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学习过程
一、复习预习
1. 一般三角形全等的判定
（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（SSS）；
（2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（SAS）；（3）如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（ASA）；（4）如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（AAS）。
2. 直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
3. 证明三角形全等的思路
（1）已知两边⎩⎪⎨⎪⎧ 找夹角找直角
找另一边
（2）已知一边一角 ⎩
⎪⎪⎨⎪⎪
⎧ 边为角的对边时，找另一角边为角的邻边时⎩⎪⎨⎪⎧ 找夹角的另一边找夹边的另一角找边的对角
（3）已知两角找任意一边 注：1. 判定三角形全等必须有一组对应边相等；
2. 判定三角形全等时不能错用“SSA”“AAA”来判定。
二、知识讲解
考点/易错点1
角的平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
考点/易错点2
角的平分线的画法：
（1）用量角器作；
（2）把角对折使角的两边完全重合，折痕就是角的平分线；
（3）尺规作图法：
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N；
②分别以M、N为圆心，大于
MN
2
1
的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点P；
③画射线OP，射线OP即为所求。
注意：用尺规作图时，作图的痕迹要保留，不能擦掉。
考点/易错点3
角平分线的性质：
文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表达：
∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知）∴PA＝PB。（角平分线的性质）
考点/易错点4
角平分线的判定：
文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。几何表达：
∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知）
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定）
考点/易错点5
三角形角平分线：
1. 三角形角平分线定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段，叫三角形的角平分线。注意：三角形的角平分线是线段。
2. 三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。且任意三角形的角平分线都在三角形内部。
3. 三角形三条角平分线相交于三角形内部一点，并且这一点到三条边的距离相等（即内心）。
4. 三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到三边所在直线的距离相等。
5. 三角形两个外角的平分线交点共有3个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个。
三、例题精析
【例题1】
【题干】有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：
（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；
（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线。
你认为他这种作法对吗？试说明理由。
【答案】对。
证明：∵OA=OB，OC=OD，∠AOD=∠BOC
∴△AOD≌△BOC，OC－OA=OD－OB
∴∠OCB=∠ODA，AC=BD
又∵∠AEC=∠BED
∴△AEC≌△BED
∴EC=ED
又∵OD=OC，OE=OE
∴△OEC≌△OED
∴∠COE=∠DOE
即OE为∠MON的平分线
【解析】由（1）得OA=OB，由（2）得OC=OD，再加上公共角∠AOD=∠BOC，所以△AOD≌△BOC，
所以得出∠OCB=∠ODA，再加上∠AEC=∠BED，AC=BD两个条件可以得出△AEC≌△BED，可推出EC=ED，再加上OD=OC，OE=OE两个条件可推出△OEC≌△OED，可知∠COE=∠DOE，即OE为∠MON的平分线。
【例题2】
【题干】如图，,F G 是OA 上两点，,M N 是OB 上两点，且FG MN =，PFG PMN S S ∆∆=，试问点P 是否在AOB ∠的平分线上？
【答案】证明：过点P 作PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E
ΔPFG 1
2S FG PD =⋅，ΔPMN 1
2S MN PE =⋅，
而ΔPFG ΔPMN S S = ∴1
1
22FG PD MN PE ⋅=⋅
又FG MN
=
=
∴PD PE
又PD OA
⊥于E
⊥于D，PE OB
∠的平分线上。
∴点P在AOB
【解析】一方面，要判断点P是否在AOB
∠的平分线上，只要判断点P到角的两边距离是否相等即可；另一方面，由已知条件中三角形面积和底边相等可以推导出高相等。这样已知和结论就联系起来了。
【例题3】
【题干】如图，已知在ABC ∆中，BD DC =，12∠=∠。求证：AD 平分BAC ∠。
【答案】证明：过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F
故，90BED CFD ∠=∠=
在BDE ∆与CDF ∆中
12
BED CFD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
