南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题

南昌大学 2006～2007学年第一学期期末考试试卷一、填空题 (每空 3 分，共 15 分) : 1.函数1()lg(5)3f x x x =++--的定义域为_______________.2. 设函数 ,0,()ln(),0,x e x f x a x x -⎧<=⎨+≥⎩ 则a 为_____值时,()f x 在x =0处 连续.(a >0) 3. 若函数()f x 在x =0可导, 且f (0)=0,则0()limx f x x→=__________. 4.设()f x =在[1, 4]上使Lagrange(拉格朗日)中值定理成立的ξ=_____.5. 设220()sin ,xF x t dt =⎰则()dF x =_______________. 二、单项选择题 (每题 3 分，共15分):1. 0x =是函数1()sin f x x x=的( ).(A) 跳跃间断点. (B) 可去间断点. (C) 无穷间断点. (D) 振荡间断点. 2. 设曲线21x y e-=与直线1x =-相交于点P,曲线过点P 处的切线方程为( ).(A) 210.x y ++= (B) 230.x y +-= (C) 230.x y -+= (D) 220.x y --=3. 若函数()f x 在区间(,)a b 内可导,1x 和2x 是区间(,)a b 内任意两点, 且12x x <, 则至少存在一点ξ使( ). (A) ()()'()(),f b f a f b a ξ-=- 其中.a b ξ<< (B) 11()()'()(),f b f x f b x ξ-=- 其中1.x b ξ<< (C) 2121()()'()(),f x f x f x x ξ-=- 其中12.x x ξ<< (D) 22()()'()(),f x f a f x a ξ-=- 其中2.a x ξ<<4. 设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,则()d f x dx ⎡⎤⎣⎦⎰等于( ).(A) ().f x (B) ().f x dx (C) ().f x C + (D) '().f x dx5. 设43()()'()d d I f x dx f x dx f x dx dx dx=++⎰⎰⎰存在, 则I =( ).(A) 0. (B) ().f x(C) 2().f x (D) 2().f x C +三、计算下列极限 (共2小题, 每小题7分, 共14分) :1. 0lim.1cos x x→-2. tan 2(sin ).lim x x x π→四. 解下列各题 (共3小题, 每小题7分, 共21分):1.设ln y =求''(0).y2. 设函数()y y x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定,求'(0).y3. 设2022(),(),t x f u du y f t ⎧=⎪⎨⎡⎤⎪=⎣⎦⎩⎰ 其中()f u 具有二阶导数, 且()0,f u ≠ 求22.d y dx五.求下列不定积分 (共2小题,每小题7分,共14分): 1、81.(1)dx x x +⎰2. 2sin .x xdx ⎰六.已知1(2),'(2)0,2f f ==及20()1,f x dx =⎰求120''(2).x f x dx ⎰(7分)七.已知函数222,(1)x y x =-试求其单增、单减区间, 并求该函数的极值和拐点. (9分)八.设()f x 在[,)a +∞上连续,''()f x 在(,)a +∞内存在且大于零,记()()()().f x f a F x x a x a-=>- 证明:()F x 在(,)a +∞内单调增加. (5分)南昌大学 2006～2007学年第一学期期末考试试卷及答案一、填空题 (每空 3 分，共 15 分) : 1.函数1()lg(5)3f x x x =++--的定义域为 （ 2335;x x ≤<<<与 ）2. 设函数 ,0,()ln(),0,x e x f x a x x -⎧<=⎨+≥⎩ 则a 为（ e ）值时,()f x 在x =0处 连续.(a >0) 3. 若函数()f x 在x =0可导, 且f (0)=0,则0()limx f x x→=（ '(0)f ） 4.设()f x =在[1, 4]上使Lagrange(拉格朗日)中值定理成立的ξ=（ 9/4 ）一、 5. 设220()sin ,xF x t dt =⎰则()dF x =（22sin(4)x dx ）二、单项选择题 (每题 3 分，共15分):1. 0x =是函数1()sin f x x x=的( B ).(A) 跳跃间断点. (B) 可去间断点. (C) 无穷间断点. (D) 振荡间断点. 2. 设曲线21x y e-=与直线1x =-相交于点P,曲线过点P 处的切线方程为( C ).(A) 210.x y ++= (B) 230.x y +-= (C) 230.x y -+= (D) 220.x y --=3. 若函数()f x 在区间(,)a b 内可导,1x 和2x 是区间(,)a b 内任意两点, 且12x x <, 则至少存在一点ξ使( C ). (A) ()()'()(),f b f a f b a ξ-=- 其中.a b ξ<< (B) 11()()'()(),f b f x f b x ξ-=- 其中1.x b ξ<< (C) 2121()()'()(),f x f x f x x ξ-=- 其中12.x x ξ<< (D) 22()()'()(),f x f a f x a ξ-=- 其中2.a x ξ<<4. 设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,则()d f x dx ⎡⎤⎣⎦⎰等于( B ). (A) ().f x (B) ().f x dx (C) ().f x C + (D) '().f x dx5. 设43()()'()d d I f x dx f x dx f x dx dx dx=++⎰⎰⎰存在, 则I =( D ).(A) 0. (B) ().f x(C) 2().f x (D) 2().f x C +三、计算下列极限 (共2小题, 每小题7分, 共14分) :1. 0lim.1cos x x→- 解：0x →时，211cos 2xx -，()2224111cos 22x x x -= ∴0lim1cos xx →=-022x x →=2. tan 2(sin ).lim x x x π→解：(1) 令()tan sin xy x = ln tan lnsin y x x =(2)2ln lim x y π→=2tan lnsin lim x x x π→= 2lnsin cot lim x xx π→==221cos sin 0csc lim x xx x π→=- (3) tan 2(sin )lim x x x π→=2lim x y π→ln 021lim y x e e π→===四. 解下列各题 (共3小题, 每小题7分, 共21分):1. 设ln y=求''(0).y 解：21[ln(1)ln(1).2y x x ==--+22112112'. 3212111x x y x x x x -⎡⎤⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎢⎥--++⎣⎦⎝⎭分222222222112(1)411''.2(1)(1)2(1)(1) x x x y x x x x ⎡⎤+--=-+=--⎢⎥-+-+⎣⎦ 13''(0)1.722y =--=-于是分2. 设函数()y y x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定,求'(0).y解：方程两边对x 求导,得()23212'3'cos . 4x y x y x y x x y+=+++分0,1,'(0) 1. 7x y y ===当时由原方程得代入上式得分3. 设2022(),(),t x f u du y f t ⎧=⎪⎨⎡⎤⎪=⎣⎦⎩⎰ 其中()f u 具有二阶导数, 且()0,f u ≠ 求22.d y dx 解: 222 4()'(),().dy dx tf t f t f t dt dt==22222222224()'()4'(). ()4'()8''(). ()dydy tf t f t dt tf t dx dx f t dtdy d dy dx d d y f t t f t dx dt dx dx dx f t dt∴===⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪+⎝⎭∴=== 五.求下列不定积分 (共2小题,每小题7分,共14分): 1、81.(1)dx x x +⎰解: 原式 =()78888888811111dx =dx 88(1)11x dx x x x x x x ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭+⎰⎰⎰ 81ln ||ln |1|.8x x C =-++2. 2sin .x xdx ⎰解: 原式1cos211cos2224x xdx xdx x xdx -==-⎰⎰⎰ 211sin 2cos 2.448x x x x C =--+六.已知1(2),'(2)0,2f f ==及20()1,f x dx =⎰求120''(2).x f x dx ⎰(7分)解: 设2,t x = 则2122001''()''()24t x f x dx f t dt =⎰⎰222200011'()2'()2()88t f t tf t dt tdf t ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 220011()()(11)0.44t f t f t dt ⎡⎤=--=--=⎣⎦⎰ 七.已知函数222,(1)x y x =-试求其单增、单减区间, 并求该函数的极值和拐点. (9分)解: 34484',''.(1)(1)xx y y x x +==-- 1'0,0;''0,.y x y x ====-令得令得故(0,1)为单增区间,(,0)(1,);-∞+∞和为单减区间函数在0x =处取得极小值,极小值为0;点(1/2,2/9)-为拐点.八.设()f x 在[,)a +∞上连续,''()f x 在(,)a +∞内存在且大于零,记()()()().f x f a F x x a x a-=>- 证明:()F x 在(,)a +∞内单调增加. (5分)证明: 1()()'()'().f x f a F x f x x a x a -⎡⎤=-⎢⎥--⎣⎦由拉格朗日中值定理知存在(,),a x ξ∈使()()'().f x f a f x aξ-=- []1'()'()'().F x f x f x aξ∴=--由''()0f x >可知'()f x 在(,)a +∞内单调增加,因此对任意x 和(),a x ξξ<<有'()'(),f x f ξ>从而'()0,F x >故()F x 在(,)a +∞内单调增加.南昌大学 2009～2010学年第一学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设函数()arcsin ln 13xy x =+-，则它的定义域为。

江西省南昌大学附属学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知命题p ：0x ∀≥，3x x ≥，命题q ：0x ∃<，210x +>，则（ ）A ．p ⌝：0x ∃<，3x x <B ．p ⌝：0x ∃≥，3x x <C ．q ⌝：0x ∀≥，210x +≤D ．q ⌝：0x ∃<，210x +≤2．已知数集A B 、满足：{}2,3A B ⋂=，{}1,2,3,4A B =U ，若1A ∉，则一定有：（ ） A ．1B ∈B ．1B ∉C ．4B ∈D ．4A ∉ 3．已知命题1:0x p x-≤，命题():10q x x -≤，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，已知全集U =R ，集合{}2340A x x x =-->，{}0B x x =>，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}0x x ≤B ．{}1x x ≥-C ．{}10x x -≤≤D ．{}04x x x 或 5．已知实数满足23a b -<<<，则a b -的取值范围是（ ）A ．46a b -<-<B ．50a b -<-<C ．51a b -<-<D ．11a b -<-< 6．某单位采用新工艺将二氧化碳转化为化工产品，其月处理成本y （元）与月处理量x （吨）的函数关系式为2218020000y x x =-+.请问：当月处理量为（ ）吨时，可以使每吨的平均处理成本最低？A ．100吨B ．150吨C ．200吨D ．250吨， 7．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象.数学黑洞：无论怎样设值，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数学黑河有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等.定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}2217210B x x x =|-+<，则A B ⋂的子集个数为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．648．已知0a >，0b >，0c >，且0a b c +-≥，则4b a a c+的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9二、多选题9．下列各组中,M P 表示不同集合的是（ ）A ．{}3,1M =-，(){}3,1P =-B ．(){}3,1M =，(){}1,3P =C ．{}21,M y y x x ==+∈R ，{}21,P x x t t ==+∈RD ．{}21,M y y x x ==-∈R ，(){}2,1,P x y y x x ==-∈R 10．设正实数m ，n 满足2m n +=，则（ ）A ．12m n +的最小值为3B 2C 1D ．22m n +的最小值为32 11．为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V 的可能取值为（ ）．A ．4B ．40C ．8D ．28三、填空题12．已知集合{}{}2,,1a a a =，则a =．13．已知102x <<，则()12x x -的最大值为. 14．设全集R U =，集合(){}22210A x x m x m m =-+++≤，{}22B x x =-<<，若集合()U A B I ð中有且仅有2个整数，则实数m 的取值范围是.四、解答题15．设全集{}N 06U x x =∈<≤，{}2650A x x x =∈-+<Z ，206x B x x ⎧⎫-=∈<⎨⎬-⎩⎭Z . (1)求()()U U A B ⋂痧；(2)写出集合A 所有的真子集.16．已知集合{|12}A x a x a =-<<+，3{|1}2B x x =-≤≤. (1)当1a =时，求A B U 和A B ⋂；(2)是否存在实数a ，使得A B B =U ，若存在，求实数a 的取值范围，否则，说明理由. 17．已知2:,10p x R ax ax ∀∈-+>恒成立，2:,0q x R x x a ∃∈++=.如果,p q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围.18．（1）已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥(),,a b c ∈R 的解集为{}21x x -≤≤-，求不等式20cx bx a -+<的解集；（2）若0a <，解关于x 的不等式()2220ax a x +--≥.19．设集合{}28120A x x x =-+=，(){}2221130B x x a x a =+++-=. (1)若{}2A B =I ，求实数a 的值；(2)若A B A =U ，求实数a 的取值范围；(3)若全集U =R ，()U A B A ⋂=ð，求实数a 的取值范围.。

江西省南昌市（新版）2024高考数学统编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题为了研究我国男女性的身高情况，某地区采用分层随机抽样的方式抽取了100万人的样本，其中男性约占､女性约占，统计计算样本中男性的平均身高为，女性的平均身高为，则样本中全体人员的平均身高约为（）A．B．C．D．第(2)题下列函数中，与函数的奇偶性相同的是（）A．B．C．D．第(3)题对于R上可导的任意函数，若满足则必有A．B．C．D．第(4)题（）A．B．C．D．第(5)题《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学．“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的，分别为91，39，则输出的（）A．3B．7C．13D．21第(6)题已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题设复数满足，则的虚部为（）A．B．C．D．2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的动点，且点，点，的平分线与轴交于点，则（）A．设点是线段的中点，则点的轨迹方程为B．的最小值为4C．抛物线过点的切线方程为或D．若，则的取值范围第(2)题函数的部分图象如图，将函数的图象上所有点的横坐标伸长或缩小为原来的倍，得到的图象，则下列说法正确的是（）A．若，则的最小正周期为B．若，则为的图象的一个对称中心C．若为偶函数，则的最小值为1D ．的单调递增区间为，第(3)题已知点，，点P为圆C：上的动点，则（）A．面积的最小值为B．的最小值为C．的最大值为D．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，椭圆M：的左、右焦点分别为，，两平行直线，分别过，交M于A，B、C，D四点，且，，则M的离心率为___．第(2)题已知平面向量，满足，且，，则__________.第(3)题将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书按照如图（摆放方式之一）所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有___________种.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，.（1）当时，①求函数在点处的切线方程；②比较与的大小;（2）当时，若对时，，且有唯一零点，证明：．第(2)题设，，，试比较的大小.第(3)题已知数列满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.第(4)题设S、T是R的两个非空子集，如果函数满足：①；②对任意，，当时，恒有，那么称函数为集合S到集合T的“保序同构函数”.（1）试写出集合到集合R的一个“保序同构函数”；（2）求证：不存在从集合Z到集合Q的“保序同构函数”；（3）已知是集合到集合的“保序同构函数”，求s和t的最大值.第(5)题已知，．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，证明．。