山东大学2018年《829-量子力学》考研大纲一、考试性质量子力学是物理学专业的一门必修课。
量子力学是描写微观粒子运动的理论。
要求学生能够掌握量子力学的基本原理和处理问题的一些重要方法，培养学生运用这些方法解决具体问题的能力，帮助学生建立一种‘全新’的、与经典物理不同的科学观念，为他们进一步深入学习近现代物理和了解当今科学研究的前沿工作奠定基础。
《量子力学》考试要力求反映物理类硕士专业的特点，科学、公平、准确、规范地测评考生的基本素质和综合能力，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家的经济建设培养高层次物理类专业人才。
二、考试要求测试考生对于与决策有用的会计信息相关的基本概念、基础知识的掌握情况和运用能力。
三、考试内容1．波函数和薛定谔方程1）波函数的统计解释2）自由粒子平面波3）薛定谔方程2．力学量与算符1）算符，厄米算符2）力学量与算符3）力学量平均值4）不确定关系5）力学量平均值随时间的变化6）薛定谔绘景与海森堡绘景3．表象1）坐标表象与动量表象2）表象变换3）狄拉克符号4．一维定态问题1）一维束缚定态的性质2）一维方势阱3）一维谐振子4）δ函数势5．三维定态问题1）中心力场中粒子运动的一般性质2）无限深球方势阱3）氢原子4）带点粒子在外电磁场中的薛定谔方程，恒定均匀场中带电粒子运动6．全同粒子1）全同粒子的概念；全同性原理2）费米气体模型；氦原子3）粒子占有数表象7．量子力学中的近似方法1）定态和含时微扰论2）变分法3）量子跃迁8．量子散射1）射截面2）波法；低能中心力场散射3）恩近似，高能散射4）旋1/2非全同粒子散射；全同粒子散射四、考试方式与分值本科目闭卷考试，满分150分。
文章来源：文彦考研。
2021年硕士研究生入学考试《量子力学》模拟试题 报考专业：理论物理、原子与分子物理、凝聚态物理 考试科目：量子力学 科目代码： 661 _____________ 注意事项：本试题的答案必须写在规定的答题纸上，写在试题
上不给分。 一、 简答题（每小题10分，共50 分） 1. 量子力学中粒子的状态由什么描述？写出它满足的方程。 2. 什么是宇称？若某哈密顿量的本征态具有确定宇称，则其势函数具有何特点？ 3. 力学量对应的算符怎么得到？以空间角动量Lz = xpy -ypx为例说明该过程。 4. 什么是玻色子？举例说明。 5. 泡利算符乞,乞,戈可以用来描述电子自旋，请写出它们的矩阵形式。
二、 证明题（共20 分） 证明厄米算符的本征值是实数。 三、计算题（每小题20 分，共80 分） 1. 一质量为m的粒子在势阱V（x） = —Y§（X）（Y> 0）中运动，求束缚态能级与波函数。
^j2 R2i（r）乙，1 G。） ~^j2 R2i
（r）乙，-1（G
，^）
（1） sx的期望值；（10分） ⑵ 磁矩Mz = _—L厂£sz的期望值。（io分） 2mm
3. 一电荷为q的线性谐振子受恒定弱电场E作用，电场沿x方向，因而体系的哈密顿为 H = H0 — qEx = -—d- +丄mo1 x2 — qEx。用微扰论求体系的定态能量（准确到二级）和波 0 2m dx2 2
函数（准确到一级）。提示：x^n =a J20"T +£2^0"+1，其中 a = ， H0»n = En札。
4. 假设自旋1/2的粒子处在状态力=2 。求 1 + i
（1） 测量s’，测量值为力/2和-力/2的概率分别是多少？ （10分） （2） 测量sx，测量值为力/2和-力/2的概率分别是多少？ （10分）
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2. 设氢原子处于状态， 。求：
2018(回忆版)
一．（30分）
（1）氢原子的能量2n
c E n -=，氢原子处于状态),,(52),,(5
1),,(211210ϕθϕθϕθr r r ψ-ψ=ψ，写出氢原子能量，角动量的平方2
L 及角动量第三分量z L 的平均值。
（2）一维空间，粒子被限制在长度为a 的范围内，根据测不确定关系，求能量的最小值。
（3）两个电子的空间函数满足对称性，即),(),(1221r r r r ρρρρΦ=Φ，求考虑
自旋后的整体波函数。
二．（30分）
（1）一维谐振子的波函数为n Φ，n=0,1,2......，求在x ，y 方向的二
维各向同性谐振子的能级，本证波函数，简并度。
（2）证明x y z yp xp L -=为守恒量。
三．（30分）
（1）利用位置和动量的对易关系，证明233],[ihx p x =。
（2）利用角动量各分量的对易关系，证明在z L 的本征态下x L 和y L 的平
均值为0。
四．（30分）质量为m 的粒子被限制在无限大平行板之间，设板间距为d ，求体系能级和波函数。
五．（30分）B H ρ⋅-=μ,),0,0(B B =ρ，磁矩S ρρg =μ，g 为常量。
（1）t=0时刻，波函数)(2sin )(2cos
2
121z z s s -++=ψχθχθ，求t 时刻，z y x S S S ,,的平均值><><><z y x S S S ,,。
（2）当有微扰存在),0,(B b B =ρ，b 《B ，根据微扰法，求能量的二级修正，
和波函数的一级修正。
XXX大学2021年《量子力学》专业攻读硕士学位研究生入学考试试题（试卷六）一、（35分）：1、如果1ψ和2ψ是某一体系含时薛定谔方程的解。
1） 它们的线性组合12a b ψψψ=+是否满足同样的含时薛定谔方程？2） 若令12,ψψψ'=，你认为ψ'是否满足同样的含时薛定谔方程？2、质量相同的两个粒子分别在宽度不同的两个一维无限深势阱中，试问窄势阱中粒子基态能量低，还是宽势阱中的基态能量低？3、简答题：1）你是否认识这三个矩阵1010,,10001o i i -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭；在量子力学中它们叫什么？2）写出,ˆˆˆ,x y z L L L 之间的对易关系。
3）计算ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,,,x y z y z x z x y L L L L L L L L L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦？二、（20分）：有一个双势阱：()000012V V x V V ⎧⎪∞⎪-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎪⎪⎩ 002233x x a a x a a x a a x <<<<<<<<这里00V >，试写出各区域内波函数的合理形式以及连接各区域的边界条件（不必具体求解）。
三、（25分）。
处于均匀电场中带电谐振子的哈密顿量为： ()()2222211ˆ22x y H p p m x y eEx m ω=++++（其中电场强度E 为常数）。
（1） 求出其能级。
（2） 电场E 的大小会产生什么影响？四、（20分）。
如果把原子看作由一个核和价电子均匀分布在半径为0a 的球内所组成，那么其散射势可表示为：()200,0,ze r r a V r r R r a ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩其中202,a R ze =试用玻恩近似求微分截面。
