九年级上册圆中的动点问题

2018年11月29日187****6232的初中数学组卷评卷人得分一．选择题（共3小题）1．如图，将正六边形ABCDEF放置在平面直角坐标系内，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2018次翻转之后，点C的坐标是（）A．（4034，0）B．（4034，）C．（4033，）D．（4033，0）2．如图，正六边形ABCDEF的中心与坐标原点0重合，其中A（﹣2，0）．将六边形ABCDEF绕原点O按顺时针方向旋转2018次，每次旋转60°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（）A．（1，）B．（，1）C．（1，）D．（﹣1，）3．如图有一个边长为1的正六边形ABCDEF，其中C，D坐标分别为（1，0）和（2，0），若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A，B，C，D，E，F中，会过点（2014，2）的是（）A．点B B．点C C．点D D．点E评卷人得分二．填空题（共16小题）4．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为；当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．5．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心的坐标为（﹣2，0），半径为2，点P为直线y=﹣x+6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是．6．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P 是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCO的顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，2）．动点P在直线y=x上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P 随点P运动，当⊙P与▱ABCO的边相切时，P点的坐标为．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，ABCO的顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，2），动点P在直线y=x上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P 随点P运动，当⊙P与四边形ABCO的边OA所在直线相切时，P点的坐标为．9．如图，一次函数y=﹣x+的图象与x轴、y轴交于A、B两点，P为一次函数y=x的图象上一点，以P为圆心能够画出圆与直线AB和y轴同时相切，则∠BPO=．10．如图，直线y=﹣与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ 的最小值是．11．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1、半圆O2、…、半圆O n与直线相切，设半圆O1、半圆O2、…、半圆O n的半径分别是r1、r2、…、r n，则当r1=1时，r2016=．12．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P 为直线y=﹣x+5上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ 的最小值是．13．如图，已知一次函数y=﹣x+3的图象与坐标轴分别交于点A，B两点，⊙O 的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为．14．如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y=﹣x+4上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为．15．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+8与x轴、y轴分别交于A，B两点，Q是直线AB上一动点，⊙Q的半径为1．当⊙Q与坐标轴相切时，点Q的坐标为．16．如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为．17．如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为cm．18．如图，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第秒．19．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值（单位：秒）2018年11月29日187****6232的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如图，将正六边形ABCDEF放置在平面直角坐标系内，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2018次翻转之后，点C的坐标是（）A．（4034，0）B．（4034，）C．（4033，）D．（4033，0）【分析】根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2018除以6，根据商和余数的情况确定出点C的位置，然后求出翻转前进的距离，过点C 作CG⊥x于G，求出∠CBG=60°，然后求出CG、BG，再求出OG，然后写出点C的坐标，最后翻转两次得出坐标即可．【解答】解：∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2018÷6=336…2，∴经过2018次翻转为第336循环，点C在开始时的位置，∵A（﹣2，0），∴AB=2，∴翻转前进的距离=2×2016=4032，如下图，过点C作CG⊥x于G，则∠CBG=60°，∴AG=2×=1，BG=2×=，∴OG=4032+1=4033，∴点C的坐标为（4033，），再经过2次翻转，点C的坐标为（4034，0）故选：A．【点评】本题考查的是点的坐标，涉及到坐标与图形变化﹣旋转，正六边形的性质，根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点B所在的位置是解题的关键．2．如图，正六边形ABCDEF的中心与坐标原点0重合，其中A（﹣2，0）．将六边形ABCDEF绕原点O按顺时针方向旋转2018次，每次旋转60°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（）A．（1，）B．（，1）C．（1，）D．（﹣1，）【分析】连接OB、OC、OE、OF，作EH⊥OD于H，根据正六边形的性质得到∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60°，根据旋转变换的性质、寻找规律即可解决问题；【解答】解：连接OB、OC、OE、OF，作EH⊥OD于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60°，∵将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，∴点A旋转6次回到点A，2018÷6=336 (2)∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2018次，与点E重合，在Rt△EOH中，OH=OE=1，EH=OH=∴顶点A的坐标为（1，），故选：A．【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正六边形的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．3．如图有一个边长为1的正六边形ABCDEF，其中C，D坐标分别为（1，0）和（2，0），若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A，B，C，D，E，F中，会过点（2014，2）的是（）A．点B B．点C C．点D D．点E【分析】先连接A′D，过点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，由正六边形的性质得出A′的坐标，再根据每6个单位长度正好等于正六边形滚动一周即可得出结论．【解答】解：如图所示：当滚动到A′D⊥x轴时，E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′，连接A′D，点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A′F′G=30°，∴A′G=A′F′=，同理可得HD=，∴A′D=2，∵D（2，0）∴A′（2，2），OD=2，∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，∴从点（2，2）开始到点（2014，2）正好滚动2012个单位长度，∵=335…2，∴恰好滚动335周多2个，∴会过点（2014，2）的是点C．故选：B．【点评】考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质，根据题意作出辅助线，利用正六边形的性质求出A′点的坐标是解答此题的关键．二．填空题（共16小题）4．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为2；当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为﹣1．【分析】作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC=90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题；【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG．∵GO⊥AB，∴OA=OB，在Rt△AGO中，∵AG=2，OG=1，∴AG=2OG，OA==，∴∠GAO=30°，AB=2AO=2，∴∠AGO=60°，∵GC=GA，∴∠GCA=∠GAC，∵∠AGO=∠GCA+∠GAC，∴∠GCA=∠GAC=30°，∴AC=2OA=2，MG=CG=1，∵∠AFC=90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM﹣GM=﹣1．故答案为2，﹣1．【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．5．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心的坐标为（﹣2，0），半径为2，点P为直线y=﹣x+6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是4．【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=﹣x+6时，PQ 最小，根据全等三角形的性质得到AP=6，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，作AP⊥直线y=﹣x+6，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，∵A的坐标为（﹣2，0），设直线与x轴，y轴分别交于B，C，∴B（0，6），C（8，0），∴OB=6，AC=，10，∴BC==10，∴AC=BC，在△APC与△BOC中，，∴△APC≌△BOC，∴AP=OB=6，∴PQ==4．故答案为4【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．6．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P 是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）．【分析】先求出点C的坐标，分为三种情况：圆P与边AO相切时，当圆P与边AB相切时，当圆P与边BO相切时，求出对应的P点即可．【解答】解：∵点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），∴直线AB的解析式为y=﹣x+2，∵点P是直线y=2x+2上的一动点，∴两直线互相垂直，即PA⊥AB，且C（﹣1，0），当圆P与边AB相切时，PA=PO，∴PA=PC，即P为AC的中点，∴P（﹣，1）；当圆P与边AO相切时，PO⊥AO，即P点在x轴上，∴P点与C重合，坐标为（﹣1，0）；当圆P与边BO相切时，PO⊥BO，即P点在y轴上，∴P点与A重合，坐标为（0，2）；故符合条件的P点坐标为（0，2），（﹣1，0），（﹣，1），故答案为（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）．【点评】本题主要考查待定系数法确定一次函数关系式，一次函数的应用，及直角三角形的性质，直线与圆的位置关系，可分类3种情况圆与△AOB的三边分别相切，根据直线与圆的位置关系可求解点的坐标．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCO的顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，2）．动点P在直线y=x上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P 随点P运动，当⊙P与▱ABCO的边相切时，P点的坐标为（0，0）或（，1）或（3﹣，）．【分析】设P（x，x），⊙P的半径为r，由题意BC⊥y轴，直线OP的解析式y=x，直线OC的解析式为y=﹣x，可知OP⊥OC，分四种情形讨论即可．【解答】解：∵C（﹣3，2），∴直线OC的解析式为y=﹣x，∵直线OP的解析式为y=x，∵﹣×=﹣1，∴OP⊥OC，①当⊙P与BC相切时，∵动点P在直线y=x上，∴P与O重合，此时圆心P到BC的距离为OB，∴P（0，0）．②如图1中，当⊙P与OC相切时，则OP=BP，△OPB是等腰三角形，作PE⊥y轴于E，则EB=EO，易知P的纵坐标为1，可得P（，1）．③如图2中，当⊙P与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离相等，可得=x，解得x=3+或3﹣，∵x=3+＞OA，∴⊙P不会与OA相切，∴x=3+不合题意，∴P（3﹣，）．④如图3中，当⊙P与AB相切时，设线段AB与直线OP的交点为G，此时PB=PG，∵OP⊥AB，∴∠BGP=∠PBG=90°不成立，∴此种情形，不存在P．综上所述，满足条件的P的坐标为（0，0）或（，1）或（3﹣，）．【点评】本题考查切线的性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，ABCO的顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，2），动点P在直线y=x上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P 随点P运动，当⊙P与四边形ABCO的边OA所在直线相切时，P点的坐标为（3﹣，）或（3+，）．【分析】设P（x，x），进而利用点P到点B的距离与点P到x轴的距离相等，建立方程即可得出结论．【解答】解：∵C（﹣3，2），∴直线OC的解析式为y=﹣x，∵直线OP的解析式为y=x，∵﹣×=﹣1，∴OP⊥OC，如图2中，当⊙P与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离相等，可得x，解得x=3+或3﹣，∴P（3﹣，）或（3+，）．．故答案为（3﹣，）或（3+，）．【点评】本题考查切线的性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．9．如图，一次函数y=﹣x+的图象与x轴、y轴交于A、B两点，P为一次函数y=x的图象上一点，以P为圆心能够画出圆与直线AB和y轴同时相切，则∠BPO=30°或120°．【分析】首先利用三角函数求得∠OBA的度数，然后分成P在AB的左侧和右侧两种情况进行讨论，利用切线长定理以及三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：在y=﹣x+中，当x=0时，y=，则B的坐标是（0，）；当y=0时，x=1，则A的坐标是（1，0）；则tan∠OBA==，则∠OBA=30°．当P在AB的左侧时，此时P一定在直角△OAB的内部．如图1的位置：∵直线y=x时第一、三象限的角的平分线，∴∠BOP1=45°，∵OB和AB是圆切线，∴∠OBP1=∠OBA=×30°=15°，∴∠BP1O=180°﹣15°﹣45°=120°；当P在AB的右侧时，如图2，同理可得∠ABP2=（180°﹣∠OBA）=×（180°﹣30°）=75°，∠BOP2=45°，∴∠BP2O=180°﹣75°﹣45°=30°．故答案是：30°或120°．【点评】本题考查了切线长定理，以及三角形的内角和的应用，正确对P的位置进行讨论是关键．10．如图，直线y=﹣与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ 的最小值是．【分析】过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，利用角的正弦求出CP的值，再根据勾股定理即可求出PQ的长度．【解答】解：过点C作CP⊥直线AB于点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，如图所示．当x=0时，y=3，∴点B的坐标为（0，3）；当y=0时，x=4，∴点A的坐标为（4，0）．∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∴sinB==．∵C（0，﹣1），∴BC=3﹣（﹣1）=4，∴CP=BC•sinB=．∵PQ为⊙C的切线，∴在Rt△CQP中，CQ=1，∠CQP=90°，∴PQ==．故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，解题的关键是确定P、Q点的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于切线的性质寻找到PQ取最小值时点P、Q的位置是关键．11．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1、半圆O2、…、半圆O n与直线相切，设半圆O1、半圆O2、…、半圆O n的半径分别是r1、r2、…、r n，则当r1=1时，r2016=32015．【分析】先求出r1=1，r2=3，r3=9…r n=3n﹣1，根据规律即可解决．【解答】解：设A、B、C是切点，由题意直线y=x与x轴的夹角为30°，在RT△OO1A中，∵AO1=1，∠AOO1=30°，∴OO1=2AO1=2，同理：OO2=2BO2，OO3=2CO3，∴3+r2=2r2，∴r2=3，9+r3=2r3，r3=9，∴r1=1，r2=3，r3=9…r n=3n﹣1，∴r2016=32015．故答案为32015．【点评】本题考查圆的切线的性质、直角三角形中30度角的性质、学会从特殊到一般的推理方法，寻找规律是解决问题的关键．12．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P 为直线y=﹣x+5上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ 的最小值是2．【分析】设直线直线y=﹣x+5与坐标轴的交点分别为M、N，则M（12，0），N（0，5），所以MN=13，作AH⊥MN于H，如图，证明△AMH∽△NMO，利用相似比得到AH=5，连接AQ，如图，根据切线的性质得∠AQP=90°，则PQ=，由于当AP的长最小时，PQ的长最小，根据垂线段最短得到PA 的最小值为5，从而得到PQ的最小值．【解答】解：设直线直线y=﹣x+5与坐标轴的交点分别为M、N，则M（12，0），N（0，5），∴MN==13，作AH⊥MN于H，如图，∵∠AMH=∠NMO，∴△AMH∽△NMO，∴=，即=，解得AH=5，连接AQ，如图，∵PQ为切线，∴AQ⊥PQ，∴∠PQA=90°，∴PQ==，当AP的长最小时，PQ的长最小，而PA的最小值为5，∴PQ的最小值为=2．故答案为2．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．13．如图，已知一次函数y=﹣x+3的图象与坐标轴分别交于点A，B两点，⊙O 的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为．【分析】连接OP、OQ．根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．【解答】解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；∵一次函数y=﹣x+3，当x=0时，y=3，∴A（0，3），当y=0时，x=3，∴B（3，0），∴OA=OB=3，∴AB=，∴OP=AB=，∴PQ=．故答案为：【点评】本题考查了一次函数综合题，涉及切线的判定与性质、坐标与图形性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．14．如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y=﹣x+4上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为2．【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征确定B（0，4），A（4，0），则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以AB=OA=4，OH=AB=2，再根据切线的性质，由PQ为⊙O的切线得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ==，所以当OP最小时，PQ最小，根据垂线段最短得到OP=OH时，OP最小，即可计算出切线长PQ的最小值=2．【解答】解：连结OP，OQ，作OH⊥AB于H，如图，当x=0时，y=﹣x+4=4，则B（0，4）；当y=0时，﹣x+4=0，解得x=4，则A（4，0），∵OA=OB，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=4，∵OH⊥AB，∴OH=AB=2，∵PQ为⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，在Rt△POQ中，PQ==，∴当OP最小时，PQ最小，而OP=OH时，OP最小，∴切线长PQ的最小值==2，故答案为：2．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．15．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+8与x轴、y轴分别交于A，B两点，Q是直线AB上一动点，⊙Q的半径为1．当⊙Q与坐标轴相切时，点Q的坐标为（﹣，﹣1）或（﹣，1）或（﹣1，）或（1，）．【分析】画出图象，分四种情形讨论即可．【解答】解：如图，∵直线y=x+8与x轴、y轴分别交于A，B两点，∴A（﹣6，0），B（0，8），∴OA=6，OB=8，①作Q1M⊥x于M．当Q1M=1时，⊙Q1与x轴相切．∵Q1M∥OB，∴=，∴AM=，∴Q1（﹣，﹣1）．②作Q2N⊥x于N．当Q2N=1时，⊙Q2与x轴相切，此时Q1，Q2关于点A对称，∴Q2（﹣，1）．③作Q3H⊥y于H，当Q3H=1时，⊙Q3与y轴相切，∵Q3H∥OA，∴=，∴BH=，∴OH=，∴Q3（﹣1，）．④作Q4G⊥y于G，当Q4G=1时，⊙Q4与y轴相切，此时Q3，Q4关于点B对称，∴Q4（1，）．综上所述，满足条件的点Q坐标为（﹣，﹣1）或（﹣，1）或（﹣1，）或（1，）．故答案为（﹣，﹣1）或（﹣，1）或（﹣1，）或（1，）．【点评】本题考查切线的性质、一次函数的应用、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考常考题型．16．如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为2．【分析】根据题意画出平移后的图形，如图所示，设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作OE⊥AD，根据垂径定理得到E为AD 的中点，由平移前AC与圆O相切，切点为A点，根据切线的性质得到OA与AC垂直，可得∠OAA′为直角，由A′D与A′A为圆O的两条切线，根据切线长定理得到A′D=A′A，再根据∠B′A′C′=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形A′AD为等边三角形，平移的距离AA′=AD，且∠DAA′=60°，由∠OAA′﹣∠DAA′求出∠OAE为30°，在直角三角形AOE中，由锐角三角函数定义表示出cos30°=，把OA及cos30°的值代入，求出AE的长，由AD=2AE可求出AD的长，即为平移的距离．【解答】解：根据题意画出平移后的图形，如图所示：设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作OE⊥AD，可得E为AD的中点，∵平移前圆O与AC相切于A点，∴OA⊥A′C，即∠OAA′=90°，∵平移前圆O与AC相切于A点，平移后圆O与A′B′相切于D点，即A′D与A′A为圆O的两条切线，∴A′D=A′A，又∠B′A′C′=60°，∴△A′AD为等边三角形，∴∠DAA′=60°，AD=AA′=A′D，∴∠OAE=∠OAA′﹣∠DAA′=30°，在Rt△AOE中，∠OAE=30°，AO=2，∴AE=AO•cos30°=，∴AD=2AE=2，∴AA′=2，则该直角三角板平移的距离为2．故答案为：2．【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，垂径定理，以及平移的性质，是一道多知识点的综合性题，根据题意画出相应的图形，并作出适当的辅助线是本题的突破点．17．如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为1或5cm．【分析】首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即可求得O′P的长，继而求得答案．【解答】解：如图1，当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，且切点为C，连接O′C，则O′C⊥PA，即∠O′CP=90°，∵∠APB=30°，O′C=1cm，∴O′P=2O′C=2cm，∵OP=3cm，∴OO′=OP﹣O′P=1（cm）．如图2：同理可得：O′P=2cm，∴O′O=5cm．故答案为：1或5．【点评】此题考查了切线的性质与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．18．如图，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第4秒．【分析】若以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切，即为当点O在AC上，且和BC边相切的情况．作O′D⊥BC于D，则O′D=，利用解直角三角形的知识，进一步求得O′C=2，从而求得O′A的长，进一步求得运动时间．【解答】解：根据题意，则作O′D⊥BC于D，则O′D=．在Rt△O′CD中，∠C=60°，O′D=，∴O′C=2，∴O′A=6﹣2=4，∴以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第4秒．故答案为：4．【点评】此题考查了直线和圆相切时数量之间的关系，能够正确分析出以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时的位置．19．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值t=2或3≤t≤7或t=8（单位：秒）【分析】求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，当⊙P于AC切于C点时，连接P′C，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；③如图3，当⊙P切BC于N′时，连接PN′则PN′=cm，∠PN′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；注意：由于对称性可知，当P点运动到AB右侧时也存在⊙P切AB，此时PM也是为2，即P点为N点，同理可得P点在M点时，⊙P切BC．这两点都在第二种情况运动时间内．故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．第31页（共31页）。