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论文,基于直觉模糊三角模的直觉模糊粗糙集

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Ｆｉｎａｌｌｙ。ｓｏｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ
ｏｆ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ
ａｒｅ
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ
ｔ ｒｉａｎ９１ｅ
ｎｏｒｍ；Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ；ＲｅｓｉｄｕａＩ ｉｍｐ“ｃａｔｉｏｎ
ｌ引
言
地反映现实世界，从而成为粗糙集理论研究的热点． Ａｔａｎａｓｓｏｖ直觉模糊集合¨矗］（ＩＦＳ）是对Ｚａｄｅｈ 模糊集理论最有影响的一种扩充和发展．１ＦＳ增加
收稿日期：２００７一０６一０６；修回日期：２００７一０７—３０． 基金项目：陕西省自然科学基金项目（２００６Ｆ１８）．
了一个新的属性参数——非隶属函数，进而还可以
描述“非此非彼”的“模糊概念”，更加细腻地刻画了 客观世界的模糊性本质∞］．文献［７］在直觉模糊等价 关系的基础上，将模糊粗糙集模型进一步扩展为直 觉模糊粗糙集模型，具有重要的理论研究和应用价 值，但是没有研究直觉模糊集上Ｔ模的剩余蕴算 子，不便于进行直觉模糊粗糙理论研究． 本文研究了直觉模糊Ｔ模的剩余蕴涵的性质， 并推导了通用计算表达式．在此基础上，推导了直觉 模糊粗糙集模型，证明了模糊Ｔ粗糙集、粗糙模糊 集和ＰａｗＩａｋ粗糙集都是直觉模糊粗糙集的特殊情
作者简介：徐小来（１９８０一）。男．湖南宁乡人．博士生。从事智能信息处理与信息融合的研究；雷英杰（１９５６一）．男。 陕西渭南人。教授，博士生导师，从事智能信息处理与智能决策等研究．
第８期
徐小来等：基于直觉模糊三角模的直觉模糊粗糙集
９０１
形，并证明了直觉模糊粗糙集的性质．
模；若三角模Ｔ满足丁（口，ｏ）＝口时．称为Ｓ模．并且 Ｔ模与Ｓ模统称为三角模． 定义５［８３ 设Ｔ是ｆ＝［ｏ，１］上的下半连续丁
（４） （５）
设Ａ和Ｂ是给定论域Ｘ上的直觉模
缈（ｚ，ｙ）一（Ｓ（ｚ１，ｙ１），Ｔ（Ｔ２，ｙ２））・
糊子集，则有：
１）Ａ
其中ｚ，ｙ∈【，．利用对偶性质可得
垂（ｚ，ｙ）＝（Ｔ（工ｌ，ｙ１），１一Ｔ（１一ｚ２．１一ｙ２））， （６）
ｎ Ｂ＝｛（ｚ，Ｆ＾（ｚ）＾产Ｂ（ｚ），卧（ｚ）Ｖ ｃ，Ｂ（ｚ）＞Ｉ Ｖ工∈Ｘ｝； Ｕ Ｂ一｛＜ｚ，ｐ＾（ｚ）Ｖ∥Ｂ（ｚ），％（ｚ）＾ ￡，Ｂ（ｚ）＞Ｉ Ｖ ｚ∈Ｘ）；
ＡＲ（Ｘ）（ｚ）＝
２）ｚ≤Ｌ・ｙ兮＠（ｚ，ｚ）≤Ｌ－＠（ｚ，ｙ）； ３）ｚ≤Ｌ－ｙ净＠（ｙ。ｚ）≤Ｌ・＠（ｚ，ｚ）；
４）＠（ｚ，ｙ＾名）＝＠（ｚ，ｙ）＾＠（ｚ，ｚ）；
５）＠（垂（ｚ，ｙ），ｚ）一＠（工，＠（ｙ，２））．
证明
ｉｎｆ臼（Ｒ（ｙ，ｚ），Ｘ（ｙ）），ｚ∈Ｕ，
，ｅｕ
（１５）
１）由定义８可得
＠（１Ｌ・，Ｔ）＝
（１０） （１１） （１２） （１３） （１４）
直觉模糊粗糙集模型及性质
定义９
剩余蕴涵＠满足下列性质：设ｚ，ｙ，ｚ∈Ｌ。，则：
１）＠（１Ｌ・，ｚ）＝ｚ．＠（ｚ，１Ｌ・）一１Ｌ・ｌ
设Ｒ为论域Ｌ，上的一直觉模糊垂相似
关系，称（【，，Ｒ）是直觉模糊粗糙近似空间．对于任 意的Ｘ∈Ｕ，Ｘ关于近似空问（Ｕ，Ｒ）的下近似 丛Ｒ（Ｘ）和上近似Ａ一（Ｘ），是定义在Ｕ上的一对直觉 模糊集，其隶属和非隶属函数定义为
（１．Ｍｉｓｓｉｌｅ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ａｉｒ Ｆｏｒｃｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓａｎｙｕａｎ ７ １ ３８００，Ｃｈｉｎａ Ｉ ２．Ｓｈａｎｘｉ Ｍｏｔｏｒｃｙｃｌｅ Ｓｕｐｅｒｖｉｓａｌ ａｎｄ
Ｖｅｒ．ｆｉｃａｔｉｏｎ Ｃｅｎｔｅｒ。Ｘｉ’ａｎ ７１００３２，Ｃｈｉｎａ．Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｔ：ＸＵ
因此定理成立．口 定理１将直觉模糊Ｔ模的剩余蕴涵与Ｔ模的剩 余蕴涵联系起来，这对直觉模糊粗糙集的应用研究 十分重要．
定理２
ｓｕｐ｛“∈Ｌ。Ｉ圣（垂（ｚ，ｊ，），“）≤Ｌ－２｝＝…一 ｓｕｐ｛“∈Ｌ‘ｌ垂（ｙ，“）≤≤Ｌ・＠（．ｒ，２）｝＝
＠（ｙ，＠（ｚ，：）），
所以式（１４）成立．口
４
设中是Ｌ。上的下半连续Ｔ模，则中的
日＝
＠（ｚ，ｙ）＾＠（ｚ，ｚ）＝＠（工，ｙ＾ｚ），
式（１３）成立．同理可证ｙ＾ｚ＝（ｚＩ，ｙｚ）时，式（１３） 成立． ５）由垂满足结合律可得
＠（垂（ｚ，ｙ），ｚ）＝
（ｓｕｐ｛ｚｌ∈，Ｉ（（丁（ｚＩ，ｚ１）≤ｊ，１）＾（丁（１一工２，ｚ１）≤ １～ｙ２））｝．ｉｎｆ（ｚ２∈，Ｉ丁（１一ｚ２，】一动）≤１一ｙ２｝）＝ （口（工ｌ，ｙ１）＾口（１一工２，１一ｙ２）・１一口（１一ｚ２，１一ｙ２））．
定义２［５３ 质：
称护丁为丁的剩余蕴涵．下文将下标省去． Ｊ＝［ｏ，１］上的对偶Ｔ模和Ｓ模具有如下的性
Ｓ（口，６）＝１一Ｔ（１一口，１—６），口，６∈，．（３）
定义６
Ｌ’）为
Ｔ和ｓ是ｆ＝［ｏ，１］上的对偶丁模和
Ｓ模。定义Ｌ。上的二元算子西和缈（Ｌ’×Ｌ’一
垂（ｚ，ｙ）＝（Ｔ（ｚｌ，ｙ１），Ｓ（ｚ２，ｙ２）），
３）结合律
Ｔ（Ｔ（ｎ，６），ｆ）＝Ｔ（ｎ，Ｔ（６。ｆ）），口，６，ｆ∈Ｊ；
４）单凋律 口≤ｆ，６≤ｄ净Ｔ（口，６）≤Ｔ（ｃ，ｄ）．口，６。ｃ，ｄ∈Ｉ． 此外，若三角模Ｔ满足Ｔ（口，１）＝口时，称为丁
９０２
控
制
与
决
策
ｌ—ｚ２），ｌ一口（１一ｚ２，１一ｚ２）），
第２３卷
从上式可以看出，在保证２。＋≈≤１的前提下，对ｚ 求上界。等效于对ｚ－求上界和对２：求下界．为保证 ｚ。＋２：≤１，在ｚ－增加一项加以约束，即
ｓｅｔｓ
ｓｅｔｓ
ｉｓ ｄｅｄｕｃｅｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｆｕｚｚｙ丁ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ，ｒｏｕｇｈ
ｓｅｔｓ
ｆｕｚｚｙ
ａｎｄ Ｐａｗｌａｋ ｒｏｕｇｈ
ｓｅｔｓ ｓｅｔｓ
ｓｐｅｃｉａｌ ｐｒｏｖｅｄ．
ｃａｓｅｓ
ｏｆ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ
ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ．
令
Ｌ‘一｛（ｚｌ，ｚ２）Ｉ ｚｌ＋ｚ２≤１，（ｚ１．ｚ２）∈［ｏ，１］２， 且有（工ｌ，ｚ２）≤Ｌ‘－（ｙｌ，ｙ２）茸ｚｌ≤ｙｌ＾ｚ２≥ｙ２， Ｖ（ｚ。，ｚ２），（ｙ。，ｙｚ）∈Ｌ。，则称（Ｌ。，≤Ｌ・）为完备 格． 显然，对于论域【，上的直觉模糊集合Ａ可等价
Ｒ（ｚ，ｙ））≤Ｌ・Ｒ（ｚ，ｙ））的． 定义８ 设圣是Ｌ’上的下半连续Ｔ模，定义二
ｙ，ｚ，ｙ∈Ｌ。｝，
（８）
３直觉模糊三角模源自定义４则称吼为中的剩余蕴涵．为简便起见，下标省去．
定理ｌ 设垂是Ｌ’上的丁模，口为丁模的剩余 蕴涵，则①的剩余蕴涵为
＠（ｚ，ｙ）＝（口（工ｌ，ｙ１）＾口（１一工２，１一ｙ２）， １一日（１一ｚ２，１一ｙ２）），工，ｙ∈Ｌ。．
（９）
记Ｊ＝［ｏ，１］，映射Ｔ：Ｊ×Ｉ一¨＿尔为
第２３卷第８期
Ｖ０１．２３ Ｎｏ．８
与
口门ｄ
２００８年８月
Ａｕ ｇ．２００８
文章编号：１００１一０９２０（２００８）０８一０９００—０５
基于直觉模糊三角模的直觉模糊粗糙集
徐小来１，雷英杰１，谭巧英２
（１．空军工程大学导弹学院，陕西三原７１３８００；陕西摩托车质量监督检验中心。西安７１００３２）
摘 要：提出一种基于直觉模糊三角模的直觉模糊粗糙集．首先，定义了直觉模糊集上的Ｔ模及其剩余蕴涵，研究了
Ｔ（口．ｆ）≤≤６｝，日，６∈Ｉ。
（２）
２直觉模糊集
定义ｌ［ｔ３
设Ｘ是一个给定论域，则Ｘ上的一
个直觉模糊集为 Ａ＝｛＜ｚ，口＾（Ｔ），￡，Ａ（ｚ）＞Ｉ ｚ∈Ｘ｝，
（１）
模，定义Ｊ上的二元算子口ｒ：Ｊ×ｊ．一Ｊ如下：
占ｒ（口，６）一ｓｕｐ｛ｆ∈Ｊ
其中脚（ｚ）：Ｘ一［ｏ，１］和ｕＡ（ｚ）：Ｘ一［ｏ，１］分别代 表Ａ的隶属函数和非隶属函数。且对于Ａ上的所有 ｚ∈Ｘ，ｏ≤朋（ｚ）＋％（ｚ）≤１成立．直觉模糊集Ａ 可简记为Ａ＝＜ｚ。口＾（ｚ），％（工）＞．显然，每一个一般 模糊子集对应于下列直觉模糊集Ａ＝｛（ｚ，朋（ｚ），ｌ 一卢Ａ（ｚ）＞Ｉ ｚ∈Ｘ｝． 对于Ｘ中的每一个直觉模糊子集，称砜（ｚ）＝ １一Ｍ（ｚ）一￡，Ａ（ｚ）为Ａ中ｚ的直觉指数，它是ｚ对 Ａ的犹豫程度的一种测度．
ＡＲ（Ｘ）（ｚ）＝ ｓｕｐ垂（Ｒ（ｙ，ｚ），Ｘ（，）），ｚ∈【，， （１６）
ｓｕｐ｛ｚ∈Ｌ。ｌ垂（１Ｌ・，２）≤Ｌ・ｚ｝＝ ｓｕｐ｛ｚ∈Ｌ’ｌ ｚ≤Ｌ・ｚ｝＝ｚ． 后半部分可用相似的方法证明．所以式（１０）成立． ２）令“一＠（ｚ，Ｔ），则有 西（ｇ。“）≤Ｌ－ｚ≤Ｌ－ｙ． 由定义可得“≤ｔ，＠（ｚ，ｙ），所以式（１１）成立． ３）令“一曰（ｙ，。），则有 多（ｙ，“）≤ｚ； 由单调律得 圣（ｚ，“）≤垂（ｙ－口）≤ｚ； 则有
粗糙集理论是一种处理不精确、不确定与不完 全数据的新的数学理论．由于它在人工智能、知识发 现、数据挖掘、决策支持与分析等方面的广泛应用， 近年来得到各国学者的广泛研究．Ｐａｗｌａｋ粗糙集模 型是由经典集合基于论域Ｕ上的等价关系而得出 的近似［１］，对论域Ｕ进行硬划分，可把每个概念严 格地划分到某类知识中，具有“非此即彼”的“分明概 念”，因此这种划分的类别界限是分明的．Ｄｕｂｏｉｓ模 糊粗糙集模型由模糊集合基于论域Ｌ，上的模糊Ｔ 相似关系而得出的近似［２矗］，对论域Ｕ进行模糊划 分，得到了概念属于各类知识的不确定性程度，表达 了概念类属的“亦此亦彼”的“模糊概念”，即建立起 了概念对于各类知识的不确定性的描述，能更客观
２）Ａ
缈（工，ｙ）＝（１一Ｔ（１一Ｔｌ，１一ｙ１），Ｔ（ｚ２，弛））．
（７）
３）Ａ—Ａ‘＝｛＜ｚ，％（ｚ），卢＾（ｚ）＞Ｉ ｚ∈Ｘ｝； ４）Ａ∈Ｂ甘Ｖ工∈Ｘ，［弘Ａ（ｚ）≤ ∥Ｂ（ｚ）＾￡，＾（ｚ）≥￡，Ｂ（ｚ）］．
定义３［９］
容易验证，丁（ｚｌ，ｙＩ）＋１一丁（１一丁：．１一ｙ２）≤ １，垂和皿都满足两极律、交换律、结合律和单调律， 并且有①（１Ｌ・，ｙ）＝ｙ，９（ＯＪ．－，ｙ）＝ｙ．因此①和缈 分别称为Ｌ。（直觉模糊集合）上的Ｔ模和Ｓ模，统称 为Ｌ。上的三角模． 定义７ 设垂是Ｌ’上的下半连续丁模，有限论 域【，上的二元直觉模糊关系尺称为直觉模糊垂相似 关系，若Ｒ是自反对称和圣传递（即①（Ｒ（ｚ，ｚ），

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双论域区间值直觉模糊vague粗糙集及其应用

双论域区间值直觉模糊vague粗糙集及其应用

双论域区间值直觉模糊vague粗糙集及其应用
王潇雪;张贤勇
【期刊名称】《四川师范大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2024(47)1
【摘要】区间值直觉模糊集可诱导出vague集和粗糙集,而后两者的结合具有不确定性深入分析的优势.立足双论域区间值直觉模糊粗糙集,引入vague集进行融合扩张,研究双论域区间值直觉模糊vague粗糙集.首先,定义区间值直觉模糊vague相容类,构建双论域区间值直觉模糊vague粗糙集模型,提出关于双逼近近似和三支决策区域的计算算法,并确立该模型的精确度、粗糙度、依赖度.然后,研究该模型的近似算子与不确定性度量的性质.最后,采用医疗例子进行模型计算、度量测量、性质验证,并得到关于患者临床诊断的患病分析与治疗决策.
【总页数】7页(P25-31)
【作者】王潇雪;张贤勇
【作者单位】四川师范大学数学科学学院;四川师范大学Laurent数学中心;四川师范大学智能信息与量子信息研究所
【正文语种】中文
【中图分类】O159;TP18
【相关文献】
1.基于区间值的变精度双论域粗糙集的机载电子设备故障诊断方法
2.基于覆盖的区间值直觉模糊粗糙集模型的讨论
3.基于直觉模糊关系的双论域多粒度概率粗糙集
4.双论域上的广义直觉模糊概率粗糙集模型及其应用
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计算机应用技术-基于直觉模糊集的决策方法研究

计算机应用技术-基于直觉模糊集的决策方法研究

然而模糊集的隶属函数值仅是一个单一的数据在实际应用中他不能同时表示支持或肯定反对或否定和犹豫不确定的证据由于社会经济环境的日益复杂性和不确定性人们在对事物的认知过程中往往存在不同程度的犹豫或表现出一定程度的知识缺乏从而使得认知结果表现为肯定否定或介于肯定否定之间的犹豫性这三方面如在各种选举投票时间中除了支持和反对两个方面经常有齐全情况的发生
基于直觉模糊集的决策方法研究
摘要： 在实际决策过程中，由于问题本身模糊性和不确定性，方案的准则值等参数具有不准 确、不确定和不完全确定等特点，决策者难以给出准则值的确定值，因此很难做出决策。 事物的模糊性是普遍存在的，很难一一列出能够精确刻画某一事物的属性和条件，因此做 出一个好的正确的决策是很困难的.然而决策的好坏关系重大.小则关系到事情的成败，企 业的盛衰，大则关系到国家的生死存亡，因此，决策者必须有科学的作风，掌握科学的决 策原理和方法.多做调查研究尽可能地作出正确、合理的决策。 本文提出了基于直觉模糊集的一种解决问题的新方法，直觉模糊的决策方法。并建立 了相应的模型。本模型吸取了其他著名学者的决策思想，并进行了推广，尽可能多的收集 多方面信息，并且考虑到客观实际，对一些影响决策的因素配置了权重，让决策者更加精 确的做出决策。 通过实例分析，表明该模型充分考虑了好汽车选择过程中的不确定性，并且具有简单 实用、易于理解的特点，为家庭或企业选择合适的汽车提供了一种新的工具。 关键词: 模糊集;直觉模糊集;隶属度;直觉模糊逻辑;直觉指数;决策分析 Abstract： If you want to make decisions, actually, you will find the solution for such parameters as value criterion is not exactly sure .Because the problem itself is fuzzy and uncertain , it is difficult to make a decision for a decider. It is very common to see fuzzy things , and it is hard to describe all the attributes and conditions of one thing ,so to have making a good decision is very difficult. However , the decision, small or great, will play an important role .For example , you may do something failed ,even you can see the capturing result if a bad decision was made . So a decider must be educated , know how to make a decision , know which is the better decision. . He have to do a lot of research , and try his best to get a good result . This paper proposes a new method to solve the problem based on intuition fuzzy sets . And establishes the model . About this model , I learn the point from the other famous scholar's decision ,and make some promotion . I collected the information as much as possible , considered the objective reality and set the weight on some of the factors influencing decision-making , to make the decider have a good decision as muck as possible . Through the case analysis ,the model shows many things about the fuzzy in choosing a good car ,and it is also show that the model is simple and easy to understand.. It provide a new method for a family or a company about how to choose a “better car”. Keywords: Fuzzy sets ; intuition fuzzy sets ; embership ; fuzzy logic ; intuition index ; decision analysis
基于直觉模糊剩余蕴涵的直觉模糊粗糙集的性质

基于直觉模糊剩余蕴涵的直觉模糊粗糙集的性质

收稿 日期 ：２ １ ．２０ ０ ００ ．５
通讯作者：秦克￣（９２ ， 西南交通大学数学学院教授， １６－ 男， ） 博士生导师
１Ｏ ９
西南民族大学学报 ・ 自然科学版
第 ３ 卷 ６
定义 ３ 令 ＝［， ， Ｏ１ 二元函数 Ｔ： Ｌ Ｌ， ］ ＬＸ 若满足下列条件
（） １ 两极律 ：Ｔ ａ１＝ａａ∈ ； （， ） ， （） ２交换律 ：Ｔ ａ６ ＝ｒ ｂ ， （，） （，） ａ∈三； （） ３结合律：Ｔ Ｔ ａ６，） （， （，） ａ （ （，）Ｃ ＝Ｔ ａＴ ｂｃ） ∈Ｌ； ， ． （） ４单调率：ａ ， ｄ＝ Ｔ ａ６ ≤Ｔｃ ，，，， ， ｃｂ ＝ （，） （， ａｂｃｄ∈ ＞ ） 则称 为 Ｌ＝【， 上的三角模．当 Ｔａ１＝ａ时称为 模，当Ｔ ａ０ ＝ａ时称为 模 ， 模和 模是对偶的， ０１ 】 （， ） （，）
即 Ｓ ａ６ ＝１ Ｔ １ ａ １ ｂ ，， ． （ ，） － （一 ，－ ）ａｂ∈ 定义 ４设 是 上下半连续三角模，三上的二元算子 ： 三 Ｌ定义如下 ： ＬＸ
（，） ｕ ｛ ∈ＬＩ（，） ６ ，， ∈ ， ｂ ＝ｓｐ ｃ Ｔ ａｃ ）ａｂ
称 是 的剩余蕴涵． ，
基于直觉模糊剩余蕴马立珍
（ 南交通大学数 学学院，四川成都 ６ ０ ３ ） 西 １０ １ 摘 要：本文主要研究直 觉模糊剩余蕴涵下的直觉模糊粗糙 集的构造和性质．定义 了直 觉模糊 集上 的剩余 蕴涵， 于该 基
剩余 蕴涵构造 了直觉模糊粗糙 集的上、下近似算子，并给 出了基 于不同二元 关系下近似算子 的性质． 关键 词；直觉模糊 集；直觉模糊粗糙 集；直 觉模糊剩余蕴涵
’ ，） ｍｉ（ （Ｉ 一 ） （ｌ － ２） ｎ１ （ １ ２，一Ｔ ｙ，一 ） （ Ｙ ＝（ ｎＴ ｘ， ， ｙ， ｘ） ｍｉ（一 ，一 ） １ Ｔ ｌ ， １ （ｌ ） １ ） 均是是 ｒ上 模． ‘ ， ＝（（ ） （２ ）是 ｒ上 模． （ ） ， ， ｘ， ） ｘ Ｔ
基于二元联系数的三角模糊数直觉模糊集多属性决策

基于二元联系数的三角模糊数直觉模糊集多属性决策

基于二元联系数的三角模糊数直觉模糊集多属性决策杨红梅【摘要】针对用三角模糊数表示的直觉模糊集多属性决策算法复杂又难以开展不确定性分析的问题,应用集对分析中的联系数给出一种新算法.该算法的基本原理是把三角模糊数转换成“均值”加“偏差”形式的二元联系数,再利用二元联系数的除法算得直觉模糊集的商,利用这种商进行多属性决策建模,计算简单又便于作不确定性分析.实例应用表明,该算法可行,结果可信,其他用直觉模糊集表示的决策问题也可借鉴应用文中的方法.【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(029)002【总页数】7页(P13-19)【关键词】三角模糊数直觉模糊集;多属性决策;二元联系数;集对分析;不确定性分析【作者】杨红梅【作者单位】山西广播电视大学网络教育学院,山西太原030027【正文语种】中文【中图分类】O159上世纪80年代，保加利亚数学家Atanassov 针对美国数学家Zadeh教授开创的模糊集理论在刻画模糊关系上的不足，于1986年提出了直觉模糊集的概念[1]，其特点是同时描述隶属度和非隶属度两方面的信息，从而使得直觉模糊集比Zadeh给出的模糊集有更强的信息表达能力，因而受到不少学者的青睐和进一步研究.Atanassov又于1994年提出区间直觉模糊集的概念，同时用区间数表示直觉模糊集中的隶属度和非隶属度[2].2007年，国内学者刘峰和袁学海又把三角模糊数引入直觉模糊集，用三角模糊数表示直觉模糊集中的隶属度和非隶属度，但相应的算法随之趋于复杂[3]，如何能让三角模糊数表示的直觉模糊集在不丢失信息的情况下得到简化，以便于实际决策工作者的应用，这是摆在数学工作者面前的一个问题[4].由中国学者赵克勤提出的集对分析(Set Pair Analysis，SPA)，基于客观世界确定性与不确定性对立统一的观点，构造出一种新的系统数学理论和一种新的数学工具——联系数[5～7]，借助联系数统一描述和处理随机、模糊、中介、不确知等不确定性问题，至今已在科学技术与社会经济等多个领域得到广泛应用[8～10].特别是近年来，一些学者应用联系数处理区间数、三角模糊数、梯形模糊数表示的模糊多属性决策问题，不仅算法简明，易于操作，还能方便地开展不确定性分析，从而使得模糊多属性决策结论更为客观、合理、可信[11～13].基于以上工作，本文首次把联系数的除法运算引入到用三角模糊数表示的直觉模糊集多属性决策研究.实例应用表明，不仅所得的最优方案,次优和再次优方案不仅与其他文献所得结果相同，而且原理清晰，算法简明，便于展开不确定性分析.1 二元联系数1.1 二元联系数定义联系数(Connection number，CN)是赵克勤在集对分析中给出的一种数学工具.二元联系数(Two element connection number，TECN)是一种最基本的联系数，其一般形式为U=A+Bi(1)式(1)中的A、B∈R+，i∈[-1,1].令N=A+B，μ=U/N，a=A/N，b=B/N，则由(1)式得μ=a+bi(2)显然式(2)中，a+b=1，i∈[-1,1].(1)和(2)式称为二元联系数，也简称联系数，其中的A(a)和B(b)称为联系数的联系分量，A(a)为确定性测度的联系分量，B(b)是不确定性测度的联系分量，i是一个在[-1,1]区间视不同情况取值的量，由于当A(a)和B(b)都确定时，i仍不确定，所以也称为B的不确定系数，Bi也因此是一个不确定量.若称U(μ)为联系数时，其实是指(1)和(2)式右边的式子.1.2 二元联系数的运算1.2.1 加法运算定义1 设μ1=a1+b1i，μ2=a2+b2i是两个二元联系数，则有μ=μ1+μ2=a+bi(3)其中，a=a1+a2，b=b1+b2，i∈[-1,1].显然，两个联系数的加法满足交换律，也就是μ1+μ2=μ2+μ1(4)推论若有n(n≥2)个二元联系数相加时，有以下加法公式(5)1.2.2 实数k与二元联系数的相乘定义2 令k为一实数，当k与二元联系数μ=a+bi相乘时，有以下乘法公式kμ=ka+kbi(6)1.2.3 两个二元联系数相乘设μ1=a1+b1i，μ2=a2+b2i是两个二元联系数，则有以下乘法公式μ1μ2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2+(a1b2+a2b1)i+b1b2i2(7)根据集对分析理论[7]在不计及不确定性层次的前提下，两个二元联系数乘积中不同幂次i的可作为一次幂对待，也就是有i=i2=i3=…=in n≥1(8)这一简化公式.据此可以把(7)式简化为μ1μ2=a1a2+(a1b2+a2b1+b1b2)i(9)若令a1a2=a, a1b2+a2b1+b1b2=b,则(9)式进一步简化成μ1μ2=a+bi(10)由此得两个二元联系数相乘的乘法定理如下：定理1 设μ1=a1+b1i，μ2=a2+b2i是两个二元联系数，则它们的乘积是一个二元联系数μ=a+bi，其中μ=μ1μ2，a=a1a2，b=a1b2+a2b1+b1b2.定理的证明见前说明.定理1表明两个二元联系数相乘，其乘积仍是一个二元联系数.由定理1显然可以推广到有3个或3个以上二元联系数相乘的情形.因本文仅应用到两个二元联系数相乘，故略.1.2.4二元联系数的除法运算利用两个二元联系数的上述乘法定理，容易导出以下的除法定理.定理2 若已知二元联系数μ=a+bi是两个二元联系数的积，又已知其中的一个二元联系数μ1=a1+b1i，要求另一个二元联系数μ2=a2+b2i，则有(11)其中利用定理1即可证明定理2成立，证明略.2 三角模糊数直觉模糊集向二元联系数的转换2.1 用三角模糊数表示的直觉模糊集定义3 设X是一个非空集合，则称A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}为直觉模糊集，其中μA(x)和vA(x)分别是X中元素x属于X的隶属度μA：X[0,1]和非隶属度vA：X[0,1]且0≤μA(x)+vA(x)≤1，∀x∈X,对于X上的每一个直觉模糊集，称πA(x)=1-μA(x)-vA(x)为直觉模糊集的犹豫度.由于客观事物的复杂性和模糊性，直觉模糊集中的隶属度和非隶属度有时难以用一个精确的实数表示，为此，文献[14]引进了用三角模糊数表示隶属度和非隶属度的所谓三角模糊数直觉模糊集，其中的三角模糊数是用以下定义4刻画的模糊数. 定义4 记α=〈(a,b,c)〉∈F(D)，D=[0,1]，则称α为D上的一个三角模糊数，其隶属度μα(x)，R∈[0,1]表示为(12)由此得到三角模糊数表示的直觉模糊集定义.定义5 设论域U是一个非空有限集合，称G={(μ<tc(u),fc(u)>1)|u∈U}[17]为三角模糊数直觉模糊集.其中的和均为D上的三角模糊数，分别表示元素u属于U的隶属度和非隶属度，且满足并且称二元组〈tc(u),fc(u)〉为三角模糊数直觉模糊数，简记为α=〈(e,g,h),(l,p,q)〉，其中的(e,g,h)∈F(D)，(l,p,q)∈F(D)，且h+q≤1. 2.2 化三角模糊数直觉模糊数为二元联系数第1步化三角模糊数为二元联系数为不失一般性，用表示一个三角模糊数，并记为=(P,Q,K)，若记P,Q,K的平均值为，得(13)在此基础上，用)表示与P和K的最大偏差，则有-P)}(14)则得到由三角模糊数化成的二元联系数为)]i(15)(15)式称为三角模糊数转换为二元联系数的转换公式.据此公式可把定义5中的直觉模糊数G改写成用二元联系数表示的直觉模糊算子(16)第2步计算G′中表示隶属度的二元联系数与表示非隶属度的二元联系数的商得(17)称(17)式为三角模糊数直觉模糊数向二元联系数转换的转换公式，式中的i∈[-1,1]，(17)式中下标SPA表示这一转换公式是基于集对分析定义的.3 决策原理与方法3.1 问题描述对于属性值用三角模糊数表示的隶属度与非隶属度的模糊数直觉模糊集刻画的多属性决策问题.用X=(x1,x2,…,xm)表示待优劣排序的方案集.U=(u1,u2,…,un)为用三角模糊数直觉模糊数表示的属性集，其中的各属性值用三角模糊数直觉模糊数αtj=〈(etj,gtj,htj),(ltj,ptj,qtj)〉表示属性数量.向量W=(w1,w2,…,wn)设为已知，t=1,2,…,m，j=1,2,…,n，∑wi=1，且假定各属性都是越大越好的效益型属性，试在m个待评方案中求得最优方案，并作出个方案的优劣排序.3.2 决策步骤第1步利用式(17)将决策矩阵中各属性值的三角模糊数直觉模糊数化为形如μtj=atj+btji的二元联系数.第2步建立综合决策模型M(st)=wj(aij+btji)=(wjatj+iwjbtj)=wjatj+iwjbtj(18)第3步先依据的大小作出初排序.M′(st)大的优先于M′(st)小的，再计算i=-1,-0.5,0,0.5,1时对M′(st)的影响对初排序的干扰.综合不同情况下的排序变化作出终排序.第4步若同一问题有其他方法所作的决策结果时，则把第3步所得结论与其他方法所得结果作同异反对比研究，作出决策结论.4 实例应用为方便比较，这里采用[15]中的一个实例说明本文方法的应用.某单位在干部考核选拔时，制定了6项考核指标(属性)：思想品德(u1)、工作态度(u2)、工作作风(u3)、文化水平和知识结构(u4)、领导能力(u5)、开拓能力(u6)，各指标(属性)权重为W=(0.135 1,0.048 4,0.145 5,0.558 6,0.030 9,0.081 5).现有6位候选人由群众就以上6项指标进行评议，并作统计处理，其结果用三角模糊数表示的直觉模糊数，如表1所示.试决定最优候选人，并作出优劣排序.首先决策步骤如下，应用式(13),式(14)和式(15)把表1中的各三角模糊数化为二元联系数，得表2.第2步应用式(17)计算表2中各隶属度与非隶属度的商，得到表3.第3步根据表3以及各属性权重，利用式(18)算得各候选人的加权综合项系数如下：M(x1)=1.758 8+0.088 5i，M(x2)=4.585 6-0.692 4i，M(x3)=2.882 5-0.450 7i，M(x4)=2.848 5+0.683 2i，M(x5)=2.188 2+0.147 2i，M(x6)=2.405 8+0.076 3i.第4步不确定性分析.令M(xt)中的i在[-1,1]区间取i=-1,0.5,0,0.5,1，考察M(xt)的大小变化及大小排序，见表4.由表4可知，当M(xt)中的各个i同步取-1,-0.5,0,0.5,1时，都有M(x2)最大，M(x1)最小，也就是候选人x2为最优候选人，x1为最差候选人，这一结果与文献[15]中得到的结果相同.但文献[15]给出的6个候选人的优劣排序x2>x3>x4>x5>x6>x1仅是表4中的一种排序而已，其具体数值如下：M(x1)|i=-1=1.670 3⑥,M(x2)|i=-1=5.278①,M(x3)|i=-1=3.3332②,M(x4)|i=0=2.848 5③,M(x5)|i=1=2.335 4④,M(x6)|i=-1=2.329 5⑤.但此排序仅是表4给出的30种优劣排序中的一种；事实上，当i取-1,-0.5,0,0.5,1以外的值时，还能得到其他排序，从数学上看，这样的排序种数可以无穷多；但i 取-1,1是不确定性的两个边界值，因此从已有的排序结果中得出为最优的结论是可信的.表1 候选人在各指标下决策值Tab.1 Decision-making values of candidates under various indicatorsu1u2u3u4u5u6x1〈(04，05，06)，(03，035，04)〉〈(07，08，09)，(01，01，01)〉〈(04，05，06)，(03，035，04)〉〈(03，035，04)，(05，055，06)〉〈(07，085，09)，(01，01，01)〉〈(07，075，08)，(015，015，02)〉x2〈(03，04，05)，(03，04，045)〉〈(05，06，07)，(01，02，03)〉〈(07，08，09)，(005，01，01)〉〈(06，07，08)，(01，015，02)〉〈(06，07，08)，(01，02，02)〉〈(04，05，06)，(03，04，045)〉x3〈(035，045，05)，025，035，04)〉〈(05，065，07)，(02，025，03)〉〈(07，075，08)，(01，015，02)〉〈(05，06，06)，(02，025，03)〉〈(06，075，08)，(02，02，03)〉〈(05，06，07)，(0，01，02)〉x4〈(04，05，05)，(04，045，05)〉〈(06，07，08)，(02，02，02)〉〈(06，07，075)，(02，025，025)〉〈(04，05，155)，(02，03，04)〉〈(07，08，09)，(01，01，01)〉〈(06，07，08)，(015，015，02)〉x5〈(045，055，06)，(035，04，04)〉〈(07，075，08)，(01，01，02)〉〈(05，06，07)，(02，025，03)〉〈(03，04，05)，(04，045，05)〉〈(07，08，09)，(01，01，01)〉〈(06，08，09)，(01，01，01)〉x6〈(06，07，08)，(01，015，02)〉〈(08，085，09)，(01，01，01)〉〈(04，045，05)，(035，045，05)〉〈(02，03，04)，(05，06，06)〉〈(08，085，09)，(01，01，01)〉〈(07，08，09)，(01，01，01)〉表2 6位候选人各属性值的二元联系数Tab.2 The two-element connection number of 6 candidates’ attributevalueu1u2u3u4u5u6x1(05+01i)(035+005i)(08+01i)(01+0i)(05+01i)(035+005i)(035+005i)(055+005i)(082+012i)(01+00i)(075+005i)(017+003i)x2(04+01i )(038+008i)(06+01i)(02+01i)(08+01i)(008+003i)(07+01i)(015+005i)(07+01i )(017+007i)(05+01i)(038+008i)x3(043+008i)(033+008i)(062+012i)(025+005i)(075+005i)(015+005i)(057+007i)(025+005i)(072+012i)(023+007i)(06+01 i)(01+01i)x4(047+007i)(045+005i)(07+01i)(02+0i)(068+008i)(023+003i)(082+073i)(03+01i)(08+01i)(01+0i)(07+01i)(017+003i)x5(053+008i)(038+003i) (075+005i)(013+007i)(06+01i)(025+005i)(04+01i)(045+005i)(08+01i)(01+0i )(077+017i)(01+0i)x6(07+01i)(015+005i)(085+005i)(01+0i)(045+005i)(043+ 008i)(03+01i)(057+007i)(085+005i)(01+0i)(08+01i)(01+0i)表3 6位候选人各属性值三角模糊数直觉模糊数的商二元联系数Tab.3 The factor of two-element connection number of triangular fuzzy number intuitionistic fuzzy number for 6 candidates’ attributevalueu1u2u3u4u5u6x1143+007i8+1i143+007i064+003i82+12i441+(-041)ix2105+003i3+(-067)i10+(-182)i467+(-067)i412+(-078)i132+(-001)ix313+(-006)i248+0013i5+(-1)i228+(-015)i313+(-033)i6+(-25)ix4104+004i35+05i296+(-003)i273+114i8+1i412+(-012)ix5139+009i577+(-177)i24+(-007)i089+011i8+1i77+17ix6467+(-067)i85+05i105+(-007)i053+01i85+05i8+1i表4 i 取不同值时的M(xt)及其排序Tab.4 Result and its order when i takes different valuesi=-1i=-05i=0i=05i=1M(x1)1．6703⑥1．7145⑥1．7588⑥1．8031⑥1．8473⑥M(x 2)5．278①4．9318①4．5856①4．2394①3．8932①M(x3)3．3332②3．10 78②2．8825②2．6571③2．4318④M(x4)2．1653④2．5069③2．8485③3．1901②3．5317②M(x5)2．041⑤2．1146⑤2．1882⑤2．2618⑤2．3354⑤M(x6)2．3295③2．3676④2．4058④2．444④2．4821③5 讨论在本文工作之前，已有学者刘秀梅[11,12]、施丽娟[17]、张肃[18] 和王霞[19] 把集对分析中的联系数用于直觉模糊决策研究，本文与这些文献的不同之处是首次把二元联系数的除法用于直觉模糊数中隶属度与非隶属度商的描述.利用这种商法等价地简化直觉模糊数的优点有，一是从信息利用的角度看，保留了直觉模糊数的全部信息，包括确定的信息和不确定的信息；二是从逻辑上看，一个直觉模糊数中的隶属度越大且非隶属度越小，这个直觉模糊数在总体上相对于参考集的隶属关系就越强，因为隶属度作分子，非隶属度作分母的分式及其所谓分式的值(商)在逻辑意义上与所论直觉模糊数是完全一致的；三是直觉模糊数本身含有不确定性，但利用直觉模糊数本身的数学形式不便开展不确定性分析，以至于不采用联系数处理的直觉模糊决策研究总是千方百计地避开“不确定性分析”这道坎，总是在把直觉模糊决策转化为确定性决策上下功夫，最后得到唯一确定的方案排序，完全忽视了不确定性对决策排序的干扰和影响，显而易见，这样的直觉模糊决策结果很难有充分的说服力，而利用联系数中的，则可以方便地考察不确定性对方案优劣排序的干扰和影响；第四个优点是，完全避开了利用所谓的直觉模糊数的“得分函数”而导致的失效问题.刘秀梅等人在一些文章中指出，直觉模糊数中的“得分函数”是一个不可靠的函数.例如，直觉模糊数〈3，2〉与〈5，4〉其得分函数的值都是1，但是其隶属度与非隶属度之比，前者是3/2=1.5，后者是5/4=1.25，总体上说，前者的综合隶属强度要大于后者，正是在这个意义上，本文采用两个联系数的商来简化一个直觉模糊数，也进而简化了后续的数学建模及其一系列的运算和分析.当然也有其不足，就是当除数为“0+0i”这种联系数时，本方法失效，因为“0”不能作除数.应当承认，模糊数学已获得了广泛的应用[20]，但模糊集理论一开始就用一个确定的实数去描述客观上存在不确定性的模糊现象，丢失了研究对象的不确定性信息，一直为人诟病;保加利亚学者Atanassov 提出的直觉模糊集，试图弥补Zadeh模糊集理论的不足，但同样采用一个确定的实数表示一个直觉模糊集中的隶属度和非隶属度，走的仍是Zadeh的路子；之后，有学者用区间数、三角模糊数、梯形模糊数代替普通的点实数表示直觉模糊集中隶属度和非隶属度，试图弥补前面所说的不足，但都难以从数学层面上展开简明清晰的不确定分析；而且给出的模糊决策建模运算过于复杂且难以实际应用，特别是这种不确定性分析从理论上说会涉及到无穷多种不同情况的分析，回避这些分析又会导致结论与实际情况相去甚远；相比之下，集对分析理论中的联系数，从理念上把客观事物的确定性与不确定性对立统一如实地反映在联系数中，保证了第一次数学“映射”不失真，后续运算遵循经典数学的多项式算法规则，对运算结果又借助联系数中的i展开不确定性分析，不失为是一种既简明扼要、又符合决策实际的科学处理方法，当然，集对分析联系数理论也有不成熟之处，有些问题还有待作深入研究，如联系数“0+0i”不能作除数等问题，需要深入研究[22].6 结语本文针对用三角模糊数表示的直觉模糊数集成运算复杂且集成结果不能作不确定性分析的问题，把集对分析二元联系数引入到三角模糊数表示的直觉模糊数模糊决策算法的改进，从决策实例的应用可以看出，其决策对象的最优排序结果不仅与实例中采用其他方法所得结果相同，而且还利用联系数中i的不同值考察排序结果在不确定性干扰下的变化，从而为决策者提供了较为客观的决策支持，特别是本文给出的算法原理清楚、运算方便,与其他直觉模糊数决策的集对分析联系数处理方法相比，本文是首次采用两个联系数的商来等价地表示直觉模糊数中隶属度与非隶属度的综合作用，从一个侧面说明了集对分析联系数方法简化有关模糊数直觉模糊数决策算法的灵活性和实用性.【相关文献】[1] Atanassov K T. 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