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最优化方法试卷与答案5套

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《最优化方法》1一、填空题：1 •最优化问题的数学模型一般为：_____________________________ ,其中___________ 为目标函数， _____________ 为约束函数，可行域D可以表示为 _______________________________ ，若 _______________________________ ，称x*为问题的局部最优解，若 _________________________________________ 称X*为问题的全局最优解。

2 •设f(x)= 2x1 2x1X2 X i 5X2 ,则其梯度为_______________________ ,海色矩阵___________ ,令x (1,2)T,d (1,0)T,则f(x)在x处沿方向d的一阶方向导数为___________ 几何意义为________________________________________ 二阶方向导数为 ____________________ ,几何意义为_____________________________3 •设严格凸二次规划形式为：min f (x) 2x； 2x| 2x1x2s.t. 2x1x21x10x20则其对偶规划为4•求解无约束最优化问题：min f(x), x R n，设x k是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则:用最速下降法求解时，搜索方向d k= ___________用Newton法求解时，搜索方向d k= ____________用共轭梯度法求解时，搜索方向 d k= ________________二.(10分)简答题：试设计求解无约束优化问题的一般下降算法。

三.(25分)计算题1. (10分)用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：3 2min f (x) 2x! 3为6x^2(^ x21).2. ( 15分)用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求约束问题:min f (x) x1x22 2s.t. c(x) % X2 1 0的最优解和相应的乘子。

四.证明题(共33分)11. (10分)设f(x) -x T Gx r T x 是正定二次函数，证明一维问题min (a) f(x k ad k )2. (10分)证明凸规划min f(x),x D (其中f(x)为严格凸函数，D 是凸集)的最优解是唯一的3. ( 13分)考虑不等式约束问题min f (x) s.t.C i (x) 0,i I {1,2, ,m}其中f(x),C i (x)(i I)具有连续的偏导数，设x 是约束问题的可行点，若在x 处 d 满足f (x )T d 0, q (x )T d 0,i I (x)则d 是x 处的可行下降方向。

《最优化方法》2一、填空题：1 •最优化问题的数学模型一般为： ______________________________ ，其中 _________________________________ 为目标函数， ______________________ 为约束函数，可行域 D 可以表示 为 ___ ，若 ，称x *为问题的局部最优解，若 _______________________________________ ，称x * 为问题的全局最优解。

___________ ,令x (1,0)T ,d (1, 1)T ,则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数 为 ___________ ,几何意义为 ________________________________________ 二阶 方向导数为 ___________________ ,几何意义为 ______________________________的最优步长为a kf(x k )T d k d kT Gd k3 •设严格凸二次规划形式为：min f (x) x；x；2x1 x2s.t. x1x21x-\0x20则其对偶规划为 ______________________________________________ 。

4•求解无约束最优化问题：min f(x),x R n，设x k是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则:用最速下降法求解时，搜索方向d k= ___________用Newton法求解时，搜索方向d k= ____________用共轭梯度法求解时，搜索方向d k= ________________二.(10分)简答题：试叙述求解无约束优化问题的优化方法及其优缺点。

(200字左右)三.(25分)计算题3. (10分)用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：min f (x) 2x；3x12 6x1x2(x1 x21).4.( 15分)用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求解约束问 题：nmin f(x) 才i 1 ns.t. c(x)x i a 0i 1其中p 1,a 0.四. 证明题(共33分)1. ( 10 分)1设f (x) —X T G X r T x是正定二次函数，证明一维问题2kkmin (a) f(x ad )2. (23分)考虑如下规划问题min f (x), x R n s.t.c i (x) 0,i 1,2, ,m其中f(x),C i (x)(i 1, ,n)是凸函数，证明:(1) (7分)上述规划为凸规划；(2)(8分)上述规划的最优解集R *为凸集； (3)(8分)设f (x), C i (x)(i 1,2, ,n)有连续的一阶偏导数，若x *是 KT 点，则x *是上述凸规划问题的全局解。

的最优步长为a kf(x k )T d k d「Gd k《最优化方法》试题3填空题1.设f(x)是凸集S R n 上的一阶可微函数，贝S f(x)是S 上的凸函数是(2.设f(x)是凸集R n 上的二阶可微函数，则f(x)是R n 上的严格凸函数矩阵;二、选择题(1 1)T (2,2)2.下列函数中属于严格凸函数的是(A) f (x) x ： 2x 1x 2 10x ! 5x 223f (x) X 1 X 2 (X 20)的一阶充要条件是),当n=2时，该充要条件的几何意义)；)(填‘当’或‘当且仅当')对任意x R n ,2f(x)是3.已知规划问题min z x 1s.tX i X i 2 2X2X 25x 2 x ,x 2 2x , 2 5 x 1, x ?3x 2，则在点x (-,5)T 处的6 6可行方向集为(下降方向集为(min 1.给定问题s.tf (X !2X 1 x 2 X 1 x 2 2)2 x ：,则下列各点属于K-T 点的是A) (0,0)TB)(1,17 C)D)B)C) f (x) 2x1 x,x2 X 2x3 6X4X3f (x) 3x4 4x2 6x3三、求下列问题1 2 1 2min f x x-i x2 5x1 10x22 2s.t 2x-| 3x230x1 4x220x1, x20取初始点0,5 T。

四、考虑约束优化问题2 2min f x x-i 4x?s.t 3x1 4x2 13用两种惩罚函数法求解。

五.用牛顿法求解二次函数2 2f(x) (X i X2 X3) ( x, X2 X3) (X i X2T的极小值。

初始点X o -,1,-。

2 2六、证明题1.对无约束凸规划问题min f(x) -X T Q X c T x，设从点 2向d R n作最优一维搜索，得到步长t和新的点yT V 2d Qd 1 时，t 2[f (x) f(y)]。

2.设x* (x*,x*,x3)T0是非线性规划问题D)X3)2X R n出发，沿方x tdV，试证当：min f x s.t x：x；解，试证x*也是非线性规划问题4 4 4min x X2 X31st 为2x2 3x3f x i 2x2 3x3。

《最优化方法》试题4一、是非题1.若某集合是凸集，则该集合中任意两点的所有正线性组合均属于此集合。

2.设函数f(x) C2，若f(x*) 0,并且2 f (x*)半正定，则x*是min f(x) 的局部最优解。

3.设x*是minf(x)的局部最优解，则在x*处的下降方向一定不是可行方向。

4.设x*是min f (x)的局部最优解，则x*是min f (x)的K-T点。

5.设函数f (x) C2，则用最速下降法求解min f (x)时，在迭代点x k处的搜索方向一定是f(x)在x k处的下降方向。

6.用外点法求解约束优化问题时，要求初始点是不可行点。

二、在区间［1,1］上用黄金分割法求函数f (x) x2 x 2的极小点，求出初始的两个试点及保留区间。

三、验证点(L竺,L』)T与(0, 3)T是否是规划问题2 2min f x x；x2s.t x-i x29x-i x2 1 0的K-T点。

对K-T点写出相应的Lagrange乘子四、用外点法求解min f x (x-i 1)2x；s.t x； 1五.用共轭梯度法求解无约束优化问题2 2 min x-i 2x；2x-|x；为x；取初始点X。

(0,0)T，精度为10 3。

六、证明题1.设集合S £是凸集，f i(x),L f k(x)是S上的凸函数，令f (x) max f1(x),L f k(x) x S证明f (x)也是S上的凸函数。

n2.设X L x R n| a ij x j b,i 1,L ,m,x j0, j 1,L ,n , x X L，记j 1nI (x) i 1,L ,m | a ij X j b ,j 1J(x) j 1,L , n |为0 ,证明：p是X L在x处的可行方向的充要条件是n玄卫0, i I(x); P j 0, j J(x)。

《最优化方法》试题5填空题1.设Q为n阶对称正定矩阵，A m n为行满秩矩阵，则问题min f （x）—X T Q X刊2 的K-T点为（）；s.t Ax b2.min f （x）（x i 2）4（x i 2x2）2的平稳点为（），该平稳点（）（填‘是’或‘不是’）局部最优解；min f （x）3.设x是问题s.t Ax b 的可行解，则在卞处有A R mn,x R n,b R mA,5? QA? b2,其中 A （A i T,A2-）T,b （&总）丁，则 d 0 是？的下降方向的充要条件为（），d 0是？的可行方向的充要条件为（）。

二.运用0.618法求2mi n f x x x 2在区间［1,3］上的极小点。

要求最终区间长度不大于原区间长度的0.08倍。

（计算结果精确到0.001 ）三、用最速下降法求解无约束问题mi nf x 3 x1 2 2 4 x2 3 2，取初始点x14,3 T。

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《最优化方法》期末试题

《最优化方法》期末试题

作用：①仿真的过程也是实验的过程，而且还是系统地收集和积累信息的过程。

尤其是对一些复杂的随机问题，应用仿真技术是提供所需信息的唯一令人满意的方法。

②仿真技术有可能对一些难以建立物理模型或数学模型的对象系统，通过仿真模型来顺利地解决预测、分析和评价等系统问题。

③通过系统仿真，可以把一个复杂的系统化降阶成若干子系统以便于分析，并能指出各子系统之间的各种逻辑关系。

④通过系统仿真，还能启发新的策略或新思想的产生，或能暴露出在系统中隐藏着的实质性问题。

同时，当有新的要素增加到系统中时，仿真可以预先指出系统状态中可能会出现的瓶颈现象或其它的问题。

2.简述两个Wardrop 均衡原理及其适用范围。

答：Wardrop提出的第一原理定义是：在道路的利用者都确切知道网络的交通状态并试图选择最短径路时，网络将会达到平衡状态。

在考虑拥挤对行驶时间影响的网络中，当网络达到平衡状态时，每个 OD对的各条被使用的径路具有相等而且最小的行驶时间；没有被使用的径路的行驶时间大于或等于最小行驶时间。

Wardrop提出的第二原理是：系统平衡条件下，拥挤的路网上交通流应该按照平均或总的出行成本最小为依据来分配。

第一原理对应的行为原则是网络出行者各自寻求最小的个人出行成本，而第二原理对应的行为原则是网络的总出行成本最小。

3.系统协调的特点。

答：（1）各子系统之间既涉及合作行为，又涉及到竞争行为。

（2）各子系统之间相互作用构成一个反馈控制系统，通过信息作为“中介”而构成整体（3）整体系统往往具有多个决策人，构成竞争决策模式。

（4）系统可能存在第三方介入进行协调的可能。

6．对已经建立了概念模型的系统处理方式及其特点、适用范围。

答：对系统概念模型有三种解决方式。

1.建立解析模型方式对简单系统问题，如物流系统库存、城市公交离线调度方案的确定、交通量不大的城市交叉口交通控制等问题，可以运用专业知识建立系统的量化模型（如解析数学模型），然后采用优化方法确定系统解决方案，以满足决策者决策的需要，有关该方面的内容见第四、五章。

最优化理论试题及答案

最优化理论试题及答案

最优化理论试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 最优化问题中，目标函数的极值点可能是（）。

A. 最小值点B. 最大值点C. 鞍点D. 所有选项答案：D2. 线性规划问题中，目标函数和约束条件都是线性的，以下说法错误的是（）。

A. 线性规划问题有最优解B. 线性规划问题的最优解可能在可行域的边界上C. 线性规划问题的最优解一定在可行域的边界上D. 线性规划问题的最优解可能在可行域的内部答案：D3. 以下哪个算法不是用于解决非线性规划问题的（）。

A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 单纯形法D. 共轭梯度法答案：C4. 在约束优化问题中，拉格朗日乘数法用于（）。

A. 求解无约束问题B. 求解有约束问题C. 求解线性规划问题D. 求解整数规划问题答案：B5. 以下哪个条件不是KKT条件的一部分（）。

A. 梯度为零B. 可行方向C. 对偶可行性D. 互补松弛性答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 一个最优化问题的可行域是指满足所有_________的解的集合。

答案：约束条件2. 目标函数在点x*处取得极小值，当且仅当在该点处的_________为零。

答案：梯度3. 线性规划问题的标准形式通常包括_________和_________两部分。

答案：目标函数；约束条件4. 拉格朗日乘数法中，拉格朗日函数是原目标函数和_________的和。

答案：约束条件的线性组合5. 非线性规划问题中，牛顿法的迭代公式是x_{k+1} = x_{k} -H(x_{k})^{-1}_________。

答案：∇f(x_{k})三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述什么是凸优化问题，并给出一个例子。

答案：凸优化问题是一类特殊的最优化问题，其中目标函数是凸函数，可行域是凸集。

例如，二次规划问题就是凸优化问题的一个例子。

2. 解释什么是局部最优解和全局最优解。

答案：局部最优解是指在目标函数的邻域内比所有其他点都更优的解，但不一定在整个可行域内最优。

最优化方法研究生期末考试练习题答案

最优化方法研究生期末考试练习题答案

《最优化方法》（研究生）期末考试练习题答案二.简答题1．;0, ,843 ,2 2-,3 34 s.t. ,95- min 2121212121≤=--≥+≥++y y y y y y y y y y 2．,065 6143≥+x x （以1x 为源行生成的割平面方程） 注意：在1x 为整数的情况下，因为3x ,04≥x ，该方程自然满足，这是割平面的退化情形,2141 41 43≥+x x （以2x 为源行生成的割平面方程）3．6648.31854.1*2)854.1()(2131.01146.1*2)146.1()(854.13*618.00)(618.0146.13*382.00)(382.03,031311111111111=+-==+-==+=-+==+=-+===μϕλϕμλa b a a b a b a 0.927.21.8540]1.8540[854.1,0)()(,*2211=+===≤x b a 近似的最优解：。

，初始的保留区间为即：。

所以，不经计算也可以看出事实上μϕλϕ4．令1.01.0)(4.04.0)(11)(7.27.2)(222222221)2(*111)1(*111)0(*121)1(*11-=-=-=-=-=-=-=-=-------x x x x x x x e x e x x f ex ex x f x e x x f e x e x x f拟合问题等价于求解下列最小二乘问题：∑=412))((mini ix f三.计算题1．分别用最速下降方法和修正的牛顿法求解无约束问题 22214)(min x x x f +=。

取初始点()()Tx 2,21=，.1.0=ε()().1641642,2821121⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇d f x x x f T方向为：从而最速下降法的搜索，在初始点，解：()()()()直至满足精度。

继续迭代方向为：从而最速下降法的搜索，，在从而求解得到：其中满足最优步长,.48/6565/19248/65-65/19265/6,65/96)65/6,65/96((-4,-16)*130/172,2 130,/17.)162(4)42()162,42()()(min )(122221)1(1)1(1*)1(*⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇-=-=+==-+-=--=++=+d f x x f d x f d x f d x f TTT Tλλλλλλλλλλ()()2-2- 1648/1002/1 8/1002/1,8002 2,21111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--f G d G G x T索方向为：从而修正的牛顿法的搜，在初始点()()()()即为所求的极小点。

最优化方法试卷

最优化方法试卷

华东理工大学研究生《最优化方法》考试卷专业 ________ 班级 ________ 学号 ________ 姓名 ________ 成绩 ________2014年12月11日 一、简答题（40分，每小题4分）1．请写出最优化问题的一般模型形式。

2．试叙述局部最优解和全局最优解的定义。

3．请给出优化算法收敛速度的定义。

4．请给出优化算法的终止准则。

5．给出下降方向的定义和判别方法？ 6．简述下降迭代法的基本步骤。

7．何谓共轭方向？你知道由线性无关向量组构造共轭向量组的方法吗？ 8．最速下降法是最好的优化算法吗？为什么？ 9．何谓可行方向及如何判别？10．优化问题的最优解与可行下降方向有什么关系？二、（10分）试用最速下降法（梯度法）求解如下问题，初始点⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110x ，只迭代一次，并判断迭代结果是否为最优解。

21222122)(min 2x x x x x f Rx -+=∈三、（10分）试叙述Powell 基本算法步骤或单纯形替换法的步骤，并简述其特点。

四、（10分）试用惩罚函数求解如下的优化问题8 ..)3()(min 2≥--=x t s x x f五、（10分）考虑下述线性规划问题1223 1832 ..233)(max 321321321321≥=++=+++-=x x x x x x x x x t s x x x x f ，，1．求出该问题的所有基本解，并指出哪些是基本可行解； 2．该问题是否有最优解？若有，请求出其最优解。

六、（10分）考虑问题010)3( 010)3( ..)(max 211323212≥≤---≤+-+=x x x x x x t s x x f ，1．写出上述问题的Kuhn —Tucker 条件。

2．这个问题的最优解满足Kuhn —Tucker 条件吗？为什么？七、（10分）已知某化工反应y 与因数x 和时间t 之间的依赖关系为xa t a ta x a y 43211+++=其中4321,,,a a a a 是待定参数，为确定这三个参数，实验测得有关y x t ,,的五组数据如下：1．试用最小二乘法建立确定参数4321,,,a a a a 的数学模型；2．对于列出的非线性最小二乘问题，你知道有哪些优化算法可求解该问题，并请给出求解该问题的修正Gauss-Newton 算法的迭代公式。