解斜三角形总结课最新版共24页

解斜三角形 的应用
主讲：王雄伟
一、复习：
1. 实际应用问题中有关的名称、术语：
(1) 仰角和俯角： 与目标视线在同一铅垂平面内的水 平视线和目标视线的夹角，目标视线在 水平线的上方时叫做仰角；目标视线在 水平视线下方时叫做俯角 .
(2) 方 位 角： 从正北方向线顺时针到目 标方向线的水平角叫做方位角 . 范围在 [0°，360°) .
3 千米， ADB CDB 30， 2
ACB 45， ACD 600 A B
求A、 B两点的距离.
D
C
例3：
如图，在塔底B处测得山顶C的仰角
为60Ο , 在山顶C测 得塔顶A的俯角为
C
E
45Ο
45Ο，已知塔高为20
A
m, 求 山 高CD.
60Ο
D
B
三. 解斜三角形应用题的步骤 (1) 准确理解题意，分清已知与所求， 准确理解应用题中的有关名称、术语； (2) 根据题意画出图形； (3) 将有关问题归结到一个或几个三 角形中，通过合理利用正弦、余弦定理有 关知识建立数学模型，解决具体问题 .
二、例 题 讲 解：
例1.货船在海上已40km/h的 速度沿140Ο方位角航行，为 北
了确定船位，船在B点观察
北 110Ο
A点的方位角为110Ο , 航行半 B 140ΟΒιβλιοθήκη 小时后到达C点，观察A点的
A
65Ο
方 位 角 为65Ο , 则 货 船 到 达C点
C
时与灯塔A的距离是多少？
[例2] 如图，为了测量河对岸A,B 两点间的距离，在河的这边测定CD

用 正弦 定理或 余弦定 理把 已知条 件转化 成纯
角 度关 系或纯 边的关 系， 结合特 殊三角 形的
性质判定．
例2 已知在△ABC 中，A，B，C 为三个内角，
a，b，c
分别为对 应的三条边，π＜ 3
C＜π2且a－b
b
＝sinA 的形状．
【思路分析】 把a，b化为角的形式，利用角 的关系判定．
直角三角 形
钝角三角 形
(2)边角互化 利用正、余弦定理把所给条件中的角转化为边， 通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而 判断三角形的形状． (3)化边为角 利用正、余弦定理把所给条件中的边都化为角， 通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而 判断出三角形的形状． 在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移 项提取公因式，以免漏解．
2．余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC与勾股定理c2＝ a2＋b2有什么关系？ 提示： 当C＝90°，即c为Rt△ABC的斜边时， c2＝a2＋b2－2abcosC就是勾股定理，所以勾股定 理是余弦定理的特殊情况．
课前热身 答案：C
答案：D
答案：D
4．在△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝ ________.
方法技巧
方法感悟
1．解斜三角形的四种常见类型及一般解法
2.判断三角形形状的常见题型及解法如下．如例 (1) 在 △ ABC 中 ， 给 定 三 角 形 的 三 边 a 、 b 、 c(a<b<c)或三边的比，判断三角形的形状，由余 弦定理可知：
a2＋b2－c2的 符号
＋
0
－
△ABC的形状
锐角三角 形
名师预测
＝5 ， 13
cos∠ADC＝35，求

年少时站在校园里期待的那种爱情 早已
在尘世中消失离别的时候 每一句话都是那么重
缓缓地扣击着我们的心灵 窗被敲开了
我们诉说着回忆中的快乐 回想著一张张可爱的笑脸
院子里，操场上 充满了甜甜的空气
离别的时候 每一句话都是那么轻 轻轻地说着离别时的感言 轻轻的拉着彼此的手 轻轻地在耳际说声对不起
或永远祝福你
r
r cosA cosB
半径为R , 求 R 的取值范围 , 并指出当 R 取最大值时△ABC的形状.
谢 谢！
终于懂得 没有人会无条件爱你一生一世
他们总是爱你这样或者那样 绝不仅仅 单纯的爱你
这样一个女人 所以
如果一个男人不爱你的钱 只爱你的身体 那么
你已经可以为自己的幸运 烧香拜佛了
还有什么是真爱呢 真正的爱情
（A） ①③
（B） ②④
（C） ②③
（D） ①②
2． 在△ABC中，A = 60 0 ，a = 6 , b = 4 , 那么满足条件的△ABC （ ）
（A）无解
（B）有1个解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（C）有2个解
（D）不能确定
3．已知△ABC的三边a、b、c分别为13, 14, 15, 则△ABC的面积是（
）
4．在△ABC中, A = 60 0, AB = 3cm , AC = 4cm , 则角A的平分线AD =（
2、已知a、b、c为△ABC的三边长，且 a4 b4 c4 2a2b2 0则△ABC为（ D ）
（A)锐角三角形
（B)直角三角形
（C)钝角三角形
（D)钝角三角形或直角三角形
3、边长为5、7、8的三角形，最大内角与最小内角之和为（ C ）
(A) 1500

《三角函数》第6讲：解斜三角形知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2．三角形面积公式：S △ABC ＝ (h 表示边a 上的高) ； S △ABC ＝12ab ＝12 sin A ＝ a sin B ； S △ABC ＝abc4R ；（海伦公式）S △ABC ＝ ，其中 p =a+b+c 2为半周长3．一些tips1．在△ABC 中，若sinA ＞sinB ，则2．在△ABC 中，大边对 ， 对小角，即若a ＞b ，则 3．在△ABC 中，若三个角成等差数列，一定有个角为4．在△ABC 中，A+B+C= ，如sinC=sin[180°—(A+B)]= 5．解斜三角形的方法：1)化边为角；2)化 为6．如何选用定理？正定：已知 或者 ；余定：已知 或者典例剖析题型一 利用正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( ) A. 15 B. 59 C. 53D ．1变式训练 在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．题型二 利用余弦定理解题例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B. 932 C. 332D ．3 3变式训练 在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝ .题型三 综合利用正余弦定理解题例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知(b －2a )cos C ＋c cos B ＝0. (1)求C ；(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．变式训练 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．当堂练习1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B. 932 C. 332D ．3 32．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b ＝2，B ＝30°，C ＝15°，则a 等于( ) A ．22 B ．2 3 C . 6－ 2 D ．43. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B. 3＋1 C ．23－2 D. 3－14．(2015重庆理)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________.5．(2015江苏)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长；(2)求sin 2C 的值．课后作业一、 选择题1． (2015广东文)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b 等于( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D. 32．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c ＝( ) A ．25 B. 5 C ．25或 5 D ．均不正确3．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．54．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定5．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为( )A. 16B. 17C. 18D. 196．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．17．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A. 1010B. 105C. 31010D. 558．(2014年江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B. 932 C. 332D ．3 3二、填空题9．(2015福建文)在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝________.10． (2015重庆文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.11． (2015北京文)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.三、解答题12． (2015天津文)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值．13．(2015新课标Ⅰ文)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C . (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．。