四年级数学培优第5讲 巧添运算符号

第5讲巧添运算符号巧点晴——方法和技巧解决问题的常用方法：①计算、试验、合理地组合；②从后面开始思考的逆推法。

注意事项：(1)添运算符号的题目一般来讲解法都不是唯一的,如果题中没有特别的要求,则添出一种答案就算正确;(2)添运算符号不仅可以在两个数字之间添,也可以将相邻的几个数字看成一个数,再在这个数与其相邻的数之间添.巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点晴一、巧用递推法【例1】用下列各组数“凑24”。

（1）4，5，7，9 （2）3，7，8，8（3）2，2，8，8 （4）5，5，5，5（5）9，10，11，12 （6）2，4，6，13分析与解每一题给出一种算法如下：（1）4×7―（9―5）=24 （2）（7－3）×8－8=24（3）（8＋8÷2）×2=24 （4）5×5－5÷5=24（5）12＋11＋（10－9）=24 （6）13×2－6＋4=24小结你能否找到其他的算法？比一比谁算得快，谁算得巧。

做一做1 把下列每组中的四个数凑成24。

（1）1，1，5，7 （2）3，7，7，8（3）4，4，4，4 （4）5，8，11，12【例2】添上＋、－、×、÷、（）、[ ]等符号，使算式1 2 3 4 5=1成立。

分析与解我们可以用逆推法，从最后一步想起。

1 2 3 4□5=1，这里的□只能添减号或除号。

（1）如果是除号，1 2 3 □ 4，应等于5，这里的□可以添加号、减号、除号。

①如果是加号，1 2 3 应产生1，即：[（1＋2）÷3＋4]÷5=1②如果是减号，1 2 3 应产生9，即：[（1＋2）÷3－4]÷5=1③如果是除号，1 2 3应产生20，这是不可能的。

（2）如果是减号，1 2 3□4应等于6，这里的□可以添加号、减号或除号。

①如果是加号，1 2 3 应产生2，不可能；②如果是减号，1 2 3 应产生10，不可能；③如果是除号，1 2 3 应产生24，即：[（1＋23）÷3＋4]÷5=1 [（1＋2）×3－4]÷5=1（1＋23）÷4－5=1小结此题用逆推法，解题效果相当好。

做一做2 添上＋、－、×、÷、（）等符号，使下列等式成立。

（1）1 2 3 4 5=10 （2）1 2 3 4 5=10（3）1 2 3 4 5=10 （4）1 2 3 4 5=10【例3】在下面的式里加上括号，使等式成立。

（1）6×9＋15÷3－2=21 （2）6×9＋15÷3－2=69（3）6×9＋15÷3－2=46 （4）6×9＋15÷3－2=36分析与解括号用来表示四则运算中需要先算的部分，而在四则运算中，规定“先乘除后加减”。

所以添括号时，应着重在含有加减运算符号的各数之间考虑。

（1）用逆推的方法，从最后一步考虑起。

最后一步是减2，所以前面的式子6×9＋15÷3应等于23.23×3=69，而6×9＋15=69，所以算式为（6×9＋15）÷3－2=21（2）上一小题中已得出一个69，保留它，使后面被除数等于1，于是就有（6×9＋15）÷（3－2）=69（3）请同学自己分析。

（4）先用逆推的方法试试，但6×9＋15÷3=59，即使添括号也无法成立，因此必须换一种思路。

再从前往后推算，因为6×[（9＋15）÷3－2]=36小结此题目逆推法求解，方法新颖、巧妙。

做一做3 在下面的算式中合适的地方，添上一个括号，使等式成立。

（1）6＋30÷15－3×4－2=2 （2）6＋30÷15－3×4－2=6 （3）6＋30÷15－3×4－2=10 （4）6＋30÷15－3×4－2=12 （5）6＋30÷15－3×4－2=14 （6）6＋30÷15－3×4－2=36B级竞赛培优·更上层楼二、合理尝试【例4】在1 2 3 4 5 6 7 8 9的某些数字之间添上加号或减号，使计算结果等于100。

分析与解1 如果式子中有一个两位数89，那么其他的数字应能产生11，尝试可知：12＋3＋4＋5－6－7=11根据以上分析，得13＋3＋4＋5－6－7＋89=100分析与解2 如果式子中有一个两位数78，那么其他的数应能产生22。

这时必须加9而不能减99（1＋2＋3＋4＋5＋6=21＜22），所以前6个数字应当产生13。

由于21－13=8，所以应将1＋2＋3＋4＋5＋6中的加4改为减4，即1＋2＋3－4＋5＋6=13，所以1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9=100做一做4 在1 2 3 4 5 6 7 8 9的某些数字之间填上加号或减号，使计算结果等于100。

（给出两种以上的填法，且与例4添法不同）【例5】把0，1，3，5，6，8，9这七个数字填在圆圈和方框内，每个数只能出现一次，组成一个整数算式。

○×○=□=○×○分析与解题中要求用七个数字组成五个数，根据算式可知，这五个数有三个数是一位数，有两个数是两位数，显然积、商和被除数是两位数，因数和除数是一位数。

①0和1不宜作因数和除数，否则不是不符合算理，就是有数字重复出现。

②方框内的数最大不超过33（98÷3＜33）。

③由于3×5=15（5出现两次），3×8=24，3×9=27（2，4和7这三个数字条件中没有），5×6=30（经试验不行），因此乘法算式中两个因数只能是3和6，3×6=18，剩下三个数字0，5，9，90÷5=18符合题意，于是得到3×6=18=19÷5做一做5 （1）将1~9分别填入下面的圆圈内，使等式成立。

○×○=○○＋○=○○－○=○（2）把数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填在下列各方框内（每一个方框内只填一个数字，每个数字只用一次），使用等式成立。

□□×□□□=□□□□【例6】把＋、－、×、÷四种运算符号填在圆圈中，不许重复，并在方框中填上适当的整数，使下面的两个等式都成立。

这时方框中的数是多少？9○13○7=100 14○2○5=□分析与解此题要考虑两个等式都成立。

因此，我们在解题时应当用尝试法进行分析。

除号必须用在14÷2中（否则不能整除）。

第一个式子里必须用乘号（因为9，13，7都比100小得多）。

通过尝试可知：第一个式子里必须为9+3×17=100，第二个式子为14÷2－5=2。

这时，方框中的数是2。

做一做6 将＋、－、×、÷四种运算符号分别填入下面各式的方框内，不许重复，使两个等式成立。

48□6□5=3 1□2□7=9C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军三、逐步调整【例7】在下面13个4之间添上适当的运算符号＋、－、×、÷，使等式成立。

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 =1991分析与解由于左边数字比较多，如果还采用逆推法，会使原本复杂的问题变得更为复杂了，我们不妨改变一下思路。

我们可以任意用几个数字组成个数，经过试算得到一个与已知数1991比较接近的数，如：4444÷4＋444＋444=1999因为1999比1991大8，大则减，很容易得到本题的一个解。

4444÷4＋444＋4444－4－4=1991又如：因为1980比1991小11，小则加，这样又得了本题的另一个解。

44×44＋44＋4＋4＋4－44÷44=1991或44×44＋44＋44÷4＋4－4＋4－4=1991 上面的分析方法是找一个与结果接近的数，然后根据大则减、小则加的原则作适当的调整。

直到等式成立，这种方法可以称之为逐步调整法。

小结逐步调整法也是一种分析问题的方法，何时利用这种方法解决问题呢？遇到复杂的问题，若不能一下子找到答案，这时，我们可以先在满足部分条件的基础上寻找答案，然后再从问题筛选出满足其他条件的答案。

做一做7 下列等号左边有12个2，在适当的地方添上＋、－、×、÷或（），使等式成立。

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2=1992巧练习——温故知新（五）A级冲刺名校·基础点晴1.添上＋、－、×、÷或（），使下列等式成立。

1 2 3 4 5=102.在下列数字之间添上运算符号和括号，使等式成立。

（1）4 4 4 4=1 （2）4 4 4 4=2（3）4 4 4 4=3 （4）4 4 4 4=53.在下面式子中加上括号，使每个等式都成立。

（1）6＋30÷15－3×4－2=2 （2）6＋30÷15－3×4－2=6 （3）6＋30÷15－3×4－2=10 （4）6＋30÷15－3×4－2=12 （5）6＋30÷15－3×4－2=14 （6）6＋30÷15－3×4－2=36 4.将下列每级中4个数，通过四则运算（允许添加括号）组成一个算式，使结果都等于24。

如：用2，3，6，9组成（2＋6）×9÷3=24或（6－2）×（9－3）=24。

（1）1，3，5，9 （2）1，3，5，7（3）2，5，6，10 （4）2，2，8，8（5）4，5，7，9 （6）3，7，8，85.在下面的方框中分别填入＋、－、×、÷四各运算符号（各一次），使等式成立。

1991□1□9□9□1=1991B级培优竞赛·更上层楼6.在下列数字之间添上一些运算符号，使结果都等于51。

（1）1 2 3 4 5 6 7=51 （2）2 3 4 5 6 7 1=51（3）3 4 5 6 7 1 2=51 （4）4 5 6 7 1 2 3=517.把1~9这9个数字填入方框中，使等式成立。

□×□－□=□□÷□□＋□=□8.在下列数字之间添上加号，使等式成立。

1 2 3 4 5 6 7 8 9=999.将1~8这8个不同的数填入下图有8个字母的方格中，使图四边正好组成加、减、乘、除四道算式。

10.在下列数字之间加上适当的符号和括号，使等式成立。