九年级上学期数学期中考试试卷含答案(新人教版)

人教版八年级数学第13章轴对称同步检测试题（全卷总分100分）姓名得分一、选择题(每小题3分，共30分)1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（）A B C D2．已知点P(－2，1)，那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（）A．(－2，1) B．(－2，－1)C．(－1，2) D．(2，1)3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（）A．△AA′P是等腰三角形B．MN垂直平分AA′，CC′C．△ABC与△A′B′C′面积相等D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上4．等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）A．25 B．25或32C．32 D．195．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，已知AC＝5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为（）A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm6．(聊城中考)如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为（）A．4.5 cm B．5.5 cm C．6.5 cm D．7 cm7．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（）A．90°B．75°C．70°D．60°8．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（）A．6个B．7个C．8个D．9个9．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E，若AB＝BC，则下列结论中错误的是（）A．BD⊥AC B．∠A＝∠EDAC．2AD＝BC D．BE＝ED10．如图，在△ABC中，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B 出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以A为顶角的等腰三角形时，运动的时间是（）A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒二、填空题(每小题3分，共18分)11．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，则∠B＝．12．如图，△ABC与△A1B1C1关于某条直线成轴对称，则∠A1＝．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为．14．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO＝PD，那么AP的长是．15．(江西中考)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位长度后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为．16．如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB＝30°，OP＝8 cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则△MPN周长的最小值cm.三、解答题(共52分)17．(10分)某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器．如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离相等，以便及时进行监控？18．(10分)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC、CD于E、F.试说明△CEF是等腰三角形．19．(10分)如图，点A，B，C在平面直角坐标系中的坐标分别为(5，5)，(3，2)，(6，3)．(1)作△ABC关于直线l：x＝1对称的△A1B1C1，点A，B，C的对称点分别是A1，B1，C1；(2)点A1的坐标为，点B1的坐标为，点C1的坐标为．20．(10分)如图，已知△ABC是等边三角形，E，D，G分别在AB，BC，AC边上，且AE＝BD＝CG.连接AD，BG，CE，相交于F，M，N.(1)求证：AD＝CE；(2)求∠DFC的度数；(3)试判断△FMN的形状，并说明理由．21．(12分)在等边△ABC中，(1)如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；(2)点P，Q是BC边上的两个动点(不与点B，C重合)，点P在点Q的左侧，且AP ＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM.①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证PA＝PM，只需证△APM是等边三角形．想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM.……请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM(一种方法即可)．人教版八年级数学第13章轴对称同步检测试题参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（D）A B C D2．已知点P(－2，1)，那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（B）A．(－2，1) B．(－2，－1)C．(－1，2) D．(2，1)3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（D）A．△AA′P是等腰三角形B．MN垂直平分AA′，CC′C．△ABC与△A′B′C′面积相等D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上4．等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为（C）A．25 B．25或32C．32 D．195．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，已知AC＝5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为（C）A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm6．(聊城中考)如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为（A）A．4.5 cm B．5.5 cm C．6.5 cm D．7 cm7．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（D）A．90°B．75°C．70°D．60°8．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（D）A．6个B．7个C．8个D．9个9．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E，若AB＝BC，则下列结论中错误的是（C）A．BD⊥AC B．∠A＝∠EDAC．2AD＝BC D．BE＝ED10．如图，在△ABC中，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以A为顶角的等腰三角形时，运动的时间是（D）A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒二、填空题(每小题3分，共18分)11．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，则∠B＝40°．12．如图，△ABC与△A1B1C1关于某条直线成轴对称，则∠A1＝75°．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为7．14．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO＝PD，那么AP的长是6．15．(江西中考)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位长度后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为12．16．如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB＝30°，OP＝8 cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则△MPN周长的最小值8cm.三、解答题(共52分)17．(10分)某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器．如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离相等，以便及时进行监控？解：作法：如图所示，A ，B ，C 代替三个路口． ①连接AB ，BC .②分别作线段AB ，BC 的垂直平分线交于点P .则点P 就是所求作的点．18．(10分)如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于E 、F .试说明△CEF 是等腰三角形．解：∵∠ACB ＝90°， ∴∠B ＋∠BAC ＝90°. ∵CD ⊥AB ，∴∠CAD ＋∠ACD ＝90°.∴∠ACD ＝∠B .∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠EAB .∵∠EAB ＋∠B ＝∠CEA ，∠CAE ＋∠ACD ＝∠CFE ， ∴∠CFE ＝∠CEF .∴CF ＝CE . ∴△CEF 是等腰三角形．19．(10分)如图，点A ，B ，C 在平面直角坐标系中的坐标分别为(5，5)，(3，2)，(6，3)．(1)作△ABC 关于直线l ：x ＝1对称的△A 1B 1C 1，点A ，B ，C 的对称点分别是A 1，B 1，C 1；(2)点A 1的坐标为 (－3，5) ，点B 1的坐标为 (－1，2) ，点C 1的坐标为 (－4，3) ．解：如图所示．20．(10分)如图，已知△ABC 是等边三角形，E ，D ，G 分别在AB ，BC ，AC 边上，且AE ＝BD ＝CG .连接AD ，BG ，CE ，相交于F ，M ，N .(1)求证：AD ＝CE ； (2)求∠DFC 的度数；(3)试判断△FMN 的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°，AB ＝AC . 又∵AE ＝BD ，∴△AEC ≌△BDA (SAS )．∴AD ＝CE .(2)由(1)知△AEC ≌△BDA ， ∴∠ACE ＝∠BAD .∴∠DFC ＝∠FAC ＋∠ACE ＝∠FAC ＋∠BAD ＝60°. (3)△FMN 为等边三角形，由(2)知∠DFC ＝60°， 同理可求得∠AMG ＝60°，∠BNF ＝60°. ∴△FMN 是等边三角形．21．(12分)在等边△ABC 中，(1)如图1，P ，Q 是BC 边上两点，AP ＝AQ ，∠BAP ＝20°，求∠AQB 的度数；(2)点P ，Q 是BC 边上的两个动点(不与点B ，C 重合)，点P 在点Q 的左侧，且AP ＝AQ ，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接AM ，PM .①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验，提出猜想：在点P ，Q 运动的过程中，始终有PA ＝PM ，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证PA ＝PM ，只需证△APM 是等边三角形． 想法2：在BA 上取一点N ，使得BN ＝BP ，要证PA ＝PM ，只需证△ANP ≌△PCM . ……请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA ＝PM (一种方法即可)．解：(1)∵AP ＝AQ ，∴∠APQ ＝∠AQP .∴∠APB ＝∠AQC .又∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝∠B ＝∠C ＝60°.∴∠BAP ＝∠CAQ .∵∠BAP ＝20°，∴∠CAQ ＝20°.∴∠AQB ＝∠CAQ ＋∠C ＝80°.(2)①如图．②利用想法1证明：首先根据(1)得到∠BAP ＝∠CAQ ，然后由轴对称，得到∠CAQ ＝∠CAM ，进一步得到∠CAM ＝∠BAP ，根据∠BAC ＝60°，可以得到∠PAM ＝60°，根据轴对称可知AQ ＝AM ，结合已知AP ＝AQ ，可知△APM 是等边三角形，进而得到PA ＝PM.利用想法2证明：在AB 上取一点N ，使BN ＝BP ，连接PN ，CM .∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°，BA ＝BC ＝AC .∴△BPN 是等边三角形，AN ＝PC ，BP ＝NP ，∠BNP ＝60°.∴∠ANP ＝120°.由轴对称知CM ＝CQ ，∠ACM ＝∠ACB ＝60°，∴∠PCM ＝120°.由(1)知，∠APB ＝∠AQC ，∴△ABP ≌△ACQ (AAS )．∴BP ＝CQ .∴NP ＝CM .∴△ANP ≌△PCM (SAS )．∴AP ＝PM .。

2021-2022学年第一学期期中测试人教版数学九年级试题学校________班级________姓名________成绩________考试时间120分钟满分120分一、选择题1.(2018·赤峰10/26)2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛,采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛),比赛总场数为380场,若设参赛队伍有x支,则可列方程为()1x(x﹣1)＝38021C．x(x+1)＝3802A．B．x(x﹣1)＝380D．x(x+1)＝3802.(2020•江西6/23)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,连接AB,将Rt△OA B向右上方平移,得到Rt△O'A'B',且点O', A'落在抛物线的对称轴上,点B'落在抛物线上,则直线A'B'的表达式为()A．y=x B．y=x+1C．y=x+12D．y=x+23.(2020•河北15/26)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下,甲：若b=5,则点P的个数为0；乙：若b=4,则点P的个数为1；丙：若b=3,则点P的个数为1．下列判断正确的是()A．乙错,丙对B．甲和乙都错C．乙对,丙错D．甲错,丙对4.(2020•广东10/25)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1,下列结论：①abc>0；②b2-4ac>0；③8a+c<0；④5a+b+2c>0,正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个25.(2020•福建10/25)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax-2ax上的点,下列命题正确的是()A．若|x1-1|>|x2-1|,则y1>y2C．若|x1-1|=|x2-1|,则y1=y2B．若|x1-1|>|x2-1|,则y1<y2D．若y1=y2,则x1=x26.(2020•山西9/23)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+vt+h表示,其中h(m)是物体抛出时离地面的高度,v(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为()A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m7.(2020•北京4/28)下列图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是()A．B．C．D．8.如图,将△A B C绕点P顺时针旋转90°得到△A ′B ′C ′,则点P的坐标是()A．(1,1)B．(1,2)C．(1,3)D．(1,4)9.在直角坐标系中,将点(－2,3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是()A．(4,－3)(0,3)10.在平面直角坐标系中,把点P(－5,3)向右平移8个单位得到点P1,再将点P1绕原点旋转90°得到点P2,则点P2的坐标是()A．( 3,－3)B．(－3,3)B．(－4,3)C．(0,－3)D．C．(3,3)或(－3,－3)D．(3,－3)或(－3,3)二、填空题11.(2020•上海10/25)如果关于x的方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根,那么m的值是．12.(2020•通辽15/26)有一个人患了新冠肺炎,经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎,每轮传染中平均一个人传染了个人．13.(2020•山西14/23)如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为cm．14.(2018·兴安盟·呼伦贝尔15/26)已知a,b是方程x2-x-3=0的两个根,则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为．15.若函数y=(k-2)x16．如图,抛物线y＝k2+k-4是关于x的二次函数,则k=______．12x＋x＋3的顶点为P,与y轴交于点A,若向右平移4个单位,向下平移44个单位,则抛物线上P A段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________．17．如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,1),AC由AB绕点A顺时针旋转90︒而得,则AC所在直线的解析式是___．18．四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形,当正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°(∠BAE=45︒)时,如图,连接DG,BE,并延长BE交DG于点H,且BH⊥DG．若AB=4,AE=2,则线段BH的长是________．三、解答题19.(2020•安徽16/23)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB,线段MN在网格线上．(1)画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1(点A1,B1分别为A,B的对应点)；(2)将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90︒得到线段B1A2,画出线段B1A2．20.如图,△A B C三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)．(1)请画出△A B C向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)请画出△A B C关于原点对称的△A2B2C2；(3)在x轴上求作一点P,使△P A B的周小最小,请画出△P A B,并直接写出P的坐标．21.(2020•陕西24/25)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(-2,-3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的对称轴为直线l．(1)求该抛物线的表达式；(2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与∆AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标．22.(2020•江西22/23)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y 的部分对应值如下表：x⋯⋯-2m-1-31n2-3⋯⋯y(1)根据以上信息,可知抛物线开口向,对称轴为；(2)求抛物线的表达式及m,n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点,OP的中点为P',描出相应的点P',再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>-2)与抛物线及(3)中的点P'所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为A1,A2,A3,A4,请根据图象直接写出线段A1A2,A3A4之间的数量关系．23.(2020•北京26/28)在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y＝A x2+B x+C(A ＞0)上任意两点,其中x1＜x2．(1)若抛物线的对称轴为x＝1,当x1,x2为何值时,y1＝y2＝C；(2)设抛物线的对称轴为x＝t,若对于x1+x2＞3,都有y1＜y2,求t的取值范围．24.(2020•北京24/28)小云在学习过程中遇到一个函数y＝下面是小云对其探究的过程,请补充完整：(1)当﹣2≤x＜0时,对于函数y1＝|x|,即y1＝﹣x,当﹣2≤x＜0时,y1随x的增大而,且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1,当﹣2≤x＜0时,y2随x的增大而,且y2＞0；结合上述分析,进一步探究发现,对于函数y,当﹣2≤x＜0时,y随x的增大而．(2)当x≥0时,对于函数y,当x≥0时,y与x的几组对应值如下表：xy121161|x|(x2﹣x+1)(x≥﹣2)．6116327162152372……9548结合上表,进一步探究发现,当x≥0时,y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中,画出当x≥0时的函数y的图象．(3)过点(0,m)(m＞0)作平行于x轴的直线l,结合(1)(2)的分析,解决问题：若直线l与函数y＝|x|(x2﹣x+1)(x≥﹣2)的图象有两个交点,则m的最大值是．1625.(2020•安徽22/23)在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1),直线y=x+m经过点A,抛物线y=ax2+bx+1恰好经过A,B,C三点中的两点．(1)判断点B是否在直线y=x+m上,并说明理由；(2)求a,b的值；(3)平移抛物线y=ax2+bx+1,使其顶点仍在直线y=x+m上,求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．26.(2020•新疆兵团23/23)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),将OA绕点O顺时针旋转90︒后得到OB,点B恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)P是线段AC上一动点,且不与点A,C重合,过点P作平行于x轴的直线,与△OAB的边分别交于M,N两点,将△AMN以直线MN为对称轴翻折,得到△A'MN,设点P的纵坐标为m．①当△A'MN在△OAB内部时,求m的取值范围；5②是否存在点P,使S△A'MN=S△OA'B,若存在,求出满足条件m的值；若不存在,请说明理由．6答案与解析一、选择题1.(2018·赤峰10/26)2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛,采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛),比赛总场数为380场,若设参赛队伍有x支,则可列方程为()1x(x﹣1)＝38021C．x(x+1)＝3802A．[答案]B．[解析]解：设参赛队伍有x支,则x(x﹣1)＝380．故答案为：B．B．x(x﹣1)＝380D．x(x+1)＝38022.(2020•江西6/23)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x-2x-3与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,连接AB,将Rt△OA B向右上方平移,得到Rt△O'A'B',且点O', A'落在抛物线的对称轴上,点B'落在抛物线上,则直线A'B'的表达式为()A．y=x[答案]B．2[解析]解：如图,抛物线y=x-2x-3与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,B．y=x+1C．y=x+12D．y=x+2令y=0,解得x=-1或3,令x=0,求得y=-3,∴B(3,0),A(0,-3),2抛物线y=x-2x-3的对称轴为直线x=--2=1,2⨯1∴A'的横坐标为1,设A'(1,n),则B'(4,n+3),点B'落在抛物线上,∴n+3=16-8-3,解得n=2,∴A'(1,2),B'(4,5),设直线A'B'的表达式为y=kx+b,⎧k+b=2∴⎨,4k+b=5⎩⎧k=1解得⎨⎩b=1∴直线A'B'的表达式为y=x+1,故选：B．3.(2020•河北15/26)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下,甲：若b=5,则点P的个数为0；乙：若b=4,则点P的个数为1；丙：若b=3,则点P的个数为1．下列判断正确的是()A．乙错,丙对[答案]C．B．甲和乙都错C．乙对,丙错D．甲错,丙对22[解析]解：y=x(4-x)=-x+4x=-(x-2)+4,∴抛物线的顶点坐标为(2,4),∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4,∴甲、乙的说法正确；若b=3,则抛物线上纵坐标为3的点有2个,∴丙的说法不正确；故选：C ．24.(2020•广东10/25)如图,抛物线y =ax +bx +c 的对称轴是x =1,下列结论：①abc >0；②b 2-4ac >0；③8a +c <0；④5a +b +2c >0,正确的有()A ．4个[答案]B ．[解析]解：由抛物线的开口向下可得：a <0,根据抛物线的对称轴在y 轴右边可得：a ,b 异号,所以b >0,根据抛物线与y 轴的交点在正半轴可得：c >0,B ．3个C ．2个D ．1个∴abc <0,故①错误；抛物线与x 轴有两个交点,∴b 2-4ac >0,故②正确；2直线x =1是抛物线y =ax +bx +c (a ≠0)的对称轴,所以-b=1,可得b =-2a ,2a由图象可知,当x =-2时,y <0,即4a -2b +c <0,∴4a -2⨯(-2a )+c <0,即8a +c <0,故③正确；由图象可知,当x =2时,y =4a +2b +c >0；当x =-1时,y =a -b +c >0,两式相加得,5a +b +2c >0,故④正确；∴结论正确的是②③④3个,故选：B ．y =ax 2-2ax 上的点,下列命题正确的5.(2020•福建10/25)已知P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是抛物线是()A ．若|x 1-1|>|x 2-1|,则y 1>y2C ．若|x 1-1|=|x 2-1|,则y 1=y2B ．若|x 1-1|>|x 2-1|,则y 1<y2D ．若y 1=y 2,则x 1=x2[答案]C．22 [解析]解：抛物线y=ax-2ax=a(x-1)-a,∴该抛物线的对称轴是直线x=1,当a>0时,若|x1-1|>|x2-1|,则y1>y2,故选项B错误；当a<0时,若|x1-1|>|x2-1|,则y1<y2,故选项A错误；若|x1-1|=|x2-1|,则y1=y2,故选项C正确；若y1=y2,则|x1-1|=|x2-1|,故选项D错误；故选：C．6.(2020•山西9/23)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地2用公式h=-5t+v0t+h表示,其中h(m)是物体抛出时离地面的高度,v(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为()A．23.5m[答案]C．[解析]解：由题意可得,B．22.5m C．21.5m D．20.5mh=-5t2+20t+1.5=-5(t-2)2+21.5,故当t=2时,h取得最大值,此时h=21.5,故选：C．7.(2020•北京4/28)下列图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是()A．B．C．[答案]D．D．[解析]解：A、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意；B、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意；C、不是轴对称图形,是中心对称图形,不合题意；D、既是中心对称图形,又是轴对称图形,符合题意．故选：D．8.如图,将△A B C绕点P顺时针旋转90°得到△A ′B ′C ′,则点P的坐标是()A．[答案]B．(1,1)B．(1,2)C．(1,3)D．(1,4)[解析]解：∵将△A B C以某点为旋转中心,顺时针旋转90°得到△A ′B ′C ′,∴点A的对应点为点A ′,点C的对应点为点C ′,作线段A A ′和C C ′的垂直平分线,它们的交点为P(1,2),∴旋转中心的坐标为(1,2)．故选：B．9.在直角坐标系中,将点(－2,3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是()A．(4,－3)(0,3)[答案]C．B．(－4,3)C．(0,－3)D．[解析]解：在直角坐标系中,将点(﹣2,3)关于原点的对称点是(2,﹣3),再向左平移2个单位长度得到的点的坐标是(0,﹣3),故选：C．10.在平面直角坐标系中,把点P (－5,3)向右平移8个单位得到点P 1,再将点P 1绕原点旋转90°得到点P 2,则点P 2的坐标是()A ．( 3,－3)B ．(－3,3)C ．(3,3)或(－3,－3)D ．(3,－3)或(－3,3)[答案]D ．[解析]解：∵把点P (﹣5,3)向右平移8个单位得到点P 1,∴点P 1的坐标为：(3,3),如图所示：将点P 1绕原点逆时针旋转90°得到点P 2,则其坐标为：(﹣3,3),将点P 1绕原点顺时针旋转90°得到点P 3,则其坐标为：(3,﹣3),故符合题意的点的坐标为：(3,﹣3)或(﹣3,3)．故选：D ．二、填空题11.(2020•上海10/25)如果关于x 的方程x 2-4x +m =0有两个相等的实数根,那么m 的值是．[答案]4．[解析]解：依题意,方程x2-4x +m =0有两个相等的实数根,∴∆=b 2-4ac =(-4)2-4m =0,解得m =4,故答案为：4．12.(2020•通辽15/26)有一个人患了新冠肺炎,经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎,每轮传染中平均一个人传染了个人．[答案]12．[解析]解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人,根据题意,得(1+x)2=1691+x=±13x 1=12,x2=-14(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．13.(2020•山西14/23)如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为cm．[答案]2．[解析]解：设底面长为acm,宽为bcm,正方形的边长为xcm,根据题意得：⎧2(x+b)=12⎪⎨a+2x=10,⎪ab=24⎩解得a=10-2x,b=6-x,代入ab=24中,得：(10-2x)(6-x)=24,整理得：x2-11x+18=0,解得x=2或x=9(舍去),答；剪去的正方形的边长为2cm．故答案为：2．14.(2018·兴安盟·呼伦贝尔15/26)已知a,b是方程x2-x-3=0的两个根,则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为．[答案]23．[解析]解：a,b是方程x2-x-3=0的两个根,∴a2-a-3=0,b2-b-3=0,即a2=a+3,b2=b+3,∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)-11a-b+5=2a2-2a+17=2(a+3)-2a+17=2a+6-2a+17=23．故答案为：23．15.若函数y=(k-2)x[答案]-3．[解析]解：∵y=(k-2)x k2k2+k-4是关于x的二次函数,则k=______．+k-4是关于x的二次函数,∴k-2≠0,k2+k-4=2,∴k≠2,k2+k-6=0,解得：k=−3.故答案为−3.16．如图,抛物线y＝12x＋x＋3的顶点为P,与y轴交于点A,若向右平移4个单位,向下平移44个单位,则抛物线上P A段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________．[答案]12．[解析]解：如图,连接A P,A P′,过点A作A D⊥PP′于D点,由题意可得,四边形A PP′A ′为平行四边形,将x=0代入函数得y=3,∴点A的坐标为(0,3),又∵抛物线y＝1211x＋x＋3=(x2+4x+4)+2=(x+2)2+2, 444∴顶点P的坐标为(﹣2,2),∵将抛物线向右平移4个单位,向下平移4个单位,∴点A′(4,﹣1),点P′(2,﹣2),2∴PP′=42+(-4)=42,A O=3,∠A OP＝45°,∴△A OD为等腰直角三角形,∴A D=OD,在Rt△A OD中,A D2+OD2=9,即2A D2=9,∴A D=32,232=12.2则抛物线上P A段扫过的区域(阴影部分)的面积为42×故答案为12.17．如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,1),AC由AB绕点A顺时针旋转90︒而得,则AC所在直线的解析式是___．[答案]y=2x-4．[解析]解：∵A(2,0),B(0,1)∴OA=2,OB=1过点C作CD⊥x轴于点D,∴∠B OA=∠A D C=90°.∵∠B A C=90°,∴∠B A O+∠C A D=90°.∵∠A B O+∠B A O=90°,∴∠C A D=∠A B O.∵A B=A C,∴△A C D≌△B A O(A A S).∴AD=OB=1,CD=OA=2∴C(3,2)设直线A C的解析式为y=kx+b,将点A,点C坐标代入得⎧0=2k+b⎨2=3k+b⎩⎧k=2∴⎨b=-4⎩∴直线A C的解析式为y=2x-4．故答案为y=2x-4．18．四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形,当正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°(∠BAE=45︒)时,如图,连接DG,BE,并延长BE交DG于点H,且BH⊥DG．若AB=4,AE=2,则线段BH的长是________．[答案]810．5[解析]解：如图,连接GE交A D于点N,连接D E,∵正方形A EFG绕点A逆时针旋转45°(∠BAE=45︒),∴A F与EG互相垂直平分,且A F在A D上,∵四边形A EFG是正方形,AE=2,∴AG=AE,AN=GN=1,EG=2,∠DAG=45︒,∵四边形A B C D是正方形,A B=4,∴A D=A B=4,∴DN=AD-AN=4-1=3,在Rt△D NG中,DG=DN2+GN2=10,⎧AB=AD⎪A B E A D G,在△和△中⎨∠BAE=∠DAG=45︒,⎪AE=AG⎩∴△A B E≌△A D G (SA S),∴BE=DG=10,∵S△DEG =1111EG⋅DN=DG⋅HE,即⨯2⨯3=⨯10HE, 2222∴HE=610=310,5∴BH=HE+BE=310810,+10=55故答案为：810．5三、解答题19.(2020•安徽16/23)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB,线段MN在网格线上．(1)画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1(点A1,B1分别为A,B的对应点)；(2)将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90︒得到线段B1A2,画出线段B1A2．[答案]见解析．[解析]解：(1)如图线段A1B1即为所求．(2)如图,线段B1A2即为所求．20.如图,△A B C三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)．(1)请画出△A B C向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)请画出△A B C关于原点对称的△A2B2C2；(3)在x轴上求作一点P,使△P A B的周小最小,请画出△P A B,并直接写出P的坐标．[答案]见解析．[解析]解：(1)△A 1B 1C 1如图所示；(2)△A 2B 2C 2如图所示；(3)△P A B 如图所示,P (2,0)．221.(2020•陕西24/25)如图,抛物线y =x +bx +c 经过点(3,12)和(-2,-3),与两坐标轴的交点分别为A ,B ,C ,它的对称轴为直线l ．(1)求该抛物线的表达式；(2)P 是该抛物线上的点,过点P 作l 的垂线,垂足为D ,E 是l 上的点．要使以P 、D 、E 为顶点的三角形与∆AOC 全等,求满足条件的点P ,点E 的坐标．[答案]见解析．⎧12=9+3b+c⎧b=2[解析]解：(1)将点(3,12)和(-2,-3)代入抛物线表达式得⎨,解得⎨,-3=4-2b+c c=-3⎩⎩2故抛物线的表达式为：y=x+2x-3；(2)抛物线的对称轴为x=-1,令y=0,则x=-3或1,令x=0,则y=-3,故点A、B的坐标分别为(-3,0)、(1,0)；点C(0,-3),故OA=OC=3,∠PDE=∠AOC=90︒,∴当PD=DE=3时,以P、D、E为顶点的三角形与△A OC全等,设点P(m,n),当点P在抛物线对称轴右侧时,m-(-1)=3,解得：m=2,故n=22+2⨯2-3=5,故点P(2,5),故点E(-1,2)或(-1,8)；当点P在抛物线对称轴的左侧时,由抛物线的对称性可得,点P(-4,5),此时点E坐标同上,综上,点P的坐标为(2,5)或(-4,5)；点E的坐标为(-1,2)或(-1,8)．222.(2020•江西22/23)已知抛物线y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y 的部分对应值如下表：x⋯⋯-2m-1-31n2-3⋯⋯y(1)根据以上信息,可知抛物线开口向,对称轴为；(2)求抛物线的表达式及m,n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点,OP的中点为P',描出相应的点P',再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>-2)与抛物线及(3)中的点P'所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为A 1,A 2,A 3,A 4,请根据图象直接写出线段A 1A 2,A 3A 4之间的数量关系．[答案]见解析．[解析]解：(1)根据表格信息,可知抛物线开口向上,对称轴为直线x =1；故答案为：上,直线x =1；2(2)把(-1,0),(0,-3),(2,-3)代入y =ax +bx +c ,得：⎧a -b +c =0⎪,⎨c =-3⎪4a +2b +c =-3⎩⎧a =1⎪解得：⎨b =-2,⎪c =-3⎩∴抛物线解析式为y =x 2-2x -3,当x =-2时,m =4+4-3=5；当x =1时,n =1-2-3=-4；(3)画出抛物线图象,如图1所示,描出P '的轨迹,是一条抛物线,如备用图所示,(4)根据题意及(3)中图象可得：A 3A 4-A 1A 2=1．故答案为：A3A4-A1A2=1．23.(2020•北京26/28)在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y＝A x2+B x+C(A ＞0)上任意两点,其中x1＜x2．(1)若抛物线的对称轴为x＝1,当x1,x2为何值时,y1＝y2＝C；(2)设抛物线的对称轴为x＝t,若对于x1+x2＞3,都有y1＜y2,求t的取值范围．[答案]见解析．[解析]解：(1)由题意y1＝y2＝C,∴x1＝0,∵对称轴x＝1,∴M,N关于x＝1对称,∴x2＝2,∴x1＝0,x2＝2时,y1＝y2＝C．(2)∵抛物线的对称轴为x＝t,若对于x1+x2＞3,都有y1＜y2,当x1+x2＝3,且y1＝y2时,对称轴x＝∴满足条件的值为：t≤3．21|x|(x2﹣x+1)(x≥﹣2)．63,224.(2020•北京24/28)小云在学习过程中遇到一个函数y＝下面是小云对其探究的过程,请补充完整：(1)当﹣2≤x＜0时,对于函数y1＝|x|,即y1＝﹣x,当﹣2≤x＜0时,y1随x的增大而,且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1,当﹣2≤x＜0时,y2随x的增大而,且y2＞0；结合上述分析,进一步探究发现,对于函数y,当﹣2≤x＜0时,y随x的增大而．(2)当x≥0时,对于函数y,当x≥0时,y与x的几组对应值如下表：x y 012116116327162152372……9548结合上表,进一步探究发现,当x≥0时,y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中,画出当x≥0时的函数y的图象．(3)过点(0,m)(m＞0)作平行于x轴的直线l,结合(1)(2)的分析,解决问题：若直线l与函数y＝|x|(x2﹣x+1)(x≥﹣2)的图象有两个交点,则m的最大值是．1 6[答案]见解析．[解析]解：(1)当﹣2≤x＜0时,对于函数y1＝|x|,即y1＝﹣x,当﹣2≤x＜0时,y1随x的增大而减小,且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1,当﹣2≤x＜0时,y2随x的增大而减小,且y2＞0；结合上述分析,进一步探究发现,对于函数y,当﹣2≤x＜0时,y随x的增大而减小．故答案为：减小,减小,减小．(2)函数图象如图所示：(3)∵直线l与函数y＝1|x|(x2﹣x+1)(x≥﹣2)的图象有两个交点,617×2×(4+2+1)＝,63观察图象可知,x＝﹣2时,m的值最大,最大值m＝故答案为7．325.(2020•安徽22/23)在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1),直线y=x+m经过2点A,抛物线y=ax+bx+1恰好经过A,B,C三点中的两点．(1)判断点B是否在直线y=x+m上,并说明理由；(2)求a,b的值；2(3)平移抛物线y=ax+bx+1,使其顶点仍在直线y=x+m上,求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．[答案]见解析．[解析]解：(1)点B是在直线y=x+m上,理由如下：直线y=x+m经过点A(1,2),∴2=1+m,解得m=1,∴直线为y=x+1,把x =2代入y =x +1得y =3,∴点B (2,3)在直线y =x +m 上；2(2)直线y =x +1与抛物线y =ax +bx +1都经过点(0,1),且B 、C 两点的横坐标相同,∴抛物线只能经过A 、C 两点,⎧a +b +1=22y =ax +bx +1把A (1,2),C (2,1)代入得⎨,⎩4a +2b +1=1解得a =-1,b =2；2(3)由(2)知,抛物线为y =-x +2x +1,pp 2+q ),设平移后的抛物线为y =-x +px +q ,其顶点坐标为(,242顶点仍在直线y =x +1上,p 2p ∴+q =+1,42p 2p ∴q =--1,422抛物线y =-x +px +q 与y 轴的交点的纵坐标为q ,p 2p 15∴q =--1=-(p -1)2+,4244∴当p =1时,平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值为5．4226.(2020•新疆兵团23/23)如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线y =ax +bx +c 的顶点是A (1,3),将OA 绕点O 顺时针旋转90︒后得到OB ,点B 恰好在抛物线上,OB 与抛物线的对称轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)P 是线段AC 上一动点,且不与点A ,C 重合,过点P 作平行于x 轴的直线,与△OAB 的边分别交于M ,N 两点,将△AMN 以直线MN 为对称轴翻折,得到△A 'MN ,设点P 的纵坐标为m ．①当△A 'MN 在△OAB 内部时,求m 的取值范围；5②是否存在点P ,使S△A 'MN=S △OA 'B ,若存在,求出满足条件m 的值；若不存在,请说明理由．6[答案]见解析．2[解析]解：(1)抛物线y =ax +bx +c 的顶点是A (1,3),∴抛物线的解析式为y =a (x -1)2+3,∴OA 绕点O 顺时针旋转90°后得到OB ,∴B (3,-1),2把B (3,-1)代入y =a (x -1)+3可得a =-1,∴抛物线的解析式为y =-(x -1)2+3,即y =-x 2+2x +2,(2)①如图1中,B (3,-1),∴直线OB 的解析式为y =-x ,13A (1,3),1∴C (1,-),3P (1,m ),AP =PA ',∴A '(1,2m -3),1由题意3>2m -3>-,3∴3>m >4．3②当点P 在x 轴上方时,直线OA 的解析式为y =3x ,直线A B 的解析式为y =-2x +5,P (1,m ),∴M (5-m m,m ),N (,m ),235-m m 15-5m -=,236∴MN =5∵S△A 'MN=S △OA 'B,6∴115-5m 511(m -2m +3)=⨯⨯|2m -3+|⨯3,266232整理得m -6m +9=|6m -8|解得m =6+19(舍去)或6-19,当点P 在x 轴下方时,同法可得整理得：3m 2-12m -1=0,解得m =6-396+39或(舍去),336-39．315-m 511(3-m )(+3m )=⨯⨯[--(2m -3)]⨯3,22623∴满足条件的m 的值为6-19或。

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（海南专用）（考试时间：100分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教版九上第21~23章（一元二次方程+二次函数+旋转）。

5．难度系数：0.65。

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列是人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A．既是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项不符合题意；B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意；C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D．不是轴对称图形是中心对称图形，故该选项符合题意；故选：D2．一元二次方程2x x-=的一次项系数是（）254A．2B．4-C．5D．4【答案】B【解析】方程整理为2--=，2450x x所以，一次项系数为4-，故选：B3．点()2,3-关于原点对称的点的坐标为（ ）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．()2,3D ．()3,2-【答案】A【解析】点()2,3-关于原点对称的点的坐标为()2,3-．故选：A ．4．二次函数22y x x =+的对称轴是（ ）A ．直线1x =B ．直线=1x -C ．直线2x =-D ．直线2x =【答案】B【解析】222(1)1y x x x =+=+-Q ，\抛物线的对称轴为直线=1x -，故选：B ．5．如图，将ABC V 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度再绕原点O 旋转180°，得到A B C ¢¢¢V ，则点 A 的对应点A ¢的坐标是（ ）A ．(0,4)B ．()0,4-C ．()1,1D ．()1,1--【答案】B 【解析】由题意得，点A 的坐标为()23-，，∴将ABC V 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度后点A 对应点坐标为(0,4)，∴再绕原点O 旋转180°，点 A 的对应点A ¢的坐标是()0,4-，故选B ．6．方程2220x x --=的根的情况是（ ）A ．方程有两个不相等的实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程没有实数根D ．无法确定【答案】A 【解析】∵()()224248120D =--´-=+=>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．7．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线2244y x x =+-的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示：老师甲乙丙丁2244y x x =+-→222y x x -=-→2213y x x =-+-→2(1)3y x =--→顶点坐标(1,3)--接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）A ．甲和丁B ．乙和丙C ．乙和丁D ．只有丁【答案】A【解析】2244y x x =+-()2222x x =+-∴甲出现错误，222y x x =--2213x x =-+-，故乙正确，()213x =--，故丙正确，∴顶点坐标为()1,3-，故丁错误；综上所述，错误的是甲、丁，故选：A ．8．若关于x 的一元二次方程()10x ax a ++=有两个相等的实数根，则a 的值为( )A ．13B ．12± C ．13-D ．14±【答案】B【解析】原方程可化为：20ax x a ++=，由题意得21400a a ì-=í¹î，解得：12a =±，故选：B ．9．二次函数的图象如图所示，则其解析式是（ ）A ． 223y x x =-++B ． 2=23y x x --C ． 223y x x =--+D ． 223y x x -=--【答案】A 【解析】由图象可得抛物线过()03，、()30，、()10-，三点，∴设抛物线解析式为()()13y a x x =+-，把()03，代入得()133a ×´-=，解得1a =-，所以抛物线解析式为()()2323y x x x x =-+-=-++，故选：A ．10．如果5x =是关于x 的一元二次方程()()4x m x m n --+=的一个根，那么关于x 的一元二次方程()()13x m x m n +-+-=的解为（ ）A ．124,2=-=x x B ．12=2,=4x x -C ．121,3x x =-=D ．123,1x x =-=【答案】A【解析】∵5x =是关于x 的方程()(4)x m x m n --+=的根，∴(5)(54)m m n --+=，得(5)(1)(5)(1)m m m m n -+=-+--=，(1)(3)x m x m n +-+-=Q ，35x \+=或15x -=-或31x +=-或11x -=，解得2x =或4x =-．故选：A ．11．把一副三角板如图①放置，其中90ACB DEC Ð=Ð=°，45A Ð=°，30D Ð=°，斜边4AB =，5CD =，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到11D CE V （如图②），此时AB 与1CD 交于点O ，则线段1AD 的长度为（ ）A B C ．D ．4【答案】A 【解析】由图①可得：30ACD ACB DCE Ð=Ð-Ð=°因为旋转角度为15°301545ACO \Ð=°+°=°45A Ð=°Q 18090AOC A ACO \Ð=°-Ð-Ð=°4,AB ACB =Q V 为等腰直角三角形AC \==2AO CO \==15CD CD ==Q 1523OD \=-=在1Rt AOD △中：1A D ==故选：A12．如图，抛物线()20y ax bx c a =++¹的对称轴为直线1x =，且与x 轴交于点()3,0A 和点B ，下列说法错误的是（ ）A ．a<0，0b >，0c >B ．函数的最大值为4y =C ．当1x <时，y 随x 的增大而减小D ．点B 的坐标为()1,0-【答案】C【解析】A ．抛物线的开口向下，则0a <，对称轴在y 轴右侧，0ab <，则0b >，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，则0c >，故A 正确，不符合题意；B ．由图象可知函数的最大值为4y =，故B 正确，不符合题意；C ．当1x <时，y 随x 的增大而增大，故C 错误，符合题意；D ．由对称轴为直线1x =，且与x 轴交于点(3,0)A 和点B 知，点B 的坐标为(1,0)-，故D 正确，不符合题意．故选：C ．二、填空题（本大题共43分，满分12分）13．一元二次方程 210x -=的根是 ．【答案】11x =，21x =-【解析】210x -=21x =11x =，21x =-，故答案为：11x =，21x =-．14．将抛物线21y x =+先向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 ．【答案】()267y x =--【解析】将抛物线21y x =+先向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度后，所得的抛物线的解析式为()2681y x =-+-，即()267y x =--，故答案为：()267y x =--．15．将一元二次方程2650x x ++=化成()2x a b -=的形式，则ab = ．【答案】12-【解析】∵2650x x ++=，∴2694x x ++=，即()234x +=，∴3a =-，4b =，∴3412ab =-´=-．故答案为：12-．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线26y ax =+与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线213y x =于B ，C 两点，则BC 的长为 ．【答案】【解析】∵抛物线26y ax =+与y 轴交于点A ，A \点坐标为()0,6．当6y =时，2163x =，解得x =±B \点坐标为()-，C 点坐标为()．(BC \=-=．故答案为：三、解答题（本大题共6小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）按要求解下列方程(1)用配方法解方程：22740x x +-=；(2)用公式法解方程：2314x x -=．【解析】（1）解：22740x x +-=移项，得2274x x +=，二次项系数化为1，得2722x x +=，配方，得274981241616x æö+=+=ç÷èø，开方，得7944x +=±，解得：112x =，24x =-；······（6分）（2）解：2314x x-=化成一般式，得23410x x --=，∵3a =，4b =-，1c =-，∴()()2244431280b ac -=--´´-=>，解得：1x ==2x =．······（12分）18．（12分）已知二次函数24y x =-+．(1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．(2)由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当0x >时，y 随x 的增大而______．(3)利用图象写出当21x -<£时，y 的取值范围是______．【解析】（1）解：如下表所示：x...2-1-012...y (03)430…函数图象如图所示：······（7分）（2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y 轴；顶点坐标为()0,4；当0x >时，y 随x 的增大而减小；故答案为：向下；y 轴；()0,4；减小；······（11分）（3）有函数图象可得：当21x -<£时，y 的取值范围是04y <£，故答案为：04y <£．······（12分）19．（10分）如图，D 为等边ABC V 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60°，得到线段AE ，连接BD CE ，．(1)求证：ABD ACE ≌△△；(2)连接DE ，若115ADB Ð=°，直接写出CED Ð的度数．【解析】（1）证明：∵ABC V 是等边三角形，∴AB AC =，60BAC Ð=°，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，∴AD AE =，60DAE Ð=°，∴60BAD DAC Ð+Ð=°，60EAC DAC Ð+Ð=°，∴BAD CAE Ð=Ð，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABD ACE V V ≌；······（6分）（2）解：∵ABD ACE ≌△△，∴115AEC ADB Ð=Ð=°，∵AD AE =，60DAE Ð=°，∴ADE V 为等边三角形，∴60AED Ð=°，∴1156055CED AEC AED Ð=Ð-Ð=°-°=°．······（10分）20．（12分）已知关于x 的一元二次方程22x x m +=．(1)当5m =时，求这个方程的解；(2)当m 为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m 为何值时，此方程没有实数根？【解析】（1）解：当5m =时，方程为225x x +=，22115x x ++-=()216x +=，解得，11x =，21x =；······（4分）（2）22x x m +=，即220x x m +-=，∵2444b ac m -=+，∴440m +=时，方程有两个相等的实数根，解得：1m =-，即1m =-时，方程有两个相等的实数根．∴440m +<时，方程没有实数根解得：1m <-，即1m <-时，方程没有实数根．······（10分）21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC V 的顶点坐标分别为(1,2)A ，(4,1)B ，(5,4)C ．(1)将ABC V 进行平移得到111A B C △，其中点A 的对应点为()15,1A -，点B ，C 的对应点分别为11,B C ，请在图中画出111A B C △并直接写出点1B 和1C 的坐标；(2)将ABC V 绕原点顺时针旋转90°得到222A B C △，其中点A ，B ，C 的对应点分别为222A B C △，请在图中画出222A B C △，并直接写出点2A 和2B 的坐标；(3)连接2121,A C B B ，求证：四边形2112A C B B 是平行四边形．【解析】（1）解：如图，111A B C △为所求，且1(2,0)B -，1(1,3)C -；·····（4分）（2）解：如图，则△222A B C 为所求，且22(21)(1,4)A B --，·····（8分）（3）解：如图，1122B C A B ==Q ，且12125C A B B ==，\四边形2112A C B B 为平行四边形．·····（12分）22．（14分）二次函数2y x mx n =-++的图象经过点()1,4A -，()1,0B ，12y x b =-+经过点B ，且与二次函数2y x mx n =-++交于点D ．过点D 作DC x ^轴，垂足为点C ．(1)求二次函数的表达式；(2)点N 是二次函数图象上一点（点N 在BD 上方），过N 作NP x ^轴，垂足为点P ，交BD 于点M ，求MN 的最大值．【解析】（1）解：∵二次函数2y x mx n =-++的图象经过点()1,4A -，()1,0B ，∴4101m n m n =--+ìí=-++î，解得2m =-， n ＝3，∴二次函数的表达式为223y x x =--+．·····（6分）（2）解：12y x b =-+经过点B ，∴1102b -´+=，·····（7分）∴解得12b =·····（8分）∴1122y x =-+·····（9分）设11,22M m m æö-+ç÷èø，则()2,23N m m m --+，·····（10分）∴2221135349232222416m MN m m m m m æöæö=--+--+=--+=-++ç÷ç÷èøèø，·····（12分）∴MN 的最大值为4916．·····（14分）。

某某省聊城市莘县2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列说法正确的是( )A．所有的矩形都是相似形B．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似C．对应角相等的两个多边形相似D．对应边成比例的两个多边形相似2．雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2米远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40米，该生的眼部高度是1.5米，那么旗杆的高度是( )A．30米B．40米C．25米D．35米3．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为( )A．6.5米B．9米C．13米D．15米4．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为( )A．B．C．D．5．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是( )A．4 B．8 C．D．6．以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆．若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为( )A．（cosα，1）B．（1，sinα）C．（sinα，cosα）D．（cosα，sinα）7．一条弦分圆为1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为( )A．30° B．150°C．30°或150°D．不能确定8．相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面( )A．2.4米B．2.8米C．3米D．高度不能确定9．点P在⊙O内，OP=2cm，若⊙O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为( ) A．1cm B．2cm C．cm D．cm10．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以是( )A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．4：2：3：1 D．4：2：1：311．在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是( ) A．45° B．60° C．75° D．105°12．两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为( )A．B．C．sinαD．1二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）13．如图，在△ABC中，DE∥BC，BC=6cm，S△ADE：S△ABC=1：4，则DE的长为__________．14．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为__________．15．如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为__________．16．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需__________米．17．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，则三角形内切圆的半径为__________．三、解答题（共8小题，满分69分）18．计算（1）cos60°﹣sin245°+tan230°+cos230°﹣sin30°（2）cos245°﹣．19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD．20．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．求证：CD=CE．21．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A 处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D 的仰角为30°．求该古塔BD的高度（结果保留根号）．22．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC 于点E．求证：DE是⊙O的切线．23．如图，△ABC是一X锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这X硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H 分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．（1）求证：；（2）求这个矩形EFGH的周长．24．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧AB等于弧AF，BF和AD相交于E．求证：AE=BE．25．某居民小区有一朝向为正南的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高为6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角是30°时．（1）超市以上的居民住房采光是否有影响，影响多高？（2）若要使采光不受影响，两楼相距至少多少米？（结果保留根号）2015-2016学年某某省聊城市莘县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列说法正确的是( )A．所有的矩形都是相似形B．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似C．对应角相等的两个多边形相似D．对应边成比例的两个多边形相似【考点】相似图形．【分析】利用相似图形的判定方法分别判断得出即可．【解答】解：A、所有的矩形都是相似形，对应边的比值不一定相等，故此选项错误；B、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项正确；C、对应角相等的两个多边形相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错误；D、对应边成比例的两个多边形相似，对应角不一定相等，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了相似图形的判定，熟练应用判定方法是解题关键．2．雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2米远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40米，该生的眼部高度是1.5米，那么旗杆的高度是( )A．30米B．40米C．25米D．35米【考点】相似三角形的应用．【分析】因为学生和旗杆平行，且光的入射角等于反射角，因此△ABO∽△CDO，利用对应边成比例即可解答．【解答】解：∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠D=∠B=90°，又∵∠COD=∠AOB，∴△ABO∽△CDO，∴=，∴=，∴AB=30m，∴旗杆的高度为30米．故选：A．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度是解题关键．3．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为( )A．6.5米B．9米C．13米D．15米【考点】垂径定理的应用．【专题】压轴题．【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O连接OA．根据垂径定理，得AD=6设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=36+（r﹣4）2故选：A．【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．4．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为( )A．B．C．D．【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题；网格型．【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，∴cos∠B==．故选B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，关键是找出与角B有关的直角三角形．5．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是( )A．4 B．8 C．D．【考点】切线长定理；等边三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．【解答】解：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠P=60°，∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8，故选B．【点评】此题主要考查的是切线长定理以及等边三角形的判定．6．以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆．若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为( )A．（cosα，1）B．（1，sinα）C．（sinα，cosα）D．（cosα，sinα）【考点】坐标与图形性质；圆的认识；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】作PA⊥x轴于点A．那么OA是α的邻边，是点P的横坐标，为cosα；PA是α的对边，是点P的纵坐标，为sinα．【解答】解：作PA⊥x轴于点A，则∠POA=α，sinα=，∴PA=OP•sinα，∵cosα=，∴OA=OP•cosα．∵OP=1，∴PA=sinα，OA=cosα．∴P点的坐标为（cosα，sinα）故选D．【点评】解决本题的关键是得到点P的横纵坐标与相应的函数和半径之间的关系．7．一条弦分圆为1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为( )A．30° B．150°C．30°或150°D．不能确定【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】一条弦把圆分成1：5两部分，可得两条弧的度数，弧的度数与它所对圆心角的度数相等，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．【解答】解：∵一条弦分圆为1：5两部分，∴两条弧分别是60°和300°，由弧的度数等于它所对圆心角的度数，而一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半，可知60°的弧所对的圆周角是30°，300°的弧所对的圆周角是150°．∴这条弦所对的圆周角的度数是30°或150°．故选C．【点评】考查弧的度数与圆心角的度数，同弧所对圆周角与圆心角的关系．8．相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面( )A．2.4米B．2.8米C．3米D．高度不能确定【考点】相似三角形的应用．【专题】数形结合．【分析】易得△APB∽△CDP，可得对应高CE与BE之比，易得CD∥PE可得△BPE∽△BDC，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．【解答】解：∵CD∥AB，∴△APB∽△CDP，∴，∴=，∵CD∥PE，∴△BPE∽△BDC，∴=，=，解得PE=2.4．故选A．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到CE与BE的比．9．点P在⊙O内，OP=2cm，若⊙O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为( ) A．1cm B．2cm C．cm D．cm【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】计算题．【分析】过P作AB⊥OP交圆与A、B两点，连接OA，故AB为最短弦长，再解Rt△OPA，即可求得AB的长度，即过点P的最短弦的长度．【解答】解：过P作AB⊥OP交圆与A、B两点，连接OA，如下图所示：故AB为最短弦长，由垂径定理可得：AP=PB已知OA=3，OP=2在Rt△OPA中，由勾股定理可得：AP2=OA2﹣OP2∴AP==cm∴AB=2AP=2cm故此题选D．【点评】本题考查了最短弦长的判定以及垂径定理的运用．10．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以是( )A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．4：2：3：1 D．4：2：1：3【考点】圆内接四边形的性质；多边形内角与外角．【分析】根据圆内接四边形的对角互补的性质即可求解．【解答】解：根据圆内接四边形的对角互补的性质知，∠A与∠C，∠B与∠D互补，故选D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质．11．在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是( ) A．45° B．60° C．75° D．105°【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】根据非负数的性质得出cosA=，tanB=1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠C 的度数．【解答】解：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．12．两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为( )A．B．C．sinαD．1【考点】菱形的判定与性质；解直角三角形．【分析】首先过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，证明△ABE≌△ADF，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．【解答】解：如右图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵AD∥CB，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵纸条宽度都为1，∴AE=AF=1，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．∴BC=AB，∵=sinα，∴BC=AB=，∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=1×=，故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD 是菱形，利用三角函数求出BC的长．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）13．如图，在△ABC中，DE∥BC，BC=6cm，S△ADE：S△ABC=1：4，则DE的长为3cm．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据DE∥BC，求证△ADE∽△ABC，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，∵BC=6cm，∴DE=3cm，故答案为：3cm．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用平行线判断相似三角形，利用相似三角形的性质解题．14．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为5m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡度为0.75求得竖直高度，再根据勾股定理求出相邻两树间的坡面距离即可．【解答】解：竖直高度=4×0.75=3，∴由勾股定理得：=5m．故答案为：5m．【点评】本题是基础题，考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，以及勾股定理的运用．15．如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】过点O作OD⊥AB，先根据等腰三角形的性质得出∠OAD的度数，由直角三角形的性质得出OD的长，再根据S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB进行计算即可．【解答】解：过点O作OD⊥AB，∵∠AOB=120°，OA=2，∴∠OAD==30°，∴OD=OA=×2=1，AD===．∴AB=2AD=2，∴S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB=﹣×2×1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB 是解答此题的关键．16．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需2+2米．【考点】勾股定理的应用．【专题】压轴题．【分析】地毯水平的部分的和是水平边的和，竖直的部分的和是竖直边，因此根据勾股定理求出直角三角形两直角边即可．【解答】解：已知直角三角形的高是2米，根据三角函数得到：水平的直角边是2cos30°=2，则地毯水平的部分的和是水平边的和，竖直的部分的和是竖直边，则地毯的长是（2+2）米．【点评】正确计算地毯的长度是解决本题的关键．17．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，则三角形内切圆的半径为2．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】先根据勾股定理计算出BC，然后利用直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为进行计算．【解答】解：∵∠C=90°，AC=6，AB=10，∴BC===8，∴△ABC的内切圆半径r==2．故答案是：2．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为．三、解答题（共8小题，满分69分）18．计算（1）cos60°﹣sin245°+tan230°+cos230°﹣sin30°（2）cos245°﹣．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；（2）将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：（1）原式=﹣++﹣=；（2）原式=﹣2+++=﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD．【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【专题】证明题．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质，可得=，根据比例的性质，可得答案；（2）根据直角三角形的性质，可得CE与AE的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠EAC=∠ECA，根据角平分线的定义，可得∠CAD=∠CAB，根据平行线的判定，可得答案．【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB．∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴=，AC2=AB•AD；（2）∵E是AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA．∵AC平分∠DAB，∴∠CAD=∠CAB，∴CAD=∠ECA，∴CE∥AD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，（1）利用了相似三角形的判定与性质，比例的性质；（2）利用了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定．20．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．求证：CD=CE．【考点】切线的性质．【专题】证明题．【分析】连接OD，根据切线性质求出∠ODC=90°，求出∠A+∠AEO=∠ODA+∠EDC=90°，求出∠CED=∠EDC，根据等腰三角形的判定推出即可．【解答】证明：连接OD，∵OA⊥OB，CD切⊙O于D，∴∠AOE=∠ODC=90°，∴∠A+∠AEO=90°，∠ODA+∠CDE=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠AEO=∠EDC，∵∠AEO=∠CED，∴∠CED=∠EDC，∴CD=CE．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并推出∠EDC=∠CED，题目比较好，难度适中．21．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A 处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D 的仰角为30°．求该古塔BD的高度（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】在Rt△ABD和Rt△BCD中，分别解直角三角形，用BD表示AB和BC，然后根据BC ﹣AB=20m，可求得塔BD的高度．【解答】解：根据题意可知：∠BAD=45°，∠BCD=30°，AC=20m．在Rt△ABD中，∵∠BAD=∠BDA=45°，∴AB=BD．在Rt△BDC中，∵tan∠BCD=，∴=，则BC=BD，又∵BC﹣AB=AC，∴BD﹣BD=20，解得：BD==10+10（m）．答：古塔BD的高度为（）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角建立直角三角形，利用解直角三角形的知识分别用BD表示出AB、BC的长度．22．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC 于点E．求证：DE是⊙O的切线．【考点】切线的判定．【专题】证明题；压轴题．【分析】连接OD，只要证明OD⊥DE即可．【解答】证明：连接OD；∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠DEC；∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．23．如图，△ABC是一X锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这X硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H 分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．（1）求证：；（2）求这个矩形EFGH的周长．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据矩形性质得出∠AHG=∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，即可证出；（2）根据（1）中比例式即可求出HE的长度，以及矩形的周长．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，∴∠AHG=∠ABC，又∵∠HAG=∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴；（2）解：由（1）得：设HE=xcm，MD=HE=xcm，∵AD=30cm，∴AM=（30﹣x）cm，∵HG=2HE，∴HG=（2x）cm，可得，解得，x=12，故HG=2x=24所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）．答：矩形EFGH的周长为72cm．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出△AHG∽△ABC是解决问题的关键．24．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧AB等于弧AF，BF和AD相交于E．求证：AE=BE．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】证明题．【分析】首先连接AC，由BC为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=90°，又由AD⊥BC，根据等角的余角相等，可得∠BAD=∠C，又由弧AB等于弧AF，证得∠BAD=∠ABF，继而证得结论．【解答】证明：连接AC，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°，∵AD⊥BC，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠C，∵弧AB=弧AF，∴∠C=∠ABF，∴∠ABF=∠BAD，∴AE=BE．【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的判定．注意准确作出辅助线是解此题的关键．25．某居民小区有一朝向为正南的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高为6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角是30°时．（1）超市以上的居民住房采光是否有影响，影响多高？（2）若要使采光不受影响，两楼相距至少多少米？（结果保留根号）【考点】相似三角形的应用；平行投影．【专题】压轴题；探究型．【分析】（1）利用三角函数算出阳光可能照到居民楼的什么高度，和6米进行比较．（2）超市不受影响，说明30°的阳光应照射到楼的底部，根据新楼的高度和30°的正切值即可计算．【解答】解：（1）如图1所示：过F点作FE⊥AB于点E，∵EF=15米，∠AFE=30°，∴AE=5米，∴EB=FC=米．∵20﹣5＞6，∴超市以上的居民住房采光要受影响；（2）如图2所示：若要使超市采光不受影响，则太阳光从A直射到C处．∵AB=20米，∠ACB=30°∴BC===20米答：若要使超市采光不受影响，两楼最少应相距20米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．。