O_Stolz定理的证明及推广

Stolz 定理及其应用引理1．01>a ，02>a 。

若 n a b m <<11，n a b m <<22，则 n a a bb m <++<2121。

证明：由于 01>a ，由 n a b m <<11可得 n a b m a 111<<；类似得出 n a b m a 222<<。

将得到的这两个不等式相加，即得 ()()212121a a n b b a a m +<+<+，此式两边同除以21a a +，即得 n a a b b m <++<2121。

这一引理显然可以推广：0>i a （1=i 、2、…n ）。

若 n a b m ii<<（1=i 、2、…n ），则 n a a a b b b m nn<++++++<2121。

引理2．恒等式⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≡-c n b m a b n b n c m c b a 1，其中，0≠b ，n b ≠。

Stolz 定理1：数列{}n y 有（1）+∞=∞→n n y lim ，（2）K ∃，K n >∀，有01>>+n n y y ，则：l y xl y y x x nn n n n n n n =⇒=--∞→--∞→lim lim11。

证明：0>∀ε （1）由 l y y x x n n n n n =----∞→11lim可得：1M ∃，1M n >∀，211ε<-----l y y x x n n n n。

此不等式等价于 2211εε+<--<---l y y x x l n n n n 。

令[][]{}1,max M K N =，由于（注意：11M N >+）()()()N N n n n n N n x x x x x x x x -++-+-=-+---1211 ， ()()()N N n n n n N n y y y y y y y y -++-+-=-+---1211 ，因此：N n >∀，22εε+<--<-l y y x x l N n N n （引理1），即2ε<---l y y x x N n N n 。

均值极限及stolz定理1. 均值极限在数学中，均值极限定理，又称为几何平均与算术平均不等式，它将几何平均和算术平均连接起来，是一个总结不等式的基本定理之一。

假设$ a_1,a_2,\cdots,a_n $均为非负实数，且均不为零，则有：$$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{a_1+a_2+\cdots+a _n}{n}}=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} $$例如：计算$lim_{n\to\infty}\sqrt[n+1]{\frac{1^2+2^2+...+n^2}{ n^3}}$，根据均值极限定理，可得答案为：$$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n+1]{\frac{1^2+2^2+...+n^ 2}{n^3}}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n+1]{\frac{\frac{n( n+1)(2n+1)}{6}}{n^3}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{2} $$2. Stolz定理 Stolz定理是一条重要的数学定理，它可以被用来证明一些数列极限问题。

它是一个极限问题的广义到平均数逼近的扩充，对于提高数学建模能力有显著的启示。

Stolz定理推广了上面均值极限的公式，在协方差可能变化，甚至不一定是平均值的情况下也能适用。

Stolz定理叙述如下：设$\{y_n\}$和$\{z_n\}$是两个实数数列，且$\lim_{n\to\infty} z_n=\infty$，若$\lim_{n\to\infty} \frac{y_n-y_{n-1}}{z_n-z_{n-1}}$存在或为无穷大，则$\lim_{n\to\infty}\frac{y_n}{z_n}$存在或为无穷大，并且两个极限相等。

Stolz定理示例如下：计算$\lim_{n\to\infty}{\frac{1^2+2^2+....+n^2}{n^3}}$，我们首先对$y_n$和$z_n$作如下定义：$$ y_n=1^2+2^2+....+n^2,\\ z_n=n^3 $$ 那么，我们就有： $$ \lim_{n \to \infty}{\frac{y_n-y_{n-1}}{z_n-z_{n-1}}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{3n^2-3n+1}{3n^2-3n+1}}=1 $$ 因此，根据Stolz定理，我们可以得出： $$ \lim_{n \to\infty}{\frac{1^2+2^2+....+n^2}{n^3}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{y_n}{z_n}}=\frac{1}{3} $$3. 结论在实际的学习和生活中，我们经常需要计算各类极限，Stolz定理和均值极限可以看作是求极限的重要工具之一。

Stolz定理及其应用+文献综述摘要：Stolz定理是数学分析中处理数列极限的有效方法,将其推广到实数集函数形式,从而使Stolz定理和L&#39;Hospital法则紧密地联系在一起,拓展了Stolz定理在函数极限方面的应用.本首先给出离散的( )型Stolz定理、其几何意义和几个常用推论,其次将定理推广到实数集,得到连续的( )型Stolz定理,最后探究Stolz 定理在证明其他相关定理、以及求极限和数列渐进性方面的应用.关键词：Stolz定理;数列;推广;极限8554Stolz Theorem and Its ApplicationsAbstract: Stolz Theorem is a effective method to handle the limit of a sequence in mathematical analysis, we can make it applied to the set of real numbers function form, so that the Stolz theorem and L&#39;Hospital law could closely together, it expand the application of Stolz theorem in the limit of function. In this paper, first give the discrete Stolz Theorem, its geometric significance and severalfrequently used inference, and then the theorem is extended to the set of real numbers, we gain the Stolz Theorem of continuous type.At last ,we explored the application that how to use the Stolz Theorem to prove the other relative theorem, to solve the limit of a sequence, and progressive application aspect.Key words: Stolz Theorem; Sequence; Extension; Limit目录摘要.1引言.21.Stolz定理.31.1 ( ) 型Stolz定理31.2 ( ) 型Stolz定理.62.Stolz定理的推广.62.1 Stolz定理推广到实数集函数连续形式72.2 Stolz定理推广到无穷级数求和形式123.Stolz定理的应用143.1 Stolz定理在证明其他相关定理方面的应用14 3.2 Stolz定理在求极限方面的应用.173.3 Stolz定理在研究数列渐进性方面的应用.19参考文献22致谢231.Stolz定理Stolz定理是数学分析中的一个重要定理,它对分式极限的求解起到了简化与便利的作用.作为本文的开头,我们首先叙述离散的Stolz定理.1.1（）型Stolz定理若从某一项开始严格单调递增,且,如果(其中为有限数或为或)证(1) 先设为有限数对任意的,存在,使得且当时有于是有以上个式子相加,得对固定的,因为,所以,存在,使得当时,有(2) 若由式(1)知,当充分大时有, ,故也严格递增趋于.于是式(1)可等价的写为由已证结论(1) 知, .故.(3) 若,记,则.由(2)知, ,即得.1.1.1型Stolz定理的几何意义离散的Stolz定理给出了一种求( )型极限的方法,其几何意义是:在平面上有一无限折线,其中.折线段的斜率为,矢径的斜率为.当数列满足Stolz定理条件时,矢径的斜率与折线段的斜率在时趋于同一极限.如下图所示,若线段的斜率当时极限为,表示当时，点位于某条直线的附近;而当直线上的点沿着移向无穷远时,它与点的连线与直线的夹角趋向于,即当点移向无穷远时直线将与直线&ldquo;平行&rdquo;,亦即它们的斜率将相等,如图所示.注当时,上述所给结论未必成立.例, .此时.虽有,但是,即.1.1.2型Stolz定理的几个常用推论由Stolz定理,我们知道其在求比式极限方面的优越性,接下来列举它的几个常用结论.它们均是Stolz定理的应用,这些是在平时习题的基础之上总结出来的,下面我们以推论的形式给出.推论1(算术平均值)若( 为有限数或为或),则.(1)为有限数对任意给的,存在,使得当时,有由假设知,函数在上单调增加, ,于是有由此可知,对任意自然数,下列不等式成立.即将这个不等式两边相加,得同时除以,得(2)式(2)对任意及任意的自然数均成立,特别当满足时,当然也成立.现在任取实数,则,由带余除法有等式,其中, , 为某个自然数.于是，显然令,则上述表明,对任何大于的实数,都可表为某个在中的实数与一个自然数的和.将不等式(2)的取作这里的并取就有不等式由假设(ii)知,存在正数,使,且当时, .对于及,则因此有(4)成立.对任取的,由前面的论述知,有使不等式(3)成立.对这样的,不等式(4)当然成立.于是由假设(ii)首先有其次,当时,由假设知有界,故有使;又因函数是单调增加的,故有,使,因此有Stolz定理及其应用+文献综述(3):。

第一章 实数和数列极限第十二节 上极限和下极限理论的应用 —Stolz 定理作为上极限和下极限理论的 应用，我们来证明计算某种类型 极限时很有用的Stolz 定理。

一 Stolz 定理 定理1.18（Stolz定理，∞∞型）设数列{}n a ，}{n b 满足条件： （1）}{n b 是严格递增趋于∞+的数列,（2）A b b a a n n n n n =----∞→11lim , (1) 那么 Ab a n nn =∞→lim , (2)（其中A 为有限数，或+∞=A ，或-∞=A 。

）证明 (i)先设A 为有限数, 由(1)知道,对任意0>ε, 存在0n ,当0n n ≥时,有εε+<--<---A b b a a A n n n n 11。

由此得εε+<--<---A b b a a A n n n n 110000， εε+<--<-++A b b a a A n n n n 000011……………εε+<--<---A b b a a A n n n n 11, 因而有(将以上各不等式乘以各自的分母后,相加)εε+<--<---A b b a a A n n n n 1100即εε+<--<---A b b b a b a A nn nn n n 11001 于是得n nn n n n b a b a b b A <+---00)1)((1εn n nn b a b b A 00)1)((1+-+<-ε,由此即得n nn b a A inflim )(∞→≤-ε)(sup lim ε+≤≤∞→A b a nnn , 再让0→ε即得,n nn b a A inflim ∞→≤A b a nnn ≤≤∞→sup lim , 由此即知(2)成立。

（ii ）设+∞=A ，由（1）知， 存在0n ,当0n n ≥时,有 011>->---n n n n b b a a ， 因而}{n a 也是严格递增的， 又由1100--->-n n nn b b a a ，知道有+∞=∞→nn alim ；现在把（1）写成0lim 11=----∞→n n n n n a a b b ， 由刚证明的（i ）知道0lim =∞→nn n a b ，因而+∞=∞→nn n b a lim 。