初中九年级数学上册因式分解法解一元二次方程综合练习题34

一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AMAF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM B解析：B【分析】 设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，则BE ＝EF ＝12，AE ＝x+12， 在Rt △ABE 中，∴AE 2＝AB 2+BE 2，∴（x +12）2＝1+（12）2， ∴x 2+x -1＝0，∴AM 的长为x 2+x -1＝0的一个正根，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理列出方程，本题属于中等题型． 2．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7＝0，可变形为（ ）A ．（x+2）2＝3B ．（x+2）2＝11C ．（x ﹣2）2＝3D ．（x ﹣2）2＝11D解析：D【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可．【详解】解：x 2﹣4x ﹣7＝0，移项得：247x x -=配方得：24474x x -+=+ ，即2()211x -=故答案为：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．3．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．210x +=B ．220x -=C ．21x y +=D ．211x x+=B 解析：B【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【详解】解：A.210x +=，是一元一次方程，故本选项不符合题意．B.220x -=，是一元二次方程，故本选项符合题意．C.21x y +=，是二元二次方程，故本选项不符合题意．D.211x x+=，该方程分式方程，故本选项不符合题意． 故选B ．【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．4．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C ．5000（1﹣x ）2＝6050D ．5000（1+x ）2＝6050D 解析：D【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x ，依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2104x x -+= B ．2390x x ++= C ．2250x x -+= D ．25130x x -=D解析：D【分析】先把各方程化为一般式，再分别计算方程根的判别式，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．【详解】A 、()221414104b ac =-=--⨯⨯=，方程有两个相等的两个实数根； B 、2243419270b ac =-=-⨯⨯=-<，方程没有实数根；C 、()2242415160b ac =-=--⨯⨯=-<，方程没有实数根；D 、()224134501690b ac =-=--⨯⨯=>，方程有两个不相等的两个实数根； 故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（ ）A ．15%B ．40%C ．25%D ．20%D 解析：D【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x ，依题意，得：100（1-x ）2=64，解得：x 1=0.2=20%，x 2=1.8（不合题意，舍去）．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．一元二次方程20x x -=的根是（ ）A ．10x =，21x =B ．11x =，21x =-C ．10x =，21x =-D ．121x x ==A 解析：A【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：∵x 2-x=0，∴x （x-1）=0，则x=0或x-1=0，解得：x1=0，x2=1，故选：A．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2＝0 B．x﹣3＝0 C．x2﹣5＝0 D．x2+2＝0C解析：C【分析】利用直接开平方法分别求解可得．【详解】解：A．由x2＝0得x1＝x2＝0，不符合题意；B．由x﹣3＝0得x＝3，不符合题意；C．由x2﹣5＝0得x1=x2=，符合题意；D．x2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．9．已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根及c的值分别为（）A．2，8 B．3，4 C．4，3 D．4，8D解析：D【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到t+2＝6，2t＝c，然后先求出t，再计算c 的值．【详解】解：设方程的另一个根为t，根据题意得t+2＝6，2t＝c，解得t＝4，c＝8．故选：D．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．10．已知方程2202030x x+-=的根分别为a和b，则代数式2a a2020ab++的值为（）A．0 B．2020 C．1 D．-2020A解析：A【分析】将a 代入方程，可得2202030a a +-=，即220302a a =-，代入要求的式子，即可得到3+ab ，而a 、b 是方程的两个根，根据韦达定理，可求出ab 的值，即可求出答案．【详解】解：∵方程2202030x x +-=的根分别为a 和b∴2202030a a +-=，即220302a a =-∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab∵ab=-3∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab=3-3=0故选：A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理，熟练解代入方程以及观察式子特点，抵消部分式子是解决本题的关键．二、填空题11．填空：（1）214x x ++________2(7)x =+；（2）29x x -+_______=（x-____）249【分析】运用配方法的运算方法填写即可【详解】解：（1）x2+14x+49=（x+7）2故答案为：49；（2）x2-9x+=（x-）2故答案为：【点睛】此题主要考查了配方法的应用熟练掌握完全平方公解析：49814 92 【分析】运用配方法的运算方法填写即可．【详解】解：（1）x 2+14x+49=（x+7）2故答案为：49；（2）x 2-9x+814=（x-92）2， 故答案为：814，92． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是关键．12．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键解析：12x 0x -3==，【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x ( x +3)＝0，x ＝0或 x +3＝0，12x 0x -3==，；故答案为：12x 0x -3==，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．13．已知方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，则方程2(3)2(3)30x x +++-=的解是_____．【分析】把（x+3）看成一个整体另一个方程和已知方程的结构形式完全相同所以x+3与已知方程的解也相同根据此题意解题即可【详解】解：∵是已知方程的解由于另一个方程与已知方程的形式完全相同∴x+3=1或 解析：122,6x x =-=-【分析】把（x+3）看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以x+3与已知方程的解也相同，根据此题意解题即可．【详解】解：∵ 1213x x ==-，是已知方程2230x x +-=的解，由于另一个方程()()232330x x +++-=与已知方程的形式完全相同，∴x+3=1或x+3=﹣3，解得：1226x x =-=-，．故答案为：1226x x =-=-，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1和x+3=-3是解此题的关键，此题属于换元法解方程．14．已知()0n n ≠是一元二次方程240x mx n ++=的一个根，则m n +的值为______．【分析】根据一元二次方程的解的定义把代入得到继而可得的值【详解】∵是关于x 的一元二次方程的一个根∴即∵∴即故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义因式分解的应用注意：能使一元二次方程左右两解析：4-【分析】根据一元二次方程的解的定义把x n =代入240x mx n ++=得到240n mn n ++=，继而可得m n +的值．【详解】∵n 是关于x 的一元二次方程240x mx n ++=的一个根，∴240n mn n ++=，即()40n n m ++=，∵0n ≠，∴4n m ++，即4m n +=-，故答案为：4-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义、因式分解的应用．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a ，b 为常数）的形式，则b ＝_____．21【分析】先把常数项移到等号的右边再等号两边同时加上16即可【详解】解：∵x2﹣8x ＝5∴x2﹣8x+16＝5+16即（x ﹣4）2＝21故答案为：21【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方掌握完全解析：21【分析】先把常数项移到等号的右边，再等号两边同时加上16，即可．【详解】解：∵x 2﹣8x ＝5，∴x 2﹣8x +16＝5+16，即（x ﹣4）2＝21，故答案为：21．【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．16．已知（x 2+y 2）（x 2+y 2﹣5）=6，则x 2+y 2=_____．6【分析】设x2+y2=m 把原方程转化为含m 的一元二次方程先用因式分解法求解再确定x2+y2的值【详解】设x2+y2=m 原方程可变形为：m(m ﹣5)=6即m2﹣5m ﹣6=0∴(m ﹣6)(m+1)=0 解析：6【分析】设x 2+y 2=m ，把原方程转化为含m 的一元二次方程，先用因式分解法求解，再确定x 2+y 2的值．【详解】设x 2+y 2=m ，原方程可变形为：m (m ﹣5)=6，即m 2﹣5m ﹣6=0．∴(m ﹣6)(m +1)=0，解得m 1=6，m 2=﹣1．∵m =x 2+y 2≥0，∴x 2+y 2=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握换元法和因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．17．三角形两边长分别为3和5，第三边满足方程x2-6x+8=0，则这个三角形的形状是__________．直角三角形【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=4x2=2再利用三角形三边的关系得到x=4然后根据勾股定理的逆定理进行判断【详解】解：x2-6x+8=0（x-4）（x-2）=0x-4=0或x-2=解析：直角三角形【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=4，x2=2，再利用三角形三边的关系得到x=4，然后根据勾股定理的逆定理进行判断．【详解】解：x2-6x+8=0，（x-4）（x-2）=0，x-4=0或x-2=0，所以x1=4，x2=2，∵两边长分别为3和5，而2+3=5，∴x=4，∵32+42=52，∴这个三角形的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、勾股定理的逆定理和三角形三边的关系，熟练掌握相关的知识是解题的关键．18．若a是方程210++=的根，则代数式2x x2020a a--的值是________．2021【分析】把x=a代入已知方程并求得a2+a=-1然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a代入x2+x+1=0得a2+a+1=0解得a2+a=-1所以2020-a2-a=2解析：2021【分析】把x=a代入已知方程，并求得a2+a=-1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a代入x2+x+1=0，得a2+a+1=0，解得a2+a=-1，所以2020-a2-a=2020+1=2021．故答案是：2021．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．19．已知a 2+1＝3a ，b 2+1＝3b ，且a ≠b ，则11a b+＝_____．【分析】根据一元二次方程根的定义得到ab 是一元二次方程的两根得到a 和b 的和与积再把两根和与两根积求出代入所求的式子中即可求出结果【详解】解：∵a2+1＝3ab2+1＝3b 且a≠b ∴ab 是一元二次方程解析：3【分析】根据一元二次方程根的定义得到a 、b 是一元二次方程的两根，得到a 和b 的和与积，再把两根和与两根积求出，代入所求的式子中即可求出结果．【详解】解：∵a 2+1＝3a ，b 2+1＝3b ，且a ≠b∴a ，b 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根，∴由韦达定理得：a +b ＝3，ab ＝1， ∴113a b a b ab++==． 故答案为：3．【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义、分式的通分，对一元二次方程根的定义的理解是解题的关键．20．为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是48元，降价后的价格是30元，若平均每次降价的百分率均为x ，可列方程．为____________．48(1-x)2=30【分析】本题的等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=30由此即可求解【详解】解：设平均每次降价的百分率为x 则第一次降价后的价格为48(1-x)第二次降解析：48(1-x)2=30【分析】本题的等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=30，由此即可求解．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x ，则第一次降价后的价格为48(1-x)，第二次降价后的价格为48(1-x)(1-x)，由题意，可列方程为：48(1-x)2=30．故答案为：48(1-x)2=30．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上得到的．三、解答题21．已知关于x 的方程()2222x kx x k +=--，当k 取何值时，此方程（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根．解析：（1）54k >； （2）54k <． 【分析】先化方程为一般形式，它是关于x 一元二次方程，据一元二次方程判别式和根的情况列出关于k 的不等式求解．【详解】方程化为：22(21)(2)0x k x k +-+-=， ∴∆22(21)4(2)1215k k k =--⨯-=-．（1）当12150k ->，54k >时，方程有两个不相等的实数根； （2）当12150k -<，54k <时，方程没有实数根． 【点睛】此题考查一元二次方程的判别式，其关键是撑握判别式与一元二次方程根情况的关系，并据此和题意列出不等式．22．某精准扶贫办对某地甲、乙两个猕猴桃品种进行种植对比实验研究．去年甲、乙两个品种各种植了100亩．收获后甲、乙两个品种的售价均为6元/kg ，且乙的平均亩产量比甲的平均亩产量高500kg ，甲、乙两个品种全部售出后总收入为1500000元． （1）请求出甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，精准扶贫办加大了对猕猴桃培育的力度，在甲、乙种植亩数不变的情况下，预计甲、乙两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a 和2%a ．由于乙品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a ，而甲品种的售价不变，甲、乙两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加58%25a ．求a 的值． 解析：（1）甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是1000千克和1500千克；（2）a 的值为10．【分析】（1）设 甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是 x 千克和 y 千克，根据乙的平均亩产量比甲的平均亩产量高 500kg ，甲、乙两个品种全部售出后总收入为1500000元，列二元一次方程组，即可解得；（2）分别用含a%的式子表示甲，乙的收入，根据销售总收入＝甲的收入+乙的收入，可以列一元一次方程，从而解出a 的值．【详解】解：（1）设甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克；根据题意得，()50010061500000y x x y -=⎧⎨⨯+=⎩解得：10001500x y =⎧⎨=⎩答：甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是1000千克和1500千克；（2）甲的收入：6×1000×100(1+a%)乙的收入：6×1500×100(1+2a%)(1+a%)()()()58610001001%6150010012%1%15000001%25a a a a ⎛⎫⨯⨯++⨯⨯++=+ ⎪⎝⎭， 解得：10a =（不合题意，舍去），210a =，答：a 的值为10．【点睛】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组，一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确假设未知数，找准等量关系，列方程求解．23．（1）解方程290x （直接开平方法）（2）若关于x 的一元二次方程()221534m x x m m +++-=的常数项为0，求m 的值．解析：（1）13x =，23x =-；（2）4【分析】（1）利用直接开平方法求解可得答案；（2）根据常数项为0得出关于m 的方程，解之求出m 的值，结合一元二次方程的定义可得答案．【详解】（1）解：290x （直接开平方法）29x =，∴3x =±，∴13x =，23x =-．（2）解：∵关于x 的一元二次方程()221534m x x m m +++-=的常数项为0， ∴210340m m m +≠⎧⎨--=⎩， 解得4m =，1m =-（舍去），∴m 的值为4．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，也考查了一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．24．如图,为了美化街道，刘大爷准备利用自家墙外的空地种两种不同的花卉，墙外宽度无限，墙的最大可用长度是11.5m ，现有长为21m 的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有一道隔栏的长方形花圃．（1）若要围成总面积为36平方米的花圃，边AB 的长应是多少？（2）花的面积能否达到39平方米？若能，求出边AB 的长；若不能，请说明理由．解析：（1）AB 的长应是4米；（2）花的面积不能达到39平方米．【分析】（1）设AB=x 米，根据题意列一元二次方程，解方程，把不合题意的解舍去即可求解； （2）设AB=x 米，根据题意列一元二次方程，方程无实数根，即可求解．【详解】解：（1）设AB=x 米，由题意得 x （21-3x ）=36，整理得 27120x x -+=，解得123,4x x ==，当x=3时，21-3x=12＞11.5，不合题意，舍去；当x=4时，21-4x=9＜11.5，符合题意．答：若要围成总面积为36平方米的花圃，边AB 的长应是4米．（2）设AB=x 米，由题意得 x （21-3x ）=39，整理得 27130x x -+=，()2247411330b ac ∆=-=--⨯⨯=-＜∴方程无实数根，∴无法围成总面积为39平方米的花圃．答：无法围成总面积为39平方米的花圃．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键，解题时注意根据题意检验根的合理性．25．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程()222110xm x m --+-=两个实数根． （1）求m 取值范围；（2）若()12210x x x -+=，求实数m 的值．解析：（1）54m ≤；（2）0m = 【分析】 （1）利用根的判别式，因为方程有两个实数根，所以0∆≥，列式求出m 取值范围；（2）利用韦达定理公式得1221x x m +=-，2121x x m ⋅=-，代入原式得到与m 有关的一元二次方程，解出m 的值．【详解】（1）∵()222110x m x m --+-=有两个实数根，∴24b ac ∆=- ()()222141m m =----⎡⎤⎣⎦2244144m m m =-+-+45m =-+，∴450m -+≥45m -≥-54m ≤； （2）∵()222110x m m --+-=， ∴1221b x x m a +=-=-，2121x x m ⋅=-， ()12210x x x -+=11220x x x x -⋅+=()12120x x x x +-⋅=，()22110m m ---=22110m m --+=220m m -+=()20m m --=，∴0m =或2m =，∵由①知，54m ≤， ∴0m =．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根于系数的关系式，解题的关键是熟练运用这两个知识点去解决问题．26．已知关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0．（1）若方程有实数根，求k 的取值范围；（2）在（1）的条件下，如果k 是满足条件的最大的整数，且方程x 2-2x+k=0一根的相反数是一元二次方程(m-1)x 2-3mx-7=0的一个根，求m 的值．解析：（1）k≤1；（2）2【分析】（1）结合题意，根据判别式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，可得k 的值，从而计算得方程x 2-2x+k=0的根，并代入到()21370m x mx ---=，通过求解一元一次方程方程，即可得到答案．【详解】（1）由题意知：44k ∆=-且0∆≥即：4-4k≥0∴k≤1（2）k≤1时，k 取最大整数1当k=1时，221x x -+的解为：121x x ==根据题意，1x =是方程()21370m x mx ---=的一个根 ∴()()()2113170m m -⨯--⨯--= ∴m=2．【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、一元一次方程的性质，从而完成求解．27．某地为刺激旅客来旅游及消费，讨论5月至9月推出全城推广活动．杭州某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？解析：30名【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用54000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x 名员工去旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x-25）人，每人降低20元，共降低了20（x-25）元．实际每人收了[1000-20（x-25）]元，列出方程求解．【详解】解：设该单位这次共有x 名员工去旅游．因为2000×25=50000＜54000，所以员工人数一定超过25人．根据题意列方程得：[2000-40（x-25）]x=54000．解得x 1=45，x 2=30．当x 1=45时，2000-40（x-25）=1200＜1700，故舍去；当x 2=30时，2000-40（x-25）=1800＞1700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去旅游．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的应用，一元二次方程的解法的运用，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题应注意的地方有两点：1、确定人数的范围；2、用人均旅游费用不低于1700元来判断，得到满足题意的x 的值． 28．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t （秒）时该足球距离地面的高度h （米）适用公式2205h t t =-．（1）经过多少秒后足球回到地面，（2）经过多少秒时足球距离地面的高度为10米？（3）小明同学说：“足球高度不可能达到21米！”你认为他说得对吗？请说明理由．解析：（1）4；（2）(2+秒或(2-秒；（3）小明说得对，理由见解析【分析】（1）求出0h =时t 的值即可得多少秒后足球回到地面；（2）根据高度为10米列方程可得；（3）列方程由根的判别式可作出判断．【详解】解：（1）当0h =时，22050t t -=，解得：0t =或4t =，答：经4秒后足球回到地面；（2）令220510h t t =-=，解得：2t =+2t =即经过(2+秒或(2-秒时足球距离地面的高度为10米．（3）小明说得对，理由如下：假设足球高度能够达到21米，即21h =，将21h =代入公式得：221205t t =-由判别式计算可知：2(20)4521200=--⨯⨯=-<△，方程无解，假设不成立，所以足球确实无法到达21米的高度．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．。

一、选择题1．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2﹣（2k +1）x +1＝0有两个实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ≥﹣14B ．k ≥﹣14且k ≠0C ．k ＜﹣14D ．k ＞－14且k ≠0 2．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2+b 2+a +b 的值是（ ） A ．0 B ．2020 C ．4040 D ．4042 3．若关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，则a 的值可能为（ ）A ．2-B ．4-C ．2D ．44．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．ax 2＋bx ＋c ＝0B ．211x x +=C ．x 2＋2x ＝y 2－1D ．3（x ＋1）2＝2（x ＋1） 5．一元二次方程20x x +=的根的情况为（ ） A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 6．一人携带变异新冠状病毒，经过两轮传染后共有121人感染，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则可列方程（ ）A ．()1121x x x ++=B ．()11121x x ++=C ．()21121x +=D ．()1121x x += 7．我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程22350x x +-=即(2)35x x +=为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是2(2)x x ++．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24352⨯+，因此5x =．则在下面四个构图中，能正确说明方程23100x x --=解法的构图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x 个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y 人感染．则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．()221y x =+B ．()22y x =+C ．222y x =+D ．()212y x =+ 9．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm ，宽40cm ．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为650cm ，设丝绸花边的宽为xcm ，根据题意，可列方程为（ ）A ．()()60240650x x -⋅-=B ．()()60402650x x -⋅-=C ．2402650x x x ⋅+⋅=D ．()240602650x x x ⋅+⋅-=10．关于x 的一元二次方程2430x x -+=的实数根有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个 11．受非洲猪瘟及其他因素影响，2020年9月份猪肉价格两次大幅度上涨，瘦肉价格由原来23元/千克，连续两次上涨x%后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（ ）A ．23（1﹣x%）2＝60B ．23（1+x%）2＝60C ．23（1+x 2%）＝60D ．23（1+2x%）＝60 12．当3b c -=时，关于x 的一元二次方程220x bx c -+=的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定 二、填空题13．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程28120x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是________．14．已知m ，n 是一元二次方程230x x --=的两个实数根，则代数式2219m n +-的值为________．15．三角形一边长为10，另两边长是方程214480x x -+=的两实根，则这是一个_____三角形．16．用换元法解方程时1321x x x x -=--，设1x y x-=，换元后化成关于y 的一元二次方程的一般形式为______．17．已知三角形的两边长分别是方程211300x x -+=的两个根，则该三角形第三边m 的取值范围是______．18．已知一元二次方程x 2-10x +21=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为_________．19．已知1x ，2x 是方程2310x x --=的两个根，则2212x x +=____．20．响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明家利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为______ ．三、解答题21．已知x =2是方程280x mx +-=的一个根，求：（1）m 的值；（2）1211+x x 的值． 22．解方程：（1）2(2)3(2)0x x ++=-；（2）2101x x-=+． 23．在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ＝b ，且关于x 的方程x 2﹣4x +b ＝0有两个相等的实数根，求AC 边上的中线长及∠A 的度数．24．宋代数学家杨辉所著《杨辉算法》中有一题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文为：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？25．解下列方程：（1）24830x x --=； （2）2(3)5(3)x x +=+．26．某旅游景区今年9月份游客人数比8月份增加了44%，10月份游客人数比9月份增加了69%，求该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得出k 2≠0，且△=b 2-4ac ≥0，建立关于k 的不等式组，求出k 的取值范围．【详解】解：由题意知，k 2≠0，且△=b 2-4ac =（2k +1）2-4k 2=4k +1≥0．解得k ≥-14且k ≠0． 故选：B ．【点睛】 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．2．D解析：D【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a+b=-1，ab=-2021，将其代入a 2+b 2+a +b =（a+b ）2+（a+b ）-2ab 中即可求出结论．【详解】解：∵a ，b 是方程x 2+x-2020=0的两个实数根，∴a+b=-1，ab=-2021∴a 2+b 2+a +b =（a+b ）2+（a+b ）-2ab=1-1+4042=4042．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系找出a+b=-1，ab=-2021是解题的关键．3．B解析：B【分析】设220x x a ++=的两根分别为12,,x x 可得12122,,x x x x a +=-= 由关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，可得()()1211x x --＜0, 再列不等式：()21a --+＜0, 解不等式可得答案．【详解】解：设220x x a ++=的两根分别为12,,x x12122,,x x x x a ∴+=-=关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，()()1211x x ∴--＜0,()12121x x x x ∴-++＜0,()21a ∴--+＜0,a ∴＜3,-4a ∴=-符合题意，所以,,A C D 不符合题意，B 符合题意，故选：.B【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元一次不等式的解法，掌握以上知识是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，含有一个未知数；【详解】A 、20ax bx c ++=当a=0时，不是一元二次方程，故A 错误；B 、2112x x+= ，不是整式方程，故B 错误； C 、2221x x y +=- ，含有两个未知数，故C 错误； D 、()()23121x x +=+ 是一元二次方程，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，正确理解一元二次方程的概念是解题的关键． 5．D解析：D【分析】确定a 、b 、c 计算根的判别式，利用根的判别式直接得出结论；【详解】∵20x x += ，∴ △=1-0=1＞0，∴ 原方程有两个不相等的实数根；故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式△，正确掌握△的值与根的个数的关系是解题的关键．6．C解析：C【分析】患变异新冠状病毒的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，根据共有121人感染列方程即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x(1+x)=121，即(1+x)2=121，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-传播问题，要注意的是患变异新冠状病毒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加．7．C解析：C【分析】根据题意，画出方程x2-3x-10=0，即x（x-3）=10的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．【详解】解：方程x2-3x-10=0，即x（x-3）=10的拼图如图所示；中间小正方形的边长为x-（x-3）=3，其面积为9，大正方形的面积：（x+x-3）2=4x（x-3）+9=4×10+9=49，其边长为7，因此，C选项所表示的图形符合题意，故选：C．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．8．A解析：A【分析】用含有x的代数式分别表示出每轮传染的人数和总人数即可得解.【详解】∵每轮传染平均1人会传染x个人，∴2人感染时，一轮可传染2x人，∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人；∵每轮传染平均1人会传染x个人，∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x人，∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= ()2+人；21x∴()2=+，21y x故选A.【点睛】本题考查了平均增长问题，准确表示每一轮传染的人数是解题的关键.9．D解析：D【分析】找出丝绸花边的总面积与丝绸花边的宽之间的关系式即可列出方程．【详解】解：由题意知：三条丝绸花边的面积和-两个重叠部分的面积=丝绸花边的总面积，∴设丝绸花边的宽为 xcm ，根据题意，可列方程为：2×40x+60x-2x×x=650,即2x⋅40+x⋅(60−2x)=650，故选D．【点睛】本题考查方程的列法，仔细分析题中含有未知数所表示的量之间的数量关系并把各数量正确地表示出来是解题关键．10．C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：一元二次方程2430-+=的根的判别式为：x xb2-4ac=（-4）2-4×3×1=4>0，所以，方程有两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出根的判别式的值是解题关键．11．B解析：B【分析】可先用x%表示第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x%的方程．【详解】解：当猪肉第一次提价x%时，其售价为23+23x%=23（1+x%）；当猪肉第二次提价x%后，其售价为23（1+x%）+23（1+x%）x%=23（1+x%）2．∴23（1+x%）2=60．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于60即可．12．A解析：A【分析】首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解．【详解】解：3b c -=，3c b ∴=-， 220x bx c -+=，∴∆22()428b c b c =--⨯⨯=-28(3)b b =--2824b b =-+2(4)80b =-+>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】此题主要考查根据参数的值判定一元二次方程根的情况，熟练掌握，即可解题．二、填空题13．14【分析】运用因式分解法解一元二次方程求出两根因为三角形是等腰三角形分情况讨论：腰为2时和腰为6时再利用三角形三边关系验证是否符合题意即可求出周长；【详解】解：（x-2）（x-6）=0x1=2x2解析：14【分析】运用因式分解法解一元二次方程，求出两根，因为三角形是等腰三角形，分情况讨论：腰为2时和腰为6时，再利用三角形三边关系验证是否符合题意，即可求出周长；【详解】解：28120x x -+=，（x-2）（x-6）=0，x 1=2，x 2=6，当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，则周长为：6+6+2=14，故答案为：14．【点睛】本题考查因式分解解一元二次方程和三角形的三边关系，求解后验三角形的三边关系是解题的关键．14．【分析】根据m与n是方程的两个实数根得到根与系数关系式原式变形后代入计算即可求出值【详解】解：∵mn是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根∴m+n＝1mn＝-3∵(m+n)2=m2+n2+2mn解析：12【分析】根据m与n是方程的两个实数根，得到根与系数关系式，原式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，∴m+n＝1，mn＝-3，∵(m+n)2=m2+n2+2mnm2+n2=(m+n)2-2mn∴m2+n2=12-2×(-3)=7∴m2+n2-19=7-19=-12故答案为：-12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．15．直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到另两边长利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形为直角三角形【详解】解：x2-14x+48=0分解因式得：（x-6）（x-8）=0解得：x=6或x=8∵62+8解析：直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到另两边长，利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形为直角三角形．【详解】解：x2-14x+48=0，分解因式得：（x-6）（x-8）=0，解得：x=6或x=8，∵62+82=102，∴这是一个直角三角形．故答案为：直角【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．16．【分析】将代入得出再化为一般形式即可【详解】根据题意原方程可化为故答案为：【点睛】本题考查利用换元法解分式方程正确的换元是解题的关键 解析：2230y y +-=【分析】 将1x y x-=代入得出32y y =-，再化为一般形式即可． 【详解】 根据题意原方程可化为32y y=-， 232y y =-，2230y y +-=．故答案为：2230y y +-=．【点睛】本题考查利用换元法解分式方程．正确的换元是解题的关键． 17．【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积经过变形得到两根差的值即可求得第三边的范围【详解】解：∵三角形两边长是方程x2−11x ＋30＝0的两个根∴x1＋x2＝11x1x2＝30∵解析：111<<m【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围．【详解】解：∵三角形两边长是方程x 2−11x ＋30＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝11，x 1x 2＝30，∵（x 1−x 2）2＝（x 1＋x 2）2−4x 1x 2＝121−120＝1，∴x 1−x 2＝1，又∵x 1−x 2＜m ＜x 1＋x 2，∴1＜m ＜11．故答案为：1＜m ＜11．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和．18．17【分析】先求出方程的解然后分两种情况进行分析结合构成三角形的条件即可得到答案【详解】解：∵一元二次方程x2-10x+21=0有两个根∴∴∴或当3为腰长时3+3<7不能构成三角形；当7为腰长时则周解析：17【分析】先求出方程的解，然后分两种情况进行分析，结合构成三角形的条件，即可得到答案．【详解】解：∵一元二次方程x 2-10x+21=0有两个根，∴210210x x -+=，∴(3)(7)0x x --=，∴3x =或7x =，当3为腰长时，3+3<7，不能构成三角形；当7为腰长时，则周长为：7+7+3=17；故答案为：17．【点睛】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，解题的关键是掌握所学的知识，注意运用分类讨论的思想进行解题．19．11【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=3x1x2=-1再根据x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2即可求出答案【详解】解：根据题意x1+x2=3x1x2=-1则x12+x22=（x1+解析：11【分析】根据根与系数的关系得出x 1+x 2=3，x 1x 2=-1，再根据x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2即可求出答案．【详解】解：根据题意x 1+x 2=3，x 1x 2=-1，则x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=32-2×（-1）=11，故答案为：11．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2= b a -，x 1x 2= c a．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 20．【分析】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为x 根据该商店6月份及8月份的利润可得出关于x 的一元二次方程；【详解】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为x 故答案为：【点睛】本题考查了 解析：()224000134560x +=【分析】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x ，根据该商店6月份及8月份的利润，可得出关于 x 的一元二次方程；【详解】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x()224000134560x +=故答案为：()224000134560x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 三、解答题21．（1）2；（2）14【分析】（1）由x =2是方程280x mx +-=的一个根，把x =2代入280x mx +-=即可得到关于m 的一元一次方程，求之即可；（2）将m=2代入280x mx +-=得到关于x 的一元二次方程，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求的式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，将求出的两根之和与两根之积代入计算即可．【详解】解：（1）把x =2代入280x mx +-=，得 22280m +-=，解得m=2（2）将m=2代入280x mx +-=，得2280x x +-=，∴12122,8x x x x +=-=-， ∴121212112184x x x x x x +-+===-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，分式的加法，以及根与系数的关系．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键，22．（1）122=1x x =-，；（2）2x =-是原方程的解．【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用方程两边都乘以x(x+1)把分式方程转化为整式方程，解方程，检验即可．【详解】解：（1）2(2)3(2)0x x ++=-，因式分解()(2)230x x ++-=，化为20-1=0x x +=，，∴122=1x x =-，；（2）2101x x-=+， 方程两边都乘以x(x+1)得()210x x +-=，去括号得：2+20x x -=，移项合并得：2x =-，检验当2x =-时，()()122120x x +=-⨯-+=≠，所以2x =-是原方程的解．【点睛】本题考查一元二次方程的解法与可化为一元一次方程的分式方程的解法，掌握一元二次方程的解法与可化为一元一次方程的分式方程的解法是解题关键．23．AC 边上的中线长为2，∠A ＝30°．【分析】根据一元二次方程x 2﹣4x +b ＝0有两个相等的实数根求出b 的值，再判断△ABC 为直角三角形，由直角三角形的性质可得结论．【详解】解：∵一元二次方程x 2﹣4x +b ＝0有两个相等的实数根，∴b 2﹣4ac ＝0，即（﹣4）2﹣4b ＝0，∴b ＝4．∴AC ＝4，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∵△ABC 为直角三角形，∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴AC 边上的中线长＝2，∵AC ＝4，∴∠A ＝30°．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△=0，方程有两个相等的实数根；还考查了利用勾股定理判定直角三角形，三角形的内角和定理，并考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质．24．长比宽多12步．【分析】选择合适的未知数，利用矩形这个桥梁构造一元二次方程求解即可．【详解】解：设矩形的长为x 步，则宽为60x -（）步， 根据题意，得(60)864x x -=．解得 136x =，224x =（舍去）∴当36x =时，6024x -=，362412-=．答：长比宽多12步．【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形的关系，熟练运用一元二次方程解决几何图形的面积是解题的关键．25．（1）121,1x x =+=；（2）123,2x x =-= 【分析】（1）根据配方法，可得答案；（2）根据因式分解法，可得答案．【详解】解：（1）移项，得2483x x -=．方程两边都除以4，得2324x x -=． 方程两边都加1，得232114x x -+=+． 配方，得27(1)4x -=．开平方，得12x -=±．1x ∴=+，121,1x x ∴=+=． （2）移项，得（2(3)5(3)0x x +-+=．(3)(35)0x x ∴++-=，(3)(2)0x x ∴+-=，123,2x x ∴=-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．26．该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率是56%【分析】根据增长后的游客人数＝增长前的游客人数×（1＋增长率），设9月、10月游客人数的平均增长率是x ，根据今年9月份游客人数比8月份增加了44%，10月份游客人数比9月份增加了69%，据此即可列方程解出即可．【详解】解：设该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率是x ，根据题意，得()()()21144%169%x +=+⨯+，解得10.5656%x ==，2 2.56x =-（不合实际，舍去）．答：该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率是56%．【点睛】考查了一元二次方程的应用．若原来的数量为a ，平均每次增长或降低的百分率为x ，经过第一次调整，就调整到a×（1±x ），再经过第二次调整就是a×（1±x ）（1±x ）＝a ()21a ±．增长用“＋”，下降用“−”．。

一元二次方程的解法（三）公式法和因式分解法复习：1．直接开平方法：2．配方法：为少犯配方时计算错误,一般这样配方,例如：用配方法解方程：22510x x -+=把二次项系数化为1,得：把常数项移到等号的右边：方程两边同时加上一次项系数一半的平方： 配方,计算要准确：两边开平方：移项：正确写出原方程的解：一、求根公式法探索：我们来解一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）解：因为a ≠0,方程两边都除以a,得20b c x x a a++=． 移项,得2b c x x a a+=-． 配方,得2222()()222b b b c x x a a a a +⋅⋅+=-, 即2224()24b b ac x a a-+=． 因为a ≠0,所以42a ＞0,当24b ac -＜0时,方程无实数根；当24b ac -≥0时,直接开平方,得2422b b ac x a a-+=± 所以2422b b ac x a a-=-±, 即221244b b ac b b ac x x -+----== 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）法2：4 a 2x 2＋4abx ＋4ac ＝022a x （）＋2·2ax ·b ＋b 2＝b 2-4ac (2ax+b)2= b 2-4ac由以上研究的结果,得到了一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0的求根公式： 224(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥． 利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值,直接求得 方程的根．这种解方程的方法叫做公式法．例1：用公式法解方程 2341x x =+练习：用公式法解方程：（1）2 1.53x x +=-；（2）21202x +=； （3）24320x x -+=．例2：解关于x 的方程2210x ax --=；练习：解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；小结：公式法——适用于 的方程．反映了一元二次方程的根与 系数的关系,（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式,准确找出各项系数 a 、b 、c ；（2）先求出24b ac ∆=-的值,若240b ac ∆=-≥,则代入公式 ．若240b ac ∆=-<,则 ；例3：解方程：2523x x =二、因式分解法 依据：000A B A B ⋅=⇔==或（A 、B 至少一个为0）先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使两个一 次式分别等于0,从而实现降次；这种解法叫做因式分解法．所有学 过的因式分解方法：提公因式法、公式法、十字相乘法．注意：1??A B A B ⋅=⇒==（不确定A 、B 的值）． 例4：用因式分解法求解下列方程：（1） (2)22(4)(52)x x -=-．（3）(2)20x x x -+-=； （4）26x x -=；()()()24 85860x x +-++=()5(2)20x x x -+-=练习： （1）22135-2--244x x x x =+； （2）3(21)42x x x +=+；例5：2(1)234)30x x +-= 2(2)3260x -+-=()223320x mx m -+=()()224210x a x a a -+++=总结：1． 一元二次方程：只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）2．一元二次方程的解法：（1） 直接开平方法：是以平方根为基础的一种解一元二次方程的方法233p +=（2）配方法：配方法是一种以配方为手段,以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；②移项, 即使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数项；③配方,即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0,则原方程无解．（3）公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是24b b ac x-±-(b2－4ac≥0),步骤是：（1）将方程化为一般形式ax2＋bx+c=0；（2）计算代数式b2－4ac的值；（3）当b2－4ac≥0由求根公式写出方程的解,当b2－4ac<0时方程无实根。

第二十一章 一元二次方程测试1 一元二次方程的有关概念及直接开平方法学习要求1．掌握一元二次方程的有关概念，并应用概念解决相关问题． 2．掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程中，只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2．它的一般形式为__________________．2．把2x 2－1=6x 化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．3．若(k ＋4)x 2－3x －2=0是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是______．4．把(x ＋3)(2x ＋5)－x (3x －1)=15化成一般形式为______，a =______，b =______，c =______． 5．若x x m －m +-222)(－3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______． 6．方程y 2－12=0的根是______． 二、选择题7．下列方程中，一元二次方程的个数为( )．(1)2x 2－3=0 (2)x 2＋y 2=5 (3)542=-x (4)2122=+xxA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在方程：3x 2－5x =0，,5312+=+x x 7x 2－6xy ＋y 2=0，322,052222--=+++xx x x ax =0， 3x 2－3x =3x 2－1中必是一元二次方程的有( )． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 9．x 2－16=0的根是( )． A ．只有4 B ．只有－4 C ．±4 D ．±8 10．3x 2＋27=0的根是( )．A ．x 1=3，x 2=－3B ．x =3C ．无实数根D ．以上均不正确 三、解答题(用直接开平方法解一元二次方程) 11．2y 2=8． 12．2(x ＋3)2－4=0．13．.25)1(412=+x 14．(2x ＋1)2=(x －1)2．综合、运用、诊断一、填空题15．把方程x x x +=-2232化为一元二次方程的一般形式(二次项系数为正)是__________，一次项系数是______．16．把关于x 的一元二次方程(2－n )x 2－n (3－x )＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． 17．若方程2kx 2＋x －k =0有一个根是－1，则k 的值为______． 二、选择题18．下列方程：(x ＋1)(x －2)=3，x 2＋y ＋4=0，(x －1)2－x (x ＋1)=x ，,01=+xx,5)3(21,42122=+=-+x x x 其中是一元二次方程的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个19．形如ax 2＋bx ＋c =0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是( )．A ．a 是任意实数B ．与b ，c 的值有关C ．与a 的值有关D ．与a 的符号有关20．如果21=x 是关于x 的方程2x 2＋3ax －2a =0的根，那么关于y 的方程y 2－3=a 的解是( )．A ．5±B ．±1C ．±2D ．2± 21．关于x 的一元二次方程(x －k )2＋k =0，当k ＞0时的解为( )．A ．k k +B ．k k -C ．k k -±D ．无实数解 三、解答题(用直接开平方法解下列方程) 22．(3x －2)(3x ＋2)=8． 23．(5－2x )2=9(x ＋3)2．24．.063)4(22=--x25．(x －m )2=n ．(n 为正数)拓广、探究、思考26．若关于x 的方程(k ＋1)x 2－(k －2)x －5＋k =0只有唯一的一个解，则k =______，此方程的解为______．27．如果(m －2)x |m ｜＋mx －1=0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为( )．A ．2或－2B ．2C ．－2D ．以上都不正确 28．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋m 2－1=0有一个根是0，求m 的值．29．三角形的三边长分别是整数值2cm ，5cm ，k cm ，且k 满足一元二次方程2k 2－9k －5=0，求此三角形的周长．测试2 配方法与公式法解一元二次方程学习要求掌握配方法的概念，并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程．课堂学习检测一、填空题1．+-x x 82_________=(x －__________)2．2．x x 232-＋_________=(x －_________)2．3．+-px x 2_________=(x －_________)2．4．x abx -2＋_________=(x －_________)2．5．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的根是______．6．一元二次方程(2x ＋1)2－(x －4)(2x －1)=3x 中的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______． 二、选择题7．用配方法解方程01322=--x x 应该先变形为( )．A ．98)31(2=-x B ．98)31(2-=-xC ．910)31(2=-x D ．0)32(2=-x8．用配方法解方程x 2＋2x =8的解为( )． A ．x 1=4，x 2=－2 B ．x 1=－10，x 2=8C ．x 1=10，x 2=－8D ．x 1=－4，x 2=29．用公式法解一元二次方程x x 2412=-，正确的应是( )． A ．252±-=x B ．252±=xC ．251±=xD ．231±=x10．方程mx 2－4x ＋1=0(m ＜0)的根是( )． A ．41 B ．m m-±42 C ．mm -±422 D ．mm m -±42 三、解答题(用配方法解一元二次方程) 11．x 2－2x －1=0． 12．y 2－6y ＋6=0．四、解答题(用公式法解一元二次方程)13．x 2＋4x －3=0． 14．.03232=--x x五、解方程(自选方法解一元二次方程) 15．x 2＋4x ＝－3．16．5x 2＋4x =1．综合、运用、诊断一、填空题17．将方程x x x 32332-=++化为标准形式是______________________，其中a =______，b =______，c =______．18．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m =______，另一根是______． 二、选择题19．若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为( )．A ．－2B ．－4C ．－6D ．2或6 20．4x 2＋49y 2配成完全平方式应加上( )．A ．14xyB ．－14xyC ．±28xyD ．0 21．关于x 的一元二次方程ax a x 32222=+的两根应为( )．A ．22a±-B ．a 2，a 22C ．422a± D ．a 2±三、解答题(用配方法解一元二次方程) 22．3x 2－4x =2． 23．x 2＋2mx =n ．(n ＋m 2≥0)．四、解答题(用公式法解一元二次方程)24．2x －1=－2x 2． 25．x x 32132=+26．2(x －1)2－(x ＋1)(1－x )=(x ＋2)2．拓广、探究、思考27．解关于x 的方程：x 2＋mx ＋2=mx 2＋3x ．(其中m ≠1)28．用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－4x ＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x 2－4x ＋5的值最小?最小值是多少?测试3 一元二次方程根的判别式学习要求掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，并能灵活地应用有关概念解决实际问题．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)根的判别式为∆=b 2－4ac ， (1)当b 2－4ac ______0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当b 2－4ac ______0时，方程有两个相等的实数根； (3)当b 2－4ac ______0时，方程没有实数根．2．若关于x 的方程x 2－2x －m =0有两个相等的实数根，则m =______． 3．若关于x 的方程x 2－2x －k ＋1=0有两个实数根，则k ______． 4．若方程(x －m )2=m ＋m 2的根的判别式的值为0，则m =______． 二、选择题5．方程x 2－3x =4根的判别式的值是( )． A ．－7 B ．25 C ．±5 D ．56．一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0有两个实数根，则根的判别式的值应是( )． A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．零 7．下列方程中有两个相等实数根的是( )． A ．7x 2－x －1=0 B ．9x 2=4(3x －1) C ．x 2＋7x ＋15=0D ．02322=--x x8．方程03322=++x x 有( )． A ．有两个不等实根 B ．有两个相等的有理根 C ．无实根 D ．有两个相等的无理根 三、解答题9．k 为何值时，方程kx 2－6x ＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．10．若方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，求正整数a 的值．11．求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-mx m x 都有两个不相等的实根．综合、运用、诊断一、选择题12．方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)根的判别式是( )．A ．242ac b b -±-B ．ac b 42-C ．b 2－4acD ．abc13．若关于x 的方程(x ＋1)2=1－k 没有实根，则k 的取值范围是( )．A ．k ＜1B ．k ＜－1C ．k ≥1D ．k ＞1 14．若关于x 的方程3kx 2＋12x ＋k ＋1=0有两个相等的实根，则k 的值为( )．A ．－4B ．3C ．－4或3D ．21或32-15．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2mx ＋m ＋3=0有两个不等的实根，则m 的取值范围是( )．A ．23<m B ．23<m 且m ≠1C ．23≤m 且m ≠1D ．23>m16．如果关于x 的二次方程a (1＋x 2)＋2bx =c (1－x 2)有两个相等的实根，那么以正数a ，b ，c 为边长的三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．任意三角形 二、解答题17．已知方程mx 2＋mx ＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．18．求证：不论k 取任何值，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)=0都没有实根．19．如果关于x 的一元二次方程2x (ax －4)－x 2＋6=0没有实数根，求a 的最小整数值．20．已知方程x 2＋2x －m ＋1=0没有实根，求证：方程x 2＋mx =1－2m 一定有两个不相等的实根．拓广、探究、思考21．若a ，b ，c ，d 都是实数，且ab =2(c ＋d )，求证：关于x 的方程x 2＋ax ＋c =0，x 2＋bx ＋d =0中至少有一个方程有实数根．测试4 因式分解法解一元二次方程学习要求掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法．课堂学习检测一、填空题(填出下列一元二次方程的根) 1．x (x －3)=0．______ 2．(2x －7)(x ＋2)=0．______ 3．3x 2=2x ．______ 4．x 2＋6x ＋9=0．______ 5．.03222=-x x ______ 6．.)21()21(2x x -=+______ 7．(x －1)2－2(x －1)=0．______． 8．(x －1)2－2(x －1)=－1．______ 二、选择题9．方程(x －a )(x ＋b )=0的两根是( )． A ．x 1=a ，x 2=b B ．x 1=a ，x 2=－b C ．x 1=－a ，x 2=b D ．x 1=－a ，x 2=－b 10．下列解方程的过程，正确的是( )．A ．x 2=x ．两边同除以x ，得x =1．B ．x 2＋4=0．直接开平方法，可得x =±2．C ．(x －2)(x ＋1)=3×2．∵x －2=3，x ＋1=2， ∴x 1=5， x 2=1．D ．(2－3x )＋(3x －2)2=0．整理得3(3x －2)(x －1)=0，.1,3221==∴x x 三、解答题(用因式分解法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程) 11．3x (x －2)=2(x －2)． 12．.32x x =*13．x 2－3x －28=0． 14．x 2－bx －2b 2=0．*15．(2x －1)2－2(2x －1)=3． *16．2x 2－x －15=0．四、解答题17．x 取什么值时，代数式x 2＋8x －12的值等于2x 2＋x 的值．综合、运用、诊断一、写出下列一元二次方程的根18．0222=-x x ．______________________． 19．(x －2)2=(2x ＋5)2．______________________． 二、选择题20．方程x (x －2)=2(2－x )的根为( )．A ．－2B ．2C ．±2D ．2，2 21．方程(x －1)2=1－x 的根为( )．A ．0B ．－1和0C ．1D ．1和022．方程0)43)(21()43(2=--+-x x x 的较小的根为( )．A ．43-B ．21C ．85D ．43三、用因式分解法解下列关于x 的方程23．.2152x x =- 24．4(x ＋3)2－(x －2)2=0．25．.04222=-+-b a ax x26．abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0)四、解答题27．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m 2＋2)x ＋2m =0．(1)求证：当m 取非零实数时，此方程有两个实数根； (2)若此方程有两个整数根，求m 的值．测试5 一元二次方程解法综合训练学习要求会用适当的方法解一元二次方程，培养分析问题和解决问题的能力．课堂学习检测一、填空题(写出下列一元二次方程的根) 1．3(x －1)2－1=0．__________________2．(2x ＋1)2－2(2x ＋1)=3．__________________ 3．3x 2－5x ＋2=0．__________________ 4．x 2－4x －6=0．__________________ 二、选择题5．方程x 2－4x ＋4=0的根是( )． A ．x =2 B ．x 1=x 2=2 C ．x =4 D ．x 1=x 2=4 6．5.27.0512=+x 的根是( )．A ．x =3B ．x =±3C ．x =±9D ．3±=x 7．072=-x x 的根是( )． A ．77=xB ．77,021==x x C ．x 1=0，72=x D ．7=x 8．(x －1)2=x －1的根是( )． A ．x =2 B ．x =0或x =1 C ．x =1 D ．x =1或x =2 三、用适当方法解下列方程 9．6x 2－x －2=0． 10．(x ＋3)(x －3)=3．11．x 2－2mx ＋m 2－n 2=0． 12．2a 2x 2－5ax ＋2=0．(a ≠0)四、解下列方程(先将你选择的最佳解法写在括号中) 13．5x 2=x ．(最佳方法：______)14．x 2－2x =224．(最佳方法：______)15．6x 2－2x －3=0．(最佳方法：______)16．6－2x 2=0．(最佳方法：______)17．x 2－15x －16=0．(最佳方法：______)18．4x 2＋1=4x ．(最佳方法：______)19．(x －1)(x ＋1)－5x ＋2=0．(最佳方法：______)综合、运用、诊断一、填空题20．若分式1872+--x x x 的值是0，则x =______．21．关于x 的方程x 2＋2ax ＋a 2－b 2=0的根是____________． 二、选择题22．方程3x 2=0和方程5x 2=6x 的根( )．A ．都是x =0B ．有一个相同，x =0C ．都不相同D ．以上都不正确 23．关于x 的方程abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0(ab ≠0)的根是( )．A ．ba x ab x 2,221== B ．b ax a b x ==21,C ．0,2221=+=x abb a xD ．以上都不正确 三、解下列方程24．(x ＋1)2＋(x ＋2)2=(x ＋3)2． 25．(y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)=26．26．.02322=+-x x 27．kx 2－(k ＋1)x ＋1=0．四、解答题28．已知：x 2＋3xy －4y 2=0(y ≠0)，求yx yx +-的值．29．已知：关于x 的方程2x 2＋2(a －c )x ＋(a －b )2＋(b －c )2=0有两相等实数根．求证：a ＋c =2b ．(a ，b ，c 是实数)拓广、探究、思考30．若方程3x 2＋bx ＋c =0的解为x 1=1，x 2=－3，则整式3x 2＋bx ＋c 可分解因式为______________________．31．在实数范围内把x 2－2x －1分解因式为____________________． 32．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)中的两根为,24,221aacb b x x -±-=请你计算x 1＋x 2=____________，x 1·x 2=____________． 并由此结论解决下面的问题：(1)方程2x 2＋3x －5=0的两根之和为______，两根之积为______．(2)方程2x 2＋mx ＋n =0的两根之和为4，两根之积为－3，则m =______，n =______． (3)若方程x 2－4x ＋3k =0的一个根为2，则另一根为______，k 为______．(4)已知x 1，x 2是方程3x 2－2x －2=0的两根，不解方程，用根与系数的关系求下列各式的值：①;1121x x + ②;2221x x + ③｜x 1－x 2｜；④;221221x x x x + ⑤(x 1－2)(x 2－2)．测试6 实际问题与一元二次方程学习要求会灵活地应用一元二次方程处理各类实际问题．课堂学习检测一、填空题1．实际问题中常见的基本等量关系。

第21章一元二次方程1．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？2．某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？3．关于x的一元二次方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0（1）求方程的解；（2）若方程的解为整数，求k值．4．某市为推进养老服务工作的深入开展，在扩大社区养老覆盖率、规范机构养老、科学规划养老服务布局等方面作了大量工作．该市的养老机构拥有的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个．（1）求该市这两年养老床位数的年平均增长率：（2）该市2018年底正在筹建一社区养老中心，按照规划拟建造三类养老专用房间（一个养老床位的单人间、两个养老床位的双人间、三个养老床位的三人间）共100间，若按规划需要建造的单人间的房间数为m（12≤m≤15），双人间的房间数是单人间的2倍，求该养老中心建成后最多可提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？5．为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少个足球队参赛？6．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m＝时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．7．（1）解方程：2x2﹣x﹣1＝0；（2）解不等式组：8．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．9．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．10．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2＝3，求k的值及方程的根．12．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，试求k的值．13．HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%．（1）求2018年甲类芯片的产量；（2）HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．14．（1）关于x，y的方程组满足x+y＝5，求m的值．（2）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根x1，x2满足x12+x22＝5，求的值．15．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0，（1）求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根的平方等于1，求m的值．17．（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．（2）解不等式组：18．已知关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0．（1）求证：不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，方程是否有有理根？若有，求出m的值：若没有，请说明理由．19．建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米．（1）求养鸡场的长与宽各为多少米？（2）若10≤a＜18，题中的解的情况如何？20．2019长春国际马拉松于5月26日上午在长春体育中心鸣枪开跑．某公司为赛事赞助了5000瓶矿泉水，计划以后每年逐年增加，到2021年达到7200瓶，若该公司每年赞助矿泉水数量增加的百分率相同．（1）求平均每年增加的百分率；（2）假设2022年该公司赞助矿泉水增加的百分率与前两年相同，请你预测2022年该公司赞助的矿泉水的数量．参考答案1．【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x＝23.5即可求出结论；（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y＝kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33．答：当天该水果的销售量为33千克．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，解得：x1＝35，x2＝25．∵20≤x≤32，∴x＝25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．2．【分析】（1）可设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，根据等量关系：①一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元；②购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元；列出方程组求解即可；（2）根据该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元，列出方程求解即可．【解答】解：（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，依题意有，解得．故甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元；（2）依题意有：（400﹣10a×7）（4+a）+（300﹣10a×8）（14×2﹣11﹣14+a）＝2500，整理，得150a2﹣180a＝0，解得a1＝，a2＝0（舍去）．故当a为时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元．【点评】考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．3．【分析】（1）根据一元二次方程的定义，利用因式分解法可解；（2）根据（1），利用整数根可解．【解答】解：（1）∵该方程是关于x的一元二次方程，∴k≠6，k≠9∵（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0∴[（6﹣k）x﹣9][（9﹣k）x﹣6]＝0解得x＝或∴方程的解为x＝或．（2）∵方程的解为x＝或．若方程的解为整数，①当6﹣k＝±1，±3，±9时，x是整数，此时k＝7、5、3、9、15、﹣3；②当9﹣k＝±1，±2，±3，±6时，x是整数，此时k＝10、8、11、7、12、6、15、3．综上可知，k＝3、7、15时原方程的解为整数．【点评】本题考查了一元二次方程的定义及整数根的求解问题，难度中等．4．【分析】（1）设该市这两年（从2016年度到2018年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2018年的床位数＝2016年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，根据“可提供的床位数＝单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于m的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为，由题意可列出方程：2（1+x）2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，三人间的房间数为100﹣3m，设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：y＝m+4m+3（100﹣3m）＝﹣4m+300∵y随m的增大而减小∴当m＝12时，y的最大值为252．当m＝15时，y的最小值为240．答：该养老中心建成后最多提供养老床位252个，最少提供养老床位240个．【点评】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系找出y关于t的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键．5．【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数＝9×5，把相关数值代入即可．【解答】解：该县团委应邀请x个足球队参赛．每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）＝9×5．整理，得x2﹣x﹣90＝0．解得x1＝﹣9（不合题意，舍去），x2＝10．答：该县团委应邀请10个足球队参赛．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．6．【分析】（1）由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝5、x1x2＝5，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，根据勾股定理可得结论．【解答】（本题6分）解：（1）∵方程有实数根，∴△＝（﹣5）2﹣4×1×2m≥0，（1分）m≤，（2分）∴当m≤时，原方程有实数根；（3分）（2）当m＝时，原方程可化为：x2﹣5x+5＝0，设方程的两个根分别为x1、x2，则x1+x2＝5，x1•x2＝5，（4分）∵该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，如图所示，∴AC＝＝＝＝，（5分）∴该矩形外接圆的直径是．（6分）【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系和进行变形是解题的关键．7．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0，（2x+1）（x﹣1）＝0，2x+1＝0，x﹣1＝0，x1＝﹣，x2＝1；（2）∵解不等式①得：x＞﹣4，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为﹣4＜x≤3．【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解（2）的关键．8．【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本＝3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2＝361，解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．9．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△＝b2﹣4a＝0，设b＝2，a＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2＝21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2＝21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．11．【分析】（1）由于关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此进行计算即可；（2）利用根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，整理得，4k﹣3＞0，解得：k＞，故实数k的取值范围为k＞；（2）∵方程的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2k+1＝3，解得：k＝1，∴原方程为x2﹣3x+2＝0，∴x1＝1，x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．12．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．【解答】（1）解：∵原方程有实数根，∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0∴k≤1（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：x1+x2 ＝2，x1 •x2 ＝2k﹣1又∵+＝x1•x2，∴∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）2∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根∵k≤1∴．【点评】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．13．【分析】（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可；（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，由题意得出400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，整理得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），即可得出答案．【解答】解：（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，解得：x＝400；答：2018年甲类芯片的产量为400万块；（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，∴丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，则：400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，400（1+t）2+2×400（1+t﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），整理得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400；答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一元一次方程的解法；弄清数量关系列出方程是解题的关键．14．【分析】（1）观察到方程组两方程相加，左边出现3（x+y），把x+y作为一个整体来计算．（2）根据韦达定理求出用m表示x1+x2和x1x2的值，利用完全平方公式的变形得到x12+x22的式子，进而得到关于m的方程．【解答】解：（1）根据题意把方程组两式相加得：2x+y+x+2y＝m+3m+13（x+y）＝4m+1∴x+y＝又∵x+y＝5∴解得：m＝（2）∵a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣m∴△＝[﹣（m﹣1）]2﹣4•（﹣m）＝m2﹣2m+1+4m＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0∴无论m为何值时，方程一定有实数根．∵x1+x2＝＝m﹣1，x1x2＝＝﹣m∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（m﹣1）2+2m∵x12+x22＝5∴（m﹣1）2+2m＝5解得：m＝±2当m＝2时，＝＝当m＝﹣2时，＝＝∴的值为或【点评】本题考查了解二元一次方程，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，分式的加减．15．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，解得：m＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．16．【分析】（1）求出△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2，再判断即可；（2）求出方程的根是±1，再代入方程，即可求出答案．）【解答】（1）证明：x2﹣（m+3）x+m+2＝0，△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，所以无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有一个根的平方等于1，∴此根是±1，当根是1时，代入得：1﹣（m+3）+m+2＝0，即0＝0，此时m为任何数；当根是﹣1时，1+（m+3）+m+2＝0，解得：m＝﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．17．【分析】（1）利用配方法解方程；（2）分别解两个一次不等式得到x＞﹣2和x≤2，然后根据确定不等式组的解集．【解答】解：（1）x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝，所以x1＝1+，x2＝1﹣；（2）解①得x＞﹣2，解②得x≤2，所以不等式组的解集为﹣2＜x≤2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了解一元一次不等式组．18．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝1＞0，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；（2）先计算出△并且设△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论m的存在性．变形为（2m﹣1）2﹣n2＝4，（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，利用m，n都为整数进行讨论即可．【解答】（1）证明：①当2m﹣1＝0即m＝时，此时方程是一元一次方程，其根为x＝，符合题意；②当2m﹣1≠0即m≠时，△＝[﹣（2m+1）]2﹣4（2m﹣1）＝（2m﹣1）2+4＞0，∴当m≠时，方程总有两个不相等的实数根；综上所述，不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．理由如下：①当m为整数时，假设关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0有有理根，则要△＝b2﹣4ac为完全平方数，而△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4，设△＝n2（n为整数），即（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），所以有（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，∵2m﹣1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以或，解得m＝，②2m﹣1＝0时，m＝（不合题意舍去）．所以当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．【点评】考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式为△＝b2﹣4ac．△＝b2﹣4ac为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．同时考查了不定方程特殊解的求法．19．【分析】（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，利用厂房的面积公式结合养鸡场的面积为130m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）由（1）的结论结合10≤a＜18，可得出长方形的长为13米宽为10米．【解答】解：（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，依题意，得：（33﹣2x）x＝130，解得：x1＝6.5，x2＝10，∴33﹣2x＝20或13．答：养鸡场的长为20米宽为6.5米或长为13米宽为10米．（2）∵10≤a＜18，∴33﹣2x＝13，∴养鸡场的长为13米宽为10米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20．【分析】（1）设平均每年增加的百分率为x，根据该公式2019年及2021年赞助矿泉水的数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2022年该公司赞助的矿泉水数量＝2021年该公司赞助的矿泉水数量×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设平均每年增加的百分率为x，依题意，得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：平均每年增加的百分率为20%．（2）7200×（1+20%）＝8640（瓶）．答：预测2022年该公司赞助矿泉水8640瓶．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．。