再探一类矩形面积最大值问题的初等解法

梯形中的面积最大值问题(高度法求面积)
介绍
梯形是一种四边形，它有两条平行边和两条非平行边。

在这个
文档中，我们将探讨梯形中面积最大值的问题，并使用高度法来求解。

问题描述
给定一个梯形，我们希望找到一种方式，使得其面积最大化。

梯形的两条平行边分别为底边和顶边，两条非平行边分别为高边和
斜边。

我们需要确定高边的长度，以使得梯形的面积最大。

解决方法
通过使用高度法，我们可以找到使得梯形面积最大的高边长度。

假设梯形的底边长度为$a$，顶边长度为$b$，高边长度为$h$，斜边长度为$c$。

根据梯形的定义，我们知道底边和顶边是平行的，也就是$a \parallel b$。

此外，底边和顶边之间的距离就是高度$h$。

根据梯形的面积公式，我们可以得到梯形的面积$S$：
$$S = \frac{1}{2}(a + b) \cdot h$$
为了使得面积最大，我们需要找到一个合适的高边长度$h$。

根据数学原理，我们知道当两个量的乘积最大化时，这两个量之间
的比值也将达到最大。

因此，我们可以通过求解$\frac{a+b}{2}$的
最大值，得到高边长度$h$的值。

结论
通过高度法求解，我们可以得到梯形中面积最大的高边长度。

这个方法可以应用于不同大小和形状的梯形，帮助我们找到最优解。

在实际问题中，我们可以使用已知的梯形边长来计算面积最大化的
高边长度，从而优化我们的设计和规划。

矩形大法巧解高中竞赛题矩形，作为几何学中的基础图形之一，一直在高中数学竞赛中扮演着重要的角色。

无论是计算面积、周长，还是解决有关矩形的复杂问题，都离不开这个简单且有用的几何图形。

本文将通过几个实例，展示矩形的妙用，帮助读者更好地理解和应用矩形大法。

首先，我们来看一个有关矩形的基本题目：一个矩形的长是宽的2倍，面积为12平方单位，求矩形的周长。

解决这道题目时，我们可以利用矩形的面积和周长的关系，设矩形的长为x，那么宽就是2x。

根据题目给出的面积，我们可以得到方程x × 2x = 12，解得x = 2。

因此，矩形的长为2，宽为4，周长即为2 × (2 + 4) = 12。

接下来，我们来看一个关于矩形的最大面积问题：在给定的周长下，如何构造一个矩形，使得其面积最大？这个问题可以通过矩形的特性进行求解。

假设矩形的长为x，宽为y，根据矩形的周长公式2(x + y)，可以得到y = 周长/2 - x。

将y代入矩形的面积公式xy，得到面积函数f(x) = x(周长/2 - x)。

我们可以对这个函数进行求导，找到极值点。

通过求导可得，当x = 周长/4 时，矩形的面积取得极大值。

这个极大值就是通过合理的长宽选择构造出来的矩形的最大面积。

除了基本的矩形性质，还有一些和矩形有关的定理和性质在高中数学竞赛中经常被使用。

其中一个重要的定理是矩形的对角线长定理：在一个矩形中，对角线的平方等于长的平方加宽的平方。

这个定理在解决一些涉及矩形对角线的题目时非常有用。

另外，矩形的中点定理也是解决高中数学竞赛题目的利器。

它指出，一个矩形的对角线中点和长宽中点，以及一个角的中心构成一条直角三角形。

通过以上几个实例，我们可以看到矩形在高中数学竞赛中具有重要的应用价值。

无论是求解基本的题目，还是应用矩形的特性解决复杂的问题，矩形大法都能派上用场。

矩形的面积和周长的关系、构造最大面积矩形的方法、矩形相关的定理和性质，这些都是我们在竞赛中需要掌握和灵活应用的知识点。

(完整版)正方形中的最值问题
正方形是一种具有四个相等边和四个相等角的图形。

在正方形中，我们可以遇到一些涉及找到最值（最大值或最小值）的问题。

本文将探讨正方形中的最值问题，并提供解决这些问题的方法。

最大值问题
在一个给定的正方形中，我们可能被要求找到一些变量的最大值。

可以考虑以下两种情况：
1. 边长最大的正方形
如果我们要找到边长最大的正方形，我们只需考虑正方形的边长变量。

假设正方形的边长是`x`，则我们的目标是找到`x`的最大值。

2. 面积最大的正方形
如果我们想要找到面积最大的正方形，我们需要考虑正方形的面积变量。

正方形的面积等于边长的平方。

因此，我们的目标是找到边长`x`的最大值，使得面积`x^2`最大。

要解决这些最大值问题，我们可以使用数学方法和技巧，例如求导数、使用最大值定理等。

最小值问题
在正方形中，还可能存在一些最小值问题。

以下是一些常见情况：
1. 周长最小的正方形
如果我们要找到周长最小的正方形，我们只需考虑正方形的边长变量。

假设正方形的边长是`x`，则我们的目标是找到`x`的最小值。

2. 面积最小的正方形
如果我们想要找到面积最小的正方形，我们需要考虑正方形的面积变量，即边长的平方。

因此，我们的目标是找到边长`x`的最小值，使得面积`x^2`最小。

对于这些最小值问题，我们也可以使用数学方法和技巧进行求解。

综上所述，正方形中的最值问题涵盖了边长、面积、周长等变量的最大值和最小值问题。

通过使用数学方法，我们可以解决这些问题并找到它们的最优解。

面积最值问题★1.如图①、③，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BC＝CD＝2，AB＝1.(1)请在图①中找出一点O，使得OA＝OB＝OC＝OD；(2)如图②，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝4，分别以AB、BC、AC为底边作等腰三角形，且每一个等腰三角形的顶角都为120°，找出这三个等腰三角形中面积最大的那个，并求出它的面积；(3)如图③，点Q是四边形ABCD外一动点，将点Q和与点Q相邻的两个点连起来，组成一个五边形，且∠Q＝2α(0°<α<45°)，是否存在点Q，使得以点A、B、C、D、Q为顶点的五边形的面积最大？若存在这样的点Q，请说明如何确定点Q的位置及理由，并求出此五边形的最大面积；若不存在，请说明理由．第1题图解：(1)如解图①，连接BD ，过点C 作CO ⊥BD 于点O ，连接OA ，此时OA ＝OB ＝OC ＝OD ；(2)如解图②，△DEF 为等腰三角形，且∠EDF ＝120°，它的底边EF ＝a ，DG 是底边EF 上的高，则DG ＝EG ·tan30°＝a 2×33＝36a ，∴S △DEF ＝12×a ×36a ＝312a 2.由此可知，对于顶角为120°的等腰三角形，其底边越长，则其面积越大．∴以BC 为底边，顶角为120°的等腰三角形的面积最大，它的面积为312×62＝33；第1题解图① 第1题解图② (3)存在这样的点Q ，使得以点A 、B 、C 、D 、Q 为顶点的五边形的面积最大．∵DC ＝BC ＝2，∠DCB ＝90°，∴BD ＝22，∴OC ＝OD ＝OB ＝ 2.在Rt △ABD 中，根据勾股定理可得，AD ＝7.当点Q 和与它相邻的两点构成的三角形为等腰三角形，且∠Q 为顶角时，该三角形的面积最大． ∵7>2>1，∴当点Q 与点A 、D 构成以∠Q 为顶角的等腰三角形时，以点A 、B 、C 、D 、Q 为顶点的五边形的面积最大．∵S 四边形ABCD ＝S △BCD ＋S △ABD＝12×2×2＋12×7×1＝2＋72，S △ADQ 最大值＝（7）24tan α＝74tan α，∴以点A 、B 、C 、D 、Q 为顶点的五边形的最大面积为2＋72＋74tan α.★2.问题探究(1)如图①，过五边形EBCDF的边EF上的点P作矩形PGCH，使点G、H分别在边BC、CD上；(2)请在图②的五边形EBCDF的边EF上取一点P，过点P作正方形PGCH，使点G、H分别在边BC、CD上，并说明理由；问题解决(3)某体育馆拟用如图③中的空地紧靠BC边及CD边建一个矩形的室内场馆，四边形ABCD的边BC＝60米，宽AB＝40米的矩形地皮，其中△AEF已经被其他建筑占用，经测量，AE＝30米，AF＝40米．试分析如何设计才能使矩形场馆面积最大？第2题图解：(1)如解图①，点P 即为所求作的点；(2)如解图②，过点C 作∠BCD 的角平分线交EF 于点P ，过点P 分别作PG ⊥BC 于点G ，PH ⊥CD 于点H ，则四边形PGCH 即为所求正方形.理由如下：∵∠GCH ＝∠PGC ＝∠CHP ＝90°，∴四边形PGCH 为矩形，又∵CP 平分∠GCH ，∴四边形PGCH 为正方形；(3)如解图③，设P 为EF 上一点，过点P 作PM ⊥AB 于点M ， ∴Rt △EAF ∽Rt △EMP ，∴PE EF ＝EM AE ＝MP AF ，又∵AE ＝30，AF ＝40，∴EF ＝50， 第2题解图③令PE ＝x 米，矩形场馆面积为y 平方米，∴EM ＝35x ，MP ＝45x ，∴矩形的长PH ＝BC －MP ＝60－45x ，矩形的宽PG ＝EM ＋EB ＝35x ＋10，由题意得，y ＝(60－45x )(35x ＋10)＝－1225x 2＋28x ＋600，其中0≤x ≤50，∴y ＝－1225(x －1756)2＋30253，当x ＝1756时，矩形场馆PGCH 面积最大，最大面积为30253平方米．★3.问题探究(1)如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，若BC边上存在点P，使△APD为直角三角形，且∠APD为90°，请画出满足条件的一个直角三角形，并求出此时AP的长；(2)如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AD＝10，AB ＝7，CD＝1，点P在边BC上，且∠APD＝90°，求BP的长；问题解决(3)如图③，在平面直角坐标系中，点A、B、C分别是某单位的门房及两个仓库，其中OA＝100米，AB＝200米，OC＝300米，单位负责人想选一点P，安装监控装置，用来监控AB，使△APB面积最大，且∠APB＝2∠ACB，是否存在满足条件的点P，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)如解图①，△APD即为符合条件的直角三角形，AP＝22＋22＝22；第3题解图(2)如解图②，过点D作DE⊥AB于E，则四边形BCDE为矩形，∴EB＝DC＝1，AE＝AB－BE＝6，BC＝ED，在Rt△AED中，DE＝AD2－AE2＝8，∴BC＝8，设BP＝x，则PC＝8－x，∵∠B＝90°，∠APD＝90°，∴∠BAP＋∠APB＝∠APB＋∠DPC＝90°，∴∠BAP＝∠CPD，又∵AB∥CD,∴∠B＝∠C＝90°，∴△ABP∽△PCD，∴ABPC＝BPCD，即78－x＝x1，解得x1＝1，x2＝7，∴BP＝1或7；(3)如解图③，作△ABC的外接圆⊙P，则△APB的面积最大，且∠APB＝2∠ACB，此时，点P在直线x＝200上，连接PC、PB、P A、AC、BC，∵OB＝OC＝300米，∴∠OBC＝45°，∴∠CP A＝2∠CBO＝90°，在Rt△AOC中，AC2＝OC2＋OA2，在Rt△P AC中，AC2＝AP2＋PC2＝2AP2，∴2AP2＝OC2＋OA2＝3002＋1002＝100000，∴AP＝1005米，设直线x＝200交x轴于H，则AH＝HB＝OA＝100米，在Rt△P AH中，PH＝AP2－AH2＝200米，∴点P的坐标为(200，200)，取点P关于x轴的对称点P′为(200，－200)，则P′也符合题意．∴符合条件的点P为(200，200)和(200，－200)．★4.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，OB＝2，将矩形折叠，使点O落在边BC(含端点)上，落点为点D，这时折痕与OA或AC(含端点)交于点E，然后展开铺平，得到△ODE.(1)如图①，当点D位于BC的中点时，点E的坐标为________；(2)如图②，当点E与点A重合时，求△ODE的面积；(3)如图③，是否存在面积最大的△ODE？若存在，请求出此时点D 的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)(2，0)； (2)如解图①，以点A 为圆心，以OA 长为半径作弧交BC 于点D ，过点D 作DF ⊥OA 于点F ，连接OD 、AD ，可得DF ＝OB ＝2，∴S △ODE ＝12OA ·DF ＝12×4×2＝4；第4题解图①(3)存在．①当点E 在边OA 上时，如解图②，S △ODE ＝12OE ·OB ≤12OA ·OB ＝4，即当点E 与点A 重合时，△ODE 的面积最大，最大面积为4; 当点E 与点A 重合时，如解图①，由折叠性质可知AD ＝AO ＝4,在Rt △ACD 中，由勾股定理得：DC ＝AD 2－AC 2＝42－22＝23，∴BD ＝4－23，∴点D 坐标为(4－23，2)；②当点E 在边AC 上时，如解图③，过点E 作EF ∥OA 交OB 于点F ，交OD 于点G ，∵S △DGE ＝12GE ·BF ，S △OGE ＝12GE ·OF ，∴S △ODE ＝12GE ·BF ＋12GE ·OF ＝12GE ·(BF ＋OF )＝12GE ·OB ≤12EF ·OB ＝12S 矩形OACB ＝4.第4题解图④即当点E 在边AC 的中点时，△ODE 的面积最大，最大面积为4， 当点E 在边AC 的中点时，点D 与点B 重合，如解图④， 此时点D 坐标为(0，2)，综上所述，当△ODE 的面积最大时，点D 的坐标为(4－23，2)或(0，2)．★5.我们学过四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，圆内接四边形的对角(相对的两个角)互补．下面我们来研究它外角的性质．(1)在图①中作出圆内接四边形ABCD中以点C为顶点的外角∠DCG，请你探究外角∠DCG与它的相邻内角的对角(简称内对角)∠A的关系，并证明∠DCG与∠A的关系；(2)分别延长AD、BD到点E、F，如图②，已知四边形ABCD是圆内接四边形．如果DE平分∠FDC，请你探索AB与AC有怎样的数量关系？(3)如图③，点D是圆上一点，弦AB＝3，DC是∠ADB的平分线，∠BAC＝30°.当∠DAC等于多少度时，四边形ACBD面积最大？最大面积是多少？第5题图【思维教练】(1)根据邻补角和圆内接四边形对角互补的性质即可得出结论；(2)已知DE平分∠FDC，结合圆内接四边形性质对部分角进行等量代换，再根据三角形内等角对等边即可得出结论；(3)已知DC是∠ADB的平分线，结合圆周角定理可知∠ABC＝∠BAC，又有AB＝3，∴S△ABC为定值．由于S四边形DACB＝S△ABC＋S△DAB，故要求四边形DACB最大面积，只需求△DAB的最大面积即可．解：(1)如解图①，延长BC，∠DCG＝∠A.证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝180°，∵∠DCG＋∠BCD＝180°，∴∠DCG＝∠A；第5题解图①第5题解图②(2)AB＝AC.如解图②，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠2＝∠ABC，∵∠1＝∠ADB，∠ADB＝∠ACB，∴∠1＝∠ACB，∵DE平分∠FDC，∴∠1＝∠2，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ； (3)如解图③，∵DC 平分∠ADB ，∴∠ADC ＝∠BDC ，又∵∠ADC ＝∠ABC ，∠BDC ＝∠BAC ，∴∠ABC ＝∠BAC ， 第5题解图③ ∴AC ＝BC ，∵AB ＝3，∠BAC ＝30°，∴AC ＝BC ＝1，∴S △ABC 为定值．∵S 四边形DACB ＝S △ABC ＋S △DAB ，∴当S △DAB 最大时，四边形DACB 面积最大．在△DAB 中，AB 边不变，如解图③，当点D 为AB 的中垂线与圆的交点D ′时，四边形DACB 面积最大，连接D ′C ，此时△DAB 为等边三角形，且D ′C 应为圆的直径，∠D ′AC ＝90°.∵∠AD ′C ＝∠BAC ＝30°，∴D ′C ＝2AC ＝2，∴当∠DAC ＝90°时，四边形DACB 的最大面积为12×3×2＝ 3.。

小学三年级奥数巧求矩形面积专题解析摘要：《小学三年级奥数专题（二十七）巧用矩形面积公式》...，对左下图，我们无法直接求出它的面积，但是通过将它分割成几块，其中每一块都是正方形或长方形(见右下图)，分别计算出各块面积再求和，就得出整个图形的面积。

例1 右图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度...同学们都知道求正方形和长方形面积的公式：正方形的面积=a×a(a为边长)，长方形的面积=a×b(a为长，b为宽)。

利用这两个公式可以计算出各种各样的直角多边形的面积。

例如，对左下图，我们无法直接求出它的面积，但是通过将它分割成几块，其中每一块都是正方形或长方形(见右下图)，分别计算出各块面积再求和，就得出整个图形的面积。

例1 右图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度(单位：米)。

这个图形的面积等于多少平方米？分析与解：将此图形分割成长方形有下面两种较简单的方法，图形都被分割成三个长方形。

根据这两种不同的分割方法，都可以计算出图形的的面积。

5×2＋(5＋3)×3＋(5＋3＋4)×2=58(米2)；或5×(2＋3＋2)＋3×(2＋3)＋4×2＝58(米2)。

上面的方法是通过将图形分割成若干个长方形，然后求图形面积的。

实际上，我们也可以将图形“添补”成一个大长方形(见下图)，然后利用大长方形与两个小长方形的面积之差，求出图形的面积。

(5＋3＋4)×(2＋3＋2)-2×3-(2＋3)×4＝58(米2)；或(5＋3＋4)×(2＋3＋2)-2×(3＋4)-3×4＝58(米2)。

由例1看出，计算直角多边形面积，主要是利用“分割”和“添补”的方法，将图形演变为多个长方形的和或差，然后计算出图形的面积。

其中“分割”是最基本、最常用的方法。

例2 右图为一个长50米、宽25米的标准游泳池。

案例分析：最大矩形面积一、问题定义在X轴上水平放置着N个条形图，这N个条形图就组成了一个柱状图，每个条形图都是一个矩形，每个矩形都有相同的宽度，均为1单位长度，但是它们的高度并不相同。

任务就是计算柱状图中以X轴为底边的最大矩形的面积。

二、问题分析找出柱状图中各个高度的扩展矩形面积（即向左、向右分别找到比它高度小的X坐标,计算其面积），比较所有扩展的矩形面积，取其最大值，就是要求的最大矩形面积。

三、算法设计将柱状图的各个高度存到数组h中，并使用一个数组模拟的栈stack，栈中存取柱状图的X坐标值（序号），栈顶为top。

从第一个柱形开始，从左往右遍历找到所有柱形右边的第一个高度比它小的柱形，并将其X坐标值存入到left_right数组对应的元素中。

再从最后一个柱形开始，从右往左遍历找到所有柱形左边的第一个高度比它小的柱形，并将其X坐标值存入到right_left数组对应的元素中。

利用栈从左往右进行遍历：将第一个柱形X坐标值入栈，从第二个柱形开始从左往右比较高度，若高度较高，则将该柱形高度的X坐标值入栈，栈顶top+1，并依次比较下一个柱形的高度；若高度较低，则将参照柱形的X坐标值存入left_right数组对应的元素中，将原柱形X坐标值出栈，栈顶top-1，并继续比较栈中元素的高度值，直到栈空或者栈中元素比参照柱形的高度值小。

四、编码top = 1; //从左往右查找比自己小的值，并记录其位置stack[top] = 1;for(i = 2;i <= n;i++){while(top != 0 && h[i] < h[stack[top]]) //栈非空或栈中元素高{left_right[stack[top]] = i; //记录坐标值top--; //出栈}top++; // 进栈stack[top] = i;}五．测试目前函数测试通常采用黑盒测试方法，现根据直线特性针对本程序设计如下测试步骤：1、通用测试常规数据如下：n为7 依次输入高度值：2 1 4 5 1 3 3输出结果为：8n为6 依次输入高度值：4 6 2 7 5 8输出结果为：15n为6 依次输入高度值：7 5 8 4 6 2输出结果为：202、边界测试特殊边界数据如下：n为3 高度值依次输入100 100 100输出结果为300n为5 高度值依次输入0 0 0 0 0输出结果为0n为5 依次输入高度值：1 2 3 4 5输出结果为：5n为5 依次输入高度值：5 4 3 2 1输出结果为： 5成功就是先制定一个有价值的目标，然后逐步把它转化成现实的过程。

一 三角换元 二 柯西不等式 三 等和线的应用（2020•吴兴区校级模拟）已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，且|3||2|19c a c b -++=，则||c a +的取值范围为 457[194]， ． 【答案】457[19，4]． 解：如图，记3OA a =，2OB b =-，因为单位向量a ，b 的夹角为60︒， 则点A 的坐标为(3,0)，点B 的坐标为(1,3)--，因为120AOB ∠=︒， 所以22||32232cos12019AB =+-⨯⨯⨯︒=，因为|3||2|19c a c b -++=， 记OC c =，得点C 的轨迹为线段AB ，||c a +的几何意义是点(1,0)P -到线段AB 上的点的距离，又点P 到直线AB 的距离d 最小，||PA 最大， 直线AB 的方程为34330x y --=，所以4345719316d ==+，||4PA =，所以||c a +的取值范围是457[19，4]． 故答案为：457[19，4]．【点评】本题考查了向量的坐标运算、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式，关键是利用几何意义和坐标法解决，属于中档题．（2016•湖州模拟）已知单位向量1e ，2e 的夹角为120︒，12||3(,)xe ye x y R +=∈，则12||xe ye -的取值范【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算【专题】15：综合题；33：函数思想；49：综合法；5A ：平面向量及应用【分析】由已知求得1212e e =-．再由12||3xe ye +=得到223x y xy +-=．然后利用配方法及换元法分别求得12||xe ye -的最大值及最小值即可． 解：12||||1e e ==，且1e ，2e 的夹角为120︒，∴1212e e =-．21212||()xe ye xe ye x ∴+=+==．即223x y xy +-=． 2232x y xy xy xy xy ∴=+--=，即3xy ； 则21212||()93xe ye xe ye x xy -=-==；令x y t +=，则2222()2x y x y xy t +=++=，232xy xy t ∴++=，则213t xy =-，21212||()1xe ye xe ye x ∴-=-==．12||xe ye ∴-的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，训练了利用配方法及换元法求函数的最值，属难题．已知单位向量a ，b 的夹角为120︒，且||||3c a c b -+-=，则|2|c a +的取值范围是( )A ．3[2，)+∞B ．3]C ．)+∞D ．3[2，3]【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义，即可得到最值．解：由单位向量a ，b 的夹角为120︒，可设(1,0)a =，1(2b =-，可设(1,0)A ，1(2B -，设(,)c x y =，即(,)C x y ， 由于||||3c a c b -+-=，则222213(1)()()322x y x y -++++-=， 即(,)x y 到(1,0)A 和1(2B -，3)2的距离和为3，由于2213||(1)(0)322AB =++-=， 即表示点(1,0)A 和1(2B -，3)2之间的线段，则22|2|(2)c a x y +=++表示(2,0)D -到线段AB 上点的距离， 最小值是点(2,0)D -和B 的距离，即为3； 最大值为(2,0)D -到(1,0)A 的距离是3． 则|2|c a +的取值范围是[3，3]． 故选：B ．【点评】本题考查了向量的坐标运算、两点之间的距离公式，关键是利用几何意义和坐标法解决．（2020•青羊区校级模拟）已知单位向量a ，b 满足|2|2a b -=，若存在向量c ，使得(2)()0c a c b --=，则||c 的取值范围是( ) A ．6[61]+ B ．6[1-6] C ．6[1-61]+ D ．[6161] 【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5A ：平面向量及应用【分析】根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ，若|2|2a b -=，由数量积的计算公式可得44cos 14θ-+=，解可得1cos 4θ=，由此可以在直角坐标系中，设(1,0)a OA ==，则1(4b OB ==，15，(,)c OC x y ==；则有(1,0)A ，1(4B 15，(,)C x y ，又由(2)()0c a c b --=，则有115(2)()(04x x y y --+=，变形可得22915()(18x y -+=，分析可得点C 在以9(815)为圆心，半径为1的圆上，由点与圆的位置关系分析可得||1||||1OP OC OP -+，即可得答案．解：根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ，若|2|2a b -=，则222(2)444a b a a b b -=-+=，即44cos 14θ-+=，解可得1cos 4θ=，则在直角坐标系中，设(1,0)a OA ==，则1(4b OB ==，(,)c OC x y ==；则有(1,0)A ，1(4B ，(,)C x y ，若(2)()0c a c b --=，则有1(2)()(04x x y y --+=，即：2291042x y x y +-+=，变形可得：229()(18x y -+=，点C 在以9(8为圆心，半径为1的圆上，设9(8P ，则||OP ，则有||1||||1OP OC OP -+61||12c -+，则||c 的取值范围是11]+；故选：C ． 【点评】本题考查向量数量积的计算，关键是求出向量a ，b 的夹角，进而设出向量a ，b 的坐标．（2019•西湖区校级模拟）已知a ，b 是单位向量，若|||2|a b b a +-，则向量a ，b 夹角的取值范围是[0，]3π．【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角【专题】5A ：平面向量及应用；49：综合法；35：转化思想【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求出向量a ，b 夹角的取值范围． 解：已知a ，b 是单位向量，若|||2|a b b a +-，∴2222244a b a b b a b a ++-+，∴设向量a ，b 夹角的取值范围是θ，[0θ∈，]π，则112cos 44cos 1θθ++-+，求得1cos 2θ，[0θ∴∈，]π，故答案为：[0，]3π． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．（2014秋•滁州期末）已知a 、b 是单位向量，其夹角为120︒，若实数x 、y 满足||6xa yb +=，则22x y +的取值范围是 [4，12] ．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】利用向量的模长公式，化简||6xa yb +=，可得226x y xy +-=，再利用基本不等式，即可求出22x y +的取值范围． 解：a 、b 是单位向量，其夹角为120︒，实数x 、y 满足||6xa yb +=，226x y xy ∴+-=，226x y xy ∴+-=，222222622x y ∴-+-， 22412x y ∴+，22x y ∴+的取值范围是[4，12]；故答案为：[4，12]．【点评】本题考查向量的模长公式的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．（2017春•湖州期末）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，若||1a b ->，则θ的取值范围是( ) A ．62ππθ< B ．32ππθ< C ．3πθπ< D ．6πθπ<【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用；5A ：平面向量及应用 【分析】由向量数量积的定义和向量的平方即为模的平方，化简可得1cos 2θ<，再由夹角范围和余弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．解：a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，若||1a b ->，则2()1a b ->， 即有222112cos 1a b a b θ+-=+->，即为1cos 2θ<，由0θπ，可得3πθπ<． 故选：C ．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查余弦函数的图象和性质，以及运算能力，属于中档题．（2020•南通模拟）已知,a b 是单位向量，且夹角为60︒，||3c =，则11()()22a c b c --的取值范围是111[,]44- ． 【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A ：平面向量及应用；65：数学运算【分析】根据题意即可设13(,),(1,0),3(cos ,sin )22a b c θθ===，然后即可得出11,22a cbc --的坐标，进行向量坐标的数量积运算即可得出1153()()sin()22423a c b c πθ--=-+，从而可得出11()()22a cbc --的取值范围．解：据题意，设13(,),(1,0),3(cos ,sin )22a b c θθ===，∴113()222a c θθ-=-，13(1,)22b c θθ-=-，∴22111333()()sin 222444a cbc cos sin θθθθ--=+-+53(3cos sin )44θθ=-+53sin()423θ=-+， 1sin()13πθ-+，∴15311sin()44234πθ--+， ∴11()()22a cbc --的取值范围是111[,]44-．故答案为：111[,]44-． 【点评】本题考查了通过设向量的坐标，利用坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，两角和的正弦公式，考查了计算能力，属于难题．已知a ，b 是单位向量，其夹角为60︒，若向量c 满足||1c b a -+=，则||c 的取值范围为( ) A ．[31-，31]+ B ．[21-，21]+ C ．[0，2] D ．[1，22]【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】由题意不妨设13(1,0),(,)22a b ==，画出图形，数形结合得答案．解：由题意，不妨设13(1,0),(,)22a b ==，如图，则13(,22b a -=-，13|||()||(,)|122c b a c b a c ∴-+=--=--=，则||c 的取值范围为[0，2]．故选：C ．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，运用向量的坐标运算，能起到事半功倍的效果，属中档题．类型一：直接利用等和线解题例1．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1,2AB AD ==，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A ．3B ．225．2解：如图，若点P 在线段BD 上，则1λμ+=。

浅谈三角形中矩形面积的最大值与三角形三边的关系作为数学老师大家都知道，最值问题是我们中学阶段数学知识的一个重要的问题之一，也是中考经常考查的一个重要的知识点。

解决这类问题的基本思路就是怎样把一个具体问题怎样把它转化为一个具体的二次函数问题。

（即转化为二次函数：y=ax 2+bx+c,当a ＞0时y 有最小值且当x =－2b a 时，y 的最小值为244ac b a -；当a ＜0时，y 有最大值且当x=－2b a时，y 的2程如下。

在一分别在y 的值最DC AE，∵ ，解得：2. y=A ·AB=30(30)40x x -=-23030(40)4040x x -=-【2240202(22x x -∙∙+-220()2】 化简得：y=-3040 230402044x ⨯()+-.也可以表示为：y=﹣304021304020242x ⨯()⨯-+, 即 Y=-3040 (x -20)2 +300 大家注意观察上面二次函数表达式各项量的特点，当矩形的一边取20米（即为它所在直角边AE 的一半）时,矩形面积y 有最大值且最大值为300平方米(AF 与AE 积的四分之一)即矩形面积的最大值为直角三角形直角边之积的四分之一。

或者说其面积的最大值为直角三角形面积的一半。

在上面的解答过程中我们不难发现矩形面积存在最大值时，矩形的一边必须为其所在直角边长的一半，此时矩形面积的最大值的大小也与直角边有关，并且其面积的最大值为直角三角形面积的一半。

至此，我们可以从一个具体的直角三角形得到：直角三角形中矩形面积的最大值有这种关系：当矩形一边的长为它所在直角边边长的一半时，此时矩形的面积有最大值且最大面积为直角三角形面积的一半。

上面我们所说的只是一个具体特殊的直角三角形，那么一般的直角三角形中矩形面积的最大值是否也有这种结论∠C 所， 所以h=b即：情况如图上与即：可见这种情况和我们上面猜想的结论也是相吻合的。