拉格朗日中值定理在高考题中的妙用

拉格朗日中值定理在高考题中的妙用————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:拉格朗日中值定理在高考题中的妙用一.拉格朗日中值定理[1]拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件： (i)f 在闭区间[,]a b 上连续;(ｉｉ）f 在开区间(,)a b 内可导; 则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()'f b f a f b aξ-=-.几何意义：在满足定理条件的曲线上()y f x =至少存在一点(,())p f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB (如图）二.求割线斜率大小－－----－----几何意义的利用由拉格朗日中值几何意义可知：曲线上两点的割线斜率,可以转化为曲线上切线的斜率．即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析. 例1：(２011年福建省质检理19题）已知函数22()ln .a f x x a x x=++(Ⅰ)求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ）设'1,()(),a g x f x ==问是否存在实数k ，使得函数()g x 上任意不同两点连线的斜率都不小于k ？若存在，求k 的取值范围;若不存在,说明理由． 解(Ⅰ)略(Ⅱ）当1a =时,221()1g x xx =-+,假设存在实数k ,使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ，即对任意210x x >>,都有2121()(),g x g x k x x -≥-即求任意两点割线斜率的大小，由中值定理知存在12(,)x x x ∈，有'2121()()(),g x g x g x k x x -=≥-转为求切线斜率的大小.即'3241()g x k x x=-≥在(0,)+∞上恒成立.（以下同参考答案） 评析：该题若用初等方法解决,构造函数同是本题的难点和突破口.将2121()(),g x g x k x x -≥-转化为2211()(),g x kx g x x -≥-转而考查函数()()h x g x kx =-,学生不是很容易想到, 但若利用拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可,学生易接受．二． 利用拉格朗日中值定理证最值 （1)证()()f b f a b aλ->-或()()f b f a b aλ-<-----－－------－即证()'f ξ与λ的大小关系例2:(2009年辽宁卷理２1题) 已知函数21()(1)ln ,12f x x ax a x a =-+-> (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性;(Ⅱ)证明：若5a <,则对任意()12,0,x x ∈+∞,12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--.（Ⅰ)略；（Ⅱ）要证1212()()1f x f x x x ->--成立,即证()'11a f a ξξξ-=-+>-.令()2(1)1g a a ξξξ=--+-,则()()()()214115a a a a ∆=---=--.由于15a <<,所以0∆<．从而()0g ξ>在R 恒成立.也即21a a ξξξ-+->-.又()12,x x ξ∈，()12,0,x x ∈+∞,故0ξ>.则211a a ξξξ-+->-，即()'11a f a ξξξ-=-+>-，也即1212()()1f x f x x x ->--. 评注:这道题(Ⅱ）小题用初等方法做考虑函数()()g x f x x =+.为什么考虑函数()()g x f x x =+很多考生一下子不易想到.而且()'g x 的放缩也不易想到.(2)、证明()f x a x>或()f x a x<成立（其中0x >,(0)0f =)----------即证()(0)0f x f a x ->-或()(0)0f x f a x -<-例３:（20０７年高考全国卷Ｉ第２0题） 设函数()x x f x e e -=-.［2]（Ⅰ)证明：()f x 的导数()'2f x ≥;（Ⅱ)证明：若对所有0x ≥，都有()f x ax ≥ ,则a 的取值范围是(,2]-∞. （Ⅰ)略.(Ⅱ）证明：（i)当0x =时,对任意的a ,都有()f x ax ≥（ii)当0x >时,问题即转化为x x e e a x --≤对所有0x >恒成立.令()()()00x xf x f e e G x x x ---==-,由拉格朗日中值定理知()0,x 内至少存在一点ξ（从而0ξ>)，使得()()()'00f x f f x ξ-=-，即()()'G x f e e ξξξ-==+,由于()()''000f e e e e ξξξξ--=-=->，故()'f ξ在()0,x 上是增函数,让0x → 得()()()''min 02G x f e e f ξξξ-==+≥=，所以a 的取值范围是(,2]-∞.评注:用的是初等数学的方法.即令()()g x f x ax =-,再分2a ≤和2a > 两种情况讨论.其中,2a >又要去解方程()'0g x =．但这有两个缺点:首先,为什么a 的取值范围要以2为分界展开．其次,方程()'0g x =求解较为麻烦．但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦．例４：（2008年全国卷Ⅱ22题)设函数()sin 2cos xf x x=+．(Ⅰ）求()f x 的单调区间；(Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围． 证明（Ⅰ)略；（Ⅱ)证明:当0x =时,显然对任何a ,都有()f x ax ≤；当0x >时，()()()00f x f x f xx -=-由拉格朗日中值定理,知存在()0,x ξ∈，使得()()()()'00f x f x f f xx ξ-==-.由（Ⅰ）知()()'22cos 12cos x f x x +=+，从而()()()()''22sin 2cos cos 12cos x x x f x x +-=+.令()''0f x ≥得,()()21,22x k k ππ∈++⎡⎤⎣⎦；令()''0f x ≤得,()2,21x k k ππ∈+⎡⎤⎣⎦.所以在()()21,22k k ππ++⎡⎤⎣⎦上，()'f x 的最大值()()()''max 1223f x f k π=+=在 ()2,21k k ππ+⎡⎤⎣⎦上，()'f x 的最大值()()''max 123fx f k π==.从而函数()'f x 在()2,22k k ππ+⎡⎤⎣⎦上的最大值是()'max 13f x =．k N ∈知,当0x >时,()'f x 的最大值为()'max 13fx =.所以,()'f ξ的最大值()'max 13f ξ=.为了使()'f a ξ≤恒成立，应有()'max f a ξ≤.所以a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．评注：这道题的参考答案的解法是令()()g x ax f x =-，再去证明函数()g x 的最小值()min 0g x ≥.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数a ，要对参数a 进行分类讨论;其次为了判断()g x 的单调性,还要求()'0g x ≥和()'0g x ≤的解,这个求解涉及到反余弦arccos3a ,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦,省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性．三.利用拉格朗日中值定理证不等式近几年的数学高考中,出现了不少含有拉格朗日中值定理的试题．常以不等式恒成立问题为基本切入点，具有一定的深度，既符合高考命题“能力立意”的宗旨,又突出了数学的学科特点，较好地甄别了学生的数学能力. 下面以近几年全国各地的数学高考试题为例，说明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中不等式的应用，更好地体会用“高观点”解题的优势． (１）用于证明()()f b f a -与b a -的大小关系 例5:（200６年四川卷理第２２题)[3]已知函数()()22ln (0),f x x a x x f x x=++>的导函数是()'f x ，对任意两个不相等的正12,x x ,证明:（Ⅱ)当4a ≤时，()()''1212f x f x x x ->-.证明: 由()22ln f x x a x x =++得,'22()2af x x x x=-+,令()()'g x f x =则由拉格朗日中值定理得:()()()'1212()g x g x g x x λ-=-下面只要证明:当4a ≤时，任意0λ>，都有()'1g λ>,则有()'324g 21ax x x =+->,即证4a ≤时,24a x x <+恒成立.这等价于证明24x x +的最小值大于4．由22342234x x x x x+=++≥，当且仅当32x =时取到最小值,又3434a ≤<,故4a ≤时，32421ax x +->恒成立.所以由拉格朗日定理得：()()()()''12121212()g x g x g x x g x x x x λλ-=-=->-.评注:这道题用初等数学的方法证明较为冗长,而且技巧性较强.因而思路较为突兀,大多数考生往往难以想到.相比之下,用拉格朗日中值定理证明,思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性,说明了学习高等数学的重要性. （2）证明()g a ,2a b g +⎛⎫ ⎪⎝⎭，()g b 三者大小的关系例６：(2０04年四川卷第22题)［3］已知函数()()ln(1),ln f x x x g x x x =+-=.(Ⅰ)求函数()f x 的最大值； （Ⅱ)设02a b a <<<，证明：()()2()ln 22a b g a g b g b a +⎛⎫+-<- ⎪⎝⎭． 证明(Ⅰ)略; （Ⅱ）证明:依题意，有()'ln 1g x x =+,()()()()2222a b a b a b g a g b g g b g g g a ++⎛+⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由拉格朗日中值定理得,存在,,,22a b a b a b λμ++⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,使得()()()()()()''ln ln 2222a b a b b a b a g b g g g a g g μλμλ+⎛+⎫--⎛⎫⎛⎫---=-•=-• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()4lnln ln ln 2222b a b b a a b a b a a a μλ---=•<•<•=- 评注:对于不等式中含有()()(),,2a b g a g b g a b +⎛⎫< ⎪⎝⎭的形式,我们往往可以把()2a b g g a +⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2a b g b g +⎛⎫- ⎪⎝⎭，分别对()2a b g g a +⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2a b g b g +⎛⎫- ⎪⎝⎭两次运用拉格朗日中值定理. 例7：(2006年四川卷理第22题)已知函数()()22ln (0),f x x a x x f x x=++>的导函数是()'f x ,对任意两个不相等的正数12,x x ,证明：（Ⅰ)当0a ≤时,()()121222f x f x x xf ++⎛⎫> ⎪⎝⎭证明:(Ⅰ)不妨设12x x <,即证()()12122122x x x x f x f f f x ++⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由拉格朗日中值定理知,存在12121122,,,22x x x x x x ξξ++⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12ξξ<且()1222x x f x f +⎛⎫- ⎪⎝⎭()'2122x x f ξ-=•,()()'12211122x x x x f f x f ξ+-⎛⎫-==• ⎪⎝⎭又'22()2a f x x x x =-+， ()''3242a f x x x=+-.当0a ≤时，()''0f x ≥.所以'()f x 是一个单调递减函数,故()()''12f f ξξ<从而()()12122122x x x x f x f f f x ++⎛⎫⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，因此命题获证． 四：利用拉格朗日定理证明根的存在[4]证明方程根的存在性,所给根的范围就是区间[],a b 把所给方程设为函数()f x 就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性，一般用反证法．例１ 设()f x 在[]0,1可导，且0()1f x <<，又对于(0,1)内所有的点有'()1f x ≠-证明方程()10f x x +-=在(0,1)内有唯一的实根．分析:要证明方程有唯一的实根，分两步证明,先证明有根,再证明根是唯一的 证明:先证方程有根，令()()1g x f x x =+-,又因为0()1f x <<，则(0)(0)10,(1)(1)0g f g f =-<=>,得到g(0)·ｇ(1)< 0．所以,函数g （x)在（0,１)内至少有一个实根．再证唯一性；假设方程()10f x x +-=在(０,1)内有两个实根,αβ不妨设为01αβ<<<， 则有()1,()1f f ββαα=-=-,对函数()f x )在[],αβ上运用拉格朗日中值定理有()()'()()f f f βαλβα-=-.因此()()11()()'()1f f f βαβαλβαβα----===--- 这和已知条件'()1f x ≠-矛盾.所以方程()10f x x +-=在(0,1）内有唯一的实根.。