高一数学教师学习单(集合)
- 格式：doc
- 大小：2.38 MB
- 文档页数：21
高一数学学习单 姓名____________任课教师____________日期____________集合第一课时（集合概念、元素的性质、集合的表示方法）引言：1、高中数学内容介绍：集合、简易逻辑、不等式、函数（导数）、三角函数、向量、数列、解析几何、立体集合、二项式定理、概率统计、算法、复数2、第一学段学习内容：集合、简易逻辑、不等式3、集合在数学中的作用和地位：数学是一种语言，集合是作为语言被介绍的，集合语言是现代数学的基本语言，因而是学习其它知识的基础．集合概念及其理论是近现代数学的重要基础，高等数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑学等都是建立在集合论的基础上．那么，你在假期自学集合这一章节时，遇到哪些感到疑惑的问题？为了方便大家寻找问题，请大家完成自我诊断．一、自我诊断：1．下面给出的五类对象中：①某学校高一的阳光女生；②某学校高一身高最高的同学；③与1接近的实数的全体；④平方后等于1-的实数全体，⑤倒数等于它本身的数；⑥周长为20cm 的三角形的全体．其中能构成集合的有__________；构成的集合是有限集的有__________________；构成的集合是无限集的有_________________．答案：②④⑤⑥；②④⑤；⑥ 2．用符号∈或∉填空：0___{}0，0_____∅，0___N ，a ___{}a ，π___Q ． 答案：∈，∉，∈，∈，∉ 3．用列举法表示下列集合： ①(){}2|8A x y y x x N y N ==-+∈∈，，，②{}2|8B y y x x N y N ==-+∈∈，，③{}2|8C x y x x N y N ==-+∈∈，，答案：()()(){}0 8 1 7 4A =，，，，2，；B ={8，7，4}；C ={0，1，2}． 4．设a 、b R ∈，集合{1，a b +，a }={0，ba，b }，则b a -=_________． 答案：0a b +=，1b =，1a =-，2b a -=． 二、问题讨论：1、请分别说说你怎么理解元素的确定性、互异性、无序性？ 参考：（1）哪些是不确定的说法：比如：漂亮的人，成绩好的学生，富裕的家庭等，不能组成集合． （2）关于互异性，问：集合{}2440x x x -+=是单元集合吗？问：数集{0，1，2x x -}中的隐含条件是什么？2、同学们都知道集合的表示方法有：列举法、描述法、图像法、区间、特定字母法：N （*N 或N +），Z ，Q ，R ；请问同学们它们分别适合什么样的集合？参考：列举法适合有限集或者有规律的无限集；描述法适合有元素共同特性的集合；列举法和描述法通常可以互相转化．图像法主要的功能是描述集合之间的关系；区间是数集的特殊表示方法，适合表示连续的实数．3、我们知道描述法是集合的一种重要表示方法，是集合语言的集中体现，请问同学们描述法要关注哪些因素？参考：要关注代表元素的重要性和特征性质的重要性，同时要注意对字母的限制条件． （1）元素的一般符号的重要性：它表明这个集合是什么样的元素组成． （2）特征性质的重要性：它表明元素具备什么性质． 三、例题分析：例1．用适当的方法表示下列集合： （1）36的所有正约数；（2）由1，2，3中的部分或全部组成的正整数（要求数字不重复）集合； （3）在平面直角坐标系中第三象限内的所有点；（4）函数210y x =-+图象上的一切“正格点”（定义横纵坐标都是正整数的点为“正格点”）．分析：（1）由于“36的所有正约数”组成的集合中只包括1，2，3，4，6，9，12，18，36这9个元素，故可以用列举法表示．又由于这个集合中元素的共同特征比较明显，便于描述，故也可以用描述法表示该集合；（2）我们分别写出由1，2，3中的1个、2个、3个数字形成的正整数共有15个，分别是1，2，3，12，13，23，21，31，32，123，132，213，231，312，321，故可用列举法表示该集合；（3）因为平面直角坐标系中第三象限内的点无穷多，但是它们都具有一个共同的特征：横坐标和纵坐标都为负数，故可以用描述法表示该集合；（4）结合二次函数的图象，让x 由小到大分别取正整数检验可知，x 只能取1，2，3，相应的y 取9，6，1，即“正格点”只有3个，故可用列举法表示该集合．解：（1）由36的所有正约数组成的集合用列举法可以表示为{1，2，3，4，6，9，12，18，36}； 用描述法可表示为{x N x *∈是36的约数}；（2）由1，2，3中的部分或全部组成的正整数（要求数字不重复）集合用列举法可表示为{1，2，3，12，13，23，21，31，32，123，132，213，231，312，321}； （3）在平面直角坐标系中第三象限内的所有点的集合用描述法可表示为 0{()|}0x x y y <⎧⎨<⎩，或{()|00}x y x y <<，且； （4）函数210y x =-+图象上的一切“正格点”集合用列举法可表示为{（1，9），（2，6），（3，1）} 例2．你能区分下述几种不同表述的不同含义吗？ ①}012|{2=--x x x ， ②}12|{2--=x x y y ，③}12|{2--=x x y x ， ④2{()|21}x y y x x =--，， ⑤}012{2=--x x ， ⑥}12{2--=x x y ．分析：注意在“形似”中发现“不同”，从“列举法”和“描述法”的深层结构来思考与鉴别．． 解：①表示方程2210x x --=的实数解组成的集合；②表示由二次函数221y x x =--的所有函数值组成的集合（即值域）； ③表示由二次函数221y x x =--的所有自变量组成的集合（即定义域）； ④表示由抛物线221y x x =--上的所有点组成的集合；⑤表示单元素集，这个集合中只有一个元素，这个元素是一元二次方程2210x x --=； ⑥表示单元素集，这个集合中只有一个元素，这个元素是一个二次函数221y x x =--．评析：注意例2中①与⑤、②与⑥的区别，这里“|”和它前面的“代表元素”是不能省略的！②与③的区别在于“|”前的“代表元素”不同，因此集合的含义就不同！在此，提醒同学们：表示一个集合的关键在于恰当而准确；同时，若给出一个集合，从其表示形式来理解集合所蕴含的本质含义，是我们学习集合的一项基本要求．例3．集合16M x x m m Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，，123n N x x n Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，，126p P x x p Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，，则M 、N 、P 之间的关系是（ B ）A ．M N P =⊂≠B ．M N P ⊂=≠C ．M N P ⊂⊂≠≠D ．N P M ⊂=≠解析：616m +，326n -，316p + 四、巩固练习：1．用描述法表示下列集合：（1）正偶数的集合； （2）不等式210x -≤的解集； （3）{2，4，6，8}； （4）1，12，13，14； （5）抛物线222y x x =-+上的点组成的集合； （6）区间(] 6-∞，．答案：（1）{}2x x k k N +=∈， （2）{}11x x -≤≤（3）{}2 14x x k k N k =∈≤≤，，（4）1 14x x k N k k ⎧⎫=∈≤≤⎨⎬⎩⎭，，（5）(){}222x y y x x =-+，（6）{}6x R x ∈≤2．已知集合12{|}6A x N N x=∈∈-，试用列举法表示集合A ．答案：A={5，4，3，2，0}3．已知集合{}22P y y x x R ==-+∈，，{}2Q x y x x R ==-+∈，，那么Q P 等于___________．答案：{}2≤y y 五、课后练习：1．设含有三个实数的集合既可以表示成 1b a a⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，又可以表示成{}2 0a a b +，，，则20112012a b += ．解析：1a =-，0b =，原式等于1-2．集合A={x 2x k k Z =∈，}，B={21x x k k Z =+∈，}，C={41x x k k Z =+∈，}又a Ab B ∈∈，，则有（ B ）（A ）()a b +∈ A （B ） ()a b +∈B （C ） ()a b +∈ C （D ） ()a b +∈ A 、B 、C 任一个 3．已知函数()x f y =，[]x a b ∈，，那么集合()()[]{}(){}2x y y f x x a b x y x =∈= ，，，，中元素的个数为（ ）（A ） 1 （B ）0 （C ）1或0 （D ） 1或2 【错解】：不知题意，无从下手，蒙出答案D ．【分析】：集合的代表元，决定集合的意义，这是集合语言的特征．事实上，{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥分别表示函数)(x f y =定义域，值域，图象上的点的坐标，和不等式()()g x f x ≥的解集．【正解】：本题中集合的含义是两个图象的交点的个数．从函数值的唯一性可知，两个集合的交中至多有一个交点．即本题选C ．4．用适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． （1）被5除余2的所有整数的全体构成的集合；（2）函数y =（3）平面直角坐标系上第四象限的点组成的集合； （4）不等式220x ax ++≥恒成立时，a 的值组成的集合． （5）不等式2210x x ---≥的解集．答案：（1）25x x zz ⎧-⎫∈∈⎨⎬⎩⎭（2）{x y =，{y y =，(){x y y =，（3）(){}00x y x y ><，，（4）{a a ≤≤（5）{}1x x =-5．已知集合A={}21a a n n N +=+∈，，集合B={}222b b m m m N +=-+∈，，若x ∈A ，试判断x 与B 集合的关系；反过来呢？答案：B=(){}211b b m m N +=-+∈，，x ∈A 可以得到x ∈B ；反过来，1∈B ，当时1∉A ．6．已知集合 =A {2，3，2a +4a +2}， B ＝{0，7，2a +4a -2，2-a }，且A B={3，7}，求a 值．分析： ∵ A B={3，7}∴ 2a +4a +2=7． 即 a =1，或a =－5．至此不少学生认为大功告成，事实上，这只求出了集合A ，集合B 中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步检查．当a =－5时，2－a =7， 在B 中重复出现，这与元素的互异性相矛盾，故应舍去a =－5．当a =1时， B={0，7，3，1} 且A B={3，7} ∴ a =1评注：集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之毫厘则失之千里．集合第二课时（空集，集合语言，集合的封闭性）一、自我诊断：1．下面四个命题：①零属于空集；②方程0532=+-x x 的解集是空集；③方程0962=+-x x 的解集是单元素集； ④不等式062>-x 的解集是无限集． 其中正确命题的个数为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．42．当a b ，满足什么条件时，集合{0}A x ax b x R =+=∈，是有限集、无限集、空集？ 答案：0a ≠；0a =且0b =；0a =且0b ≠． 3．已知集合2{|210}A x ax x a R x R =++=∈∈，，． （1）若A 中有且只有一个元素，求a 的值； （2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． 答案：（1）0a =或1a =；（2）0a =或1a ≥．4．若m 、n 是集合{}A x x a a Z b Z ==+∈∈，的元素，试问m n +，mn ，mn与集合A 的关系？ 答案：m n +，mn 是A 的元素；mn不是A 的元素． 二、问题讨论：1、空集与0的地位分析；空集有哪些性质？ 参考：{}∅∈∅，{}∅⊆∅，{}∅⊂∅≠空集是任何的子集，是任何非空集合的真子集． 空集常常被忽略，很受伤！2、集合元素还具备广泛性，只要是能够确定的对象都能构成集合．请问集合是否可以做集合的元素？“集族”教材第9页．比如、设A={0，1}，且B={x x A ∅⊂⊆≠}，则用列举法表示B 为_______________．解析：{}{}{}{}010 1，，， 3、集合是作为一种语言来介绍的，请同学们简单谈谈，集合作为一种语言，体现在哪些方面？参考：若集合{}200x ax bx c a ++=≠，是空集，说明方程无解；1y y x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭是值域；1x y x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭是定义域；函数的单调区间；立体几何的点线面的关系；概率统计中的数据等4、数集对某种运算的封闭性．实数集对加减乘除是封闭的，也就是说，集合中的任意两个元素经过计算后还是集合的元素．请同学们举出一个集合并说出它对什么运算是封闭的？ 还有不常见的运算封闭性：243x NN x ⎧⎫∈∈⎨⎬+⎩⎭或{}6x N x N ∈-∈ 三、例题分析：例1．设集合2{|40}A x x x =+=，()22{|2110}B x x a x a =+++-=，若A B ⊇，求实数a 的范围． 解析：本题主要是唤醒学生对空集的重视A ＝{|}{}x x x 24004+==-，．由B ⊆A ，得B ＝∅，或{0}，或{－4}，或{0，－4}． ①当B ＝∅时，∆=4+)--<(()a a 141022，解得a <-1．②当B ＝{0}时，由两根为0及韦达定理得210102()a a +=-=⎧⎨⎩，解得1a =-．③当B ＝{－4}时，由两根为－4及韦达定理得2181162()a a +=-=⎧⎨⎩，无解．④当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得214102()a a +=-=⎧⎨⎩，解得1a =．综上①②③④知，所求实数a 的范围为}1{]1( --∞，． 例2．（1）已知集合{}2210x ax x --=是一个空集，求实数a 的取值范围；（2）已知集合{}2210x ax x --=是一个单元集合，求实数a 的值；（2）已知集合{}2210x axx --≥是一个有限集合，求实数a 的值．解析：本题主要是训练学生的集合语言的理解． （1）440a ∆=+<，所以1a <-； （2）0a =或1a =-； （3）00a <⎧⎨∆=⎩即1a =-．如果空集是有限集则需加上0a <⎧⎨∆<⎩一定向学生说明空集在有的地方是算有限集，有的地方空集单独。
