的圆心的极坐标是 A.(1)2π， B.(1)2π-， C.(1，0) D. (1，π) 8、已知2x 3(x 0)f (x)f (x 1)f (x 2)(x 0)⎧+≤⎪=⎨--->⎪⎩，，，则f(2)等于 A. 1 B.－1 C. 0 D. 29、已知直线y=kx 是曲线y=lnx 的切线，则k 的值是A.eB.－eC.1e D.1e- 10、定义在R 上的函数f(x)满足(x+2)·f ′(x)<0(其中f ′(x)是函数f(x)的导数)， 又a=f(log 23)，b=f(1)，c=f(ln3)，则A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上．．．．．．．．．. 11、已知函数f(x)=2x 2－mx+5在[－2，+∞)上是增函数，则m 的取值范围为 .12、直线x =3t 1y =1+t 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ (t 为参数)的倾斜角是 . 13、在平面上，若两个正三角形的边长比是1：2，则它们的面积比是1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为_____.14、已知函数x 21()1(x 0)f(x)=2x 2x (x 0)⎧-≤⎪⎨⎪-+>⎩，，，对于下列命题：①函数f(x)的最小值为0；②函数f(x)在R 上是单调递减函数；③若f(x)>1，则x<－1； ④若函数y=f(x)－a 有三个零点，则a 的取值范围是0<a<1. 其中正确命题．．．．的序号是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤.15、(本小题满分12分)复数z=(3m －2)+(m －1)i ，m∈R.(1)m 为何值时，z 是纯虚数？(2) m 取什么值时，z 在复平面内对应的点位于第四象限？16、(本小题满分12分)已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}， Q={x| x 2－3x≤10}.(1)若a=3时，求P∩Q；(2)若P ⊆Q 时，求实数a 的取值范围.17、(本小题满分14分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程=bx +a y ，其中b=－20，a =y bx -；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润=销售收入－成本)18、(本小题满分14分)设数列{a n }满足：a 1=0，且n+1n 1111a 1a -=--(n∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设nb=S n=b1+b2+ b3+…+ b n，证明：S n<1.19、 (本小题满分14分)已知函数f(x)=ax3－bx+4，当x=2时，函数f(x)有极值43 -.(1)求f(x)的表达式；(2)若关于x的方程f(x)=k有三个不同的零点，求实数k的取值范围.20、(本小题满分14分)已知函数af(x)=lnxx-.(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为32，求实数a的值.高二数学(文科)参考答案及评分标准2013.07.0311、(－8，－∞]； 12、6π； 13、1：8； 14、③④. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤.15、(本小题满分12分)复数z=(3m －2)+(m －1)i ，m ∈R.(1)m 为何值时，z 是纯虚数？(2) m 取什么值时，z 在复平面内对应的点位于第四象限？解：(1) 3m －2=0且m －1≠0时，即m 32=时，z 是纯虚数. ……6分 (2)3m 20m 10-=⎧⎨-<⎩，解得m 132<<，此时z 在复平面内对应的点位于第四象限. ……12分16、(本小题满分12分)已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}， Q={x| x 2－3x≤10}.(1)若a=3时，求P∩Q；(2)若P ⊆Q 时，求实数a 的取值范围.解：(1)因为a=3，所以P={x|4≤x≤7}， ……1分又Q={x| x 2－3x≤10}={x|－2≤x≤5}， ……4分所以P∩Q ={x|4≤x≤7}∩{x|－2≤x≤5}={x|4≤x≤5}. ……6分(2) )若P ≠Φ，由P⊆Q ，得a 122a 152a 1a 1+≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥+⎩，解得0≤a ≤2； ……9分当P=Φ，即2a+1<a+1时，a<0，此时有P=Φ⊆ Q ，所以a<0为所求，……11分 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，2]. ……12分17、(本小题满分14分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程=bx +a y ，其中b=－20，a =y bx -；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润=销售收入－成本) 解：(1)∵1234561x (x x x x x x )8.56=+++++=， ……2分 1234561y (y y y y y y )806=+++++=， ……4分 ∴a =y bx 80208.5250-=-⨯=， ……6分 故回归直线方程为：=20x +250-y . ……8分(2)设工厂的利润为L 元，依题意：L=x(－20x+250)－4(－20x+250)=－20x 2+330x －1000233=20(x )361.254--+， 当单价定为x=8.25元时，工厂获得最大利润. ……14分18、(本小题满分14分)设数列{a n }满足：a 1=0，且n+1n 1111a 1a -=--(n ∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设n b =S n =b 1+b 2+ b 3+…+ b n ，证明：S n <1.解：(1)∵n+1n1111a 1a -=--，n 1{}1a -是首项为1，公差为1的等差数列， 则n 11(n 1)1n 1a =+-⨯=-，∴n n 1a n-=. ……5分 (2)∵n b ===， ……7分∴n S (1...=++++11=<. ……14分 19、 (本小题满分14分)已知函数f(x)=ax 3－bx+4，当x=2时，函数f(x)有极值43-. (1)求f(x)的表达式；(2)若关于x 的方程f(x)=k 有三个不同的零点，求实数k 的取值范围.解：(1) f′(x)=3ax 2－b ， ……1分则由题意有，f′(2)=12a －b=0且4f (2)8a 2b 43=-+=-， ……2分 ∴1a 3=，b=4， ……4分 ∴31f(x)x 4x 43=-+. ……5分 (2)由f′(x)= x 2－4=0，得x=－2或x=2， ……6分 则当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，此时f(x)是增函数；当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，此时f(x)是减函数；当x∈(2，+∞)时，f′(x)>0，此时f(x)是增函数， ……9分 所以f(x)在x=－2时，取得极大值28f(2)3-=， ……10分 所以f(x)在x=2时，取得极小值4f(2)3=-， ……11分 又x→－∞时，f(x)→－∞；x→+∞时，f(x)→+∞， ……12分 所以，方程f(x)=k 有三个不同零点时，428k 33-<<. ……14分 20、(本小题满分14分) 已知函数a f(x)=lnx x-. (1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性； (2)若f(x)在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值. 解：(1)221a x a f (x)x x x′+=+=， 当a>0时，f′(x)>0，则f(x)在定义域(0，+∞)上是增函数， ……4分 (2)2x a f (x)0x′+==，解得x=－a ， ……6分 则 ①当－a <－1时，即a>1，f′(x)>0⇒ f(x)在[1，e]上是增函数，此时，f(x)min = f(1)=－a=1.5，而a=－1.5不符合题意； ……8分 ②当1≤－a ≤e 时，即－e≤a≤－1时，当x∈[1，－a]时，f′(x)<0，此时，f(x)是减函数；当x∈(－a ，e]时，f′(x)>0，此时，f(x)是增函数，所以f(x)在x=－a 时，取得极小值且极小值为f(－a)=ln(－a)+1，由题意得，f(－a)=1.5得a =符合题意； ……10分 ③当－a >e 时，即a<－e 时，f′(x)<0⇒ f(x)在[1，e]上是减函数， 此时，min a 3f(x)=f(e)1e 2=-=，则e a 2=不符合题意， ……12分所以，所求a 的值为a =……14分。

广东省深圳市翠园中学数学必修模块测试一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题中只有一项是符合题目要求的．（1）若全集U ＝｛1，2，3，4，5｝，集合M ＝｛1，2，4｝，N ＝｛3，4，5｝， 则C ()U M N ?＝（A ）｛1，2，3，5｝ （B ）｛1，2，3｝（C ）｛1，3，4｝ （D ）｛4｝（2）图1是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是（A ）8π （B ）4π （C ）2π （D ）π （3）设2()3x f x x =-,则在下列区间中，使方程()0f x =有实数解的区间是（A ）[]0,1 （B ）[]1,2（C ）[]2,1-- （D ）[]1,0-（4）阅读图2所示的流程图，输出的结果为（A ）24 （B ）12（C ）6 （D ）4（5）某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C 北偏东30，灯塔B 在 观察站C 南偏东30处，则两灯塔A 、B 间的距离为（A ）400米 （B ）500米 （C ）700米 （D ）800米（6）如图3，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（A ）1 （B ）12（C ）13 （D ）16 （7）若a 0＜＜1，则下列各式中正确的是 （A ）3a -＜4a - （B ）0.40.5a a＜图1 图2图3主视图 左视图 俯视图（C ）log 0.4a ＜log 0.5a （D ）1lga＜lg a（8）在空间直角坐标系中，给定点()2,1,3M -，若点A 与点M 关于xOy 平面对称，点B 与点M 关于x 轴对称，则AB ＝图4 （A ）2 （B ）4 （C ） （D ）（9）函数3cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递减区间是 （A ）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） （B ）511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） （C ）,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） （D ）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） （10）图4所示的5×5正方形表格中尚有20个空格，若在每一个空格中填入一个正整数，使得每一行和每一列都成等差数列，则字母a 所代表的正整数是（A ）16 （B ）17 （C ）18 （D ）19二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（11）某射手射击一次，命中环数及其概率如下表：则该射手射击一次，至少命中7环的概率为 ． （12）若α为锐角，且1sin 3α=，则cos α= ．（13）400辆汽车通过某一段公路时的速度如图5所示，则速度在)70,50[的汽车大约有 辆．（注：本题中速度的单位为km/h ）（14）已知向量a 、b 的夹角为60，且2=a ，1=b ，则a +2b = ；向量a 与向量a ＋2b 的夹角的大小为 。