绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）（适用地区:云南、四川、广西、贵州、西藏）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合∣⎩⎭⎨⎬=−−=≤<⎧⎫A B xx 2{2,1,0,1,2},05，则=A B （ ） A. 0,1,2}{ B. −−{2,1,0} C. {0,1} D. {1,2}2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（ ）A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3. 若=+z 1i ．则+=z z |i 3|（ ）A. B. C. D.4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A. 8B. 12C. 16D. 205. 将函数⎝⎭ ⎪=+>⎛⎫ωωf x x 3()sin (0)π的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A.61 B.41C.31 D.216. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）A. 51 B. 31 C. 52 D. 327. 函数=−−y x x x33cos )(在区间⎣⎦⎢⎥−⎡⎤22,ππ的图象大致为（ ）A. B.C. D.8. 当=x 1时，函数=+xf x a x b()ln 取得最大值−2，则='f (2)（ ） A. −1B. −21 C.21 D. 19. 在长方体−ABCD A B C D 1111中，已知B D 1与平面ABCD 和平面AA B B 11所成的角均为°30，则（ ） A. =AB AD 2B. AB 与平面AB C D 11所成的角为°30C. =AC CB 1D. B D 1与平面BB C C 11所成的角为︒4510. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为π2，侧面积分别为甲S 和乙S ，体积分别为甲V 和乙V ．若乙甲S S =2，则乙甲V V=（ ）A. B.C.D.411. 已知椭圆+=>>a bC a b x y :1(0)2222的离心率为31，A A ,12分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若⋅=−BA BA 112，则C 的方程为（ ）A. +=x y 1816122B. +=x y 98122C. +=x y 32122D. +=y x 212212. 已知==−=−a b m m m 910,1011,89，则（ ） A. >>a b 0 B. >>a b 0 C. >>b a 0D. >>b a 0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量==+a m b m (,3),(1,1)．若⊥a b ，则=m ________________________．14. 设点M 在直线=−+x y 210上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为___________________．15. 记双曲线−=>>a bC a b x y :1(0,0)2222的离心率为e ，写出满足条件“直线=y x 2与C 无公共点”的e 的一个值________________________．16. 已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠=︒==ADB AD CD BD 120,2,2．当ABAC取得最小值时，=BD ____________________________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：=−K n ad bc ()22，18. 记S n 为数列a n }{的前n 项和．已知+=+nn a S n n212． （1）证明：a n }{是等差数列；（2）若a a a ,,479成等比数列，求S n 的最小值．19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD 是边长为8（单位：cm ）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA △EAB,△FBC,△GCD,△HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直．（1） 证明：EF //平面ABCD ；（2） 求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20. 已知函数=−=+f x x x g x a (),()32，曲线=y f x ()在点x f x ,11)()(处的切线也是曲线=y g x ()的切线． （1）若=−x 11，求a ；（2）求a 的取值范围．21. 设抛物线=>C y px p :2(0)2的焦点为F ，点D p ,0)(，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，=MF 3．（1）求C 的方程；（2）设直线MD ND ,与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN AB ,的倾斜角分别为αβ,．当−αβ取得最大值时，求直线AB 的方程．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩=⎪⎨⎪=⎧+y x t 62（t 为参数），曲线C 2的参数方程为⎩=⎪⎨⎪=−⎧+y x s 62（s 为参数）．（1）写出C 1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为−=θθ2cos sin 0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知a ，b ，c 均为正数，且++=a b c 43222，证明： （1）++≤a b c 23；（2）若=b c 2，则+≥a c311．参 考 答 案1.【答案】A 【解析】【详解】因为=−−A 2,1,0,1,2}{，∣⎩⎭⎨⎬=≤<⎧⎫B xx 205，所以=A B 0,1,2}{． 故选：A.2.【答案】B 【解析】【详解】讲座前中位数为>+270%70%75%,所以A 错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为−=100%80%20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为−=>95%60%35%20%,所以D 错. 故选:B.3.【答案】D 【解析】【详解】因为=+z 1i ，所以+=++−=−z z i 3i 1i 31i 22i )()(，所以+==z z i 3．故选：D.4.【答案】B 【解析】【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积=⨯⨯=+V 2221224. 故选：B.5.【答案】C 【解析】【详解】由题意知：曲线C 为⎣⎦⎝⎭⎢⎥ ⎪=++=++⎛⎫⎡⎤ωωππωππy x x 2323sin sin()，又C 关于y 轴对称，则Z +=+∈πωπππk k 232,，解得Z =+∈ωk k 32,1，又ω>0，故当=k 0时，ω的最小值为31. 故选：C.6.【答案】C 【解析】【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有3,5,3,6,4,5,4,6,5,61,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,)()()()()()()()()()()()()()()(15种情况，其中数字之积为4的倍数的有1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,6)()()()()()(6种情况，故概率为=15562. 故选：C.7.【答案】A 【解析】【详解】令⎣⎦⎢⎥=−∈−⎡⎤−ππf x x x xx2233cos ,,)()(， 则−=−−=−−=−−−f x x x f x x x x x33cos 33cos )()()()()(，所以f x )(为奇函数，排除BD ； 又当⎝⎭⎪∈⎛⎫πx 20,时，−>>−x x x330,cos 0，所以>f x 0)(，排除C. 故选：A.8.【答案】B 【解析】【详解】因为函数f x )(定义域为+∞0,)(，所以依题可知，=-f 12)(，='f 10)(，而=−'x xf x a b2)(，所以=−−=b a b 2,0，即=−=−a b 2,2，所以=−+'x x f x 222)(，因此函数f x )(在0,1)(上递增，在+∞1,)(上递减，=x 1时取最大值，满足题意，即有=−+=−'f 222111)(．故选：B.9.【答案】D 【解析】【详解】如图所示：不妨设===AB a AD b AA c ,,1，依题以及长方体的结构特征可知，B D 1与平面ABCD 所成角为∠B DB 1，B D 1与平面AA B B 11所成角为∠DB A 1，所以==B D B Dc b sin 3011，即=b c ，==B D c 21得=a ．对于A ，=AB a ，=AD b ，=AB ，A 错误；对于B ，过B 作⊥BE AB 1于E ，易知⊥BE 平面AB C D 11，所以AB 与平面AB C D 11所成角为∠BAE ，因为∠==a BAE c 2tan ，所以∠≠BAE 30，B 错误；对于C ，==AC ，==CB 1，≠AC CB 1，C 错误；对于D ，B D 1与平面BB C C 11所成角为∠DB C 1，∠===B D c DB C CD a 22sin 11，而<∠<DB C 0901，所以145DB C ∠=．D 正确．故选：D ．10.【答案】C 【解析】【详解】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r 1，乙圆锥底面圆半径为r 2，则乙甲===ππS r l r rl rS 22211， 所以=r r 212， 又+=πππl l r r 22212， 则=+lr r112，所以==r l r l 33,2112，所以甲圆锥的高==h l 31，乙圆锥的高==h l 32，所以乙甲===⨯ππr h V V r h l l 93313142221122. 故选：C.11.【答案】B【详解】解：因为离心率===a e c 31，解得=a b 9822，b a =9822，A A ,12分别为C 的左右顶点，则−a A a ,0,,02)((，B 为上顶点，所以B b (0,).所以BA a b BA a b =−−=−(,),(,)12，因为⋅=−BA BA 112 所以a b −+=−122，将b a =9822代入，解得==a b 9,822， 故椭圆的方程为+=x y 98122. 故选：B.12.【答案】A【详解】由=m910可得==>m lg9log 101lg109，而⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪<=<=⎛⎫⎛⎫+22lg9lg111lg10lg9lg11lg99222)(，所以>lg9lg10lg10lg11，即>m lg11，所以=−>−=a m 101110110lg11． 又⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪<=<⎛⎫⎛⎫+22lg8lg10lg9lg8lg10lg80222)(，所以>lg8lg9lg9lg10，即>m log 98，所以=−<−=b m 89890log 98．综上，>>a b 0． 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】−43= −0.75【详解】由题意知：⋅=++=a b m m 3(1)0，解得=−m 43.故答案为：−43.14.【答案】−++=x y (1)(1)522【详解】解：∵点M 在直线=−+x y 210上，∴设点M 为a a −(,12)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M ⊙M 上，∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，R ==，a a a a a −++−+=694415222，解得=a 1， ∴−M (1,1)，=R⊙M 的方程为−++=x y (1)(1)522.故答案：−++=x y (1)(1)52215.【答案】2（满足<≤e 1皆可）【详解】解：−=>>a b C a b x y :1(0,0)2222，所以C 的渐近线方程为=±ay x b ,结合渐近线的特点，只需<≤a b 02，即≤ab 422，可满足条件“直线=y x 2与C 无公共点”所以a e c ==≤=又因为>e 1，所以<≤e 1，故答案为：2（满足<≤e 1皆可）16. 已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠=︒==ADB AD CD BD 120,2,2．当ABAC取得最小值时，=BD ________．−1##− 【解析】详解】设==>CD BD m 220，则△ABD 中，=+−⋅∠=++AB BD AD BD AD ADB m m 2cos 422222， 在△ACD 中，=+−⋅∠=+−AC CD AD CD AD ADC m m 2cos 4442222，所以+++++++===−+−++−+m m AB m m m mAC m m m m m 1142423444412442121222222)()()(≥=−44， 当且仅当++=m m 113即=−m 1时，等号成立，所以当ABAC取最小值时，=m 1.−1.为【在17.【答案】（1）A ，B 两家公司长途客车准点的概率分别为1312，87（2）有 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据及公式计算K 2，再利用临界值表比较即可得结论. 小问1详解】根据表中数据，A 共有班次260次，准点班次有240次， 设A 家公司长途客车准点事件为M ，则P M ==26013()24012； B 共有班次240次，准点班次有210次， 设B 家公司长途客车准点事件为N ，则P N ==40872()210. A 家公司长途客车准点的概率为1312； B 家公司长途客车准点的概率为87.【小问2详解】++++=a b c d a c b d K ()()()()2=⨯⨯⨯≈>⨯⨯−⨯260240450503.205 2.706500(2403021020)2，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.18.【答案】（1）证明见解析； （2）−78． 【解析】【分析】（1）依题意可得+=+S n na n n n 222，根据⎩−≥⎨=⎧=−S S n a S n n n n ,2,111，作差即可得到−=−a a n n 11，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出a 1，即可得到a n }{的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．【小问1详解】解：因为+=+nn a S n n212，即+=+S n na n n n 222①， 当≥n 2时，+−=−+−−−S n n a n n n 21211112)()()(②，①−②得，+−−−=+−−−−−−S n S n na n n a n n n n n 22122111122)()()(， 即+−=−−+−a n na n a n n n 22122111)(，即−−−=−−n a n a n n n 2121211)()()(，所以−=−a a n n 11，≥n 2且∈n N*， 所以a n }{是以1为公差的等差数列．【【小问2详解】解：由（1）可得=+a a 341，=+a a 671，=+a a 891，又a 4，a 7，a 9成等比数列，所以=⋅a a a 7492，即+=+⋅+a a a 6381112)()()(，解得=−a 121，所以=−a n n 13，所以⎝⎭ ⎪=−+=−=−−⎛⎫−S n n n n n n n 22222812125125625122)(， 所以，当=n 12或=n 13时=−S n 78min )(．19.【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】（1）分别取AB BC ,的中点M N ,，连接MN ，由平面知识可知⊥⊥EM AB FN BC ,，=EM FN ，依题从而可证⊥EM 平面ABCD ，⊥FN 平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知EM FN //，即可知四边形EMNF 为平行四边形，于是EF MN //，最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取AD DC ,中点K L ,，由（1）知，该几何体的体积等于长方体−KMNL EFGH 的体积加上四棱锥−B MNFE 体积的4倍，即可解出． 【小问1详解】如图所示：，分别取AB BC ,的中点M N ,，连接MN ，因为△EAB,△FBC 为全等的正三角形，所以⊥⊥EM AB FN BC ,，=EM FN ，又平面⊥EAB 平面ABCD ，平面⋂EAB 平面=ABCD AB ，⊂EM 平面EAB ，所以⊥EM 平面ABCD ，同理可得⊥FN 平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知EM FN //，而=EM FN ，所以四边形EMNF 为平行四边形，所以EF MN //，又⊄EF 平面ABCD ，⊂MN 平面ABCD ，所以EF //平面ABCD ．【小问2详解】如图所示：，分别取AD DC ,中点K L ,，由（1）知，EF MN //且=EF MN ，同理有，=HE KM HE KM //,，=HG KL HG KL //,，=GF LN GF LN //,，由平面知识可知，⊥BD MN ，⊥MN MK ，===KM MN NL LK ，所以该几何体的体积等于长方体−KMNL EFGH 的体积加上四棱锥−B MNFE 体积的4倍．因为====MN NL LK KM ，==EM 8sin 6043B 到平面MNFE 的距离即为点B 到直线MN的距离d ，=d=⨯⨯⨯==V 3412(．20.【答案】（1）3 （2）−+∞1,)[【解析】 【分析】（1）先由f x ()上的切点求出切线方程，设出g x ()上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a 即可；（2）设出g x ()上的切点坐标，分别由f x ()和g x ()及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a ，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a 的取值范围. 【小问1详解】由题意知，−=−−−=f (1)1(1)0，=−'f x x ()312，−=−='f (1)312，则=y f x ()在点−1,0)(处的切线方程为=+y x 2(1)，即=+y x 22，设该切线与g x ()切于点x g x ,()22)(，='g x x ()2，则=='g x x ()2222，解得=x 12，则=+=+g a (1)122，解得=a 3；【小问2详解】=−'f x x ()312，则=y f x ()在点x f x ,()11)(处的切线方程为−−=−−y x x x x x 31()111132)()(，整理得=−−y x x x 3121123)(，设该切线与g x ()切于点x g x ,()22)(，='g x x ()2，则='g x x ()222，则切线方程为−+=−y x a x x x 2()2222)(，整理得=−+y x x x a 2222，则⎩−=−+⎨−=⎧x x a x x 23121232122，整理得⎝⎭ ⎪=−=−−=−−+⎛⎫a x x x x x x x 2242422219313211111123343222， 令=−−+h x x x x 424()2931432，则=−−=+−'h x x x x x x x ()9633(31)(1)32，令>'h x ()0，解得−<<x 301或>x 1， 令<'h x ()0，解得<−x1或<<x 01，则x 变化时，'h x h x (),()的变化情况如下表：则h x ()的值域为，故a 的取值范围为.21.【答案】（1）=y x 42；（2）=+AB x :4.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得+MF p p2=，即可得解； （2）设点的坐标及直线=+MN x my :1，由韦达定理及斜率公式可得=k k MN AB 2，再由差角的正切公式及基本不等式可得=k AB 2，设直线=+AB x n :，结合韦达定理可解. 【小问1详解】 抛物线准线为=−x p2，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ， 此时+=MF p p2=3，所以=p 2， 所以抛物线C 的方程为=y x 42；【小问2详解】的设⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫M y N y A y B y y y y y 4444,,,,,,,123412432222，直线=+MN x my :1， 由⎩=⎨⎧=+y xx my 412可得−−=y my 4402，∆>=−y y 0,412， 由斜率公式可得−+==−y y y y k y y MN 44412122212，−+==−y y y y k y y AB 44434432234，直线=⋅+−y MD x y x :2211，代入抛物线方程可得−⋅−=−y y y x 8042121)(， ∆>=−y y 0,813，所以=y y 232，同理可得=y y 241，所以++===y y y y k k AB MN 22443412)(又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为αβ,，所以===βαk k AB MN 22tan tan ，若要使−αβ最大，则⎝⎭⎪∈⎛⎫βπ20,，设==>k k k MN AB 220，则+++−===≤=−αβαβαβk k k k21tan tan 1241tan tan tan 12)(， 当且仅当=k k 21即=k 2时，等号成立，所以当−αβ最大时，=k AB，设直线=+AB x n :，代入抛物线方程可得−−=y n 402，∆>=−==−y y n y y 0,44163412，所以=n 4，所以直线=+AB x :4.22.【答案】（1）=−≥y x y 6202)(；（2）C C ,31的交点坐标为⎝⎭ ⎪⎛⎫2,11，1,2)(，C C ,32的交点坐标为⎝⎭⎪−−⎛⎫2,11，−−1,2)(．【解析】【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线CC ,23的方程化成普通方程，联立求解即解出． 【小问1详解】因为=+x t 62，=y ，所以=+x y 622，即C 1的普通方程为=−≥y x y 6202)(．【小问2详解】因为=−=+x y s6,2，所以=−−x y 622，即C 2的普通方程为=−−≤y x y 6202)(， 由−=⇒−=θθρθρθ2cos sin 02cos sin 0，即C 3的普通方程为−=x y 20．联立⎩−=⎨=−≥⎧x y y x y 206202)(，解得：⎩=⎪⎨⎪=⎧y x 121或⎩=⎨⎧=y x 21，即交点坐标为⎝⎭ ⎪⎛⎫2,11，1,2)(；联立⎩−=⎨=−−≤⎧x y y x y 206202)(，解得：⎩=−⎪⎨⎪=−⎧y x 121或⎩=−⎨⎧=−y x 21，即交点坐标为⎝⎭ ⎪−−⎛⎫2,11，−−1,2)(．23.【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】【分析】（1）根据++=++a b c a b c 42222222)(，利用柯西不等式即可得证； （2）由（1）结合已知可得<+≤a c 043，即可得到+≥a c 4311，再根据权方和不等式即可得证.【小问1详解】证明：由柯西不等式有⎣⎦++++≥++⎡⎤a b c a b c 211122222222)()()(，所以++≤a b c 23，当且仅当===a b c 21时，取等号， 所以++≤a b c 23； 【小问2详解】证明：因为=b c 2，>a 0，>b 0，>c 0，由（1）得++=+≤a b c a c 243， 即<+≤a c 043，所以+≥a c 4311，由权方和不等式知+++=+≥=≥+a c a c a c a c44431112912222)(， 当且仅当=a c 412，即=a 1，=c 21时取等号，所以+≥a c311.。
