18年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第04讲函数的值域(最值)的常见求法(3)

函数的值域与最值【考纲说明】1．理解值域和最值的区别与联系，掌握求函数值域和最值的基本方法； 2．通过函数最值求参数的范围，同时解决恒成立问题；【知识梳理】2.函数的值域1、函数值域的概念在函数y=f （x ）中，与自变量x 的值对应的y 值叫做函数值。

函数值的集合叫做函数的值域。

2、确定函数值域的原则（1）当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；（2）当函数y=f （x ）用图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； （3）当函数y=f （x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其解析式唯一确定； （4）当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定； 3、常见函数的值域（1）一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；（2）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），当a>0时值域为]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 （3）反比例函数y=xk（x ≠0）的值域为{}R y y y ∈≠且,0| （4）指数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为),0(+∞。

（5）对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ；（6）正弦函数x y sin =,余弦函数x y cos =的值域都是]1,1[-。

（7）正切函数),2(tan Z k k x x y ∈≠=∏+∏其中,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

3.函数的最值1、函数的最值一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

记作()max 0y f x =一、①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

第04讲 求函数值域的一般方法一、知识与方法1 函数的值域在函数 ()y f x = 中, 自变量 x 对应的函数值的集合 {()|}f x x ∈D 叫作函数的值域, 求值域时不但要重视对应关系的作用, 而且要特别注意定义域的制约作用. 2 注意点求函数的值域问题关键是将解析式作变形处理,通过观察或利用熟知的基本函数的 值域,逐步推出函数的值域.求函数的值域没有固定的方法和模式,解题的技巧性特别强,必须注意, 函数的图像 在求函数的值域中有十分重要的作用.二、典型例题【例 1】 （1）已知 2()26f x x x =-+, 求 ()f x 的值域; （2）已知2()26(24)f x x x x =-+, 求 ()f x 的值域; （3）已知 2()26(14)f x x x x =-+-, 求 ()f x 的值域; (4) 已知 2()26,[,1]()f x x x x a a a =-+∈+∈R , 求 ()f x 的值域; (5) 已知 2()21([0,2])f x x ax x =--∈, 求 ()f x 的值域.【分析】 求二次函数值域的基本方法是配方法;对有定义域限制的二次函数值 域问题, 可结合函数性质及其图像求出最大值、最小值、从而求出值域;含有参数的问题, 需要在不确定的因素中寻找确定的关系. 第 (4) 问, 函数关系确定,区间不定,第 (5)问,函数关系不定(动轴),区间确定,一般都可分对称轴在区间的左侧、右侧及区间内 3 种情况 分类讨论.【解析】(1) 22()26(1)5 5.()f x x x x f x =-+=-+∴ 的值域为 [5,)+∞. (2) 22()26(1)5f x x x x =-+=-+, 显然 ()f x 在 [2,4] 上单调递增.∴ 当 2x = 时, min ()6f x =; 当 4x = 时, max ()14.()f x f x =∴ 的值域为[6,14].(3) 22()26(1)5,[1,4]f x x x x x =-+=-+∈-. 当 1x = 时, 有 mn ()f x =(1)5f =又 (1)9,(4)14,f f -==∴ 当 4x = 时, max ()14.()f x f x =∴ 的值域为[5,14].(4) 22()26(1)5f x x x x =-+=-+. 函数的对称轴为 1x =.1． 若 11a +, 即 0,()a f x 在 [,1]a a + 上单调递减.当 x a = 时,2max ()26f x a a =-+; 当 1x a =+ 时, 22man ()(1)2(1)6f x a a a =+-++= 5+2． 若 1,211,a a ⎧⎪⎨⎪+>⎩ 即 102a <. 当 x a = 时, 2max ()26f x a a =-+; 当 1x = 时, man ()f x 5=3． 若 112a <, 当 1x = 时, min ()5f x =; 当 1x a =+ 时, 2max ()5f x a =+.4．. 若 1,()a f x > 在 [,1]a a + 上单调递增.当 x a = 时 2min ()26f x a a =-+, 当 1x a =+ 时,2max ()5f x a =+. 综上所述, 当 0a 时, ()f x 的值域为 225,26a a a ⎡⎤+-+⎣⎦; 当102a< 时, ()f x 的值域为 25,26a a ⎡⎤-+⎣⎦; 当 112a < 时, ()f x 的值域为 25,5a ⎡⎤+⎣⎦; 当 1a > 时, ()f x 的值域为 2226,5a a a ⎡⎤-++⎣⎦. (5) 由已知可知, 函数 ()f x 的对称轴为 x a =,1． 当 0a < 时, min max ()(0)1,()(2)44134f x f f x f a a ==-==--=-, ∴()f x 的值域为 [1,34]a --;2． 当 01a 时,()2min max ()()1,()(2)34f x f a a f x f a ==-+==-, ∴()f x 的值域为 ()21,34a a ⎡⎤-+-⎣⎦; 3． 当 12a < 时,()2min max ()()1,()(0)1f x f a a f x f ==-+==-, ∴()f x 的值域为 ()21,1a ⎡⎤-+-⎣⎦; 4． 当 2a > 时, min max ()(2)34,()(0)1f x f a f x f ==-==-, ∴()f x 的值域为 [34,1]a --.【例 2】 求下列函数的值域.(1)y =; (2) y x =- (3) 5y =;(4)2222x x y x -+=-+ (5) 221x y x -=+; (6) y =(7)3y x =+; (8) |1||4|y x x =-++;(9) y =【分析】求函数的值域是一个比较复杂的问题, 解题方法很多, 本例通过 9 小 题对一些简单函数的值域的求法作一个初步介绍,每道题用何种方法求解都一一标明. 求 函数值域的基本方法有观察法、换元法、单调性法、配方法、判别式法、分离常数法、基本不 等式法、数形结合法等,或多种基本方法配合使用,读者可从中总结出一些规律性的解题思路.【解析】(1) (观察法)所给解析式结构简单, 可直接看出其单调性或某一部分的范围,然后结 合不等式知识求出值域,这种一般不需要复杂计算的方法称为观察法. ∵110,111.0 1.11x x ∴++∴<∴++ 函数的值域为(0,1].（2）解法一、(換元法)设(0)t t =, 则 22x t =-. ∴242(0)y t t t =--+, 可得函数的值域 (,2]y ∈-∞.解法二、（单调性法：函数 12,y x y ==-在 (,2]-∞ 上均单调递增,2422,y --=∴ 函数的值域为 (,2]-∞.（3）(配方法)配方, 得 25.(2)66.5 6.y x y =++∴+∴ 函数 的值域为 [5)++∞.(4) (判别式法)函数的定义域是 R ,由2222x x y x -+=-+, 得 2(1)220y x x y +-++=. 当 1y ≠- 时, 把(1)视为关于 x 的一元二次方程.再根据(1)有实根, 判别式 0∆, 得 14(1)(22)0y y -++. 解得2111)44y y ---+≠-. 当 1y =- 时,由(1)得 0x =. 由 0(x =∈R函数的定义域)可知, 1y =- 应该是函数的值域中的元素. ∴1144y ⎡∈---+⎢⎣⎦（5）（分离常数法) 222221111111x x y x x x ---+===-+++. 2221111,01,11011x x x +∴<∴-<-++故函数的值域为 (1,0]-.(6) (单调性法)函数的定义域满足 230,3320,x x x x -⎧⇒⎨-+⎩.令 1y =, 任取 123x x >.10,y =>∴ 在 [3,)+∞ 上单调递增. 令2y =由 232u x x =-+, 对称轴 32x =, 开口向上, 知 2y 在[3,)+∞ 上也单调递增.从而知y 在定义域 [3,)+∞ 上是单调递增函数. ∴2.y∴ 函数的值域为 )+∞.（7）（换元法结合基本不等式法)设 0)t t =, 由 20x + 且30x +≠ 知函数 定义域为 2x -, 则 222.1tx t y t =-∴=+. 当 0t =, 即2x =- 时, y 取得最小值 0;当 0t >, 即 2x >- 时,1111212y t t tt==+⋅, 当且仅当 1t = 即 1x =-时, y 取得最大值 12, 故函数的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(8) (数形结合法) |1||4|y x x =-++=23(4)5(41)23(1)x x x x x ---⎧⎪-<<⎨⎪+⎩如图 18- 所示, ∴ 5.y ∴ 函数值域为 [5,)+∞.(9) (配方化简后用观察法) 22(11)(11)11y x x x =-++--=-++21,2|11|2,12x x x x ⎧-⎪--=⎨<⎪⎩∴ 函数的值域为 [2,)+∞. 【例 3】 求下列函数的值域:(1) 21((3,4))31x y x x -=∈+; (2)222x y x x =-++; (3) 22223([2,4])1x x y x x x -+=∈-+; (4) ()213log 1227y x x =--; (5) ()()3441022x x x xy --=+-+; (6) ()231(11)y x x x =+--<<.【分析】 函数法转化为解不等式;第(2)问,分类讨论并运用配方法,也可以运用三角換元法;第(3) 问, 分离常数后运用配方法; 第(4)问,是二次函数与对数函数的复合,运用复合函数单调性讨论而得;第（5）问,換元后运用配方法; 第 (6)问，平方后运用判别式法.【解析】 (1) (反函数法) ∵11321,(3,4).342323y y yx y x x x yy +++=-∴=∈∴<<--. ∵17,213y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）解法一、(分类讨论法)当 0x = 时, 0y =; 当 0x > 时,21221y x x =-++.由 10x > 知1.10y =>∴-<<;当 0x < 时,y ==1112,0222y x ⎛+∴< ⎝综上所述, 函数的值域为 (-.解法二、（三角换元法) ∵2222(1)1x x x ++=++, 故可设 1tan x θ+=. ,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,于是tan 1cos sin sec 4y θπθθθθ-⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭. 由 3,444πππθ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ 知 cos ,(42y πθ⎛⎤⎛⎫+∈-∴∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.(3) (配方法)22112211324y x x x =+=+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭, 2213111[2,4],[3,13],,.241331324112,2133x x x y ⎛⎫⎡⎤∈∴-+∈∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦(4) (单调性法) 由 212270x x -->, 可得所给函数的定义域为 (3,9). 又函数()213log 1227y x x =-- 是由 21227u x x =-- 与13log y u= 复合而成的复合函数,并且 221227(6)9(39)u x x x x =--=--+<<. 故 09u <. 于是由13log ,09y u u =< 可得 2y -, 因此, 所求函数的值域为 [2,)y ∈-+∞.（5）(换元法、配方法)令 22.20,2xxxt t -=+>∴. 则()244222x x x x--+=+-=()22225432,321031063. 2.1439t y t t t t t t y ⎛⎫-∴=--=--=--∴- ⎪⎝⎭即函数值域为 [14,)-+∞.(6) (函数与方程)原函数移项得11)y x x -=-<<.两边平方, 得()222231y yx x x -+=-. 整理得 224230x yx y -+-=. ①设22()423g x x yx y =-+-. 依题知方程(1)在区间 (1,1)- 内有实根. 注意到 22(1)(1)0,(1)(1)0g y g y -=+=-, 且等号不能同时成立.∴ 只需满足条件 ()22(2)443114y y y⎧∆=--⨯-⎪⎨-<<⎪⎩解得2 2.y -∴ 函数值域为 [2,2]-.三、易错警示【例 1】 求函数y x =-的值域. 错解 : 令t =则 22211111,(1)1122222x t y t t t =-+∴=--+=-++.∴ 函数y x =的值域为 (,1]-∞.【分析】上述解法犯了知识性错误,忽视了t =中 0t , 从而导致函数换元后定义域错误. 【解析】正解一、令t =∵0t 时12y⋯∴ 函数y x =-的值域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.正解二、函数的定义域为12x. 函数在定义域范围内单调递增. ∴当12x =时,max 12y = ∴函数y x =-的值域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【例 2】 求函数211122y x x x ⎛⎫=⎪+-⎝⎭ 的值域.错解 : 由211122y x x x ⎛⎫=⎪+-⎝⎭ 变形为 2120yx yx y -+-=. 当 0y =时,方程 2120yx yx y -+-= 无解;当 0y ≠ 时, ∵1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 方程 2120yx yx y -+-= 应有实数解， ∴2()4(12)0y y y ∆=---, 解得 0y < 或 49y.故所求函数的值域为4(,0),9⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】上述解法犯了知识性错误,事实上,当 1y = 即 2112x x =+- 时, 解得1,12x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 所以 1y ≠, 错误的原因是忽视判别式法求函数值域的条件, 本题 由于定义域被限制为 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 不能用判别式法去求值域,否则就会解得错误的结果. 【解析】正确的解法如下:2221199,1,2,222244x x x x x x ⎡⎤⎛⎫∈+-=--+∴+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∴2411922x x +-,即 4192y, 故所求函数的值域为 41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.四、难题攻略【例】 设函数 2()4,(),()2(),()(),(),g x x x g x g x x x f x g x x x g x ++<⎧=-∈=⎨-⎩R 则 ()f x的值域是（ ）.A. 9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ B. [0,)+∞ C. 9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【分析】先把 ()f x 具体化, 由题设分析可得分段函数,且每一段都是区间上的 二次函数形式, 运用配方法求区间上的函数值域.【解析】 2()2,()g x x x g x =-< 就是 22x x <-, 即 (1)(2)0x x +->, 解得1x <- 或 2x >. 同理, 由 ()x g x 可得 12x -.()4,(),()(),(),g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-⎩就是 ()4,(),()(),(),g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-⎩ 就是f x ={x 2+x +2(x <−1,x >2)x 2−x −2(−1≤x ≤2)或由(2()21f x x x x =++<-或2x > ), 得2()(1)122f x >--+=, ① 由 2()2(12)f x x x x =---, 得 9()04f x -.②综上, ()f x 的值域是9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦. 故选 D .五、强化训练1. 已知函数221x ax by x x -+=++ 的值域为 (1,2], 则 a = b ⋅= 【解析】原函数可化为方程2(1)()0y x y a x y b -+++-=.∵21,,()4(1)()0y x y a y y b ≠∈∴∆=+---R ,即2232(22)40y a b y a b -++-+. 由题意,1,2y y ==是方程2232(22)40y a b y a b -++-+=的两根.由韦达定理得222(22)3,2450731,4604423a b a b a b a b a b ++⎧=⎪+-=⎧⎪⇒⇒=-=⎨⎨-+=-+⎩⎪=⎪⎩.2. 求函数()f x =的值域.【解析】函数()f x 的定义域由2211047(2)3x x x x x ++=++++确定,即定义域为[1,)-+∞.当1x =-时,()0f x =,当10x +>时,可令10x t +=>. 故2221114424447(1)32462x t t t t x x t t t t t t t⎛⎫+===+⋅= ⎪ ⎪++++++⎝⎭++ 故原函数的值域为⎡⎢⎣.3. 已知函数 ()f x 满足 112()0f x f x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭, 求 ()f x 的值域.【解析】112()f x f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,① 以x 替代11,2()f f x x xx ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭② ①2⨯+②,得22123().()3f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+∴=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,③ 求③的值域可用判别式法: 令212320.3y x x yx x x ⎛⎫=-+⇒++=∈ ⎪⎝⎭R 且0x ≠,故2809y ∆⇒, 223y∴数.322y -∴()f x的值域为,,33⎛⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭也可用基本不等式: 当0x >时,∵2122222,33x x x x ⎛⎫+∴-+-⎪⎝⎭.即223y -. 当0x <时,20.()22x x x ⎛⎫->-+-⎪⎝⎭,则212222 2.33x x x x ⎛⎫+-∴-+ ⎪⎝⎭.即223y. ∴()f x 的值域为,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭. 4. 已知函数 ()fx 的值域是 34,89⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 求 ()()g xf x =的值域.【解析】21111()[12()]2222g x fx =--=- 211]12=-+由34(),89f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11,.()32g x ⎡⎤∴⎢⎥⎣⎦的值域是77,98⎡⎤⎢⎥⎣⎦.5. 已知 , ,m αβ 都是实数, 2,4m m αβαβ++==, 求 22a β+ 的最小值. 【解析】222221117()2(2)2416m m m αβαβαβ⎛⎫+=+-=-+=-- ⎪⎝⎭. 而,αβ是关于x 的方程2204m x mx +-+=的两个实根, 于是2(2)0m m ∆=-+,解得2m 或1m -.∴当1m =-时,22αβ+取得最小值12. 6. 实数 ,x y 满足 2232x xy y -+=, 求 22m x y =+ 的值域.【解析】令,x u v y u v =+=-,代人条件式中,得()2222()3()2u v u v u v +--+-=.化简得2222225 2.55u v u v +-=∴=. ∴()()222222224()()226226255x y u v u v u v v ⎛⎫+=++-=+=-⨯-= ⎪⎝⎭. ∴22x y +的值域是4,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。

函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。

第04讲：函数值域（最值）的求法（判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法（判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法））【考纲要求】1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的值域。

2、理解函数的最大值、最小值及其几何意义。

【基础知识】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域。

二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。

3、反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠.4、指数函数()01xy a a a =>≠且的值域为{}0y y >.5、对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.6、幂函数3y x =的值域为R ，幂函数12y x ==[0,)+∞。

7、正弦函数sin y x =、余弦函数cos y x =的值域为[]1,1−，正切函数tan y x =的值域为R ，余切函数cot y x =的值域为R.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法等。

五、函数的值域一定要用集合或区间来表示。

六、函数的值域和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值。

【方法讲评】方法六判别式法使用情景形如22dx ex fy ax bx c++=++的函数。

解题步骤一般先将函数化成方程，再利用判别式来求函数的值域。

例1求函数3274222++−+=x x x x y 的值域。

032)(2≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实根即△0≥,△[].2,29[0)73)(2(4)]2(22−∈⇒≥+−−−=y y y y 当2y =时，方程化为7=0，显然不能成立，所以 2.y ≠将29,2−==y y 分别代入检验得2=y 不符合方程，所以)2,29[−∈y 。