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2014届南昌市高三二模测试卷-理科数学

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2014 届 高 三 模 拟 测 试 卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.11． (1) D ； 11． (2) C三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12．32-13．24 14． 10 15．①②④ 四、解答题：本大题共6个题，共75分． 16．解：（1）因为445566,,a S a S a S +++成等差数列，所以55446655a S a S a S a S +--=+--，………………………………………………2分 即654230a a a -+=，所以22310q q -+=，因为1q ≠，所以12q =，……………4分 所以等比数列{}n a 的通项公式为12n na =；………………………………………………6分 （2）1333()242n nn n n a a b ++=⋅=，………………………………………………………9分 133()39322[()1]344212n n n T +-==--． ………………………………………………………12分17．解：甲生产一件产品A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为361,,101010，…3分 乙生产一件产品A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为172,,101010……………6分（1）新工人乙生产三件产品A ，给工厂带来盈利大于或等于100元的情形有：三件都是一等品；二件是一等品、一件是二等品或一件是一等品、二件是二等品，概率为：32211717169()3()3()10101010101000P =+⋅⋅+⋅⋅= ………………………………………8分（2））随机变量X 的所有可能取值为100,80,60,40,20，-20．313(100)1010100P X ==⨯=，371627(80)10101010100P X ==⨯+⨯=， 6742(60)1010100P X ==⨯=，32117(40)10101010100P X ==⨯+⨯=，621719(20)10101010100P X ==⨯+⨯=，122(20)1010100P X =-=⨯=所以，随机变量X 的概率分布为:…10分随机变量X 的数学期望 56100EX ==（元）…12分18．解（1）连接AC ，设AC EF H ⋂=，由ABCD 是正方形，4AE AF ==，得H 是EF 的中点，且,EF AH EF CH ⊥⊥，从而有',A HEF CH EF ⊥⊥， 所以EF ⊥平面'A HC ，从而平面'A HC ⊥平面ABCD ，……………2分 过点'A 作'A O 垂直HC 且与HC 相交于点O ， 则'A O ⊥平面ABCD ………………………………4分 因为正方形ABCD 的边长为6，4AE AF ==，得到：'A H CH ==所以1cos '2A HC ∠==， 所以'cos ''HO A H A HCA O =⋅∠==所以五棱锥'A BCDFE -的体积211(644)323v =⨯-⨯⨯=； (6)分 （2）由（1）知道'A O ⊥平面ABCD ，且CO =O 是,AC BD 的交点，如图以点O 为原点，,,'OA OB OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则((0,A B C D --E F -………………………7分设平面'A EF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0(,,)00FE x y z y ⋅=⇒⋅=⇒=m ，'0(,,)0A E x y z x ⋅=⇒⋅=⇒=m 令1z =，则=m ，………………………9分设平面'A BC 的法向量(',',')x y z =n ，则0(',',')0''CB x y z y x ⋅=⇒⋅=⇒=-m ，'0(',',')0A B x y z ⋅=⇒⋅=n ''z ⇒=，令'1y =，则'1,'x z =-(1,1=-n ， ………………………………11分 所以cos ,0<>=m n ，即平面'A EF 与平面'A BC 夹角2π.………………………12分 19．解：（1）由(0)AN AC λλ=>得点N 在射线AC 上，1203090BAM ∠=︒-︒=︒， 因为ABC △的面积等于△ABM 与△ACM 面积的和， 所以111sin 30sin120222AB AM AC AM AB AC ⋅⋅+⋅⋅⋅︒=⋅⋅⋅︒，得：AM =3分又30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=，所以cos303AM AN ⋅⋅︒=，即4AN =，ABCD EF A 'O H2116214cos12021BN =+-⨯⨯⨯︒=，即BN =6分（2）设B A M x ∠=，则120CAM x ∠=︒-，因为的面积等于△ABM 与△ACM面积的和，所以111sin sin(120)sin120222AB AM x AC AM x AB AC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅︒-=⋅⋅⋅︒，得：2(sin 3cos AM x x =+，………………………………………………………7分又30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=,所以cos303AM AN ⋅⋅︒=,即4sin AN x x =+，所以△ABN的面积1(4sin)sin(30)2S x x x =⋅+⋅+︒225sin cos 2x xx x =+即5sin 22)4Sx x x φ=+=- ………………………10分 （其中：sin φφφ==为锐角）， 所以当290x φ-=︒时，△ABN12分20．解：（12,a b c ==，所以椭圆方程可化为：222214x y b b+=，直线l 的方程为y x =，………………2分由方程组222214x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：2224()4x x b +=,即22580x b ++=, (4)分设1122(,),(,)C x y D x y ，则12x x +=，………………………………………5分 又1122112212(,)(,)(,)(,)2()AC AD BC BD x a y x a y x a y x a ya x x ⋅-⋅=+⋅+--⋅-=+，所以4()b ⋅=，所以1b =，椭圆方程是2214x y +=；………………7分 （2）由椭圆的对称性，可以设12(,),(,)P m n P m n -，点E 在x 轴上，设点(,0)R t ， 则圆E 的方程为2222:()()x t y m t n -+=-+，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E 距离的最小值是1||PE ， 设点(,)M x y 是椭圆C 上任意一点，则222223||()214ME x t y x tx t =-+=-++,…9分 当x m =时，2||ME 最小，所以24332t tm -=-=①……………………………………10分 又圆E 过点F ，所以222()()t m t n =-+②……………………………………11分点1P 在椭圆上，所以2214m n=-③ ……………………………………………………12分由①②③解得：t =t =t =2m =<-，不合，综上：椭圆C 存在符合条件的内切圆，点E 的坐标是(．……………………13分 21．解：（1）0b =时，()sin f x x ax =-，则'()cos f x x a =-，…………………1分 当1a ≥时，'()0f x <，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递减；…………………2分 当1a ≤-时，'()0f x >，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递增；………………3分 当11a -<<时，存在(0,)φπ∈，使得cos a φ=，即()0f φ=，…………………4分 (0,)x φ∈时，'()0f x >，函数()f x 在区间(0,)φ上单调递增，……………………5分 (,)x φπ∈时，'()0f x <，函数()f x 在区间(,)φπ上单调递减. ……………………6分（2）2a b =时，()sin (2cos )2af x x x x =-+，()0f x ≤恒成立，等价于sin 2cos 2x ax x ≤+，……………………………………………7分 记sin ()2cos 2x ag x x x =-+，则222c o s 1'()3(2c o sx a ag x x x +=-=---+++，………8分 当123a ≥，即23a ≥时，'()0g x ≤，()g x 在区间[0,)+∞上单调递减， 所以当0x ≥时，()(0)0g x g ≤=，即()0f x ≤恒成立；………………………10分当1023a <<，即203a <<时，记sin ()32x a h x x =-，则cos '()32x ah x =-， 存在0(0,)2πθ∈，使得03cos 2a θ=,此时0(0,)x θ∈时，'()0h x >，()h x 单调递增，()(0)0h x h >=，即sin 32x ax >， 所以sin sin 2cos 32x x ax x ≥>+，即()0f x >，不合题意；…………………………12分 当0a ≤时，()1022af ππ=->，不合题意；……………………………………13分综上，实数a 的取值范围是2[,)3+∞…………………………………………………14分。

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江西省南昌市名校2014届高考数学模拟卷(五)及答案

江西省南昌市名校2014届高考数学模拟卷(五)及答案

江西省南昌市名校2014届高考数学模拟卷（五）命题人：南昌二中 审题人：南昌二中一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，a ∈R ．若复数2i 2ia a +-为实数，则a ＝A ．14B ．1C ．0 D．2± 2.（理）下列函数中，在其定义域上不是奇函数的是 A．ln(y x =+ B ．11()212xy x =+- C ．123312331ln 1x x y x x ++=-+ D ．ln(sec tan )y x x =+ （文）以下有关命题的说法错误．．的是 A ．命题“若2320,1x x x -+==则”的逆否命题为“若21,320x x x ≠-+≠则”B ．“cos α=”是“52,6k k z παπ=+∈”的必要不充分条件 C ．对于命题22:,10,:,10p x R x x p x R x x ∃∈++<⌝∀∈++≥使得则则 D ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题 3．（理）已知数列{}n a 的通项公式2(62)2014n a n n λ=-++，若6a 或7a 为数列{}n a 的最小项，则实数λ的取值范围A ．(3 , 4)B ． [ 2 , 5 ]C ． [ 3 , 4 ]D ． [59,22] （文）函数f (x )＝sin x cos xcos 2x 的最小正周期和振幅分别是 A ．πB ．πC ．2π，1D ．π， 4．（理）32sin cos sin y x x x =+-的最大值 A ．2827 B ．3227 C ．43 D ．4027（文）下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为A. ．0.2 B ．0.4 C ．0.5 D ．0.65．（理）7(354)x y z +- 展开式的项数为A ．21B ．28C ．36D ．45（文）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是A ．15B ．110 C ．35 D ．710 6．（理）由曲线28y x =与直线28y x =-围成的封闭图形的面积A ．24B ．36C ．42D ．48（文）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4-)<f (1)，则A ．a >0,4a -b ＝0B ．a <0,4a -b ＝0C ．a >0,2a -b ＝0D ．a <0,2a -b ＝0 7．如程序框图所示，已知集合A ＝{x|框图中输出的x 值}，集合B ＝{y|框图中输出的y 值}，全集U ＝Z ，Z 为整数集．当x ＝－1时()U C A B ＝DC ．{－3，－1,7}D ．{－3，－1,7,9}8.一个由三个正方体组成几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．9+11 C. 9.125 D ．10+9．（理）椭圆2211625x y +=上的点到圆22(6)1x y ++=上的点的距离的最大值A ．11B ．9CD ．（文）如图，F 1、F 2是椭圆C 1：24x ＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是C.3210如图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数()y S a =是图中阴影部分介于平行线y a =及x 轴之间的那一部分的面积，则函数()y S a =的图象大致为二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分.把答案填在答题卷中的横线上.) 11．（理）在ABC ∆中，C ∠为钝角，设B A P B A N B A M cos cos ,sin sin ),sin(+=+=+=,则P N M ,,的大小关系（文）曲线y=323++x x 在1=x 处的切线方程为 ．12．（理）已知点)3,3(A ， O 为坐标原点，点P （x ，y ）的坐标x ， y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-0,02303y y x y x 则向量OP 在向量A O 方向上的投影的取值范围是（文）已知数列}{n a 的通项公式2014)26(2++-=n n a n λ，若6a 或7a 为数列}{n a 的最小项，则实数λ的取值范围 13. （理）若函数 ,3,2,1)),(()(),()(,1)(112===+=+k x f f x f x f x f xx x f k k 又记：,则=)1(2014f（文）设0≤α≤π，不等式x 2－(2sin α)x ＋α2cos 21≥0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________．14．（理）若P ，Q 为21x y -=上在y 轴两侧的点，则过P,Q 的切线与x 轴围成的三角形的面积的最小值（文）直线82+=x y 的任意点P ,圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0上的任意点为Q ,线段PQ 的长度最小值等于________．15.（理科）选做题：本大题共2小题，任选一题作答. 若做两题，则按所做的第(1)题给分，共5分．(1)(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为3214x ty t=-⎧⎨=--⎩（t 为参数），若以直角坐标系xoy 的O 点为极点，ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为222(cos sin )16ρθθ-=．若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，则AB =（2）（不等式选做题）若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 .（文科）已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________． .三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题12分）（理）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b Bc的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由． （文）已知数列{}n a 满足：11a =，14n n a a n ++=,n S 是数列{}n a 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列111n S +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n K ,证明：对于任意的n ∈N*，都有34nK <17（理）已知数列{}n a 满足：11=a ，n a a n n 41=++,n S 是数列{}n a 的前n 项和;数列{}n b 前n 项的积为n T ，且(1)2n n n T -=。

江西省南昌市名校2014届高考数学模拟卷(3)及答案

江西省南昌市名校2014届高考数学模拟卷(3)及答案

江西省南昌市名校2014届高考数学模拟卷（三）命题人：江西师大附中 审题人：江西师大附中一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,(1)}M z i =+，i 为虚数单位，{3,4}N =，若{1,2,3,4}M N =，则复数z 在复平面上所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．函数()f x =的定义域为A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]3．（理）若1110(1),(1),(sin 1)x a x dx b e dx c x dx=-=-=-⎰⎰⎰，则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<（文）若1sin 23α=，则2cos ()4πα+= A ．23B ． 12C ． 13D ． 164．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若223,15,63k k k S S S -+===，则q =A ．2-B ．2C ．4-D ．45．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，对任意的实数x 均存在a 使得()()(0)f a f x f ≤≤成立，且||a 的最小值为2π，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A ．[,]()2k k k Z πππ-∈ B ．[,]()2k k k Z πππ+∈C ．[2,2]()2k k k Z πππ-∈ D ．[2,2]()2k k k Z πππ+∈6．已知椭圆:)20(14222<<=+b b y x ,左右焦点分别为21F F ，,,过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若||||22AF BF +的最大值为5，则b 的值是A ．1B ．2C ．23D ．37．已知平面α，命题甲：若//,//a b αα，则//a b ，命题乙：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，则下列说法正确的是 A ．当,a b 均为直线时，命题甲、乙都是真命题； B ．当,a b 均为平面时，命题甲、乙都是真命题；C ．当a 为直线，b 为平面时，命题甲、乙都是真命题；D ．当a 为平面，b 为直线时，命题甲、乙都是假命题；8．（理）51()(2)a x x x x +-展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为A ．40-B ．20-C ．20D ．40（文）从[0,3]中随机取一个数a ，则事件“不等式|1||1|x x a ++-<有解”发生的概率为A ．56B ．23C ．16D ．139．已知函数2()2f x x x =+的图像在点11(,())A x f x 与点2212(,())(0)B x f x x x <<处的切线互相垂直，则21x x -的最小值为A ．12 B ．1C ．32 D ．210．一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边在同一 直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积S 关于时间t 的函数为()S f t =，则下列图中与函数()S f t =图像最近似的是二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．) 11．已知两个不共线的单位向量,a b ，(1)c ta t b =+-，若()0c a b ⋅-=，则t = ．12．在OAB ∆中，120o AOB ∠=，OA OB ==，边AB 的四等分点分别为123,,A A A ，1A 靠近A ，执行下图算法后结果为 ．13．已知2()sin 21xf x x =++，则(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -+-+++= ．14．为了考察某校各班参加数学竞赛的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最小值为 ．15．(理)（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）①（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点(2,)2A π，点B在直线cos sin 0ρθθ= 上运动，则线段AB 的最短长度为 ． ②（不等式选做题）若函数()2()log |1||5|f x x x a =-+--的值域为R ,则实数a 的取值范围为 ．（文）1234212,21334,2135456,213575678,⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯… 依此类推，第n 个等式为 ．三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32C ππ<<且sin 2sin sin 2b Ca b A C =--．（I ）判断ABC ∆的形状；（II ）若||2BA BC +=，求BA BC ⋅的取值范围． 17．（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和为n S 满足：221220n n n n S S ++-=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12(1)(1)n n n n b S a -=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n N ∈，都有2n T <．（理）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3 5．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）若从女生中随机抽取2人调查，其中喜爱打篮球的人数为X，求X的分布列与期望．下面的临界值表供参考：(参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++)（文）一个袋中装有四个大小形状都相同的小球，它们的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机取两个小球，求取出的两个小球编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个小球，该球的编号为x，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个小球，该球的编号为y，求2y x<+的概率．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，1AD DC CB ===，060ABC ∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1CF =． (1) 求证：BC ⊥平面ACEF ；(2)（文）若点M 在线段EF 上移动，点N 为AB 中点，且MN ∥平面 FCB ，试确定点M 的位置，并求此时MN 的长度．（理） 若点M 在线段EF 上移动，试问是否存在点M ，使得平面MAB 与 平面FCB 所成的二面角为045 ，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分13分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上． （1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知12,NA AF NB BF λλ==，求12λλ+的值；（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为'P 、'Q ，''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=，若点S 满足OS OP OQ =+，证明：点S 在椭圆2C 上．（理）设函数321()(4)3f x mx m x =++，()ln g x a x =，其中0a ≠．（1）若函数()y g x =图象恒过定点M ,且点M 在()y f x =的图象上,求m 的值； (2)当8a =时,设()'()()F x f x g x =+,讨论()F x 的单调性；(3)在(1)的条件下,设(),1()(),1f x x G x g x x ≤⎧=⎨>⎩,曲线()y G x =上是否存在两点P 、 Q ,使OPQ ∆ (O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中 点在y 轴上?如果存在,求a 的取值范围;如果不存在,说明理由． （文）设函数322()=(0)f x x ax a x m a +-+>． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在[1,1]x ∈-内没有极值点，求a 的取值范围；（3）若对任意的[3,6]a ∈,不等式()1f x ≤在[2,2]x ∈-上恒成立,求m 的取值范围．参考答案11．12； 12．9； 13．5； 14．4 15．124a ≥（文）213(21)(1)(2)(2)nn n n n ⨯⨯⨯⨯-=+⨯+⨯⨯……三、解答题：（本大题共6小题共75分）16．解：（1）由sin 2sinA sin 2C b Ca b =--及正弦定理有sin sin 2B C =所以2B C =或2=2B C π+若2B C =，且32C ππ<<，所以23B ππ<<或B C π+>（舍）所以2=2B C π+，则A C =，所以ABC ∆为等腰三角形． （2）因为||2BA BC +=，所以222cos 4a c ac B ++⋅=，因为a c =，所以222cos a B a -=，而cos cos 2B C =-，32C ππ<<， 所以1cos 12B <<，所以2413a <<， 又2cos 2BA BC ac B a ⋅==-，所以2(,1)3BA BC ⋅∈17．解：（1）221220n n n n S S ++-=，122)0n n n n S S +-+=（)(，解得2nn S =当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=（1n =不适合）所以12,1,2,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）当1n =时，111211211(1)(1)(21)b S a -===---，1112T b ==<； 当2n ≥时，111211(21)(21)2121n n n n n n b ---==----- 22311111111()()()212121212121n n n T -=+-+-++------- 12221n=-<-综上，对于任意的*n N ∈，都有2n T <．18．（理）解：(1) 列联表补充如下： （2）∵2250(2015105)30202525K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯8.3337.879≈> ∴有99.5%以上的把握认为喜爱打篮球与性别有关.（3）喜爱打篮球的女生人数X 的可能取值为0,1,2. 其概率分别为021*******(0)20C C P X C ===，1110152251(1)2C C P X C ===，2010152253(2)20C C P X C ===故X 的分布列为：X 的期望值为7134012202205EX =⨯+⨯+⨯= ．（文）解：（1）袋中随机取两球的基本事件共有1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)（， 其中编号之和不大于4的基本事件有1,2),(1,3)（两种，所求的概率21==63P ． (2)从袋中依次有放回地两次取球的基本事件总数为44=16⨯（种） 当1x =时，23x +=，此时y 可取1,2两种情况；当2x =时，24x +=，此时y 可取1,2,3三种情况；当3x =时，24x +>，此时y 可取1,23,4，四种情况； 当4x =时，24x +>，此时y 可取1,23,4，四种情况， 所以，所求事件的概率2344131616P +++==．19．解：(1) 证明：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o ， ∴ 2AB =，2222cos 603AC AB BC AC BC =+-⋅︒=，∴ 222AB AC BC =+，∴ AC BC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，AC 是交线，BC ⊂平面ABCD ， ∴ BC ⊥平面ACEF ．(2) （文）设M 为EF 的中点，G 为AC 的中点，连MG ，NG ，则NG ∥BC ． 因为四边形ACEF 为矩形，所以MG ∥FC ，所以平面MNG ∥平面BCF 因为MN ⊂平面MNG ，所以MN ∥平面FCB ，即M 为EF 的中点时符合题意．这时，1MG CF ==，011111cos 60222222NG BC AB ==⋅=⨯⨯=由（I ）BC ⊥平面ACEF ，所以NG ⊥平面ACEF ，所以NG ⊥MG即MNG ∆为直角三角形，得MN ===（理）由(1)知，AC 、BC 、CF 两两垂直，以C 为原点，AC 、BC 、CF所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图），则00)A ，(010)B ，，，设(01)M a ，，，则(AB =，(,1,1)BM a =-， 设(,,)m x y z =是平面AMB 的法向量，则300m AB y m BM ax y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，，取1x =，得(1,3,)m a =-，显然(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量，于是cos m n <>==，，化简得22)0a +=，此方程无实数解， ∴ 线段EF 上不存在点M 使得平面MAB 与平面FCB 所成的二面角为45o ．20．解：（1）由抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2p F 在圆22:1O x y +=上得：214p =，2p ∴=，∴抛物线21:4C y x =同理由椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上可解得：1,b c a ==∴=． 得椭圆222:12y C x +=． （2）设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则(0,)N k -．联立方程组24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：2222(24)0,k x k x k -++= 216160,k ∴∆=+>且212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩由12,NA AF NB BF λλ==得：111222(1),(1),x x x x λλ-=-=整理得：121212,11x x x x λλ==--2212121221212224221241()11k x x x x k k x x x x k λλ+-+-∴+===-+-++-+．（3）设(,),(,),(,)p p Q Q p Q p Q P x y Q x y S x x y y ∴++，则'(,0),'(,0)p Q P x Q x 由''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=得21p Q p Q x x y y +=-…………①2212p p y x +=……………………② 2212Q Q y x +=……………………③由①+②+③得22()()12p Q p Q y y x x +++= ∴(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆2C 的方程，命题得证．21．（理）解：(1)令ln 0x =,则1x =,即函数()y g x =的图象恒过定点(1,0)M , 则1(1)(4)03f m m =++=，∴3m =- ．(2)2()2(4)8ln F x mx m x x =+++,定义域为(0,)+∞, 8()2(82)F x mx m x '=+++ =22(82)8mx m x x +++=(28)(1).mx x x ++0x >,则10,x +>∴当0m ≥时,280,()0,mx F x '+>> 此时()F x 在(0,)+∞上单调递增,当0m <时,由()0F x '>得40x m <<- ,由()0F x '<得4x m >-,此时()F x 在4(0,)m -上为增函数, 在4(,)m -+∞为减函数,综上当0m ≥时,()F x 在(0,)+∞上为增函数；0m <时,在4(0,)m -上为增函数,在4(,)m -+∞为减函数．(3)由条件(1)知32,1,()ln , 1.x x x G x a x x ⎧-+≤=⎨>⎩ 假设曲线()y G x =上存在两点P 、Q 满足题意,则P 、Q 两点只能在y 轴两侧设(,())(0)P t G t t >,则32(,),Q t t t -+ 因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形,所以0OP OQ ⋅=，232()()0t G t t t -++= ① 当01t <≤时,32()G t t t =-+，此时方程①为23232()()0t t t t t -+-++=,化简得4210t t -+=． 此方程无解,满足条件的P 、Q 两点不存在当1t >时,()ln G t a t =,方程①为232ln ()0t a t t t -+⋅+=,即1(1)ln ,t t a =+ 设()(1)ln (1)h t t t t =+>,则1()ln 1,h t t t '=++显然当1t >时()0h t '>即()h t 在(1,)+∞上为增函数,所以()h t 的值域为((1),)h +∞,即(0,)+∞,所以10a >，即0a >．综上所述,如果存在满意条件的P 、Q ,则a 的取值范围是0a >．（文）解：（1）∵22()=323()()3a f x x ax a x x a '+-=-+，又0a >，∴当x a <-或3a x >时，()0f x '>；当3a a x -<<时，()0f x '<． ∴函数()f x 的单调递增区间为(,)a -∞-，(,)3a +∞，单调递减区间为(,)3a a -． （2）由题设可知，方程22()=320f x x ax a '+-=在[1,1]-上没有实根， ∴(1)0(1)00f f a '-<⎧⎪'<⎨⎪>⎩，解得3a >．（3）∵[3,6]a ∈，∴由（Ⅰ）知[1,2]3a ∈，3a -≤-又[2,2]x ∈-，∴max (){(2),(2)}f x f f =-而2(2)(2)1640f f a --=-<，∴2max ()(2)842f x f a a m =-=-+++ 又∵()1f x ≤在[2,2]-上恒成立，∴max()1f x ≤，即28421a a m -+++≤ 即2942m a a ≤--在[3,6]a ∈上恒成立 ∵2942a a --的最小值为87-，∴87m ≤-．。

江西省南昌市2014届高三数学(理)交流卷(九)

江西省南昌市2014届高三数学(理)交流卷(九)

江西省南昌市2014届高三数学（理）交流卷（九）一、选择题（本题共10个小题，每题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的） 1若纯虚数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+（其中是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2-B ．2C ．-4D ．42．设集合33{|0},{|||},""""122x P x Q x x m P m Q x =≤=-≤∈∈-那么是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像的一部分，A ，B 是图像上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA ·OB 的值为（ ） A.12π B.19π2＋1 C.19π2－1 D.13π2－1 4．设各项为正的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且653,,a a a 成等差数列，则6453a a a a ++的值为（ ）A ．215+ B.215- C.21D.25．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A.163π B.193π C.1912π D.43π 6.已知奇函数)0,()(-∞在x f 上是单调减函数，且0)2(=f ，则不等式 0)1()1(>--x f x 的解集为（ ） A ．}13|{-<<-x x B.}3111|{<<<<-x x x 或 C ．}3103|{<<<<-x x x 或 D.}213|{><<-x x x 或7.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3 张，要 求这 3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( )A.232B.252C.472D.4848．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2p ，则双曲线的离心率为( )．A.102 B ．2 C. 5 D.529. 在实数集R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( ). A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜1210. 定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，其中1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 若1[()][0,)2f f a ∈，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,]4B. 11(,)42C. 11(,]42D. 3[0,]8二．选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分. 11（1）（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x t y t=⎧⎨=⎩（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c 的极坐标方程为（ ）A. 2cos sin 0ραα-=B. cos sin 0ραα-=C. 2cos sin 0ραα-=D. 2cos sin 0αρα-=（2）（不等式选做题）设，若不等式对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是（ ）A. 3(,]2-∞-B. 3[,)2+∞C. 33[,]22-D. 33(,][,)22-∞-+∞三.填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分） 12．已知二项式5展开式中的常数项为p ,且函数210()3,0110x f x p x x -≤≤=⎨-<≤⎪⎩, 则11()f x dx -=⎰___________.13．如图，正三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于点G ，已知△A ′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ②恒有平面A ′GF ⊥平面BCED ；③三棱锥A ′－FED 的体积有最大值； ④直线A ′E 与BD 不可能垂直．其中正确的命题的序号是________．14．运行如右图所示的程序框图，若输出的y 值的范围是 [0, 10]，则输入的x 的值的范围是 ．15.已知数列{a n }中，a 1＝1，且P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，若函数f (n )＝1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1n ＋a n(n ∈N *，且n ≥2)，函数f (n )的最小值是________． 四、解答题（本题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 16．（本小题满分12分）已知(cos sin )m x x x ωωω=+，()cos sin ,2sin n x x x ωωω=-，其中ω＞0．设函数f (x )＝m n ⋅，且函数f (x )的周期为π．(Ⅰ) 求ω的值；(Ⅱ)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等差数列，当f (B )＝1时，判断△ABC 的形状．18.（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB=1. （1）求证：平面AB 1D ⊥平面B 1BCC 1； （2）求证：A 1C//平面AB 1D ；（3）求平面BAB 1与平面DAB 1夹角的正切值.19．（本小题满分12分）数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n (S n －1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)设b n ＝22log n n S S +，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足T n ≥6的最小正整数n . 20．（本小题满分13分） 设点P 是圆x 2＋y 2＝4上任意一点，由点P 向x 轴作垂线PP 0，垂足为P 0，且0MP ＝320PP . (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)与(1)中的轨迹C 交于不同的两点A ，B . ①若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，求实数m 的取值范围；②若以AB 为直径的圆过曲线C 与x 轴正半轴的交点Q ，求证：直线l 过定点(Q 点除外)，并求出该定点的坐标．答案(理)又∵0＜B ＜π，∴6π＜2B ＋6π＜π613．∴2B ＋6π＝65π．∴B ＝3π．………………8分∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ．…………………………………………………9分∴cos B ＝cos 3π＝212222=-+ac b c a , ∴()4222c a c a ac +-+=． 化简得a ＝c ，……………………………………………………………………………11分 又∵B ＝3π，∴△ABC 为正三角形．…………………………………………………12分17．(本题满分12分)（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，61(0)6010P ξ=== … （3分） （２）由（1）可知1(0)10P ξ==；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2(3)15P ξ== … （7分）… （10分）E ξ=0×110+1×1130+2×25+3×215=4730…（12分 18.（本小题满分12分） 解法一：证明：（1）因为B 1B ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥B 1B （1分）因为D 为正△ABC 中BC 的中点，所以AD ⊥BD （2分） 又B 1B ∩BC=B ， 所以AD ⊥平面B 1BCC 1 （3分）又AD ⊂平面AB 1D ，故平面AB 1D ⊥平面B 1BCC 1 （4分） （2）连接A 1B ，交AB 1于E ，连DE （5分）因为点E 为矩形A 1ABB 1对角线的交点，所以E 为AB 1的中点 （6分） 又D 为BC 的中点，所以DE 为△A 1BC 的中位线，所以DE//A 1C （7分） 又DE ⊂平面AB 1D ，所以A 1C//平面AB 1D （8分） （3）解：过D 作DF ⊥AB 于F ，过F 作FG ⊥AB 1于G ，连接DG.因为平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，DF ⊥AB ，所以DF ⊥平面A 1ABB 1.又AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以AB 1⊥DF.又FG ⊥AB 1，所以AB 1⊥平面DFG ，所以AB 1⊥DG. （9分） 又AB 1⊥FG ，所以∠DGF 为二面角B —AB 1—D 的平面角. （10分） 因为AA 1=AB=1，所以在正△ABC中，DF =在3,4ABE FG BE ∆==中 （11分）所以在,tan DF Rt DFG DGF FG ∆∠==中 （12分） 解法二：解：建立如图所示的直角坐标系，依题意有：111(((0,,0),(0,,1),221(0,,0),(0,0,0)(2)2A A B B C D --分 （1）证明：由13(,0,0),(0,1,0),(0,0,1)AD BC BB ===，得110,,,0,AD BC AD BC AD BB AD BB ⎧⋅=⊥⎧⎪⎨⎨⊥⋅=⎩⎪⎩所以又BC ∩⊥BB 1=B ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1. （4分）又AD ⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D ⊥B 1BCC 1 （5分） （2）证明：连接A 1B ，交AB 1于E ，连DE ，因为点E 为正方形A 1ABB 1对角线的交点，所以E 为AB 1的中点，即11(,).42E - （6分） 11131131(,,),(,,1),4222,DE A C A C ED ==-=由得所以A C//ED.(7分)又DE ⊂平面AB 1D ，所以A 1C//平面AB 1D （8分） （3）解：设平面ABB 1的一个法向量为1111(,,),n x y z =由1111111310,20,AB n x y n BB n z ⎧⋅=-=⎪=⎨⎪⋅==⎩得 （9分） 设平面AB 1D 的一个法向量为2222(,,),n x y z =由12222222310,12(0,1,).230,AB n y z n AD n x ⎧⋅=-+=⎪⎪=⎨⎪⋅==⎪⎩得 （10分） 所以12cos ,n n <>==（11分） 所以126tan ,n n <>=，依图可得二面角B —AB 1—D （12分） 19. (1)证明：∵2n S ＝a n (S n －1)，∴2n S ＝(S n －S n －1)(S n －1)(n ≥2)．∴S n S n －1＝S n －1－S n ，即1S n －1S n －1＝1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)解：由(1)知S n ＝1n ，∴b n ＝log 2n ＋2n.∴T n ＝log 2(31×42×53×64×…×n ＋2n )＝log 2(n ＋1)(n ＋2)2≥6.∴(n ＋1)(n ＋2)≥128.∵n ∈N *，∴n ≥10.∴满足T n ≥6的最小正整数为10.20. 解：(1)设点M(x ，y)，P(x 0，y 0)，则由题意知P 0(x 0,0)．由0MP ＝(x 0－x ，－y)，0PP ＝(0，－y 0)，且0MP ＝320PP ，得(x 0－x ，－y)＝32(0，－y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－x ＝0，－y ＝－32y 0，于是⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝23y. 又x 20＋y 20＝4，∴x 2＋43y 2＝4.∴点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0.∴Δ＝(8mk)2－16 (3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0.(*),且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝2－3＋4k2.①依题意，k 2＝y 1y 2x 1x 2，即k 2＝kx 1＋m x 1·kx 2＋m x 2.∴x 1x 2k 2＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2.∴km(x 1＋x 2)＋m 2＝0，即km ⎝⎛⎭⎫－8mk 3＋4k 2＋m 2＝0.∵m≠0，∴k ⎝⎛⎭⎫－8k 3＋4k 2＋1＝0，解得k 2＝34.将k 2＝34代入(*)，得m 2<6.∴m 的取值范围是(－6，0)∪(0，6)．②证明：曲线x 24＋y 23＝1与x 轴正半轴的交点为Q(2,0)．依题意，AQ ⊥BQ ，即AQ ·BQ ＝0.于是(2－x 1，－y 1)·(2－x 2，－y 2)＝0. ∴x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝0，即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1＋m)·(kx 2＋m)＝0，∴(k 2＋1)·2－3＋4k2＋(km －2)·⎝⎛⎭⎫－8mk 3＋4k 2＋4＋m 2＝0.化简，得7m 2＋16mk ＋4k 2＝0. 解得，m ＝－2k 或m ＝－2k7，且均满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，直线l 的方程为y ＝k(x －2)，直线过定点(2,0)(舍去)；当m ＝－2k7时，直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0. ∴直线l 过定点⎝⎛⎭⎫27，0.21.【解析】（1）因为()22ln (0)a f x x a x x x=+->，所以()()222222222()1x a x a a a x ax a f x x x x x+---'=--==． ①若0=a ，()x x f =，()x f 在()+∞,0上单调递增．②若0>a ，当()0,2x a ∈时，()0f x '<， ()x f 在()a 2,0上单调递减；当()2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()x f 在()+∞,2a 上单调递增．③若0<a ，当()0,x a ∈-时，()0f x '<， ()x f 在()a -,0上单调递减；当(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，()x f 在()+∞-,a 上单调递增．综上：①当0=a 时，()x f 在()+∞,0上单调递增．②当0>a 时，()x f 在()a 2,0上单调递减，()x f 在()+∞,2a 上单调递增． ③当0<a 时，()x f 在()a -,0上单调递减，()x f 在()+∞-,a 上单调递增．（2）当1a =时，()()0ln 2>-+=x x xx x f ． 由（1）知，若1a =，当()0,2x ∈时，()0f x '<，()x f 单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()x f 单调递增，所以()()2ln 32min -==f x f ．因为对任意的12,[1,e]x x ∈，都有12()()f x g x ≥成立， 问题等价于对于任意[]1,e x ∈，()()min f x g x ≥恒成立， 即23ln 224ln 2x bx --+-≥对于任意[]1,e x ∈恒成立， 即12b x x+≥对于任意[]1,e x ∈恒成立， 因为函数x x y 1+=的导数21'10y x =-≥在[]1,e 上恒成立， 所以函数x x y 1+=在[]1,e 上单调递增，所以max 11e e x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以12e e b +≥，所以e 122eb +≥．。

(新课标)江西省南昌市名校2014届高三数学第二轮复习测试卷8(新建二中)

(新课标)江西省南昌市名校2014届高三数学第二轮复习测试卷8(新建二中)

某某市2013—2014学年度高三新课标第二轮复习测试卷数学（8）命题人：新建二中 肖英文 审题人：某某市教研室 孙建民 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 为虚数单位，复数21ii-等于 A ．l +i B ．-l -iC ．l -iD ．-l+i2．（理）在6的二项展开式中，x 2的系数为A ．427-B ．227-C ．227D ．427（文）已知集合M={y|y =sinx, x∈R}，N={0，1，2}, 则M N= A ．{-1,0,1} B ．[0,1] C ．{0,1} D ．{0，1,2}3．下列有关命题说法正确的是A ．命题p ：“∃x∈R，”，则⌝p 是真命题B ．“x=－1”是“x 2－5x －6=0”的必要不充分条件C ．命题“∃x∈R，使得x 2 +x+1<0“的否定是：“∀x∈R，x 2+x+1<0”D ．“a>l”是“y=log a x （a >0且a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件 4．设m ，n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面，给出下列条件,能得到m β⊥的是A ．αβ⊥，m α⊂B ．m ⊥α，αβ⊥C ．m ⊥n,n β⊂D ．m ∥n ,n β⊥ 5．设函数f （x ）=32sin tan 32x x θθθ++，其中θ∈50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则导数f '（1）的取值X 围是A ．[-2，2]B．C．2⎤⎦D．2⎤⎦6．甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差222s s s 甲乙丙，，的大小关系是（ ）频数环数环数甲乙丙环数A ．222s s s<<乙甲丙B ．222s s s<<甲乙丙C ．222s s s<<甲乙丙D ．222s s s<<乙甲丙7．设b a <，函数)()(2b x a x y --=的图象可能是8．（理）己知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，其前n 项和为S n ，若直线y = a 1x+m与圆（x －2）2+ y 2=1的两个交点关于直线x +y +d =0对称，则S n =A ． n 2B ．－n 2C ．2n －n 2D ．n 2－2n （文）已知圆C 的方程为012222=+-++y x y x ，当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，k 的值为A ．51-B ．51C ．5-D ．5 9．（理）设两个向量)cos ,2(22αλλ-+=a 和,(m b =)sin 2α+m ，其中αλ,,m 为实数，若b a 2=，则mλ的取值X 围是A ．]1,6[-B ．[4，8]C ．]1,6(-D ．]6,1[-（文）已知向量),1(m a =，),2(n b =，),3(t c =，且b a //，c b ⊥，则22||||c a +的最小值为A ．4B ．10C ．16D ．20 10．（理）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =（文）已知斜率为2的直线l 过抛物线ax y =2的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．x y 42= B ．x y 82=C ．x y 42=或x y 42-= D ．x y 82=或x y 82-=题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．) 11.(理)如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校的学生连续参观两天，其余学校的学生均只参观一天，则不同的安排方法共有 （文）如果函数)0)(6sin()(>+=ωπωx x f 的两个相邻零点之间的距离为12π，则ω的值为12.按如下程序框，最后输出的结果是13已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤+-042042k y x y y x ，且目标函数y x z +=3的最小值为1-，则常数=k _______．14.已知四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，且21=AA ，底面ABCD 的边长均大于2，且︒=∠45DAB ，点P 在底面ABCD 内运动，且在AB ，AD 上的射影分别为M ，N ，若|PA|=2，则三棱锥MN D P 1-体积的最大值为______． 15．(理)（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）①．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数，R ϕ∈）上的点到曲线cos sin 4(,)R ρθρθρθ+=∈的最短距离是 ②．（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值X 围是.．15(文). 若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值X 围是.三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16、（本题满分12分） 在△ABC 中，7cos 25A =-，3cos 5B =. （1）求sinC 的值；（2）设BC ＝5，求△ABC 的面积.17、（本题满分12分）（理）已知数列｛a n }满足：a 1＝1，1n na +＝2(n 十1)a n ＋n （n ＋1），（*n N ∈）， （1）若1nn a b n=+，试证明数列｛b n }为等比数列； （2）求数列｛a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ．（文）已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且n a =1，*n N ∈，数列1b ，21b b -，32b b -……，1n n b b --是首项为1，公比为12的等比数列. （1）求证：数列{a n }是等差数列；（2）若n n n c a b =，求数列{}的前n 项和Tn.18. （本题满分12分）（理）已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点．（1）在正方形ABCD 内部随机取一点P，求满足||PH <（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．（文）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于．．．0.2的概率．QPABC19. （本题满分12分）（理）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ， 底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //， 222===CD AD AB ，E 是PB 的中点.（1）求证：平面⊥EAC 平面PBC ； （2）若二面角E AC P --的余弦值为36， 求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.（文）在空间几何体PQ ABC -中，PA ⊥平面ABC ， 平面QBC ⊥平面ABC ，AB AC =，QB QC =． （1）求证：//PA 平面QBC ；（2）如果PQ ⊥平面QBC ，求证：Q PBC P ABC V V --=．20. （本题满分13分）（理）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为)0,1(1-F ，P 为椭圆G 的上顶点，且︒=∠451O PF （1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11:m kx y l +=与椭圆G 交于A 、B 两点，直线)(:2122m m m kx y l ≠+=与椭圆G 交于C 、D 两点，且CD AB =，如图所示.（i ）证明：021=+m m ；（ii ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.（文）四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线2y x =上，A ，C 关于y 轴对称，BD 平行于抛物线在点C 处的切线.（1）证明：AC 平分BAD ∠；（2）若点A 坐标为(1,1)-，四边形ABCD 的面积为4，求直线BD 的方程.21. （本题满分14分）（理）已知)(,2121x x x x =/是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点． (1)若11-=x ，22=x ，求函数)(x f 的解析式； (2)若22||||21=+x x ，某某数b 的最大值；(3)设函数)()()(1x x a x f x g --'=，若21x x <，且a x =2，求函数)(x g 在),(21x x 内的最小值．(用a 表示)（文）若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x ，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（1）函数()22x x f x+=是否关于1可线性分解?请说明理由；（2）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值X 围；某某市2013—2014学年度高三新课标第二轮复习测试卷数学（8）参考答案二、填空题：每小题5分，共25分．11．(理)120（文）12； 12．i =7； 13．9； 14．312-；15．（理）1；○242≤≤-a （文）42≤≤-a 三、解答题：（本大题共6小题共75分） 16、解：（1）在ABC ∆中，∵7cos 25A =-，24sin 25A ∴=又∵34c o s s i n 55B B =∴=12544sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴B A B A B A C ; （2）由正弦定理知：625sin sin ==A B BC AC311sin 21=⋅⋅=∴∆C AC BC S ABC17．（理）解：(1)121)1()1(211+=+⇒+++=++na n a n n a n na nn n n ， )1(222111+=+=+++nan a n a n n n 得，即n n b b 21=+，21=b 又,{}n b 所以是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由(1)知),12(212b -=⇒=+⇒=nn n n n n n a n a∴231(21)2(21)3(21)(21)n n S n =⨯-+⨯-+⨯-++-231222322(123)n n n =⨯+⨯+⨯++⋅-++++23(1)12223222n n n n +=⨯+⨯+⨯++⋅-.令231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅，则234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅，两式相减得：23112(12)22222212n nn n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅-，22)1(2)21(211+⋅-=⋅+-=++n n n n n n T .∴2)1(22)1(1+-+⋅-=+n n n S n n .(文)解（1）∵1n a =，21(1)4n n S a ∴=+当2211112,(1)(1)44n n n n n n a S S a a --≥=-=+-+22111(22)4n n n n a a a a --=+-- 即11()(2)0n n n n a a a a --+--=，12n n a a -∴-= 又11a =故数列{}n a 是等差数列.且21n a n =-; （2）∵12132111()()()22n n n n b b b b b b b b --=+-+-++-=-∴11121(21)(2)2(21)22n n n n c n n ---=--=--先求数列1212n n --⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A . ∵2313572112222n n n A --=+++++2312311135232122222212222211222222n n n n n nn n A n A ----=+++++-∴=+++++-211123232336262222n n n n nn n n n A A T n --+++=-∴=-∴=+-. 18.（理）解：（1）所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是224⨯=． 满足||PH <P 构成的平面区域是以H ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以H圆心角为2π的扇形HEG 的内部（即四分之一个圆）与两个 直角边为1的等腰直角三角形（△AEH 和△DGH ）内部构成．其面积是2112111422π⨯π⨯+⨯⨯⨯=+．所以满足||PH 112484π+π=+． （2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C28=条不同的线段．其中长度为1的线段有8条，4条，长度为2的线段有6条，的线段有8条，长度为2条． 所以ξ所有可能的取值为12且()821287P ξ===，(41287P ξ===， ()6322814P ξ===， (82287P ξ===， (212814P ξ===．所以随机变量ξ的分布列为：21321127714714E ξ=⨯++⨯++=（文）解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8， 所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形． 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，， ()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种． 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=15319．（理）解：（1）⊥PC 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，PC AC ⊥∴， 2=AB ，1==CD AD ，2==∴BC AC 222AB BC AC =+∴，BC AC ⊥∴ 又C PC BC = ，⊥∴AC 平面PBC ， ⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，－1，0）.设P （0，0，a ）（a>0），则E （21，21-，2a），)0,1,1(=CA ，),0,0(a CP =，)2,21,21(aCE -=，取m =（1，－1，0）则0m CP m CA ⋅=⋅=，∴m 为面PAC 的法向量设(,,)n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=， 即⎩⎨⎧=+-=+0,0az y x y x ，取a x =，a y -=，2-=z ，则(,,2)n a a =--， 依题意，26cos ,2m n a m n m na ⋅<>===+2=a 于是(2,2,2)n =--设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,3PA n PA n PA nθ⋅=<>==， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为32（文）解：（I ）如图，取BC 中点D ，连QD ， 由QB QC =得QD BC ⊥，∵平面QBC ⊥平面ABC ， ∴QD ⊥平面ABC ，又∵PA ⊥平面ABC ， ∴QD ∥PA ， 又∵QD ⊆平面QBC ， ∴PA ∥平面QBC ．（2）连接AD ，则AD BC ⊥．∵平面QBC ⊥平面ABC ，面QBC ∩面ABC BC =， ∴AD ⊥平面QBC ．又∵PQ QBC ⊥平面，∴PQ ∥AD ． 又由（1）知，四边形APQD 是矩形， ∴PQ AD =，PA QD =． ∴11()32Q PBC P QBC V V BC QD PQ --==⋅⋅⋅⋅， 而11()32P ABC V BC AD PA -=⋅⋅⋅⋅，则Q PBC P ABC V V --=． 20.（理）解：（1）设椭圆G 的标准方程为12222=+by a x （a>b>0）因为)0,1(1-F ,︒=∠451O PF ，所以b=c=1 2222=+=∴c b a∴椭圆G 的标准方程为1222=+y x（2）设A （11,y x ），B （22,y x ），),(33y x C ，D （44,y x ）（i ）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12,221y x m kx y ，消去y 得0224)21(21122=-+++m x km x k则0)12(8212>+-=∆m k ，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+2212121212122,214k m x x k km x x 2122122212214)(1)()(x x x x k y y x x AB -++=-+-=∴2212222122122112122212242141k m k k k m k km k++-+=+-⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+-+=同理222222112122k m k k CD ++-+=CD AB =，∴222222212221121222112122km k kk m k k ++-+=++-+21m m ≠，∴021=+m mPA（ii ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线AB ，CD 间的距离为d ，则2211km m d +-=，因为021=+m m ，∴2112km d +=∴2122122122112122km k m k kd AB S +⋅++-+=⋅=22212122421)12(24221212221212=+++-≤++-=k m m k k m m k 当且仅当212212m k =+时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值，且最大值为22（文）（1）设A (x 0，x )，B (x 1，x )，C (－x 0，x )，D (x 2，x )．对y ＝x 2求导，得y '＝2x ，则抛物线在点C 处的切线斜率为－2x 0．直线BD 的斜率k ＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 1＋x 2，依题意，有x 1＋x 2＝－2x 0．记直线AB ，AD 的斜率分别为k 1，k 2，与BD 的斜率求法同理，得 k 1＋k 2＝(x 0＋x 1)＋(x 0＋x 2)＝2x 0＋(x 1＋x 2)＝0， 所以∠CAB ＝∠CAD ，即AC 平分∠BAD ．（2）由题设，x 0＝－1，x 1＋x 2＝2，k ＝2．四边形ABCD 的面积 S ＝ 1 2|AC |·|x －x |＝ 12|AC |·|x 2＋x 1|·|x －x 1|＝ 12×2×2×|2－2x 1|＝4|1－x 1|， 由已知，4|1－x 1|＝4，得x 1＝0，或x 1＝2． 所以点B 和D 的坐标为(0，0)和(2，4)， 故直线BD 的方程为y ＝2x ．21．（理）解：)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ． (1)因为11-=x ，22=x 是函数)(x f 的两个极值点， 所以0)1(=-'f ，0)2(='f ．（2分）所以0232=--a b a ，04122=-+a b a ，解得6=a ，9-=b ． 所以x x x x f 3696)(23--=．（4分）(2)因为)(,2121x x x x =/是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点， 所以0)()(21='='x f x f ，所以21,x x 是方程)0(02322>=-+a a bx ax 的两根，因为32124a b +=∆，所以0>∆对一切0>a ，R b ∈恒成立， 而a b x x 3221-=+，321ax x -=，又0>a ，所以021<x x ， 所以||||||2121x x x x -=+=-+=212214)(x x x x a a b a a b 3494)3(4)32(222+=---，由22||||21=+x x ，得22349422=+a a b ，所以-=6(322a b )a ． 因为02≥b ，所以0)6(32≥-a a ，即60≤<a ．令)6(3)(2a a a h -=，则a a a h 369)(2+-='．当40<<a 时，0)(>'a h ，所以)(a h 在(0，4)上是增函数； 当64<<a 时，0)(<'a h ，所以)(a h 在(4，6)上是减函数．所以当4=a 时，)(a h 有极大值为96，所以)(a h 在]6,0(上的最大值是96， 所以b 的最大值是64．(3)因为21,x x 是方程0)(='x f 的两根，且)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ，所以321a x x -=，又a x =2，311-=x ， 所以))((3)(21x x x x a x f --='))(31(3a x x a -+=，所以)()()(1x x a x f x g --'=+--+=x a a x x a ())(31(3)31)(31(3)31--+=a x x a ，其对称轴为2a x =，因为0>a ，所以),31(2a a -∈，即),(221x x a ∈，所以在),(21x x 内函数)(x g 的最小值==)2()(min a g x g )312)(312(3--+a a a a 221(32)3()=2312a a a a +=-+-（文）解：（1）函数()22x x f x +=的定义域是R ，若是关于1可线性分解， 则定义域内存在实数0x ，使得()()()1100f x f x f +=+．构造函数()()()()11f x f x f x h --+=()12212221----++=+x x x x()1221-+=-x x ．∵()10-=h ，()21=h 且()x h 在[]0,1上是连续的，∴()x h 在[]0,1上至少存在一个零点．即存在[]00,1x ∈，使()()()1100f x f x f +=+． 另解：函数()22x x f x+=关于1可线性分解，由()()()11f x f x f +=+，得()3212221++=+++x x x x ．即222+-=x x．作函数()xx g 2=与()22+-=x x h 的图象，由图象可以看出，存在∈0x R ，使222+-=x x，即()()()1100f x f x f +=+)成立． （2）()x g 的定义域为()+∞,0．由已知，存在00>x ，使()()()a g x g a x g +=+00．即()()1ln 1ln 1ln 20000+-++-=++-+a a ax x a x a a x ．整理，得()1ln ln ln 00++=+a x a x ，即())e ln(ln 00ax a x =+．∴e 00ax x a =+，所以1e 0-=a ax ． 由01e 0>-=a a x 且0>a ，得e1>a ．∴a 的取值X 围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,e 1．。