乘法公式专题复习

乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

乘法公式综合复习讲义乘法公式是数学中常用的运算法则，它可以用于进行乘法运算。

下面将按知识点进行综合复习乘法公式。

1.乘法的交换律：乘法运算中，两个数的乘积不受它们的顺序影响，即a×b=b×a。

例如，2×3=3×2=62.乘法的结合律：乘法运算中，三个或更多个数相乘，可以任意改变它们的顺序，结果保持不变，即(a×b)×c=a×(b×c)。

例如，(2×3)×4=2×(3×4)=243.乘法的分配律：乘法运算中，一个数乘以两个数的和，等于这个数分别乘以这两个数，再将结果相加，即a×(b+c)=a×b+a×c。

例如，2×(3+4)=2×3+2×4=144.平方公式：将一个数平方，等于这个数乘以它本身，记作a^2=a×a。

例如，5^2=5×5=255.平方差公式：两个数的乘积等于它们的平方和减去它们的平方差，记作a×b=(a+b)×(a-b)。

例如，6×4=(6+4)×(6-4)=60。

6. 二次方差公式：两个数的平方和等于它们的平方差加上它们的乘积的两倍，记作 a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab。

例如，3^2 + 4^2 = (3 + 4)^2 - 2 × 3 × 4 = 49 - 24 = 257.乘法的倒数公式：一个非零数的倒数等于它的倒数乘以它自己，等于1，记作a×(1/a)=1、例如，2×(1/2)=18.乘法的零律：任何数与0相乘，结果都为0，即a×0=0。

例如，7×0=0。

9.乘法的单位元素：任何数与1相乘，结果都等于它自己，即a×1=a。

例如，6×1=610.乘法的负数规律：一个数与它的相反数相乘，结果为负数，即a×(-b)=-(a×b)。

乘法公式 专题训练一．知识点1. 平方差公式： ()()22a b a b a b -+=-2. 完全平方公式： ()2222a b a b ab ±=+± 3. ()()()2x a x b x a b x ab ++=+++4. 立方和（差）公式： ()()2233a b a b ab a b ++-=+()()2233a b a b ab a b -++=-5. 三数和平方公式： ()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++6. 欧拉公式： ()()2223333a b c a b c ab ac bc a b c abc ++++---=++-二．例题选讲：例1. 计算：（1） ()()()y x x y y x -+--33322（2）()()4334x y y x --- （3） ()()35a a -+（4） ()()22x y x y +- （5） ()221x y -+ （6） ()()2121x y x y +---例2： 填一个适当的数（式），使等式成立：① ++x x 62 =(+x )2 ② +-a a 1242 = (-a 2 )2 ③++xy x 1292 = (+x 3 )2 ④ +-a a 4162 = (-a 4 )2⑤ ()()23a a -+= ⑥ 23x x +- = ()(2x x -+) ⑦ 23x x ++ = ()(2x x ++ ) ⑧ 23x x ++ = ()(4x x -+) 例3． 已知 7x y += ，12xy = ，求下列代数式的值：（1） a b - （2） 44a b +三．基础训练1.下列各式中, 不能用平方差公式计算的是（ ）A ．(3a +2b )(2b -3a )B ．(4a 2-3bc ) (4a 2+3bc )C ．(2a +3b )(-3b -2a )D ．(-3m +5)(-5-3m )2.若()()A y x y x +-=+222323，则代数式A=（ ） A ．xy 12- B ．12xy C ．24xy D ．-24xy3．一个长方形的面积为x 2－y 2，以它的短边为边长的正方形的面积为（ ）Ａ.x 2＋y 2 Ｂ.x 2＋y 2－２xy Ｃ.x 2＋y 2＋２xy Ｄ.以上都不对4．如果两个单项式的差的平方是2221a b ab -+,那么这两个单项式是（ ）A.a 与bB.ab 与1或-ab 与-1C.a 2与b 2D.ab 与-1或-ab 与15．若12a a +=,则221a a += ________, 221a a-=________ 6．若a 2+b 2=10, a+b=2 ,则 (a-b)2 =________7.如果23222686)43(xy y x x by y x x ax +-=+-成立，则a =_________,b =________8.三个连续奇数，若中间一个为n ，则它们的积是________________9.用乘法公式计算：(1) (-ab+2)(ab+2) (2)(3x-4y)2-(3x+4y)2(3) 22111()()()339x y x y x y +-+ （4）(x-2y+1)(x+2y-1)(5) (x+2y+4)(x-2y+4) (6) 2)52(c b a +-四．提高训练1. 试说明理由：不论x,y 取什么有理数,多项式22223x y x y +-++的值总是正数。

初高中衔接知识专题乘法公式
先来看今天的知识点：
乘法公式：
1. 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b
2.
2. 立方和公式： (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b
3.
3. 立方差公式： (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3.
4. 完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2;
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
5. 完全立方公式：
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
这些公式可以用多项式乘多项式的方法，通过计算获得，亲爱的同学，你可以把这些公式作为练习，自己计算一下.
记忆这些公式时，要注意以下几点：
第一：要注意公式中有负号时，负号所处的位置.
第二：完全平方公式展开后，每一项的次数都是2，如果某一项里面有两个字母，它的系数也是2，如： 2ab；如果某一项是单独一个字母的平方，它的系数是1，如： a2.
完全立方公式与此类似.
有“负号”的那个完全立方公式，展开后，如果某一项含有b的奇数次方，这一项的符号就是“负号”. 如： -3a2b，因为它含有b的一次方，所以它的符号是“负号”.
千万不要小看上面的这两道例题哦，它们不但经常会出现在初中的一些探究题中，而且可以作为最基本的模型，在高中的好多知识模块中都能用到. 亲爱的同学，你一定要好好琢磨这两道例题的特点和解法，最好能自己再做一遍.。

专题1.3 乘法公式【九大题型】【北师大版】【题型1 乘法公式的基本运算】 (1)【题型2 利用完全平方式确定系数】 (3)【题型3 乘法公式的运算】 (4)【题型4 利用乘法公式求值】 (6)【题型5 利用面积法验证乘法公式】 (7)【题型6 乘法公式的应用】 (9)【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】 (12)【题型8 整式乘法中的新定义问题】 (17)【题型9 整式乘法中的规律探究】 (20)【题型1 乘法公式的基本运算】【例1】（2022春•青川县期末）下列各式中计算正确的是（ ）A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2【分析】根据平方差公式对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣（2b）2，故本选项错误；B、应为（﹣a+2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4ab﹣4b2，故本选项错误；C、（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2，正确；D、应为（﹣a﹣2b）（a+2b）＝﹣a2﹣4ab﹣4b2，故本选项错误．故选：C ．【变式1-1】（2022春•六盘水期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）A ．（﹣x +2y ）（x ﹣2y ）B ．（3x ﹣5y ）（﹣3x ﹣5y ）C ．（1﹣5m ）（5m ﹣1）D ．（a +b ）（b +a ）【分析】根据平方差公式的特征：（1）两个两项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A 、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；B 、﹣5y 是相同的项，互为相反项是3x 与﹣3x ，符合平方差公式的要求；C 、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；D 、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算；故选：B ．【变式1-2】（2022春•巴中期末）下列运算正确的是（ ）A ．（x +y ）（y ﹣x ）＝x 2﹣y 2B ．（﹣x +y ）2＝﹣x 2+2xy +y 2C ．（﹣x ﹣y ）2＝﹣x 2﹣2xy ﹣y 2D ．（x +y ）（﹣y +x ）＝x 2﹣y 2【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可．【解答】解：A 、结果是y 2﹣x 2，故本选项不符合题意；B 、结果是x 2﹣2xy +y 2，故本选项不符合题意；C 、结果是x 2+2xy +y 2，故本选项不符合题意；D 、结果是x 2﹣y 2，故本选项符合题意.【变式1-3】（2022秋•天心区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）A ．（a ﹣b ）（﹣b ﹣a ）B ．（﹣n 2﹣m 2）（m 2+n 2）C ．(−12p +q)(q +12p)D ．（2x ﹣3y ）（2x +3y ）【分析】A 、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；B 、原式第一个因式提取﹣1变形后利用完全平方公式计算得到结果，符合题意；C 、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；D 、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意．【解答】解：A 、原式＝b 2﹣a 2，本选项不合题意；B 、原式＝﹣（m 2+n 2）2，本选项符合题意；C、原式＝q2−1p2，本选项不合题意；4D、原式＝4x2﹣9y2，本选项不合题意，故选：B．【题型2 利用完全平方式确定系数】【例2】（2022秋•望城区期末）若二项式x2+4加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ ）A．1个B．2个C．3个D．5个【分析】本题考查运用完全平方式进行因式分解的能力，式子x2和4分别是x和2的平方，可当作首尾两项，根据完全平方公式可得中间一项为加上或减去x和2的乘积的2倍，即±4x，同时还应看到x2+4加上﹣4或﹣x2或x4后也可分别构成完全平方式，所以可加的单项式共有5个．16等5个．【解答】解：可添加±4x，﹣4，﹣x2或x416故选：D．【变式2-1】（2022•南通模拟）如果多项式x2+2x+k是完全平方式，则常数k的值为（ ）A．1B．﹣1C．4D．﹣4【分析】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是1，平方即可．【解答】解：∵2x＝2×1•x，∴k＝12＝1，故选A．【变式2-2】（2022秋•青县期末）若9x2﹣（K﹣1）x+1是关于x的完全平方式，则常数K的值为（ ）A．0B．﹣5或7C．7D．9【分析】根据完全平方式的定义解决此题．【解答】解：9x2﹣（K﹣1）x+1＝（3x）2﹣（K﹣1）x+12．∵9x2﹣（K﹣1）x+1是关于x的完全平方式，∴9x2﹣（K﹣1）x+1＝（3x）2±2•3x•1+12＝（3x）2±6x+12．∴﹣（K﹣1）＝±6．当﹣（K﹣1）＝6时，K＝﹣5．当﹣（K﹣1）＝﹣6时，K＝7．综上：K＝﹣5或7．故选：B ．【变式2-3】（2022秋•崇川区校级月考）（x +a ）（x +b ）+（x +b ）（x +c ）+（x +c ）（x +a ）是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成（ ）A ．a ＜b ＜cB ．（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2＝0C ．c ＜a ＜bD ．a ＝b ≠c【分析】先把原式展开，合并，由于它是完全平方式，故有3x 2+2（a +b +c ）x +（ab +bc +ac ）＝（a +b +c ）]2，化简有ab +bc +ac ＝a 2+b 2+c 2，那么就有（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2＝0，三个非负数的和等于0，则每一个非负数等于0，故可求a ＝b ＝c ．故选答案B ．【解答】解：原式＝3x 2+2（a +b +c ）x +（ab +bc +ac ），∵（x +a ）（x +b ）+（x +b ）（x +c ）+（x +c ）（x +a ）是完全平方式，∴3x 2+2（a +b +c ）x +（ab +bc +ac ）＝+a +b +c ）]2，∴ab +bc +ac =13（a +b +c ）2=13（a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ），∴ab +bc +ac ＝a 2+b 2+c 2，∴2（ab +bc +ac ）＝2（a 2+b 2+c 2），即（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2＝0，∴a ﹣b ＝0，b ﹣c ＝0，c ﹣a ＝0，∴a ＝b ＝c ．故选：B ．【题型3 乘法公式的运算】【例3】（2022春•龙胜县期中）计算：（1−152）×（1−162）×（1−172）×…×（1−1992）×（1−11002）的结果是（ ）A ．101200B ．101125C ．101100D ．1100【分析】根据a 2﹣b 2＝（a ﹣b ）（a +b ）展开，中间的数全部约分，只剩下第一个数和最后一个数相乘，从而得出答案．【解答】解：原式＝（1−15）×（1+15）×（1−16）×（1+16）×（1−17）×（1+17）×…×（1−199）×（1+199）×（1−1100）×（1+1100）=45×65×56×76×67×87×⋯×9899×10099×99100×101100=45×101100=101125．故选：B．【变式3-1】（2022秋•碾子山区期末）先化简，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x ＝1，y＝2．【分析】利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．【解答】解：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），＝4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2），＝4x2﹣y2﹣4y2+x2，＝5x2﹣5y2，当x＝1，y＝2时，原式＝5×12﹣5×22＝5﹣20＝﹣15．【变式3-2】（2022春•乳山市期末）用乘法公式进行计算：（1）20192﹣2018×2020；（2）112+13×66+392．【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．【解答】解：（1）20192﹣2018×2020＝20192﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20192﹣（20222﹣1）＝1；（2）112+13×66+392＝112+13×2×3×11+392＝112+2×11×39+392＝（11+39）2＝502＝2500．【变式3-3】（2022春•顺德区校级月考）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（264+1）＝（24﹣1）（24+1）…（264+1）＝…＝（264﹣1）（264+1）＝2128﹣1．【题型4 利用乘法公式求值】【例4】（2022秋•九龙坡区校级期中）若a 2﹣b 2＝16，（a +b ）2＝8，则ab 的值为（ ）A ．−32B ．32C ．﹣6D ．6【分析】根据a 2﹣b 2＝16得到（a +b ）2（a ﹣b ）2＝256，再由（a +b ）2＝8，求出（a ﹣b ）2＝32，最后根据ab 【解答】解：∵a 2﹣b 2＝16，∴（a +b ）（a ﹣b ）＝16，∴（a +b ）2（a ﹣b ）2＝256，∵（a +b ）2＝8，∴（a ﹣b ）2＝32，∴ab ==8−324=−6，故选：C ．【变式4-1】（2022春•姜堰区校级月考）已知4m +n ＝90，2m ﹣3n ＝10，求（m +2n ）2﹣（3m ﹣n ）2的值．【分析】原式利用平方差公式分解，变形后将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵4m +n ＝90，2m ﹣3n ＝10，∴（m +2n ）2﹣（3m ﹣n ）2＝[（m +2n ）+（3m ﹣n ）][（m +2n ）﹣（3m ﹣n ）]＝（4m +n ）（3n ﹣2m ）＝﹣900．【变式4-2】（2022春•双峰县期中）若x 、y 满足x 2+y 2=54，xy =−12，求下列各式的值．（1）（x +y ）2（2）x 4+y 4．【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵x 2+y 2=54，xy =−12，∴原式＝x 2+y 2+2xy =54−1=14；（2）∵x 2+y 2=54，xy =−12，∴原式＝（x 2+y 2）2﹣2x 2y 2=2516−12=1716．【变式4-3】（2022春•包河区期中）已知（2022﹣m ）（2022﹣m ）＝2021，那么（2022﹣m ）2+（2022﹣m ）2的值为（ ）A ．4046B ．2023C ．4042D ．4043【分析】利用完全平方公式变形即可．【解答】解：∵（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2，∴a 2+b 2＝（a ﹣b ）2+2ab ．∴（2022﹣m ）2+（2022﹣m ）2＝[（2022﹣m ）﹣（2022﹣m ）]2+2×（2022﹣m ）（2022﹣m ）＝4+2×2021＝4046．故选：A ．【题型5 利用面积法验证乘法公式】【例5】（2022春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2【分析】利用两个图形面积之间的关系进行解答即可．【解答】解：如图，图甲中①、②的总面积为（a+b）（a﹣b），图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A．【变式5-1】（2022春•乐平市期末）如图所示，两次用不同的方法计算这个图的面积，可验证整式乘法公式是（ ）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】用代数式表示各个部分以及总面积即可得出答案．【解答】解：大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，四个部分的面积分别为a2、ab、ab、b2，由面积之间的关系得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选：C．【变式5-2】（2022春•锦州期末）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为（ ）A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9B．（a+3）2＝a2+6a+9C．a（a+3）＝a2+3a D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9【分析】用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可．【解答】解：图1中，阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣32＝a2﹣9，图2是长为a+3，宽为a﹣3的长方形，因此面积为（a+3）（a﹣3），所以有（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，故选：D．【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可以得到一个恒等式是（ ）A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a）B．x2+2ax＝x（x+2a）C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x）D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a）【分析】根据阴影部分面积相等得到恒等式即可．【解答】解：第一幅图阴影部分面积＝（x+a）2﹣a2，第二幅图阴影部分面积＝（x+a+a）x＝x（x+2a），∴（x+a）2﹣a2＝x（x+2a），故选：A．【题型6 乘法公式的应用】【例6】（2022春•榆次区期中）如图1，从边长为（a+5）cm的大正方形纸片中剪去一个边长为（a+2）cm 的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（ ）A．9cm2B．（6a﹣9）cm2C．（6a+9）cm2D．（6a+21）cm2【分析】由图形可知长方形的长为两正方形的和，宽为两长方形的差，据此可得答案．【解答】解：根据题意，长方形的面积为[（a+5）+（a+2）][（a+5）﹣（a+2）]＝3（2a+7）＝（6a+21）cm，故选：D．【变式6-1】（2022秋•西峰区期末）如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．【分析】设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，所以正方形MFNP的面积为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝900．【解答】解：）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，∴正方形MFNP的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．【变式6-2】（2022春•湖州期末）如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（ ）A．16B．14C．12D．10【分析】设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，根据图形及已知条件可将③长方形的长和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为16及大长方形的面积为100，得出x2与y2的数量关系，然后解得y2即可．【解答】解：设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，则标号为③的长方形长为（x+y），宽为（x﹣y），∵每个小长方形③的面积均为16，∴（x+y）（x﹣y）＝16，∴x2﹣y2＝16，∴x2＝16+y2∵大长方形的长等于标号为③的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标号为③的小长方形的宽与标号为①的正方形的边长的和，∴大长方形的长为：[（x+y）+x]＝2x+y，宽为：[（x﹣y）+x]＝2x﹣y，∵大长方形的面积为100，∴（2x+y）（2x﹣y）＝100，∴4x2﹣y2＝100，∴4（16+y2）﹣y2＝100，∴y2＝12，即标号为②的正方形的面积为y2＝12．故选：C．【变式6-3】（2022秋•香坊区校级期中）如图，我校一块边长为2x米的正方形空地是八年级1﹣4班的卫生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情况，其中1班的卫生区是一块边长为（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x．（1）分别用x、y的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积；（2）求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？【分析】（1）结合图形、根据平方差公式计算即可；（2）根据图形分别表示出2班的卫生区的面积和1班的卫生区，根据平方差公式和完全平方公式化简、求差即可．【解答】解：（1）八年3班的卫生区的面积＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；八年4班的卫生区的面积＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；（2）[2x﹣（x﹣2y）]2﹣（x﹣2y）2＝8xy．答：2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多8xy平方米．【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】【例7】（2008秋•上海校级期中）我们已经知道利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如图一，我们可以得到两数差的完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（1）请你在图二中，标上相应的字母，使其能够得到两数和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，（2）图三是边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分拼成图四的形状，利用这两幅图形中面积的等量关系，能验证公式　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　；（3）除了拼成图四的图形外还能拼成其他的图形能验证公式成立，请试画出一个这样的图形，并标上相应的字母．【分析】（1）此题只需将大正方形的边长表示为a，小正方形的边长表示为b即可，（2）此题只需将两个图形的面积表示出来写成等式即可；（3）此题还可以拼成一个矩形来验证公式的成立．【解答】解：（1）．（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）（2）根据两图形求得两图形的面积分别为：S1＝a2﹣b2；S2=12（3）拼成的图形如下图所示：【变式7-1】（2022春•西城区校级期中）阅读学习：数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到．如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的长是a+b，宽是a﹣b，比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（1）观察图3，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab　．（2）观察图4，请写出图4所表示的代数恒等式：　（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2　．（3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，仿照图4画出你的拼图并标出相关数据．【分析】（1）利用完全平方公式找出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系即可；（2）根据面积的两种表达方式得到图4所表示的代数恒等式；（3）由已知的恒等式，画出相应的图形即可．【解答】解：（1）（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（2）图4所表示的代数恒等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．（3）如图所示：故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．【变式7-2】（2022春•武侯区校级期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：（1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab　；（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，xy=11，求（x﹣y）2的值；[知识迁移]类似地，2用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．（3）根据图③，写出一个代数恒等式：　（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3　；（4）已知a+b＝3，ab＝1【分析】（1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积；（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解．（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式．（4）利用上题得出得关系式，进行变换，最终求出答案．【解答】解：（1）用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（2）由题（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，=14．∴﹣（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣4×112（3）利用两种方式求解长方体得体积，即可得出关系式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．（4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b），把a+b＝3，ab＝1代入得：a3+b3＝33﹣3×1×3＝18．9．【变式7-3】（2022春•贺兰县期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：　十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果　证明上述速算方法的正确性．【分析】（1）利用面积法即可解决问题；（2）模仿例题，构建几何模型，利用面积法计算即可；拓展应用：模仿例题计算57×53即可；探究规律，利用规律解决问题即可；【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；【题型8 整式乘法中的新定义问题】【例8】（2022春•嘉兴期中）定义：对于三个不是同类项的单项式A，B，C，若A+B+C可以写成（a+b）2的形式，则称这三项为“完全搭配项”，若单项式x2，4和m是完全搭配项，则m可能是　4x或﹣4x或116x 4　．（写出所有情况）【分析】分为三种情况：①m 为第二项时，②当m 为第一项时，根据完全平方式求出m 即可．【解答】解：①x 2±4x +4，此时m ＝±4x ，②（14x 2）2+x 2+4，此时m ＝（14x 2）2=116x 4，故答案为：4x 或﹣4x 或116x 4．【变式8-1】（2022春•成华区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；（2）试说明神秘数能被4整除；（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．【解答】解：（1）是，理由如下：∵28＝82﹣62，2012＝5042﹣5022，∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”；（2）“神秘数”是4的倍数．理由如下：（2k +2）2﹣（2k ）2＝（2k +2+2k ）（2k +2﹣2k ）＝2（4k +2）＝4（2k +1），∴“神秘数”是4的倍数；（3）设两个连续的奇数为：2k +1，2k ﹣1，则（2k +1）2﹣（2k ﹣1）2＝8k ，而由（2）知“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，但8不是4的偶数倍，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．【变式8-2】（2022春•博山区期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为：“奇异数”．如8，16，24都是“奇异数”．（1）写出两个奇异数（8，16，24除外）；（2）试问偶数6050是不是奇异数？为什么？【分析】（1）根据奇异数的定义判断即可；（2）偶数6050不是奇异数，根据两个连续正奇数的平方差，即（n+2）2﹣n2＝6050，求出n的值，判断即可．【解答】解：（1）奇异数可以为32，40；（2）不是奇异数，理由为：假设偶数6050为奇异数，即为两个连续正奇数的平方差，可设（n+2）2﹣n2＝6050，分解因式得：2（2n+2）＝6050，解得：n＝1511.5，可得n不是奇数，不符合题意，则偶数6050不是奇异数．【变式8-3】（2022•永川区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，否则称这个正整数为“非智慧数”．例如：22﹣12＝3；32﹣22＝5；32﹣12＝8；42﹣32＝7；42﹣22＝12；42﹣12＝15；…，等等．因此3，5，8，…，都是“智慧数”；而1，2，4，…，都是“非智慧数”．对于“智慧数”，有如下结论：①设k为正整数（k≥2），则k2﹣（k﹣1）2＝2k﹣1．∴除1以外，所有的奇数都是“智慧数”；②设k为正整数（k≥3），则k2﹣（k﹣2）2＝　4（k﹣1）　．∴都是“智慧数”．（1）补全结论②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧数”；（2）求出从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”．【分析】（1）由平方差公式即可得出答案，根据①②的结论除去奇数及4的正整数倍数，即可得所有大于5而小于20的“非智慧数”；（2）根据①②可判断出在1，2，3，4四个数中，只有1个“智慧数”3；k为正整数时，则4k+1，4k+3是奇数，4k+2，4k+4是偶数，而4k+2是“非智慧数”，4k+1，4k+3，4k+4是“智慧数“．从而根据循环规律判断出结果．【解答】解：（1）k2﹣（k﹣2）2＝（k+k﹣2）（k﹣k+2）＝2（2k﹣2）＝4（k﹣1）；智慧数是除4以外，所有4的正整数倍数．根据①，除去奇数：7，9，11，13，15，17，19；根据②，除去4的正整数倍数：8，12，16．则所有大于5而小于20的“非智慧数”有：6，10，14，18．（2）在1，2，3，4四个数中，只有1个“智慧数”3．当k为正整数时，则4k+1，4k+3是奇数，4k+2，4k+4是偶数，而4k+2是“非智慧数”，4k+1，4k+3，4k+4是“智慧数”．∴在从1开始的正整数中前4个正整数只有3为“智慧数”，此后每连续4个数中有3个“智慧数”．∵100＝1+3×33，∴4×（33+1）＝136．又∵136后面的3个“智慧数”为137，139，140，∴从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”是140．【题型9 整式乘法中的规律探究】【例9】（2022春•江阴市期中）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……根据规律计算：（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1的值为（ ）DA．22019﹣1B．﹣22019﹣1C．22019−13【分析】先计算（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]＝（﹣2）2019﹣1，然后再计算所给式子．【解答】解：∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]，＝（﹣2）2019﹣1，＝﹣22019﹣1，∴（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1=故选：D．【变式9-1】（2022•丰顺县校级开学）解答下列问题．（1）观察下列各式并填空：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8×　3　；②92﹣　7　2＝8×4；③　112　﹣92＝8×5；④132﹣　11　2＝8×　6　；…（2）通过观察、归纳，请你用含字母n（n为正整数）的等式表示上述各式所反映的规律；（3）你能运用平方差公式来说明（2）中你所写规律的正确性吗？【分析】（1）观察算式，补全空白即可；（2）观察算式，归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）利用平方差公式证明即可．【解答】解：（1）观察下列算式：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8×3；②92﹣72＝8×4；③112﹣92＝8×5；④132﹣112＝8×6；…故答案为：3，7，112，11，6；（1）通过观察归纳，猜想第n个式子为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）证明：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝4n•2＝8n，所以（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n得证．【变式9-2】（2022秋•肥城市期中）我们知道，1+2+3+…+n=n(n1)，关于这个公式的推导方法，有很多，2比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法：首先，我们知道：（n+1）2＝n2+2n+1，变形一下，就是（n+1）2﹣n2＝2n+1，依次给n一些特殊的值：1，2，3，…，我们就能得到下面一列式子：22﹣12＝2×1+1；32﹣22＝2×2+1；42﹣32＝2×3+1；…（n+1）2﹣n2＝2×n+1；观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到（n+1）2﹣12＝2×（1+2+3+…+n）+n，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为S就是：（n+1）2﹣12＝2×S+n，．把S表示出来，得到：S＝1+2+3+…+n=n(n1)2用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下S＝12+22+32+…+n2的值．【分析】根据已知等式得到n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1公式的n的式子，相加推导出12+22+32+42+…+n2的公式．【解答】解：∵n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1，∴当式中的n从1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式：13﹣03＝3﹣3+1，23﹣13＝3×22﹣3×2+1，33﹣23＝3×32﹣3×3+1，…，n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1，将这n个等式的左右两边分别相加得：n3＝3×（12+22+32+…+n2）﹣3×（1+2+3+…+n）+n，n（n+1）（2n+1）．即12+22+32+42+…+n2==16【变式9-3】（2022春•漳浦县期中）你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝　a2﹣1　；（a﹣1）（a2+a+1）＝　a3﹣1　；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝　a4﹣1　；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝　a100﹣1　（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，即可确定出结果；（2）利用得出的结果将原式变形，计算即可得到结果．【解答】解：（1）a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；（2）①（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，由于2﹣1＝1，则2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；②∵a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，∴a6＝1．。

专题04 乘法公式【真题测试】一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1.（浦东四署2020期末4）下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A.216x -+；B. 29x +；C. 24x --；D.2x y -２.2.（莘松中学2019期中4）下列整式乘法能够运用完全平方公式计算的是（ ）A. (a+b)(ab)B. (ab)(ba)C. (a+b)(a+b)D. (ab)(a+b) 3.（2019宝教院附中10月考6）如图(1)所示，在边长为a 的正方形纸板中挖掉一个边长为b 的小正方形（a b >），把余下的部分剪成一个矩形（如图(2)），通过计算两个图形的阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A.222()2a b a ab b -=-+；B. 22()()a b a b a b -=+-；C. 22(2)()2a b a b a ab b +-=+-；D.222()2a b a ab b +=++.(2)(1)4.（张江2019期中23）多项式22225122451x xy y x y -++-+的最小值为（ ） A. 41 B. 32C. 15D. 12 5.（浦东南片2020期末2）下列等式中，能成立的是（ ）A. ()222a b a ab b +=++B. ()22224a b a b -=-C. ()22244a a a +=++D. ()()2444a a a +-=- 6.（延安中学2019期中19）已知多项式214x +，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A.x;B.x;C.x 4;D.x 4.二、填空题（本大题共9题，每题3分，满分27分）7.（嘉定区2020期末10）计算：1122x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭_____________. 8.（莘松中学2019期中12）计算：1410-955⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭____________.9.（西南模2019期中7）计算：（﹣a +2b ﹣c ）2＝ ．10.（2019徐汇中学10月考8）计算：(2)(2)x y z z x y +--+= .11.（卢湾中学2020期末10）如果多项式219x +加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是________（填上两个你认为正确的答案即可）．12.（西延安2019期中14）已知：2246130x y x y +-++=则xy =_________.13.（张江2019期中13）已知5a b +=，3ab =，代数式(1)(1)(1)(1)a b a b ++--的值是__________ 14.（张江2019期中17）已知实数a 、b 满足221a b +=，则2227a b +的最小值是__________ 15.（西延安2019期中26）填空：已知多项式24x x ++________是一个完全平方.（请在横线上填上所以的适当的单项式.）三、解答题（本大题共8题，第16~19题每题6分，第20~21题每题7分，第22题8分，第23题9分，满分55分）16.（川中南2019期中23）利用乘法公式计算：101999999⨯⨯.17.（西延安2019期中204）计算:2625859.9⨯-（简便运算）18.（浦东南片联合2019期中22）计算：(2)(2)a b c a b c --+-.19.（2019宝教院附中10月考24）计算：2(2)(2)(2)a b a b b a ---+.20.（浦东南片联合2019期中27）已知：22()17,()13a b a b +=-=，求22ab a b +和的值.21.（张江2019期中33）已知：22(2019)(2020)5x x -+-=，求(2019)(2020)x x --的值．22.（浦东南片联合2019期中25）先化简，后求值：222111[(1)(1)](2)222a a a ++-⋅-，其中2a =.23.（2019徐汇中学10月考31）如图，已知线段AB=2，点P 是线段AB 上一点，分别以AP 、BP 为边作两个正方形.（1）如果AP=x , 求两个正方形的面积之和S ；S；（2）当点P是AB的中点时，求两个正方形的面积之和1S的大小. （3）当点P不是AB的中点时，比较（1）中的S与（2）中1。

乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz二．练习：1、下列各多项式中，不可以用平方差公式计算的是（）A．()()B+A+B-D．()()BAA-BA+ -B．()()B-C．()()BBA-A-AA+-B2、已知229x++是一个完全平方式，则k的值为（）kxy24yA．6 B．±6 C．12 D．±123.计算：(1)(3a-b)(-b-3a) （2）(3) ()()()2224+-+（4）x x x（5）（6）例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-探求：已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

乘法公式的复习讲义乘法是数学中非常重要的运算法则之一、掌握好乘法公式对于学生来说尤为重要，因此本讲义将以学生易于理解和操作的方式介绍乘法公式的内容。

一、乘法公式的基础1.乘法交换律：乘法运算中，乘数的先后顺序不影响最后的结果。

例如：3×4=4×3=122.乘法结合律：乘法运算中，不同乘数进行相乘后再乘以另一个数，结果相同。

例如：2×(3×4)=(2×3)×4=243.乘法分配律：乘法运算中，一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘再相加。

例如：2×(3+4)=2×3+2×4=14二、乘法公式的应用1.加法乘法运算律：利用乘法分配律可以进行更加复杂的计算。

例如：(3+2)×4=3×4+2×4=202.幂运算：乘方运算是指一个数连乘几次自己的运算。

例如：2的3次方表示为2³，即2×2×2=83.积的计算：乘法运算中，两个整数相乘得到的结果称为积。

例如：7×6=424.乘法的逆运算：除法是乘法的逆运算，可以通过除法运算求解未知数。

例如：如果6×x=12，那么x=12÷6=2三、乘法公式的综合应用1.平方的乘法公式：一个数的平方是指这个数乘以自己。

例如：(x + y)² = x² + 2xy + y²2.两个不同数的乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²例如：(3+2)(3-2)=3²-2²=9-4=53.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)例如：4²-3²=(4+3)(4-3)=7×1=74.立方的乘法公式：一个数的立方是指这个数乘以自己两次。

例如：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³注意：(a+b)³不等于a³+b³四、乘法公式的例题应用1.计算16×8÷4=32解析：首先乘法运算，16×8=128，然后除以4，128÷4=322.计算(5+3)×2-7=9解析：先计算括号中的加法，5+3=8，然后乘以2，8×2=16，最后减去7，16-7=93.计算6²+3²=45解析：首先计算平方运算，6²=6×6=36，然后再计算3²=3×3=9，最后相加，36+9=45通过以上的学习和例题应用，相信同学们对乘法公式有了更加深入的理解和掌握。

八年级数学上册《乘法公式》专项训练带解析，给孩子期末复习！专题一乘法公式1．下列各式中运算错误的是（D）A．a²+b²=(a+b)²－2abB．(a－b)²=(a+b)²－4abC．(a+b)(－a+b)=－a²+b²D．(a+b)(－a－b)=－a²－b²解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)²－2ab=a+2ab+b²－2ab=a²+b²，故A正确；B中，由完全平方公式可得(a－b)²=a²－2ab+b²，(a+b)²－4ab=a²+2ab+b²－4ab=a²－2ab+b²，故B正确；C中，由平方差公式可得(a+b)(－a+b)=(a+b)(b－a)=b²－a²=－a²+b²，故C正确；D中，(a+b)(－a－b)=－(a+b)²=－a²－2ab－b²，故D错误．2．代数式(x+1)(x－1)(x²+1)的计算结果正确的是（A）A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4 D．(x+1)4解析：原式=(x²－1)(x²+1)=(x²)²－1=x4－1．3．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)²－2(2x²－xy)（其中x=2，y=3）．解：原式=4x²－y²+x²+2xy+y²－4x+2xy=x²+4xy，当x=2，y=3时，原式=2²+4×2×3=4+24=28．专题二乘法公式的几何背景4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（ B ）A．（a+b）（a－b）=a²－b²B．（a+b）²=a²+2ab+b²C．（a－b）²=a－2ab+b²D．（a+b）²=a²+ab+b²解析：这个图形的整体面积为(a+b)²；各部分的面积的和为a²+2ab+b²；所以得到公式（a+b）²=a²+2ab+b²．故选B．5．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（C）A．a²－b²=（a+b）（a－b）B．（a+b）²=a²+2ab+b²C．（a－b）²=a²－2ab+b²D．a（a+b）=a²+ab解析：从图中可知：阴影部分的面积是（a－b）²和b²，剩余的矩形面积是（a－b）b和（a－b）b，即大阴影部分的面积是（a－b）²，∴（a－b）²=a²－2ab+b²，故选C．6．我们在学习完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）²”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）²吗？解：（a+b+c）²的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）²，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．。