高一数学同步练习20(指数函数及其性质(二)

2.1.2 指数函数及其性质知识清单1．指数函数的概念一般地，______________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质a >1 0<a<1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性 质 过定点过点______，即x ＝____时，y ＝____函数值 的变化 当x >0时，______； 当x <0时，________ 当x >0时，________； 当x <0时，________单调性是R 上的________是R 上的________基础练习一、填空题1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是______．(填序号)①y ＝(－4)x ；②y ＝πx ；③y ＝－4x ；④y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)． 2．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则a 的值为________． 3．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是________．(填序号)4．已知f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x，那么f (2)＝________.5．如图是指数函数 ①y ＝a x ； ②y ＝b x ； ③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是________．6．函数y ＝(12)x －2的图象必过第________象限．7．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值为____．8．若函数y ＝a x －(b －1)(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 需满足的条件为________．9．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 二、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7； (2)1314⎛⎫⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭； (3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m 3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关于垃圾的体积V (m 3)与垃圾体积的加倍的周期.(1) (2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？ (3)如果n ＝－2，这时的n ，V 表示什么信息？(4)写出n 与V 的函数关系式，并画出函数图象(横轴取n 轴)． (5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？12．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是________．(填序号)13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ，y 都有f (x y )＝yf (x )． (1)求f (1)的值；(2)若f (12)>0，解不等式f (ax )>0.(其中字母a 为常数)．能力提升一、填空题1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则P 、Q 的关系为________． 2．函数y ＝16－4x 的值域是________．3．函数y ＝a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是________．4．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则下列命题正确的是________．(填序号)①f (x )与g (x )均为偶函数；②f (x )为偶函数，g (x )为奇函数； ③f (x )与g (x )均为奇函数；④f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的解析式为________． 6．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是________．7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________．9．函数y ＝2212x x-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．二、解答题10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性； (2)求函数y ＝2212x x --的单调区间．11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12]．(1)设t ＝2x ，求t 的取值范围； (2)求函数f (x )的值域．12．函数y ＝2x －x 2的图象大致是________．(填序号)13．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求f [f (0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.知识清单1．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) R 2.(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 基础练习 1．②解析 ①中－4<0，不满足指数函数底数的要求，③中因有负号，也不是指数函数，④中的函数可化为y ＝a 2·a x ，a x 的系数不是1，故也不是指数函数． 2．2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2. 3．②解析 该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x 的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x <0时的函数图象．4．－19解析 当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝3－x ，即－f (x )＝(13)x ，∴f (x )＝－(13)x .因此有f (2)＝－(13)2＝－19.5．b <a <1<d <c解析 作直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系． 6．二、三、四解析 函数y ＝(12)x 的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y ＝(12)x －2的图象，所以观察y ＝(12)x －2的图象可知．7.18解析 由题意a 2＝4，∴a ＝2.f (－3)＝2－3＝18.8．a >1，b ≥2解析 函数y ＝a x －(b －1)的图象可以看作由函数y ＝a x 的图象沿y 轴平移|b －1|个单位得到．若0<a <1，不管y ＝a x 的图象沿y 轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当a >1时，由于y ＝a x 的图象必过定点(0,1)，当y ＝a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b －1≥1，得b ≥2.因此，a ，b 必满足条件a >1，b ≥2. 9．[0,8)解析 y ＝8－23－x ＝8－23·2－x ＝8－8·(12)x＝8[1－(12)x ]．∵x ≥0，∴0<(12)x ≤1，∴－1≤－(12)x <0，从而有0≤1－(12)x <1，因此0≤y <8.10．解 (1)考察函数y ＝0.2x . 因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数．又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考察函数y ＝(14)x .因为0<14<1，所以函数y ＝(14)x 在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以1314⎛⎫ ⎪⎝⎭>2314⎛⎫ ⎪⎝⎭1.(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，所以2－1.5<30.2.11．解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50 000×28＝12 800 000(m 3)．(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50 000×2－1＝25 000(m 3)．(3)如果n ＝－2，这时的n 表示6年前，V 表示6年前垃圾的体积． (4)n 与V 的函数关系式是V ＝50 000×2n ，图象如图所示．(5)因为对任意的整数n,2n >0，所以V ＝50 000×2n >0，因此曲线不可能与横轴相交． 12．①解析 由题意f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；2x ， x <0.13．解 (1)令x ＝1，y ＝2，可知f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.(2)设0<x 1<x 2，∴存在s ，t 使得x 1＝(12)s ，x 2＝(12)t ，且s >t ，又f (12)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f [(12)s ]－f [(12)t ]＝sf (12)－tf (12)＝(s －t )f (12)>0，∴f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (ax )>0，x >0，f (1)＝0， ∴0<ax <1，当a ＝0时，x ∈∅，当a >0时，0<x <1a ，当a <0时，1a<x <0，不合题意．故x ∈∅.综上：a ≤0时，x ∈∅；a >0时，不等式解集为{x |0<x <1a}．能力提升 1．Q P解析 因为P ＝{y |y ≥0}，Q ＝{y |y >0}，所以Q P . 2．[0,4)解析 ∵4x >0，∴0≤16－4x <16， ∴16－4x ∈[0,4)． 3．3解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3. 4．②解析 f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．5．f (x )＝－e －x －2解析 ∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2. 6．c <a <b解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12，∴b >a >1.又0<c <1，∴c <a <b . 7．19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 8．(－∞，－1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)． 9．[1，＋∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)．10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)．又由y ＝2u 的增减性得()12g x<()22g x ，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )为R 上的增函数．(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．根据(1)可知y ＝2212x x --在[1，＋∞)上为增函数． 同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12]上单调递增，∴t ∈[22，2]．(2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，g (t )在[22，1]上递减，在[1，2]上递增，比较得g (22)<g (2)． ∴f (x )min ＝g (1)＝2， f (x )max ＝g (2)＝5－2 2.∴函数的值域为[2,5－22]． 12．①解析 当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞， 所以排除③、④.当x ＝3时，y ＝－1，所以排除②.13．(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1＝0，∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517.(2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则22x>12x>0,22x－12x>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝212121212121x x x x ---++ ＝()()()21212222121x x x x -++>0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．(3)解 由0<f (x －2)<1517得f (0)<f (x －2)<f (4)，又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4，即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．。

4.1 指数与指数函数 同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设0a >且1a ≠，若函数()()43x x xf x a =-是R 上的奇函数，则=a （ ）．A B C D 2．已知1122,0,()22,0x x x x m n x f x x -+-⎧⋅+⋅≥=⎨-<⎩是定义在R 上的偶函数，则m n -=（ ）A ．－4B ．0C ．2D ．43．若函数()f x 对任意1x ，2R x ∈都满足()()()12123f x x f x f x +=，则()f x 可以是（ ）A ．()23f x x=B ．()13x f x +=C ．()129x f x -=D ．()33f x x=4．已知函数()()e 11x x f x x +=-，则()f x 的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）．A ．()e 1e 1x xf x +=-B ．()e 1e 1x xf x -=+C ．()f x =D ．()f x =6．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足(1)2f =，且对任意120x x ≤<，都有()()12121f x f x x x ->--，则不等式()2142x x f <--的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(0,1)7．若函数()2442()x x f x x a -=-的图象关于点()1,0对称，则=a （ ）A ．0B ．1-C ．1D ．28．已知a 、b ∈R ，a b >，则下列不等式中不一定成立的是（ ）A ．22a b +>+B ．22a b>C ．22a b >D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题9．已知225552log (1)log (1)log ,log (1)log (1)log x x x y y y +=-++=-+，则（ ）A ．7x y +>B ．7x y +<C ．25x y<D ．25x y>10．对于实数,,a b c ，下列命题中正确的是（ ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a >，则12a a+≥C ．若a bc c>，则a b >D ．若a b >，1c >，则a bc c >11．已知函数()22x x f x -=-，若1120,0x x x <+>，则（ ）A ．()()0f x f x -->₁₂B ．()()0f x f x --<₁₂C ．()()0f x f x +>₁₂D ．()()0f x f x +<₁₂12．如图，已知直线l ：y x =与曲线C ：1e xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设1P 为曲线C 上横坐标为1的点，过1P 作x 轴的平行线交直线l 于2Q ，过2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于2P ；再过2P 作x 轴的平行线交直线l 于3Q ，过3Q 作x 轴的垂线交曲线C 于3P ……，设点123,,,,,n P P P P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的纵坐标分别为123,,,,,n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则下列说法正确的是（ ）A ．11ea =B ．1ena n a -+=C ．20232024a a >D ．11n n n na a a a -+->-三、填空题13．已知函数()33x x f x -=+，若()()21f a f a =-，则=a．14．若实数a ，b 满足20a b -≥，则124ab+的最小值为 .15．已知()2xf x x =+，则不等式()233f x -<的解集为.16．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[]2.12=，[]3.14-=-.已知函数123()12x x f x ++=+，则()1f ⎡⎤-=⎣⎦，函数[]()y f x =的值域为.四、解答题17．设R a ∈，函数2()21x x af x +=-.(1)求a 的值，使得()y f x =为奇函数；(2)若(2)f a =，求满足()f x a >的实数x 的取值范围.18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()426(0)x xf x m m --=-+⋅+<.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若[)1,x ∃∈+∞，使得()0f x <成立，求实数m 的取值范围.19．已知函数()423x xg x m =-⋅-(1)若函数()g x 在区间[]0,1上的最小值为1-，求实数m 的值；(2)若函数()f x 在其定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为“局部奇函数”，若函数()g x 是定义在R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．20．已知函数()2m f x x x=-，且()742f =-.(1)求m 的值；(2)判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并用定义证明.(3)求不等式()()2243x xf f +>+的解集.21．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“Ω函数”．(1)已知函数3(2)x f x =-，试判断()f x 是否为“Ω函数”，并说明理由；(2)若()423x x f x m =-⋅-为定义域在R 上的“Ω函数”，求实数m 的取值范围．参考答案：1．D【分析】根据(1)(1)f f -=-求出a ，然后代入验证即可.【详解】由于函数()()43x x xf x a =-是R 上的奇函数，故(1)(1)f f -=-，则112a a -=-，即2112a =．因为0a >，所以a =当a =()()43xx x f x =-，则()()()()4343xxx x x xf x f x ---+-=--+()(()(34434343431xx x xxx x x x xx x x x ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-=+⎣⋅-⎦=⋅(222434343304342233xx xx x x x x x x x x x x x x x x x -+-⎡⎤⎛⎫--⎢⎥==⋅-⋅-⋅= ⎪⎢⎥⎝⎭⋅⎣⎦⋅符合函数()f x 是R 上的奇函数故选：D ．2．A【分析】利用偶函数和0处函数值列方程求解即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(1)(1)f f =-，即232nm +=-，又1010(0)220f +-=-=，所以(0)0f m n =+=，联立2320n m m n ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，解得2m =-，2n =，经检验，2m =-，2n =满足要求，故4m n -=-.故选：A.3．C【分析】根据已知条件，结合选项中的函数解析式，令121x x ==，可排除A 、B 、D 三个选项，利用指数运算判断C 对于任何1x ，2R x ∈都满足()()()12123f x x f x f x +=.【详解】A ：若()23f x x =，则将121x x ==分别代入()12f x x +，()()123f x f x 中，得()223212f =⨯=，()()31233327f f =⨯⨯=，1227≠，故A 不符合题意；B ：若()13x f x +=，则将121x x ==分别代入()12f x x +，()()123f x f x 中，得()212327f +==，()()22311333243f f =⨯⨯=，27243≠，故B 不符合题意；C ：若()129x f x -=，则()1212129x x f x x +-+=()()12111222129993x x f x f x --=⨯⨯=，故C 符合题意；D ：若()33f x x =，则将121x x ==分别代入()12f x x +，()()123f x f x 中，得()323224f =⨯=，()()31133327f f =⨯⨯=，2427≠，故D 不符合题意．故选：C ．4．C【分析】根据(0)1f =-与()0(1)f x x >>，结合排除法即可求解.【详解】由题意知，函数()f x 的定义域为{}1x x ≠，由(0)1f =-，排除选项A 、D ；当1x >时，e 0,10,10x x x >+>->，所以()0f x >，故排除选项B.故选：C 5．D【分析】根据()00f =排除A ，根据定义域排除B ，根据奇偶性排除C ，进而可得答案.【详解】对于A ， ()e 1e 1x xf x +=-在0x =处无意义，故A 错误；对于B ：()e 1e 1x x f x -=+的定义域为R ，故B 错误；对于C ：()f x =的定义域为{}|1x x ≠±，且()()2f x f x -==，则()f x 为偶函数，故C 错误；对于D ，()f x =满足图中要求，故D 正确.故选：D.6．C【分析】首先由()()12121f x f x x x ->--得出1122()()f x x f x x +<+，设()()g x f x x =+，得出()g x 在[0,)+∞上单调递增，根据()g x 的奇偶性得出()g x 为R 上的增函数，由不等式()2142x x f <--得)()21(1x g g -<，求解即可．【详解】由对任意120x x ≤<，都有()()12121f x f x x x ->--，可得1122()()f x x f x x +<+，令()()g x f x x =+，则函数()()g x f x x =+在[0,)+∞上单调递增，又x ∈R ，()()g x g x -=-，所以()g x 为R 上的奇函数，所以()g x 在R 上是增函数．不等式()2142x x f <--，且(1)2f =，得3()(2121(1)1)x x f f <=-++-，所以)()21(1x g g -<，所以211x -<，即1x <，故选：C ．7．C【分析】特殊值法：由图象关于点()1,0对称可得()()02f f =-代入计算求解，然后检验即可.【详解】解：()f x 的图象关于点()1,0对称，()()020f f ∴+=，即2231204(2)a a -+=-，解得()2441,2(1)x x a f x x -=∴=-，经检验知()f x 的图象关于点()1,0对称，故选：C.8．C【分析】根据不等式的性质即可求解ABC ，根据指数函数的单调性即可求解D.【详解】对于A ，由于a b >，所以22a b +>+，A 正确，对于B ，由a b >，则22a b >，故B 正确，对于C ，1,3a b ==-，满足a b >，但22a b <，故C 不一定成立，对于D ，由于12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，所以a b >，则1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：C 9．BC【分析】本题通过设元，将对数转化为指数，进而化成同底的对数，然后又将对数相等转化为指数相等，再利用指数函数的单调性，得到方程有两个相等的根，再根据零点存在定理，得出方程根的取值范围，进而得到,x y 的取值范围【详解】由已知，得1,1x y >>．令5log m x =，则5m x =，所以()()22log 51log 51m mm +=-+，所以()2log 51m+=()()222log 51log 2log 512m m m m ⎡⎤-+=-⎣⎦，所以51102m m m +=-．等式两边同时除以10m ，得21015m m m ---+=-，即251010m m m ---++-=．同理，令2log n y =，有25n n --++1010n --=．所以,m n 是方程251010x x x ---++-=的两个根．设()25101x x xf x ---=++-，则易知()f x 在区间(),-∞+∞上单调递减，所以m n =．又因为()()020,10.20f f =>=-<，所以(),0,1m n ∈．故52log log x y =，且15,12x y <<<<，所以7x y +<．又11122555155222m m m n n x y ---⨯⎛⎫===< ⎪⨯⎝⎭，所以25x y <．故选：BC ．【点睛】关键点点睛：本题考查了指数与对数的运算、函数的单调性，考查了转化与化归的思想，其关键在于指数与对数的相互转化，先将对数转化为指数，再换成同底对数，又利用对数相等转化为指数相等，从而可以利用指数函数的单调性求根，进而得到范围.10．BD【分析】根据不等式的性质即可求解AC ，根据基本不等式即可判断B ，由指数函数的单调性即可求解D.【详解】对于A 选项，若0a b >>，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；对于B 选项，由0a >，利用基本不等式可得12a a+≥，当且仅当1a =等号成立，故B 正确；对于C 选项，若0a bc c c><,，则a b <，故C 错误；对于D 选项，因为a b >，1c >，由指数函数的单调性可知a b c c >，故D 正确；故选：BD 11．AC【分析】根据奇偶函数的定义和函数的单调性可知()f x 是奇函数且为增函数，结合()()1212,x x f x f x >->-即可判断选项.【详解】因为()()22x xf x f x --=-=-且定义域为R ，所以()f x 是奇函数.因为函数2x y =和2x y -=-都是增函数，所以()f x 是增函数.因为1120,0x x x <+>，所以()()1212,x x f x f x >->-，即()()120f x f x -->.故A 正确，B 错误；因为()()22f x f x =--，所以()()120f x f x +>，故C 正确，D 错误.故选：AC 12．ABD【分析】如图，将11P x =代入1()ex y =可得11e a =，即可判断A ；由1,nn nnP Q P Q y y x x +==推导可得11()en n a a +=，即可判断B ；由选项B 的分析，结合图形可得221n n a a ->、11n n n na a a a -+->-即可判断CD.【详解】如图，A ：11P x =，点1P 在函数1(ex y =图象上，所以11e P y =，即11e a =，故A 正确；B ：又21Q P y y =，所以21eQ y =，因为点2Q 在直线y x =上，所以21eQ x =，而22P Q x x =，所以21e P x =，又点2P 在函数1()ex y =图象上，所以21e 1()e P y =，即121()e a a =；所以321e 1()e Q P y y ==，得331e 1()e Q Q x y ==，所以331e 1()e P Q x x ==，得1e31()e 1()eP y =，即231(e a a =，以此类推，341(e aa =， ，11(en n a a +=，故B 正确；C ：由选项B 的分析知，11()en n aa +=，且2143,a a a a >>，以此类推， ，221n n a a ->，所以20242023a a >，故C 错误；D ：由图可知，2132431n n a a a a a a a a -->->->>- ，所以11n n n n a a a a -+->-，故D 正确.故选：ABD 13．1-或13【分析】由奇偶性定义可判断()f x 是偶函数，且结合()f x 在[)0,∞+上单调递增，即可求解.【详解】由题可知x ∈R ，()()33x x f x f x --=+=，所以()f x 是偶函数．由于函数y =[)0,∞+上单调递增，而0,=31x x t >> 且=3x t 单调递增，1y t t =+在[)1,t ∈+∞上单调递增，故33x x y -=+在[)0,∞+上单调递增，进而可得()f x 在[)0,∞+上单调递增，又()()21f a f a =-，所以21a a =-或21a a =-，解得13a =或1-．故答案为：1-或1314．2【分析】由已知20a >，104b>，20a b -≥，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为20a >，104b>，20a b -≥，所以21122242a a b b +=+≥=≥=，当且仅当2122ab =，即0a b ==时等号成立，所以124ab+的最小值为2.故答案为：2.15．(1,2)【分析】利用函数的单调性脱去法则，再解不等式即得.【详解】函数2,x y y x ==都是R 上的增函数，则函数()2x f x x =+是R 上的增函数，不等式()()23323(1)231f x f x f x -⇔-⇔-<，则1231x -<-<，解得12x <<，所以不等式()233f x -<的解集为(1,2).故答案为：(1,2)16． 1 {}0,1,2【分析】利用分离参数法可得115()1212x f x +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，根据题意直接代入求解即可得()1f ⎡⎤-⎣⎦；根据指数函数性质可得()f x 的值域，进而可得[]()y f x =的值域.【详解】因为112315()112212x x x f x +++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭，所以()7114f ⎡⎤⎡⎤-==⎣⎦⎢⎥⎣⎦；又因为120x +>，则1121x ++>，可得110112x +<<+，所以()1,32f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()1,12f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x ⎡⎤=⎣⎦；若()[)1,2f x ∈，()1f x ⎡⎤=⎣⎦；若()[)2,3f x ∈，()2f x ⎡⎤=⎣⎦；综上所述：函数[]()y f x =的值域为{}0,1,2.故答案为：1；{}0,1,2.17．(1)1a =(2)(0,2)【分析】（1）由奇函数的性质可得(1)(1)f f -=-，代入解方程即可得出答案；（2）由(2)f a =，可得2a =，则22221x x +>-，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.【详解】（1）由()f x 为奇函数，可知(1)(1)f f -=-，即(12)(2)a a -+=-+，解得1a =，当1a =时，212112(),()()212112x x xx x x f x f x f x --+++=-===----对一切非零实数x 恒成立，故1a =时，()y f x =为奇函数.（2）由(2)f a =，可得43a a +=，解得2a =，所以2224()201242121x x x x x f x a +->⇔>⇔<⇔<<--解得：02x <<，所以满足()f x a >的实数x 的取值范围是(0,2).18．(1)()426,00,0426,0x x x x m x f x x m x --⎧-⋅->⎪==⎨⎪-+⋅+<⎩(2)()1,0-【分析】（1）由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，设0x >，则0x -<，代入当0x <时，()426(0)x x f x m m --=-+⋅+<，则得到()f x 的解析式；（2）用换元法将()426x x f x m =-⋅-化为()26,2g t t mt t =--≥，再由[)“1,x ∞∃∈+，使得()0f x <成立”转化为[)“2,t ∞∃∈+，使得()0g t <成立”，通过分离参数，得到6m t t >-，由函数6y t t =-的单调性，从而得到实数m 的取值范围.【详解】（1）设0x >，则0x -<，因为()f x 是奇函数，所以()()()426426x x x x f x f x m m =--=--+⋅+=-⋅-.因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =.综上，()426,00,0426,0x x x x m x f x x m x --⎧-⋅->⎪==⎨⎪-+⋅+<⎩.（2）当0x >时，()426x x f x m =-⋅-.设2x t =，易知当1x ≥时，22x t =≥，令()26,2g t t mt t =--≥.[)“1,x ∞∃∈+，使得()0f x <成立”即为[)“2,t ∞∃∈+，使得()0g t <成立”，所以[)2,t ∞∃∈+，使得6m t t >-，又6y t t =-在[)2,+∞上单调递增，故1m >-，所以实数m 的取值范围是()1,0-.19．(1)1m =-(2){|2}m m ≥-【分析】（1）令2x t =，将问题转化为二次函数在区间上的最值问题，讨论对称轴和区间的位置关系列方程求解；（2）问题即为x ∃∈R 满足423423x x x x m m ---⋅-=-+⋅+，令2x t =，将问题转化为函数值域问题，通过参变分离求函数值域即可.【详解】（1）令2x t =，由01x ≤≤可得，12t ≤≤，原函数可化为()23h t t mt =--，为开口向上，对称轴2m t =，当22m ≥，即4m ≥时，()h t 在[]1,2上单调递减，则2t =时，函数取得最小值121m -=-，即1(m =舍)，当12m ≤，即2m ≤时，()h t 在[]1,2上单调递增，则1t =时，函数取得最小值21m --=-，即1m =-，当122m <<，即24m <<时，()h t 在[]1,2上先减后增，则2m t =时，函数取得最小值2314m --=-，此时m 不存在，故1m =-；（2）由题意得，x ∃∈R 满足423423x x x x m m ---⋅-=-+⋅+，即()22446x x x x m --+=+-，令()20,x t ∞=∈+，则存在()0,t ∞∈+满足2221116()8m t t t t t t ⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭，令12p t t =+≥=，当且仅当1t =时等号成立，则[)2,p ∞∃∈+满足28mp p =-，即8m p p=-，因为函数8y p p=-在[)2,+∞上单调递增，当2p =时，min 2y =-，所以2m ≥-，故m 的范围为{|2}m m ≥-．20．(1)1m =(2)()f x 在()0,∞+上的单调递减，证明见解析(3)()()2,0log 3,-∞+∞ 【分析】（1）由()742f =-可求得m 的值；（2）任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，然后计算变形()()12f x f x -，再判断符号，可得结论；（3）由()f x 的单调性，将问题转化为2243x x +<+，再令2(0)x t t =>，可得243t t <+，求出t 的范围，从而可求得x 的范围.【详解】（1）由()174422m f =-=-，得44m =，则1m =.（2）()f x 在()0,∞+上的单调递减．证明如下：任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()12121222f x f x x x x x -=--+()()2121122x x x x x x -=+-()211221x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，211220,10x x x x ∴->+>，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，()f x \在()0,∞+上单调递减.（3）由（2）可得，()f x 在()0,∞+上单调递减，而220,430x x +>+>，则由()()2243x x f f +>+可得2243x x +<+，令2(0)x t t =>，可得243t t <+.解得：01t <<或3t >.所以0x <或2log 3x >.不等式的解集为()()2,0log 3,-∞+∞ 21．(1)3(2)x f x =-是“Ω函数”，理由见解析(2)[2,)-+∞【分析】（1）根据“Ω函数”的定义，对于函数3(2)x f x =-求解方程()()0f x f x +-=即得；（2）由()423x x f x m =-⋅-为定义域在R 上的“Ω函数”可得4234230x x x x m m ---⋅-+-⋅-=，利用22x x t -=+换元，将其化成280t mt --=在[2,)+∞上有解，利用参变分离法即可求得m 的取值范围.【详解】（1）当3(2)x f x =-时，()()0f x f x +-=，即2260x x -+-=，令20x t =>，则得2610t t -+=，解得30t =±>．从而2260x x -+-=有解，函数3(2)x f x =-是“Ω函数”．（2）()423x x f x m =-⋅-为定义域在R 上的“Ω函数”，由()()0f x f x +-=，可得4234230x x x x m m ---⋅-+-⋅-=，化简得()442260x x x x m --+-⋅+-=（*）．令22x x t -=+，又222-+≥=x x ，当且仅当22-=x x ，即0x =时取等号，所以2t ≥，又2442x x t -+=-，从而方程（*）可化为：280t mt --=在[2,)+∞上有解，即8m t t=-在[2,)+∞上有解，令8()g t t t=-，[)2,t ∈+∞，则()g t 为[2,)+∞上的增函数，所以()(2)2g t g ≥=-，从而2m ≥-，即[2,)m ∈-+∞.。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）例1 指出下列函数哪些是指数函数⑴ y = 4x ；⑵ y = x 4；⑶ y = - 4x ；⑷ y = (-4)x ；⑸ y = xπ；⑹ y = 4x 2；⑺ y = x x；⑻ y = (2a - 1)x(a ＞21，且a ≠ 1)例2 比较下列各题中两个值的大小。

⑴ 1.75.2，1.73； ⑵ 0.81.0-，0.82.0-； ⑶ 1.73.0，0.91.3例3 求下列函数的定义域和值域： ⑴ y = x21-； ⑵ y = 211-x ⑶ y = (21)322--x x教材问题探究1. 函数图像的变换例1 画出下列函数的图像，并说明他们是由函数f (x) = 2x的图像经过怎样的变换得到的。

⑴ y = 21-x ； ⑵ y = 21+x ； ⑶ y = 2x； ⑷ y = 12-x ；⑸ y = -2x； ⑹ y = -2x-2.图像变换的应用例2 设f (x) = 13-x，c ＜b ＜a 且f(c)＞f(a)＞f(b)，则下列关系式中一定成立的是（ ）A. 3c＜3bB. 3c＞3bC. 3c+ 3a＞2 D. 3c + 3a＜2 探究学习例3 选取底数a (a ＞0，且a ≠ 1)的若干个不同的值, 在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图像. 观察图像, 你能发现他们有哪些共同特征?典型例题精析题型一 指数函数的定义题型二 指数函数的图像和性质 1. 过定点问题 例2 函数y = 23-x + 3恒过定点________________.2. 指数函数的单调性例3 讨论函数f (x) = (31)xx 22-的单调性，并求其值域。

例4 已知函数f (x) = 11+-x x a a （a ＞1）⑴ 求该函数的值域；⑵ 证明f (x)是R 上的增函数3. 指数函数的图像例5 若函数y = a x+ b – 1（a ＞0，且a ≠1）的图象经过第一、三、四象限，则一定有（ ）A. a ＞1，且b ＜1B. 0＜a ＜1，且b ＜0C. 0＜a ＜1，且b ＞0D. a ＞1，且b ＜1 变试训练1：当a ≠0时，函数y = ax + b 和y = bax的图象只可能是下列中的（ ）题型三 指数函数图像和性质的综合应用1. 比较大小例6 右图是指数函数：① y = a x，② y = b x，③ y = c x，④ y = d x的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ）A. a ＜b ＜1＜c ＜dB. b ＜a ＜1＜d ＜cC. 1＜a ＜b ＜c ＜dD. a ＜b ＜1＜d ＜c 2. 解不等式例7 ⑴ 解不等式2221-⎪⎭⎫⎝⎛x ≤2.⑵ 已知()x a a 22++＞()xa a -++122，则x 的取值范围是________________。

2.1.2 指数函数及其性质（第二课时）一．选择题1．函数y＝a|x|(0<a<1)的图象是（）A．B．C．D．【答案】C考点：指数型函数的图象.2．函数f(x)=a x+b-1的图像经过一,二,四象限,则有( )A．0＜a＜1,0＜b＜1B．0＜a＜1,b＞1C．a＞1,b＞0D．a＞1,b＜0【答案】A【解析】如图:a＞1时,图像上下平移的可能情况:可知不可能同过一二四象限当0＜a＜1时,满足条件如图:所以0＜1-b＜1.得0＜b＜13．设a＝40.8，b＝80.46，c＝()－1.2，则a，b，c的大小关系为( )A． a>b>c B． b>a>c C． c>a>b D． c>b>a【答案】A【解析】∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c＝()－1.2＝21.2，又∵1.6>1.38>1.2，∴21.6>21.38>21.2.即a>b>c.故选A.4．[2014·太原模拟]函数y＝（）x2＋2x－1的值域是（）A．（－∞，4） B．（0，＋∞）C．（0,4] D． [4，＋∞）【答案】C考点：函数的值域.5．若函数y=()|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是( )(A)m≤-1 (B)m≥1(C)-1≤m<0 (D)0<m≤1【答案】C【解析】由已知得函数y=()|1-x|+m有零点,即方程()|1-x|+m=0有解,此时m=-()|1-x|. ∵|1-x|≥0,∴0<()|1-x|≤1,∴m∈[-1,0).6．当x∈［－2，2时，y=3－x－1的值域是（）A．B．［－，8］C．(，9) D．［，9］【答案】A【解析】试题分析：，因为x∈［－2，2，所以，即，所以y=3－x－1的值域是。

选A.考点：本题主要考查指数函数的图象和性质。

点评：指数函数的单调性是高考考查的重点之一，要牢记。