一、填空题1．设点P 为椭圆22:14924x y C +=上一点，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且12PF F △的重心为G ，如果1212||,||,||PF PF F F 成等差数列，那么12GF F △的面积为___.2．已知O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，P 为C 上一点，且2PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段2PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，若直线1F M 与y 轴交于点Q ，且3ON OQ =，则C 的离心率为___________.3．已知点P 为抛物线C ：24y x =上的动点，抛物线C 的焦点为F ，且点()3,1A ，则PA PF +的最小值为_______．4．已知1F ，2F 是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的两个焦点，且椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，若点M ，N 分别是圆D ：22(3)3x y +-=和椭圆C 上的动点，则当椭圆C 的离心率取得最小值时，2MN NF +的最大值是___________．5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__.6．已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆22:(6)(1)1C x y -++=上，则||||MA MF +的最小值是__________.7．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作C 的一条渐近线的垂线垂足为A ，且||2||OA AF =，O 为坐标原点，则C 的离心率为_________．8．已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12F PF ∠=120°，且12||3||PF PF =，则椭圆的离心率为___________.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.10．椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点（P 在x 轴上方），1PF PQ =，若1PQ PF⊥，则椭圆的离心率e =______.11．已知点()1,0A -是抛物线22y px =的准线与x 轴的交点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线上的动点，则PFPA最小值为_____．12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>离心率为2，则其渐近线与圆()22214x a y a -+=的位置关系是________. 13．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦的长为5； ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1） 能使抛物线方程为y 2＝10x 的条件是_____．二、解答题14．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，曲线C 是以2F 为圆心且过原点的圆.（1）求曲线C 的方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足1F M MP →→=，求M 的轨迹方程. 15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2，点P 是椭圆上的动点，且12PF F △的面积的最大值为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且l 与直线2x =-相交于Q ．点T 是x 轴上一点，若总有0PT QT ⋅=，求T 点坐标．16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，其左，右焦点分别是12,F F ，椭圆上的4个点,,,A B M N 满足：直线AB 过左焦点1F ，直线AM 过坐标原点O ，直线AN的斜率为32-，且2ABF 的周长为8 （1）求椭圆C 的方程． （2）求AMN 面积的最大值17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 是椭圆C 上的两个动点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，证明：直线AB l 与以原点为圆心的某个定圆相切，并求这个定圆.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:21F x y -+=，动圆M 与直线:1l x =-相切且与圆F 外切．（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知()2,0A -，曲线C 上一点P 满足PA ，求PAF ∠的大小． 19．已知抛物线22(0)y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(,0)(0)T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点. （1）求抛物线方程；（2）证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；（3）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，椭圆C 的中心O 关于直线250x y --= 的对称点落在直线2x a =上；（1）求椭圆C ：的方程；（2）设()4,0P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，连接PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 斜率的取值范围； （3）证明直线ME 与x 轴相交于定点．21．已知抛物线1C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x +=且弦AB 的中点到准线的距离为4．（1）求曲线1C 的方程；（24的椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b +=>>．又椭圆2C 与过点()1,0Q -且斜率存在的直线l '相交于M ，N 两点，已知45MONS =，O 为坐标原点，求直线l '的方程．22．已知集合(){}22|4300A x x ax a a =-+<>，集合B ={a 方程221382x y a a+=--表示圆锥曲线C }（1）若圆锥曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数a 的取值范围；（2）若圆锥曲线C 表示双曲线，且A 是B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 23．已知点(3,0)M -，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点N 在直线PQ 上，且满足0MP PN ⋅=，12PN PQ =． （1）当P 点在y 轴上移动时，求动点N 的轨迹C 的方程；（2）过点()2,0T 作一直线交曲线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOT 的面积是BOT 面积的2倍，求弦长AB ．24．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点P ⎭在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求1F AB 面积的最大值.25．已知椭圆C ：22142x y +=.（1）求椭圆的离心率.（2）已知点A 是椭圆C 的左顶点，过点A 作斜率为1的直线m ，求直线m 与椭圆C 的另一个交点B 的坐标.（3）已知点(M ，P 是椭圆C 上的动点，求PM 的最大值及相应点P 的坐标.26．已知椭圆M 的焦点与双曲线N ：22197x y -=的顶点重合，且椭圆M 短轴的端点到双曲线N 渐近线的距离为3． （1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，若弦AB 中点为()2,1，求直线l 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．8【分析】根据条件计算出可以判断△PF1F2是直角三角形即可计算出△PF1F2的面积由△PF1F2的重心为点G 可知△PF1F2的面积是的面积的3倍即可求解【详解】∵P 为椭圆C ：上一点且又且又∴易知△ 解析：8 【分析】根据条件计算出1212,,PF PF F F ，可以判断△PF 1F 2是直角三角形，即可计算出△PF 1F 2的面积，由△PF 1F 2的重心为点G 可知△PF 1F 2的面积是12GF F △的面积的3倍，即可求解. 【详解】∵P 为椭圆C ：2214924x y +=上一点，且1212||,||,||PF PF F F1122||||2||PF F F PF ∴+=，又210c ==,12||102||PF PF ∴+=且12214PF PF a +==126,8PF PF ∴==，又1210F F =，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，12121242PF F S PF PF =⋅=， ∵△PF 1F 2的重心为点G ， ∴12123PF F GF F S S =△△， ∴12GF F △的面积为8. 故答案为：8 【点睛】关键点点睛：该题主要根据条件及椭圆的定义联立方程求出12,PF PF ，证明△PF 1F 2是直角三角形，求出面积后利用重心的性质可求12GF F △的面积，属于中档题.2．【分析】根据椭圆的几何性质由轴设写出的直线方程求出与轴的交点的坐标以及点的坐标根据化简得到即可求解【详解】由题意椭圆的左右焦点分别为且因为轴不妨设则直线的方程为令可得所以直线与轴的交点为又由所以化简解析：13【分析】根据椭圆的几何性质，由2PF x ⊥轴，设(,)M c t ，写出AM 的直线方程，求出AM 与y 轴的交点N 的坐标，以及Q 点的坐标，根据3ON OQ =，化简得到3a c =，即可求解. 【详解】由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，且(,0)A a ，因为2PF x ⊥轴，不妨设(,)(0)M c t t ≠， 则直线AM 的方程为()ty x a c a=--，令0x =，可得aty a c=-， 所以直线AM 与y 轴的交点为1(0,),(0,)2at N Q t a c -， 又由3ON OQ =，所以132at t a c =⨯-，化简得3a c =， 所以椭圆的离心率为13c e a ==. 故答案为：13. 【点睛】求解椭圆的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ； 齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.3．4【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取得最小进而可推断出当三点共线时最小答案可得【详解】抛物线的准线为设点在准线上的射影为如图则根据抛物线的定义可知要求取得最小值即解析：4 【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =进而把问题转化为求||||PA PD +取得最小，进而可推断出当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，答案可得． 【详解】抛物线2:4C y x =的准线为1x =-． 设点P 在准线上的射影为D ，如图，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =，要求||||PA PF +取得最小值，即求||||PA PD +取得最小． 当D ，P ，A 三点共线时，||||PA PD +最小，为3(1)4--=． 故答案为：4．【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，是解题的关键．4．【分析】根据题中条件得到的最大值不小于即可由余弦定理结合基本不等式得到点为短轴的顶点时最大；不妨设点为短轴的上顶点记得出离心率的最小值连接得到根据椭圆的定义结合三角形的性质求出的最大值即可得出结果【 解析：433+【分析】根据题中条件，得到12F PF ∠的最大值不小于23π即可，由余弦定理，结合基本不等式，得到点P 为短轴的顶点时，12F PF ∠最大；不妨设点P 为短轴的上顶点，记12F PF θ∠=，得出离心率的最小值，连接DN ，得到()()22maxmax3MN NF DN NF +=++，根据椭圆的定义，结合三角形的性质，求出2DN NF +的最大值，即可得出结果. 【详解】若想满足椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，只需12F PF ∠的最大值不小于23π即可，由余弦定理，可得()22222112121221221424cos 22PFPF c PF PF PF PF c F PF PF PF PF PF +--=+-∠=2222221122221112b b b PF PF PF PF a =-≥-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当 12PF PF =，即点P 为短轴的顶点时，12F PF ∠的余弦值最小，即12F PF ∠最大； 如图，不妨设点P 为短轴的上顶点，记12F PF θ∠=，则 23πθ≥，于是离心率3sin ,12c e a θ⎡⎫==∈⎪⎢⎪⎣⎭， 因此当椭圆C 的离心率取得最小值32时，24a =，则椭圆 22:14x C y +=；连接DN ，根据圆的性质可得:()()22maxmax3MN NF DN NF +=++，所以只需研究2DN NF +的最大值即可；连接1NF ，1DF ，21144423DN NF DN NF DF +=+-≤+=+，当且仅当N ，D ，1F 三点共线（N 点在线段1DF 的延长线上）时，不等式取得等号， 所以2DN NF +的最大值为 423+， 因此2MN NF +的最大值是433+. 故答案为：433+. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中条件，得到椭圆离心率，求出椭圆方程，再由椭圆的定义，以及圆的性质，将动点到两点距离的最值问题，转化为椭圆上一动点到焦点，以及到定点的距离的最值问题，即可求解.5．【分析】取椭圆的右焦点由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形由及椭圆的性质可得余弦定理可得离心率的值【详解】取椭圆的右焦点连接由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形则而所以所以在中解得：故答 解析：7【分析】取椭圆的右焦点F '，由直线l 过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF '为平行四边形，由||3||PF QF =及椭圆的性质可得2a PF '=，32a PF =，120PFQ ∠=︒余弦定理可得离心率 的值. 【详解】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-=，||3||PF QF =3||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以2a PF '=，所以32a PF =， 在PFF '中，2222222914||||58144cos 32332222a a c PF PF FF FPF e a PF PF a +-+-∠===-''''=⨯⨯，解得：4e =，. 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中,由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2a PF '=，所以32a PF =，然后在PFF '中，根据余弦定理得到所要求的等量关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．6．【分析】根据抛物线方程求得准线方程过点作垂直于准线于根据抛物线的定义判断问题转化为求的最小值根据在圆上判断出当三点共线时有最小值进一步求出结果【详解】解：是抛物线上一点抛物线的准线方程为过点作垂直于 解析：6【分析】根据抛物线方程求得准线方程，过点M 作MN 垂直于准线于N ，根据抛物线的定义判断MN MF =，问题转化为求||||MA MN +的最小值，根据A 在圆C 上，判断出当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +有最小值，进一步求出结果【详解】解：M 是抛物线24y x =上一点，抛物线的准线方程为1x =-， 过点M 作MN 垂直于准线于N ，则MN MF =， 所以||||MA MF MA MN +=+，因为点A 在圆C 上，圆22:(6)(1)1C x y -++=的圆心(6,1)C -，半径为1， 所以当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +取得最小值6， 故答案为：6【点睛】关键点点睛：此题考查了抛物线的简单性质的应用，解题的关键是利用了抛物线的定义，结合图形将||||MA MF +转化为||||MA MN +进行求解，考查数形结合的思想和转化思想，属于中档题7．【分析】由已知求出渐近线的斜率得结合转化后可求得离心率【详解】由题意可得渐近线方程为∴故故答案为：【点睛】本题考查求双曲线的离心率解题关键是列出关于的一个等式本题中利用直角三角形中正切函数定义可得 5 【分析】由已知求出渐近线的斜率，得ba，结合222c a b -=转化后可求得离心率． 【详解】由题意可得||||1tan ||2||2AF AF AOF OA AF ∠===， 渐近线方程为by x a=， ∴12b a =，222222222544a a c ab e a a a ++====，故5e = 5． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的一个等式，本题中利用直角三角形中正切函数定义可得．8．【解析】设由余弦定理知所以故填 13【解析】设21,3,24PF x PF x a x ===，由余弦定理知22(2)13c x =，所以c a =9．【分析】设则推出由双曲线的定义得再在和应用余弦定理得进而得答案【详解】解：设则∴由双曲线的定义得此时在和应用余弦定理得：；所以即故所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用是基本知识的考查【分析】设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，推出22QF m =，由双曲线的定义得14QF a m a⎧=⎨=⎩，再在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得2225243a c a -=，进而得答案. 【详解】解：设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，∴22QF m =，由双曲线的定义，得12112122422PF PF m aQF a m a QF QF QF m a ⎧-==⎧=⎪⇒⎨⎨=-=-=⎩⎪⎩， 此时，在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得：2222221112116992cos 22433QF PQ PF a a a FQF QF PQa a +-+-∠===⨯⨯2222222212121221216445cos 22424QF QF F F a a c a c FQF QF QF a a a+-+--∠===⨯⨯； 所以2225243a c a -=，即2237c a =，故2273c a =，所以3c e a ==．. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．10．【分析】根据椭圆定义设则进而表示出由得在两个三角形中由勾股定理可得ac 的关系进而求出椭圆的离心率【详解】如图所示设根据椭圆定义得由得由椭圆的定义可得因为在中且得即①在中得即②由①②可得可得③将③代入-【分析】 根据椭圆定义，设2PF m =，则12PF a m =-，进而表示出222QF a m =-，12QF m =，由1PQ PF ⊥，得在两个三角形中由勾股定理可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率． 【详解】如图所示，设()20PF m m =>，根据椭圆定义得12PF a m =-， 由1PF PQ =，得2222QFa m m a m =--=-，由椭圆的定义可得()12222QF a a m m =--=，因为1PQ PF ⊥，在1Rt PFQ ∆中，且1PF PQ =，得22112QF PF =，即()22422m a m =-①，在12Rt PF F ∆中，得2221212F F PF PF =+，即()22242c a m m =-+②，由①-②2⨯可得222482m c m -=-，可得23m c =，③， 将③代入②可得22223233423c a c c ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：22330e e +-=，()0,1e ∈，解得63e =-.故答案为：63-.【点睛】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，考查椭圆离心率的求法，属于中档题．11．【分析】利用已知条件求出p 设出P 的坐标然后求解的表达式利用基本不等式即可得出结论【详解】解：由题意可知：设点P 到直线的距离为d 则所以当且仅当x 时的最小值为此时故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单性 解析：22【分析】利用已知条件求出p ，设出P 的坐标，然后求解PFPA的表达式，利用基本不等式即可得出【详解】解：由题意可知：2p ＝，设点(),P x y ，P 到直线1x =-的距离为d ，则1d x +＝，所以2PFd PAPA ====≥， 当且仅当x 1x =时，PF PA，此时1x =，故答案为：2． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题．12．相离【分析】由双曲线的离心率可得出然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离并与圆的半径作大小比较由此可得出结论【详解】双曲线的离心率为可得所以双曲线的渐近线方程为圆的圆心坐标为半径为圆心到直线的距离为因解析：相离 【分析】由双曲线的离心率可得出b a =，然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离，并与圆的半径作大小比较，由此可得出结论. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为c e a ====b a =，所以，双曲线的渐近线方程为0x y ±=，圆()22214x a y a -+=的圆心坐标为(),0a ，半径为2ar =， 圆心到直线0x y ±=的距离为122d r a ==>=， 因此，双曲线的渐近线与圆()22214x a y a -+=相离. 故答案为：相离. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，涉及双曲线的离心率以及渐近线方程的应用，求出b 与a 的等量关系是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.13．②⑤【分析】设抛物线方程为根据抛物线的定义焦半径公式直线相互垂直与斜率之间的关系即可判断出结论【详解】设抛物线方程为②③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6可得解得抛物线方程为舍去；②④抛物解析：②⑤ 【分析】设抛物线方程为22y px =．根据抛物线的定义、焦半径公式、直线相互垂直与斜率之间的关系即可判断出结论． 【详解】设抛物线方程为22y px =．②③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6，可得162p+=，解得10p =，抛物线方程为220y x =，舍去；②④抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦的长为5，可得25()222pp =⨯，解得52p =，可得抛物线方程为25y x =．②⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)，可得：111222p ⨯=--，解得5p =，可得抛物线方程为210y x =，因此正确．能使抛物线方程为210y x =的条件是②⑤． 故答案为：②⑤． 【点睛】本题考查了抛物线的定义、焦半径公式、直线相互垂直与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题14．（1）()22416x y -+=；（2）224x y +=. 【分析】（1）求出圆心和半径即得解；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，由1F M MP →→=得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，代入圆的方程即得解. 【详解】（1）由已知得212a =，24b =，故4c ==， 所以()14,0F -､()24,0F， 因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为()4,0，半径为4， 所以C 的轨迹方程为()22416x y -+=；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，则()14,F M x y →=+，()00,MP x x y y →=--，由1F M MP →→=，得()()004,,x y x x y y +=--， 即()()004x x x y y y ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，解得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，因为点P 在C 上，所以()2200416x y -+=，代入得()()22244216x y +-+=，化简得224x y +=.所以M 的轨迹方程为224x y +=. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；（4）消参法.要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程.15．（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）点T 的坐标为(1,0)-．【分析】（Ⅰ）根据题意得出222121222c b c a b c ⎧⋅⋅=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解出,a b 即可得出椭圆方程；（Ⅱ）设出直线方程，联立直线与椭圆，利用0∆=得出2221m k =+，表示出21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)Q m k --，再利用0PT QT ⋅=即可得出. 【详解】解：（Ⅰ）依题意得222121222c b c a b c ⎧⋅⋅=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为2212x y +=．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，l 与直线2x =-无交点，不符合题意， 故直线l 的斜率一定存在，设其方程为y kx m =+，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214220k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，所以()()22221681210k m m k ∆=--+=，化简得2221m k =+，所以214242=-=-+P km k k x m ，2-=P k x m ，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为直线l 与直线2x =-相交于Q ，所以(2,2)Q m k --，设(),0T t ， 所以22(2)10k k TP TQ t t m m ⎛⎫⋅=----+-= ⎪⎝⎭，即21(1)0k t t m ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭对任意的k ，m 恒成立， 所以10t +=，即1t =-，所以点T 的坐标为(1,0)-． 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.16．（1）22143x y +=；（2）【分析】（1）根据2ABF 的周长为8，解得2a =，再由离心率为12求解. ()2设直线3:2AN y x t =-+，与椭圆方程联立，由弦长公式求得AN ，点O 到直线AN 的距离，然后根据直线AM 过坐标原点，由2AMNAONSS=求解.【详解】()1由椭圆的定义知48,2a a ==，12c a =， 1c ∴=，从而2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.()2如图所示：设直线3:2AN y x t =-+， 代入椭圆方程223412x y +=， 化简得：223330x tx t -+-=， 设()()1122,,,A x y N x y ， 由()23120t ∆=->，得212t <，且()2312914t AN -=+ 而点O 到直线AN 的距离914t d =+，且直线AM 过坐标原点，()23129214914AMNAONt t SS-∴==++，()()2222121222333t t t t +--=≤=当且仅当2212t t =- ， 即26t =时取等号，AMN ∴面积的最大值为3【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦长公式为；AB==k为直线斜率)．17．（1）22143x y+=；（2）证明见解析；22127x y+=.【分析】（1）根据条件得出221914a b+=且12ca=，解出,a b即可得出方程；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆，由OA OB⊥得0OA OB⋅=，由此可得=.【详解】（1）由椭圆经过点31,2P⎛⎫⎪⎝⎭，离心率12e=得：221914a b+=且12ca=.解得2a=，1c=，b=所以椭圆C：22143x y+=.（2）当直线ABl的斜率不存在时，设直线为x m=，则由OA OB⊥可得(),A m m±，代入椭圆得22143m m+=，解得2127m=，则与直线ABl相切且圆心为原点的圆的半径为m=，即圆的方程为22127x y+=；当斜率存在时，设直线ABl的方程为：y kx b=+，()11,A x y，()22,B x y，联立方程22143y kx bx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得到：()()222348430k x kbx b+++-=.所以122834kbx xk+=-+，()21224334bx xk-=+.因为OA OB⊥，所以1212OA OB x x y y⋅=+=，又因为11y kx b=+，22y kx b=+，故()()12121212x x y y x x kx b kx b+=+++()()22121210k x x kb x x b=++++=，将122834km x x k +=-+，()21224334b x x k -=+代入上式，得到： ()()2222222413803434k b k b b k k+--+=++， 去掉分母得：()()()2222224138340k b k b b k +--++=，去括号得：22712120b k --=，=又因为与直线AB l相切且圆心为原点的圆的半径r === 所以该圆方程为22127x y +=， 综上，定圆方程为22127x y +=. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.18．（1）28y x =；（2）π4PAF ∠=． 【分析】（1）方法一，利用直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系，转化为抛物线的定义求曲线方程；方法二，利用等量关系，直接建立关于(),x y 的方程；（2）方法一，利用条件求点P 的坐标，再求PA k ；方法二，利用抛物线的定义，转化PF 为点P 到准线的距离，利用几何关系求PAF ∠的大小. 【详解】解：（1）设(),M x y ，圆M 的半径为r ． 由题意知，1MF r =+，M 到直线l 的距离为r ． 方法一：点M 到点()2,0F 的距离等于M 到定直线2x =-的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以()2,0F 为焦点，2x =-为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为28y x =．方法二：因为1MF r ==+，1x r +=，1x >-，2x =+，化简得28y x =，故曲线C 的方程为28y x =．（2）方法一：设()00,P x y ，由PA ，得()()22220000222x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，又2008y x =，解得02x =，故()42,P ±，所以1PA k =±，从而π4PAF ∠=． 方法二：过点P 向直线2x =-作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQ PF =，所以PA =，在APQ 中，因为π2PQA ∠=，所以sin PQ QAP PA ∠==， 从而π4QAP ∠=，故π4PAF ∠=． 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.19．（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）()202t d t t t ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩.【分析】（1）根据准线方程可求p ，从而可求抛物线方程.（2）设直线方程为x my t =+，联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理可证OA OB ⋅为与m 无关的定值.（3）设(),P x y ，则可用x 表示||PT ，利用二次函数的性质可求()d t . 【详解】（1）因为准线方程为10x +=，故12p=，故2p =， 故抛物线方程为：24y x =.（2）设直线l ：x my t =+，其中m R ∈，t 为常数，设()()1122,,,A x y B x y ，由24y x x my t⎧=⎨=+⎩可得2440y my t --=，所以124y y t .而()212212124416y y O y y x x A B t t t O +=-⋅=+=-，该值与斜率无关.（3）设(),P x y ，则PT ==0x ≥.令()()2224,0S x x t x t x =--+≥，对称轴为直线2x t =- 若02t <≤，则20t -≤，则()2min 0S S t ==，故()d t t =；若2t >，则20t ->，则()()22min 2244S S t t t t =-=--=-，故()d t =所以()2,02t d t t t ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为关于1212,x x x x +（或1212,y y y y +的形式)； （5）代入韦达定理求解.20．（1）22143x y +=（2）1(2-，0)(0⋃，1)2（3）证明见解析.【分析】（1）由题意知12c e a ==，则2a c =，求出椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点，可求a ，即可得出椭圆C 的方程；（2）设直线PN 的方程为(4)y k x =-代入椭圆方程，根据判别式，可求直线PN 的斜率范围；（3）求出直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，即可得出结论．【详解】 （1）由题意知12c e a ==，则2a c =，设椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点(,)m n ，则·212?5022n mm n ⎧=-⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，4m ∴=，2n =-，椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点落在直线2x a =上．24a ∴=，1c ∴=，b ∴=∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =-． 代入椭圆方程，可得2222(43)3264120k x k x k +-+-=．① 由2222(32)4(43)(6412)0kk k ∆=--+->，得2410k -<，1122k ∴-<< 又0k =不合题意，∴直线PN 的斜率的取值范围是：1(2-，0)(0⋃，1)2．（3）设点1(N x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则1(M x ，1)y -． 直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =．∴直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的方程，设出直线与椭圆方程联立，消元后，利用二次方程的判别式求k 的取值范围，求出与x 轴交点的坐标表达式，化简即可证明交点为定点，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21．（1）24y x =（2）10x y ±+=． 【分析】（1）由题意联立直线方程与抛物线方程，结合题意和韦达定理求得p 的值即可确定曲线方程；（2）首先确定曲线2C 的方程，设直线l '的方程为1x my =-，然后连线直线和椭圆方程，结合韦达定理得到关于m 的方程，解方程求得m 的值即可确定直线方程． 【详解】 （1）由已知得(,0)2p F ，设直线l 的方程为2p y x =-， ∴22230242p y x p x px y px⎧=-⎪⇒-+=⎨⎪=⎩， 123x x p ∴+=，又因为126x x +=， 所以2p =，∴曲线1C 的方程为24y x =．（2）由已知得2a =，c =1b ∴=，∴曲线2C 的方程为2214x y +=， 设直线l '的方程为1x my =-，则22221(4)23041x y m y my x my ⎧+=⎪⇒+--=⎨⎪=-⎩， 设3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y ，34342223,44m y y y y m m +==-⋅++，∴3411||22OMNS y y =⨯⨯-==△， 因为45MONS=所以42471101m m m +-=⇒=±，∴直线l '的方程为10x y ±+=．【点睛】关键点点睛：本题主要考查抛物线方程的求解，椭圆方程的确定，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，关键在于联立椭圆方程，由韦达定理及三角形面积公式可得出m ,求出直线方程，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 22．（1）1143a <<；（2）01a <≤或4a ≥. 【分析】（1）根据椭圆的标准方程，求出a 的范围；（2）再确定集合A ，由双曲线的标准方程得集合B ，然后根据充分必要条件的定义集合包含关系，从而得出a 的不等关系，求得结论．【详解】（1）由方程221382x y a a+=--表示的曲线是表示焦点在x 轴上的椭圆∴(3)(82)0a a ->->， ∴1143a << 解不等式22430(0)x ax a a -+<>可得3(0)a x a a <<>方程221382x y a a+=--表示的曲线是双曲线∴(3)(82)0a a --<， ∴4a >或3a <因为A 是B 的充分不必要条件所以(,3)a a 是(,3)(4,)-∞⋃+∞的真子集 所以033a <≤或4a ≥ 解得01a <≤或4a ≥所以a 的取值范围是01a <≤或4a ≥． 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 23．（1）()2302y x x =>；（2）2. 【分析】（1）设(),N x y ，由已知向量的数量关系及位置关系得()()3,2,0y x y ⋅-=，即可知N 的轨迹C 的方程；（2）由直线与抛物线相交关系，令直线AB 的方程为：2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程，应用根与系数关系有12120323y y m y y ∆>⎧⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，结合已知条件、弦长公式即可求AB . 【详解】。
![[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程：第6课时 轨迹方程(一)](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/e5e4cb8aa0116c175f0e4840.webp)
