极限导数积分计算

一. 函数的极限的计算1) 初等函数)(x f 在定义区间内处处连续: 若)(a f 存在, 则有)()(lim a f x f ax =→.2) 变量代换: 设b x g ax =→)(lim (b x g ≠)(), 若A u f bu =→)(lim , 则有A u f x g f bu ax ==→→)(lim )]([lim3) a x f x x =→)(lim 0的充要条件为: a x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0.4) a x f x =∞→)(lim 的充要条件为: a x f x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim .5) 极限的四则运算. 6) “00”,“∞∞”型洛必达法则. 例1.设2211)(x x x x x f +--++=, 则)(x f 为( ).A. 有界函数;B. 偶函数;C. 1)(lim =∞→x f x ; D. 1)(lim =-∞→x f x .解题提示: 1) )(x f 为奇函数. 2) -∞→x 时, 0<x , 211xx -= . 3) 2||1||1||2||)(|||)(|22<+-+++==xx x x x x f x f .例2.下列各式中不正确的是（ ）.A. ∞=→xx e 10lim ; B. +∞=+→xx e 10lim ; C. 0lim 10=-→xx e ; D. 1lim 1=∞→xx e . 例3.求)||sin 12(lim 410x xee xx x +++→. 解题提示: 计算左右极限.洛必达法则是计算极限的有效方法. 例4.计算下列极限:1) x x x 4sin 1tan lim 4-→π; 2) x x x ln )11ln(lim 0++→; 3) x x x ln lim 20+→; 4) )111(lim 0--→x x e x ; 5) )]11ln([lim 2x x x x +-∞→. 解题提示: 5) 令tx 1=; 或 -⋅+⋅-=+321311211)11ln(x x x x .例5. 若0])(3sin [lim 230=+→x x f x x x , 计算20)(3lim x x f x +→.解题提示: 2323)(333sin )(3sin xx f x x x x x f x x ++-=+.极限计算中无穷小的处理:在乘除运算中, 极限值不为0的因子先算出, “0因子”作等价无穷小代换, “0根式”有理化.例6.计算xxx e x x 2sin 11cos sin lim----→.解: xxx e x x 20sin 11cos sin lim ----→ (0=x 代入, 此式为 “00”型))sin 11(sin cos sin lim 220x xx x e x x ++⋅--=→ (“0根式”有理化) 20cos sin lim 2xx x e x x --=→ (乘除运算中“非0 因子”先算出, “0因子”作等价无穷小代换)xx x e x x sin cos lim 0+-=→ (洛必达法则) 1cos sin lim 0x x e x x ++=→ (洛必达法则) 2= (初等函数在定义区间内处处连续. )例7.计算下列极限:1) x x x x 1sin 3553lim 2++∞→; 2) 31422lim 2-+-+→x x x ; 3) )1sin 1(lim 220x x x -→. 例8.计算)122(lim 23x x x x x ++-++∞→.解题提示: 令xu 1=, )122(lim 23x x x x x ++-++∞→211221limu u u u ++-+=→.例9.已知211sin )(1lim30=--+→x x e x x f , 求)(lim 0x f x →.解题提示: 利用等价无穷小代换计算左式.极限计算中无穷大的处理: “∞-∞根式”有理化.“三角无穷大”的导数仍然为无穷大, “三角无穷大”要先变.求∞→x 时的极限, 分子, 分母同时除以分子, 分母中的最高次幂(“抓大头”方法中的“大头”). 所谓 “抓大头”就是抓住关于x 的最高次的项, 而把其余的项略掉.如mmnn x m m n n x x b x a b x b x b a x a x a ∞→+∞→=++++++limlim 0101 . 例10. 计算下列极限: 1) xx x tan 3tan lim2π→; 2) )15(lim 22--++∞→x x x x ;3) )10(lim 2x x x x ++-∞→; 4) xx x x x x sin 114lim22+++-+-∞→.在计算极限时, 洛必达法则不要“滥用”. 例11. 计算xxx x ee++∞→2lim.解题提示: 用洛必达法则, 观察会出现怎样的情形. 例12. =+-∞→xx xx x sin sin lim( ).A. 1-B. 不存在C. 0D. 1解题提示: 1)分析以下错误运算:1sin sin lim cos 1cos 1lim sin sin lim-=-=+-=+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x .2) 分析以下错误运算:0sin 1sin 1lim sin sin lim =+-=+-∞→∞→xxx xx x x x x x . 例13. 求xe e xe e x x x x x -++---+∞→lim .解题提示: 1) 先多次用洛必达法则, 观察会出现怎样的情形.2) 0ln lim lim ==+∞→+∞→n x x n x xx e x (n 为正数), 当+∞→x 时, 可认为xe 为x 的无穷大次幂,x ln 为x 的0次幂.3) 分子, 分母同时除以分子, 分母中的最高次幂, 即用“抓大头”方法. 例14. 求2102limxex x -→.解题提示: 1) 试用洛必达法则看看. 2) 令xt 1=.v u lim (“000,,1∞∞”型)极限计算法: u v u v ln lim )ln(lim =.其中的“∞1”型, 也可用配e 法:设0)(lim =x u , ∞=)(lim x v , 则 uv uvu ve u u lim 1])1lim[()1lim(=+=+.例15. 计算下列极限:1) nn n x n x )cos (sin lim +∞→; 2) x x x 1)1(lim ++∞→; 3) x x x ln 1)arctan 2(lim -+∞→π.利用导数定义式计算极限例16. 设)(x f 在a x =处可导, 且0)(>x f , 求n n a f na f )](/)1([lim +∞→. 解题提示: 利用配e 法, 计算]1)()1([lim -+∞→a f n a f n n .例17. 设)(x f 在点0x 处有二阶导数, 求极限 20000)()(2)(limhh x f x f h x f h -+-+→. 解题提示: 先用一次洛必达法则.注意: 因二阶导数)(x f ''在点0x 处连续性不知, 不可再次用洛必达法则.解: 20000)()(2)(lim hh x f x f h x f h -+-+→h h x f h x f h 2)()(lim 000-'-+'=→ ])()()()([21lim 00000hx f h x f h x f h x f h -'--'+'-+'=→)(0x f ''=.利用中值定理计算极限 例18. 计算下列极限:1) ]arctan ln )1arctan([ln lim 2x x x x -++∞→;2) ⎰++∞→+2arctan 1limx x x xdx x x.解题提示: 1) 对函数t t f arctan ln )(=在]1,[+x x 上用拉格朗日中值定理,)1(,11arctan 1arctan ln )1arctan(ln 2+<<+⋅=-+x x x x ξξξ. 2) 利用积分中值定理,)2(,arctan 12arctan 12+<<+=+⎰+x x xdx x x x xξξξξ.利用麦克劳林公式计算极限 例19. 计算下列极限: 1) xex x x 420sin cos lim2-→-; 2) )22ln 111(lim 320xxx x x -+-+→.解: 1) 44~sin x x , )(2421cos 442x o x x x ++-=, )(4212144222x o x x ex +⋅+-=-,)(12cos 4422x o x ex x +-=--,x ex x x 420sin cos lim2-→-121-=. 2) )21ln()21ln(22ln xx x x --+=-+)]()2(31)2(212[)]()2(31)2(212[332332x o x x x x o x x x +----++-=)(12133x o x x ++=,)22ln 111(lim 320x xxx x -+-+→1211])(1211[lim 330=--=→x x o x .二. 导数与微分的计算1) 四则运算求导公式.2) 复合函数求导公式: )())((]))(([x g x g f x g f '⋅'='. 3) 微分计算公式: dx x f x df )()('=.注意: 微分等式中变量x 可用任意可导函数)(x g 作代换.4) 参数方程求导公式: dt dx dtdydx dy =, dtdxdx dy dt d dx y d )(22=.5) 隐函数求导法: 方程两边同时对x 求导, 注意)(y f 中y 为中间变量.6) 幂指函数求导公式: ])(ln )([)]([})]({[)()('⋅='x f x g x f x f x g x g . 7) 取对数求导法: 设)()(1)]([)]([1x n x n x f x f y αα =, 则有)(ln )()(ln )(ln 11x f x x f x y n n αα++=8) 设)(x f 为连续函数, 则有)(])([x f dx x f dx d=⎰. 9) 设)(x f 为连续函数, )(),(x v x u 可导, 则有变限积分函数求导公式)()]([)()]([)()()(x v x v f x u x u f dt t f dxd x u x v '⋅-'⋅=⎰例1. 设2()sin f x x '= 则df dx =_____ . 例2. 设()y f u =可导，()[]f x y f e=，则dy =_____ . 例3.设ln y x =，当2,0.01x x =∆=时，dy =_____ .解题提示: 自变量的微分等于自变量的增量, 即x dx ∆=.例4.设()f x dx C =+⎰，求()f x .例5.设)(x f 为连续函数, 且⎰=x xdt t f x F ln 1)()(, 则=')(x F _____.例6. 求⎰202)(x dt t f x dx d , 其中)(t f 为已知的连续函数.解题提示:⎰⎰=2222)()(x x dt t f xdt t f x .例7. 求⎰-20)(x dt t x xf dxd , 其中)(t f 为已知的连续函数. 解题提示: 令t x u -=, ⎰⎰--=-22)()(0x x xx du u f dt t x f .例8. 设)()2)(1()(n x x x x x f +++= , 则=')0(f _____.解题提示: ])()1[()()1()('+++++='n x x x n x x x f .例9. 若)()(x f x f =-, 在),0(+∞内0)(,0)(<''<'x f x f , 则)(x f 在)0,(-∞内( ).(A) 0)(,0)(<''<'x f x f ; (B) 0)(,0)(>''<'x f x f ; (C) 0)(,0)(<''>'x f x f ; (D) 0)(,0)(>''>'x f x f . 解题提示: )(x f 为偶函数. 试证明: 1) 可导偶函数的导数为奇函数; 2) 可导奇函数的导数为偶函数.例10. 设函数)(x y y =由方程y y f e xe=)(确定, 其中f 具有二阶导数, 且1≠'f , 求22dxy d . 例11. 设41sinxe x y x =, 求y '. 解题提示: x x x y 1sin ln 16181ln 41ln ++=.例12. 设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰2202)]([)(t f y duu f x t其中)(u f 具有二阶导数, 且0)(≠u f , 求22dx y d .高阶导数与泰勒公式 1) 莱布尼兹公式: ∑=-=nk k k n k n n v u C uv 0)()()()(. 2) 函数)(x f 在点a x =处带拉格朗日型余项的n 阶泰勒展开式:1)1()()()!1()()(!)())(()()(++-++-++-'+=n n nn a x n f a x n a fa x a f a f x f ξ其中)(a x a -+=θξ, 10<<θ, 即ξ介于a 与x 之间. 当0=a 时, 称麦克劳林公式.3) 函数)(x f 在点a x =处带皮亚诺型余项的n 阶泰勒展开式:])[()(!)())(()()()(n n n a x o a x n a f a x a f a f x f -+-++-'+=例13. 求下列函数的n 阶导数: 1) )1ln(+=x y ; 2) kx y cos =; 3) xxe y =; 4) x e y x cos =.5) x x y 3sin sin =.解: 4) )4cos(2sin cos π+=-='x e x e x e y x xx,)4cos()2()(πn x e yx n n +=. 例14. 求函数()ln(1)f x x =+在点0=x 处带拉格朗日型余项的n 阶泰勒展开式.例15. 求函数)1ln()(2x x x f +=在点0=x 处带皮亚诺型余项的5阶泰勒展开式.例16. 设xx x f -=1)(10, 则=)()10(x f_____. 解题提示: )1(11)(89++++--=x x x xx f , 1)()(!)1(+-=-n n x a n x a . 例17. 求函数xe x xf 2)(=在0=x 处的n 阶导数)3()0()(≥n fn .解题提示: 1) 利用莱布尼兹公式 ∑=-=nk k k n k n n v u C uv 0)()()()(. 2) 利用)(!1n nxx o n x x e ++++= 及麦克劳林公式. 解: )(!1n n xx o n x x e ++++= )()!2()(32n n x o n x x x x f +-+++= ,!)0()!2(1)(n f n n =-, )1()0()(-=n n f n .例18. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10,sin )(x x x xx f , 求)0()4(f .解题提示: )()!12()1(!5!3sin 1212153+++++-+++-=n n n x o n x x x x x . 例19. 设x x y arcsin 112-=, 求)0()(n y . 解题提示: 建立递推公式0)12()1()1(2)()1(2=-+---+n n n y n xy n yx .三. 不定积分的计算:1. 常用公式:⎰+-=C x xdx |cos |ln tan ; ⎰+=C x xdx |sin |ln cot ;⎰++=C x x xdx |tan sec |ln sec ; ⎰+-=C x x xdx |cot csc |ln csc ;⎜⎠⎛+=+C a x a a x dx arctan 122; ⎜⎠⎛++-=-C ax a x a a x dx ||ln 2122; ⎜⎠⎛+=-C a x x a dx arcsin 22; ⎜⎠⎛+±+=±C a x x a x dx ||ln 2222.2. 分项法: 通过代数或三角恒等变形把所给不定积分化为基本积分公式中的积分或常见的积分类型.例1.计算下列不定积分:1) ⎜⎠⎛+dx x x 241; 2) ⎜⎠⎛dx x x 22cos sin 1; 3) ⎜⎠⎛+-dx x x x 2cos 1sin .3. 第一换元法(凑微分法): 设F 为f 的原函数, )(x u ϕ=可导, 则有⎰⎰=')()]([)()]([x d x f dx x x f ϕϕϕϕ [凑微分: )()(x d dx x ϕϕ=']C x F +=)]([ϕ. [换元: ⎰+=C x F dx x f )()(中x 换为)(x ϕ]如何确定中间变量)(x u ϕ=?A) 从被积函数明显的复合部分)(u f 去确定u . B) 通过凑微分确定u .C) 从被积函数中复杂的部分去确定u . 例2.计算下列不定积分:1) ⎜⎠⎛+⋅+dx x xx 11tan 22; 2) ⎜⎠⎛dx x x x cos sin tan ln ; 3) ⎜⎠⎛+dx x x x2)ln (ln 1; 4) ⎜⎠⎛+dx e e x x1; 5) ⎜⎠⎛+12x e dx ; 6) ⎜⎠⎛+dx x x 41; 7) ⎜⎠⎛+)1(x x dx ; 8) ⎜⎠⎛+⋅-dx x e x x x x)cos 1(cos sin cos . 解题提示: 8) )sin (cos )cos (x x e x e xx -='.4. 第二换元法(积分变量代换法): 设)(t x ϕ=单调可导, 则有⎰⎰'=dt t t f dx x f )()]([)(ϕϕ.积分变量代换法常见的有:1) 作三角代换t a x sin =去根式22x a -. 2) 作三角代换t a x tan =去根式22x a +. 3) 作三角代换t a x sec =去根式22a x -. 4) 作根式代换ndcx bax t ++=, b e t ax +=.5) 对三角函数有理式作万能代换2tanx u =化为u 的有理式, 其中有du u dx 212+=, 212sin uux +=, 2211cos u u x +-=. 作万能代换计算, 时常较繁, 不要滥用. 例3.计算下列不定积分:1) ⎜⎠⎛+-dx x x 112; 2) ⎜⎠⎛+32)9(x dx ; 3) ⎜⎠⎛-223a x x dx ; 4) ⎜⎠⎛+)(3x x dx ; 5) ⎰--dx e x21; 6) ⎜⎠⎛++x x dx cos sin 1. 例4. 求⎜⎠⎛++x x x dx2)1(22.解题提示: 1)1(222-+=+x x x , 作代换t x sec 1=+.5. 分部积分法: ⎰⎰-=vdu uv udv .常见类型有: 1) ⎰+dx b ax x P )sin()(, ⎰+dx b ax x P )cos()(, ⎰dx e x P ax)(. 取)(x P u =. 2)⎰dx x P x n )(ln , ⎰xdx x narctan 等. 取dx x dv n =. 3) ⎰xdx 3sec ,⎰⎰bxdx e bxdx eax axcos ,sin . 用分部积分法 “回归”.例5. 计算下列不定积分:1)⎰+xdx x x 22sin )(; 2) ⎰-+-dx e x x x)1(2; 3) ⎜⎠⎛+dx x x 2)1(ln ; 4) ⎜⎠⎛dx x x 2arctan ; 5) ⎰dx bx e ax cos ; 6) ⎜⎠⎛dx x x 2cos cos ln ; 7) ⎜⎠⎛+-dx x x x 2cos 12sin ; 8) ⎜⎠⎛+dx x x x)1(arctan 22; 9)⎰dx x ln sin . 例6.求⎰-dx x a 22.解题提示: 1) 令t a x sin =. 2) 分部积分回归法.例7. 求⎜⎠⎛+dx x x 222)1(. 解题提示: 1) 分部积分法: 2222112)1(x dx dx x x +-=+. 2) 令t x tan =.例8. 求⎜⎠⎛-dx e xe xx1.解题提示: 令1-=x e t .例9.求⎰xdx x sec tan 2.解题提示: 1)分部积分回归法.2) ⎜⎠⎛⎜⎠⎛==⎰x xd dx xx xdx x 2322cos 1sin 21cos sin sec tan .注: 凑微分是计算积分的首要过程, 是求导的逆运算, 第一换元法是复合求导的逆运算, 是积出积分的重要一环; 分部积分法是 “乘积”求导的逆运算, 是计算积分的一种过度性的主要手段, 灵活多变, 初学时不易掌握. 切记: 初等函数并不是都能 “积得出”, 不常见的积分题, 计算当中会出现 “恰好”之处.例10. 求⎜⎠⎛+-dx x x x2)ln (ln 1. 解题提示: 1) )ln (ln 12'=-x xxx . 2) 分项 )ln ()ln (ln 1)ln ()(ln 1)ln (ln 1222'+⋅+++-=++-+=+-x x x x xx x x x x x x x x x .例11. 求⎜⎠⎛++dx e xx xcos 1sin 1.解: ⎜⎠⎛++dx e x x x cos 1sin 1⎜⎜⎠⎛+=dx e xx x 2cos 2sin 12⎰⎰+=+=C xe de x x d e x x x 2tan 2tan 2tan .例12. 求⎜⎠⎛+dx x e x x22)2(. 解: ⎜⎠⎛+dx x e x x 22)2(⎜⎠⎛+-=212x d e x x ⎜⎠⎛++++-=dx e x xe x x e x xx x )2(21222⎰++-=dx xe x e x x x 22 C e xe x e x xx x +-++-=22C x e x x ++-=2)2(.6. 特殊积分举例例13. 求⎜⎠⎛+-+dx x x x 5632解题提示: 11525632---=+-+x x x x x .例14. 求dx x x x ⎜⎠⎛++-84142. 解题提示: 4)2(984)42(28414222++-+++=++-x x x x x x x .例15. 求⎜⎠⎛+)1(4x x dx . 解题提示: )1(1)(11ax x x a a x x n n n +-=+-. 例16. 求⎜⎠⎛+14x dx , ⎜⎠⎛+dx x x 142. 解题提示: 1) 2)1()1(11111222242+-'-=++=++x x x x xx x x x ; 2) 2)1()1(11111222242-+'+=+-=+-x x x x xx x x x . 例17. 求⎜⎠⎛+xdx sin 1. 解题提示: 1) 令2tan x u =. 2) xx x 2cos sin 1sin 11-=+. 化分母为单项, 用此法可计算: ⎜⎠⎛±dx x cos 11, ⎜⎠⎛±dx xx sin 1sin 等. 例18. 求⎜⎠⎛+dx x b x a x cos sin sin , ⎜⎠⎛+dx xb x a x cos sin cos . 解题提示: ⎜⎠⎛++=+-C x b x a dx xb x a x b x a |cos sin |ln cos sin sin cos , ⎜⎠⎛+=++C x dx xb x a x b x a cos sin cos sin . 例19. 求⎰⋅xdx x 23cos sin .解题提示: )(sin )sin 1(sin cos sin 212'-⋅=⋅+x x x x x n m n m .例20. 求⎜⎠⎛dx xx 23sin cos . 解题提示: )(cos )cos 1(cos sincos 212'-⋅-=⋅+x x x x x n m n m . 例21. 求⎰xdx 4cos . 解题提示: 1) 降幂法 =+=24)2cos 1(41cos x x . 2) 分部积分回归法, 建立递推公式:⎰⎰-=x xd xdx n n sin cos cos 1⎰--⋅-+=xdx x n x x n n 221cos sin )1(cos sin ⎰⎰---+=--xdx n xdx n x x n n n cos )1(cos )1(cos sin 21,⎰⎰---+=xdx nn x x n xdx n n n 21cos 1cos sin 1cos . 例22. 求⎜⎠⎛++dx xx 2sin 3cos 1. 解题提示: )(tan tan 431sin 4cos 31sin 312222'+=+=+x x x x x .四. 定积分与广义积分的计算1. 牛顿—莱布尼兹公式设)(x f 在],[b a 上连续, 且)()(x f x F =', 则有)()()]([)(a F b F x F dx x f b a b a -==⎰. 2. 定积分的分部积分公式 设)(),(x v x u ''在],[b a 上连续, 则有 ⎰⎰-=ba b a b a x du x v x v x u x dv x u )()()]()([)()(. 3. 定积分的换元法 设)(x f 在],[b a 上连续, )(t x ϕ=在],[βα上单值连续可导, 当t 在],[βα上变化时, )(t x ϕ=在],[b a 上变化, 且b a ==)(,)(βϕαϕ, 则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba )()]([)(. 例23. 计算下列定积分: 1) ⎰402tan πxdx ; 2) ⎜⎠⎛-e xx dx 12ln 1; 3) ⎰102arctan xdx x ; 4) ⎰π0cos xdx e x .例24. 计算⎰-20244dx x x . 解题提示: 1) 令t x sin 2=.2) 记⎰⎰==2020cos sin ππxdx xdx I n n n , 则有21--=n n I n n I . 例25. 计算⎰-10234)1(dx x x .解题提示: 令t x sin 2=.例26. 计算⎰+40)tan 1ln(πdx x .解题提示: 令t x -=4π.例27. 已知2)1sin()(-='x x f , 且0)0(=f , 求⎰10)(dx x f .解: ⎰⎰'-=101010)()]([)(dx x f x x xf dx x f ⎰--=102)1sin()1(dx x x f ⎰⎰--+-=102102)1sin()0()1sin(dx x x f dx x ⎰--=102)1sin()1(dx x x )1cos 1(21|)1cos(21102-=-=x 4. 对称区间上的积分设)(x f 在],[a a -上连续, 则有dx x f x f dx x f a a a ⎰⎰-+=-0)]()([)( 1) 当)(x f 是奇函数时,0)(=⎰-a a dx x f ; 2) 当)(x f 是偶函数时,⎰⎰=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(. 例28. 计算2111x x I dx e -=+⎰. 例29.121(x dx -=⎰_____.例30. 设⎜⎠⎛+=-2242cos 1sin ππxdx x x M , ⎰2243)cos (sin ππ-+=dx x x N , ⎰22432)cos sin (ππ--=dx x x P , 则有( ). (A) M P N <<; (B) N P M <<;(C) P M N <<; (D) N M P <<.解题提示: 0=M , 0>N , 0<P .5. 分段函数的积分例31. 设函数)(x f 在),(+∞-∞内满足x x f x f sin )()(+-=π, 且,)(x x f = ),0[π∈x , 计算⎰ππ3)(dx x f .解题提示: 当ππ2<≤x 时, x x x x f x f sin sin )()(+-=+-=ππ, 当ππ32<≤x 时, ππ2sin )()(-=+-=x x x f x f .例32. 设xOy 平面上有正方形}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D 及直线 )0(:≥=+t t y x l . 若)(t S 表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积, 试求 ⎰xdt t S 0)((0≥x ). 解题提示: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<-+-≤≤=2,121,122110,21)(22t t t t t t t S .例33. 计算⎰-π0sin 1dx x . 解题提示:|2cos 2sin|sin 1x x x -=-. 6. 广义积分的计算例34. 计算⎜⎠⎛∞+12arctan dx x x . 解题提示: )()(lim )]([)(a F x F x F dx x F x a a -=='+∞→∞+∞+⎰. 例35. 计算⎜⎠⎛+-∞-0223x x dx . 解题提示: )(lim )()]([)(x F b F x F dx x F x b b-∞→∞-∞--=='⎰. 例36. 计算⎜⎠⎛--∞+3242)1(xx x dx . 解题提示: 令t x sec 1=-.例37. 计算⎜⎜⎠⎛-⋅⋅+-11212)1(11dx x e e x x . 解题提示: 1) 设)(x f 在],[b a 内有一瑕点c x =, 则⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(, 其中)()(lim )(a F x F dx x f c x ca -=-→⎰, )(lim )()(x Fb F dx x f cx b c +→-=⎰. 2) 此题被积函数的原函数为x e 1arctan .3) 思考: 原积分e e e x 1arctan arctan ][arctan 111-==-为何不对?。