高三数学二轮复习4-30不等式选讲同步练习理人教版

高三数学不等式选讲试题1.设函数(m＞0)(1)证明：f(x)≥4；(2)若f(2)＞5，求m的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)(0，1)∪(，＋∞)【解析】(1)利用绝对值基本性质：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|及基本不等式可得；(2)分类写出f(2)关于m的解析式，解相关分式不等式即可试题解析：(Ⅰ)由m＞0，有f(x)＝|x－|＋|x＋m|≥|－(x－)＋x＋m|＝＋m≥4，当且仅当＝m，即m＝2时取“＝”．所以f(x)≥4． 4分(Ⅱ)f(2)＝|2－|＋|2＋m|．当＜2，即m＞2时，f(2)＝m－＋4，由f(2)＞5，得m＞．当≥2，即0＜m≤2时，f(2)＝＋m，由f(2)＞5，0＜m＜1．综上，m的取值范围是(0，1)∪(，＋∞)． 10分考点:绝对值不等式2.设，且满足：，，求证：.【答案】详见解析【解析】根据题中所给条件：，，结合柯西不等式可得出：，由此可推出：，即可得出三者的关系：，问题即可求解．，，，又，，. 10分【考点】不等式的证明3.已知关于x的不等式（其中），若不等式有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵设故，即的最小值为，所以有解，则解得，即的取值范围是，选C.4.对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[－2，＋∞)B．(－∞，－2)C．[－2,2]D．[0，＋∞)【答案】A【解析】由题意a|x|≥－x2－1，∴a≥＝(x≠0)．∵≤－2，∴a≥－2.当x＝0时，a∈R，综上，a≥－2，选A5.设函数,其中。

（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求a的值。

【答案】（1）或（2）【解析】（1）当时，可化为。

由此可得或。

故不等式的解集为或。

（2）由得此不等式化为不等式组或即或因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故6.不等式x2﹣4x+a＜0存在小于1的实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【答案】C【解析】不等式x2﹣4x+a＜0可化为：x2﹣4x＜﹣a，设y=x2﹣4x，y=﹣a，分别画出这两个函数的图象，如图，由图可知，不等式x2﹣4x+a＜0存在小于1的实数解，则有：﹣a＞﹣3．故a＜3．故选C．7.已知，，，．求证．【答案】详见解析【解析】利用分析法或作差法证明不等式. 即，而显然成立，【证明】因为，，所以，所以要证，即证．即证， 5分即证，而显然成立，故． 10分【考点】不等式相关知识8.若不等式的解集为，则的取值范围为________;【答案】【解析】令，则；若不等式的解集为，则的取值范围为.【考点】绝对值不等式的解法、恒成立问题.9.已知，且，求的最小值．【答案】1.【解析】观察已知条件与所求式子，考虑到柯西不等式，可先将条件化为，此时，由柯西不等式得，即，当且仅当，即，或时，等号成立，从而可得的最小值为1.试题解析：, ,,，当且仅当，或时的最小值是1.【考点】柯西不等式.10.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(填上正确的序号).①<;②a2>b2;③>;④a|c|>b|c|.【答案】③【解析】①,当a是正数,b是负数时,不等式<不成立,②当a=-1,b=-2时,a>b成立,a2>b2不成立;当a=1,b=-2时,a>b成立,a2>b2也不成立,当a,b是负数时,不等式a2>b2不成立.③在a>b两边同时除以c2+1,不等号的方向不变,故③正确,④当c=0时,不等式a|c|>b|c|不成立.综上可知③正确.11.已知-1<a+b<3,且2<a-b<4,求2a+3b的取值范围.【答案】-<2a+3b<【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b.则解得所以2a+3b=(a+b)-(a-b).因为-1<a+b<3,2<a-b<4,所以-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1.所以--2<2a+3b<-1,即-<2a+3b<.12.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值为()A．10B．6C．4D．18【答案】D【解析】选D.3x+3y≥2=2=2=18,当且仅当x=y=2.5时,等号成立.13.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,设P=,Q=,则P与Q的大小关系是()A．P>Q B．P<QC．P=Q D．无法确定【答案】A【解析】选A.由等比知识,得Q==,而P=,且a3>0,a9>0,q≠1,a 3≠a9,所以>,即P>Q.14.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为()A．9B．8C．3D．【答案】A【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c≥3,所以0<abc≤,≥27,所以++≥3≥3=9.当且仅当a=b=c=时等号成立.15.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12【答案】C【解析】选C.因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时取等号.16.当0≤x≤时,函数y=x2(1-5x)的最大值为()A．B．C．D．无最大值【答案】C【解析】选C.y=x2(1-5x)=x2=x·x·.因为0≤x≤,所以-2x≥0,所以y≤=,=.当且仅当x=-2x,即x=时,ymax17.设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A．|a+b|+|a-b|>2B．|a+b|+|a-b|<2C．|a+b|+|a-b|=2D．不能比较大小【答案】B【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2,当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.18.若关于x的不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为,则实数a的取值范围为()A．(-∞,1]B．(-∞,1)C．(-∞,5]D．(-∞,5)【答案】C【解析】选C.因为|x-2|+|x+3|≥|x-2-x-3|=5,又关于x的不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为,所以a≤5.19.已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1.求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).【答案】见解析【解析】证明：|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),所以|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).20.若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，求实数a的取值范围．【答案】(－∞，8]【解析】因为不等式|x－5|＋|x＋3|的最小值为8，所以要使不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则a≤8，即实数a的取值范围是(－∞，8]．21.已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．【答案】（1）x＝，y＝，z＝（2）t≥6【解析】(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)()≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.22.若关于x的不等式的解集为(-1,4)，则实数a的值为_________.【答案】【解析】由已知得，，，当时，不等式解集为，故，无解；当时，不等式解集为，故，解得．【考点】绝对值不等式解法．23.设a,b,c均为正数,证明:++≥a+b+c.【答案】见解析【解析】证明：方法一:+++a+b+c=(+b)+(+c)+(+a)≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时等号成立.即得++≥a+b+c.方法二:利用柯西不等式的一般形式得|a1b1+a2b2+a3b3|≤.取a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=代入即证.24.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证:++≥5.(2)求+的最小值.【答案】(1)见解析 (2) 18【解析】(1)根据柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)](++)≥(5x+4y+3z)2,当且仅当==,即x=,y=,z=时取等号.因为5x+4y+3z=10,所以++≥=5.(2)根据平均值不等式,得+≥2=2·,当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即x2+y2+z2≥2,当且仅当==时,等号成立.综上,+≥2·32=18.当且仅当x=1,y=,z=时,等号成立.所以+的最小值为18.25.设n∈N*,求证:++…+<.【答案】见解析【解析】证明：由=<=(-)可知<(1-),<(-),…,<(-),从而得++…+<(1-)<.26.设0< a,b,c <1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不可能同时大于.【答案】见解析【解析】证明：假设(1-a)b >,(1-b)c >,(1-c)a>,则三式相乘:(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>①.又∵0< a,b,c <1,∴0<(1-a)a≤[]2=.同理:(1-b)b≤,(1-c)c≤,以上三式相乘:(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤,与①矛盾,∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于.27.设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a＞0)．若不等式f(x)≥5的解集为(－∞，－2]∪(3，＋∞)，则a的值为________．【答案】a＝2【解析】由题意知，f(－2)＝f(3)＝5，即1＋|2＋a|＝4＋|3－a|＝5，解得a＝2.28.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.29.若对任意的a∈R，不等式|x|＋|x－1|≥|1＋a|－|1－a|恒成立，则实数x的取值范围是________．【答案】x≤－或x≥【解析】由|1＋a|－|1－a|≤2得|x|＋|x－1|≥2，当x<0时，－x＋1－x≥2，x≤－；当0≤x≤1时，x＋1－x≥2，无解；当x>1时，x＋x－1≥2，x≥.综上，x≤－或x≥30.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．【答案】2【解析】由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥＝mn(a＋b)2＝2.31.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()．A．B．C．5D．6【答案】C【解析】∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy，得＝5.∴5(3x＋4y)＝(3x＋4y) ＝13＋≥13＋2＝25.因此3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时等号成立．∴当x＝1，y＝时，3x＋4y的最小值为5.32.（Ⅰ）（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为．（Ⅱ）（不等式选讲）设函数＞1），且的最小值为，若，则的取值范围【答案】（Ⅱ）【解析】解：将直线2ρcosθ=1化为普通方程为：2x=1．∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，化为普通方程为：x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1．∴直线与圆相交的弦长=解：∵函数f（x）=|x-4|+|x-a|≥|x-4+a-x|=|a-4|，∵f（x）的最小值为3，∴|a-4|=3，∴a=1或7，∵a＞1，∴a=7，∴f（x）=|x-4|+|x-7|≤5，①若x≤4，f（x）=4-x+7-x=11-2x≤5，解得x≥3，故3≤x≤4；②若4＜x＜7，f（x）=x-4+7-x=3，恒成立，故4＜x＜7；③若x≥7，f（x）=x-4+x-7=2x-11≤5，解得x≤8，故7≤x≤8；综上3≤x≤8，故答案为：3≤x≤8．【考点】坐标系与参数方程，不等式选讲点评：主要是考查了不等式选讲以及坐标系与参数方程的运用，属于基础题。

卜人入州八九几市潮王学校训练3不等式及线性规划问题(时间是：45分钟总分值是：75分)一、选择题(每一小题5分，一共25分)1．(2021·3月模拟)假设a＞b，那么以下不等式恒成立的是()．A．a3＞b3B．lg a＞lg bC.a＞bD.＜2．(2021·期末考试)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜4}，那么不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为()．A. B.C. D.3．a＞0，b＞0，a＋b＝2，那么y＝＋的最小值是()．A. B．4C. D．54．设a＞0，那么函数f(x)＝4x＋≥4(x＞0)成立的一个充分不必要条件是()．A．a≥2B．a＝1C．a＝4 D．a≤35．(2021·等八联考)假设实数x，y满足且z＝2x＋y的最小值为4，那么实数b的值是()．A．0 B．2C．3 D．4二、填空题(每一小题5分，一共15分)6．(2021·鄞州区适应性考试)点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，那么2m＋4n的最小值为________．7．a＝(m,1)，b＝(1－n,1)(其中m、n为正数)，假设a∥b，那么＋的最小值是________．8．(2021·质检)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图象过区域M 的a的取值范围是________．三、解答题(此题一共3小题，一共35分)9．(11分)如下列图，动物园要围成一样面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)假设使每间虎笼面积为24 m2，那么每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？10．(12分)(2021·八校联考)函数f(x)＝e x＋2x2－3x.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x≥时，假设关于x的不等式f(x)≥x2＋(a－3)x＋1恒成立，试务实数a的取值范围．11．(12分)(2021·)函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．(1)证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2；(2)假设对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M的最小值．参考答案训练3不等式及线性规划问题1．A[当a＜0，b＜0时，lg a，lg b无意义，所以B不正确；当a＞b时，a＜b，所以C不正确；当a＞0，b ＜0时，＞，所以D不正确．]2．D[由a＜0，把2和4看作方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，那么∴b＝－6a，c＝8a，即cx2＋bx＋a＜0⇔8ax2－6ax＋a＜0.∵a＜0，∴8x2－6x＋1＞0，解得：x＞或者x＜.]3．C[∵a＋b＝2，∴y＝＋＝·＝≥＝.]4．C[由f(x)＝4x＋≥4≥4，得a≥2，所以选C.]5．C[画出可行域可知y＝－2x＋z过时z获得最小值，所以2×＋＝4，b＝3.]6．解析因为点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，所以有m＋2n＝1；2m＋4n＝2m＋22n≥2＝2＝2.答案27．解析向量a∥b的充要条件是m×1＝1×(1－n)，即m＋n＝1，故＋＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2.答案3＋28．解析因为二元一次不等式组所表示的平面区域为M，如图阴影局部且左、右两端点坐标分别为P(1,9)，Q(3,8)，由函数y＝a x的图象经过区域M，如下列图．那么由图象可知即2≤a≤9.所以a的取值范围是[2,9]．答案[2,9]9．解设每间虎笼的长、宽分别为x m、y m.那么s＝xy.(1)由题意知：4x＋6y＝36.∴2x＋3y＝18.又2x＋3y≥2，∴xy≤＝＝，当且仅当2x＝3y＝9，即x＝，y＝3时，s＝xy最大，∴每间虎笼的长为4.5 m，宽为3 m时，每间虎笼面积最大．(2)由题意知xy＝24，4x＋6y≥2＝48，当且仅当4x＝6y时，获得等号．由得∴每间虎笼的长为6 m，宽为4 m时，可使钢筋网总长最小．10．解(1)f′(x)＝e x＋4x－3，那么f′(1)＝e＋1，又f(1)＝e－1，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＋1＝(e＋1)(x－1)，即(e＋1)x－y－2＝0.(2)由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1，得e x＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1，即ax≤e x－x2－1.∵x≥，∴a≤.令g(x)＝，那么g′(x)＝.令φ(x)＝e x(x－1)－x2＋1，那么φ′(x)＝x(e x－1)．∵x≥，∴φ′(x)＞0，∴φ(x)在上单调递增，∴φ(x)≥φ＝－＞0，因此g′(x)＞0，故g(x)在，＋∞上单调递增，那么g(x)≥g＝＝2－，∴a的取值范围是.11．(1)证明易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R，2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)2－4(c－b)≤0，从而c≥c≥1，且c≥2＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.故当x≥0时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.(2)解由(1)知c≥|b|.当c＞|b|时，有M≥＝＝.令t＝，那么－1＜t＜1，＝2－.而函数g(t)＝2－(－1＜t＜1)的值域是.因此，当c＞|b|时，M的取值集合为.当c＝|b|时，由(1)知b＝±2，cf(c)－f(b)＝－8或者0，c2－b2＝0，从而f(c)－f(b)≤(c2－b2)恒成立．综上所述，M的最小值为.。

高三数学不等式选讲试题1.设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是，此时a+b+c= .【答案】【解析】由柯西不等式得，所以，当且仅当且，即，所以的最大值是，此时.【考点】柯西不等式.2.已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数，及解不等式，通过将x的区间分为3类可解得结论.（2）由当时，不等式恒成立，令函数.所以原题等价于，由.通过绝对值不等式的公式即可得到函数的最大值，再通过解绝对值不等式可得结论.（1）原不等式等价于：当时，，即.当时，，即当时，，即.综上所述，原不等式的解集为. 4分（2）当时，=所以 7分【考点】1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.3.若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．【答案】【解析】因为对任意正实数，不等式恒成立，所以，因此【考点】不等式恒成立4.设,则的最小值为。

【答案】9【解析】由柯西不等式可知。

5.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤(2).【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】(1)由得.由题设得,即.所以3(ab+bc+ca)≤1,即.(2)因为+b≥2a,+c≥2b，+a≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即≥a+b+c，所以.6.已知函数f(x)=|x－a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.【答案】(1){x|x≤1或x≥5}.(2)3【解析】(1)当a=2时, f(x)+|x－4|=当x≤2时,由f(x)≥4－|x－4|得－2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时, f(x)≥4－|x－4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4,解得x≥5;所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)－2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}.所以=1且=2于是a=3.7.满足不等式的的取值范围是________.【答案】{或}【解析】不等式等价于，即，故的取值范围是．【考点】解不等式．8.不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．∪（1，+∞）【答案】D【解析】原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D9.如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长（单位：cm）的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设矩形的另一边长为，由图，三角形相似可知，，解得，则矩形面积，解得，故选D.【考点】1.一元二次不等式的求解.10.下列不等式成立的是()A．log32<log25<log23B．log32<log23<log25C．log23<log32<log25D．log23<log25<log32【答案】B【解析】选B.因为log32<log33=1,log23>log22=1,所以log32<log23,又因为log23<log25,所以log32<log23<log25.11.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式正确的是()A．b-a>0B．a3+b3<0C．a2-b2<0D．b+a>0【答案】D【解析】选D.因为a-|b|>0,所以a>|b|≥0.所以不论b正或b负均有a+b>0.12.已知a,b,c为三角形的三边长,则a2与ab+ac的大小关系是.【答案】a2<ab+ac【解析】因为a,b,c为三角形的三边长,所以a<b+c,又因为a>0,所以a2<a(b+c),即a2<ab+ac.13.实数x,y,z满足x2-2x+y=z-1且x+y2+1=0,试比较x,y,z的大小.【答案】z≥y>x【解析】x2-2x+y=z-1⇒z-y=(x-1)2≥0⇒z≥y;x+y2+1=0⇒y-x=y2+y+1=+>0⇒y>x,故z≥y>x.14.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.【答案】[9,+∞)【解析】令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以≥3,ab≥9,当a=b=3时取等号.15.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为()A．9B．8C．3D．【答案】A【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c≥3,所以0<abc≤,≥27,所以++≥3≥3=9.当且仅当a=b=c=时等号成立.16.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12【答案】C【解析】选C.因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时取等号.17.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算,即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是.【答案】a+(b*c)=(a+b)*(a+c)【解析】由题意知a+(b*c)=a+=,(a+b)*(a+c)==,所以a+(b*c)=(a+b)*(a+c).18.已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3.【答案】见解析【解析】【证明】因为x>0,y>0,x-y>0,2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.19.已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.【答案】(-∞,-3]【解析】【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式.f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,解：因为x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,于是有m+1≤-2,得m≤-3,即m的取值范围是(-∞,-3].20.已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）a＝2（2）{m|m≤5}【解析】(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以解得a＝2.(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|≥|(2－x)＋(x＋3)|＝5，当且仅当(2－x)(x＋3)≥0即当－3≤x≤2时等号成立．所以实数m的取值范围是{m|m≤5}．21.设a、b∈R＋，试比较与的大小．【答案】≥【解析】∵()2－＝≥0，∴≥22.若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．【答案】【解析】(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即＋＋的最大值为23.若a、b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，求M与N的大小关系．【答案】M>N【解析】∵a≠b，∴＋>2，＋>2，∴＋＋＋>2＋2，即＋>＋，即M>N.24.已知a>0，求证：－≥a＋－2.【答案】见解析【解析】要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋，只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，即证2≥，只需证4≥2，即证a2＋≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．25.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R，且＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.【答案】（1）m＝1（2）见解析【解析】(1)∵f(x＋2)＝m－|x|≥0，∴|x|≤m，∴m≥0，－m≤x≤m，∴f(x＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m＝1.(2)由(1)知＝1，a、b、c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥(·＋·＋·)2＝9.26.已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．【答案】（1）x＝，y＝，z＝（2）t≥6【解析】(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)()≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min＝.∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.27.设a,b,c均为正数,证明:++≥a+b+c.【答案】见解析【解析】证明：方法一:+++a+b+c=(+b)+(+c)+(+a)≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时等号成立.即得++≥a+b+c.方法二:利用柯西不等式的一般形式得|a1b1+a2b2+a3b3|≤.取a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=代入即证.28.已知a,b,c∈(1,2),求证:++≥6.【答案】见解析【解析】证明：∵≥=,≥=,≥=.∴y=++≥++.又由柯西不等式可得[(a-b+1)+(b-c+1)+(c-a+1)](++)≥18,即++≥=6.∴y=6,当且仅当a=b=c=时取到最小值,min原不等式得证.29.“a<4”是“对任意的实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】因为|2x－1|＋|2x＋3|≥a，所以，根据不等式的几何意义可知，在数轴上点x到点和－的距离之和≥2，所以当a<4时，有<2，所以不等式成立，此时为充分条件要使|2x－1|＋|2x＋3|≥a恒成立，即恒成立，则有≤2，即a≤4综上，“a<4”是“|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的充分不必要条件，故选B.30.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.31.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)·(bm＋an)的最小值为________．【答案】2.【解析】∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)( bm＋an)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab·mn＋2(a2＋b2) ＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋b2＋2ab)＝2(a＋b)2＝2，当且仅当m＝n＝时，取“＝”．∴所求最小值为2.32.设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)( a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．【答案】（1）（2）≤x≤【解析】(1)f(x)＝图象如图．(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)得≥f(x)．又因为≥＝2.则有2≥f(x)．解不等式2≥|x－1|＋|x－2|得≤x≤. 即x的取值范围为≤x≤33. (1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)1＜a≤b≤c，证明loga b＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由于x≥1，y≥1，要证x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．由条件x≥1，y≥1，得(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设loga b＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy.其中x＝loga b≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．34.若对任意的a∈R，不等式|x|＋|x－1|≥|1＋a|－|1－a|恒成立，则实数x的取值范围是________．【答案】x≤－或x≥【解析】由|1＋a|－|1－a|≤2得|x|＋|x－1|≥2，当x<0时，－x＋1－x≥2，x≤－；当0≤x≤1时，x＋1－x≥2，无解；当x>1时，x＋x－1≥2，x≥.综上，x≤－或x≥35.在R上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（）A．B．C．或D．【答案】D【解析】，设A为关于的不等式的解集，当A为时，则即；当即时，，则即，所以；当即时，，则即，所以；综上可知.【考点】新定义、含参数不等式的解法.36.设实数均不小于1，且，则的最小值是．（是指四个数中最大的一个）【答案】9【解析】设，则，当时上式两等号都能取到，所以的最小值为9.【考点】多元函数最值的求法.37.[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）设，实数满足，求证：．【答案】．【解析】，，又． 10分【考点】本题主要考查绝对值不等式的证明，绝对值不等式的性质。

第2讲 基本不等式与线性规划1. (2018·某某、某某一调)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤3，x －y －1≤0，则2x －y 的最大值为________．答案：5解析：令z ＝2x －y ，作出平面区域(如图)，设直线l 0：y ＝2x ，将l 0平移，当l 0经过点B(4，3)时，z 取最大值为8－3＝5.2. 已知函数f(x)＝4x ＋ax (x>0，a>0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：f(x)＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.3. (2018·某某一调)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤3，x ＋y≥0，x －y ＋3≤0，则z ＝2x －3y 的最大值为________．答案：－9解析：画出⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，x ＋y≥0，x －y ＋3≤0的可行域，如图，平移直线y ＝23x －13z ，当直线经过点(0，3)时，直线截距最小，此时z ＝2x －3y 取得最大值，为2×0－3×3＝－9.4. 若a ，b 都是正数，则(1＋b a )(1＋4ab )的最小值为________．答案：9解析：因为a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号．5. (2018·某某期末)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，y ≤3，3x ＋4y≥12，则x 2＋y 2的取值X 围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤14425，25解析：首先作出如图所示的可行域，设P(x ，y)表示可行域内任意一点，则x 2＋y 2的几何意义就是OP 2，它的最大值就是OA 2＝42＋32＝25，最小值就是原点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|3×0＋4×0－12|32＋422＝14425，故x 2＋y 2的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤14425，25.6. 设a>0，b>0，若3是3a 与32b的等比中项，则2a ＋1b 的最小值为________．答案：8解析：由题可知3a ·32b ＝(3)2，则a ＋2b ＝1，所以2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(a ＋2b)＝4＋4b a ＋a b ≥4＋2a b ·4b a ＝8，当且仅当a ＝2b ＝12时等号成立． 7. (2018·日照模拟)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________．答案：4解析：作出满足不等式组的平面区域，如图所示，令m ＝2x ＋y ，则当m 取得最大值时，z ＝(2)2x ＋y取得最大值．由图知直线m ＝2x ＋y 经过点A(1，2)时，m 取得最大值，所以z max ＝(2)2×1＋2＝4.8. 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3.若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y)有无数个，则a的值等于________．答案：－1解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 能和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y)有无数个，∴ －a ＝k AB ＝1，∴ a ＝－1.9. (2018·某某百校联盟模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．答案：12解析：∵ a＋b ＝4，∴ a ＋1＋b ＋3＝8，∴1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，∴1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.10. 过定点P(1，2)的直线在x 轴正半轴、y 轴正半轴上的截距分别为a ，b ，则4a 2＋b 2的最小值为________．答案：32解析：根据题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，则1a ＋2b ＝1.由基本不等式可得1a ＋2b≥21a ·2b ＝22ab ，即1≥22ab，ab ≥22，ab ≥8，当且仅当1a ＝2b ，即a ＝2，b ＝4时取等号，所以4a 2＋b 2≥4ab ≥32，当且仅当a ＝2，b ＝4时取等号，故4a 2＋b 2的最小值为32.11. 已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证： (1) 1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2) (1＋1a )(1＋1b)≥9.证明：(1) 因为a ＋b ＝1，a>0，b>0，1a ＋1b ＋1ab ＝2(1a ＋1b )，所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．(2) (证法1)因为a>0，b>0，a ＋b ＝1， 所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋ab，所以(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋a b )＝5＋2(b a ＋ab )≥5＋4＝9，所以(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．(证法2)(1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab ，由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故(1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．12. 长方体的表面积为48，所有棱长的和为36，求长方体体积的取值X 围． 解：设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则ab ＋bc ＋ca ＝24，a ＋b ＋c ＝9，对特殊长方体的两端为正方形，故可令a ＝c ，所以 体积V ＝abc ＝a(24－9a ＋a 2)， 设V(a)＝a(24－9a ＋a 2)， 则V′(a)＝3(a －2)(a －4)．(解法1)由于9－a 2＝b ＋c 2≥bc ＝24－9a ＋a 2，可得1≤a≤5，列表如下：a [1，2) 2 (2，4) 4 (4，5] V′(a) ＋0 －0 ＋V(a)极大值极小值所以体积的取值X 围是[16，20]．(解法2)因为b ＋c≥2bc ，所以由已知条件可得9－a ≥2a 2－9a ＋24， 所以1≤a≤5，列表如下： a [1，2) 2 (2，4) 4 (4，5] V′(a) ＋0 －0 ＋V(a)极大值极小值所以体积的取值X 围是[16，20]．13. 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1) 试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2) 怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1) 依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y)＝2x ＋3y ＋300. (2) 约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4（100－x －y ）≤600，100－x －y≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示．作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50， 所以最优解为A (50，50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．。

一．考场传真1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理】若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是（ ）A ．5-2 B ．0 C ．53 D ．522.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为（ ） (A) －7(B) －4(C) 1(D) 23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】设y kx z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ，若z 的最大值为12，则实数=k ________.5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是（ ）A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭6.【2012年高考福建卷理科5】下列不等式一定成立的是（ ）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+8.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值. 二．高考研究【考纲要求】5. 不等式选讲【命题规律】通过第二轮的专题复习，应注意在巩固基础知识、基本方法的基础上，强化记忆，熟化常见题型的解法，提升综合应用不等式解题的能力.一．基础知识整合1.在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.2.对于公式2a b2ab2a b ab+⎛⎫≥≤ ⎪⎝⎭＋，要理解它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系.3.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误.4.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程.因此在学习中理解保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.转化的方法是: 超越式分式整式（高次）整式（低次）一次(或二次)不等式．其中准确熟练求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基础，这体现了转化与化归的数学思想。

卜人入州八九几市潮王学校专项强化练(三)选修4－5：不等式选讲(理独)题型一含绝对值不等式1．解不等式：|x－2|＋x|x＋2|＞2.解：当x≤－2时，不等式化为(2－x)＋x(－x－2)＞2，即－x2－3x>0，解得－3＜x≤－2；当－2＜x＜2时，不等式化为(2－x)＋x(x＋2)＞2，即x2＋x>0，解得－2＜x＜－1或者0＜x＜2；当x≥2时，不等式化为(x－2)＋x(x＋2)＞2，即x2＋3x－4>0，解得x≥2.所以原不等式的解集为{x|－3＜x＜－1或者x＞0}．2．解不等式：|x＋2|－|x－1|≤1.解：令f(x)＝|x＋2|－|x－1|.当x≤－2时，f(x)＝－(x＋2)－(1－x)＝－3，此时f(x)＝|x＋2|－|x－1|≤1恒成立；当－2<x<1时，f(x)＝(x＋2)－(1－x)＝2x＋1，令f(x)≤1，即2x＋1≤1，解得x≤0，由于－2<x<1，那么有－2<x≤0；当x≥1时，f(x)＝(x＋2)－(x－1)＝3，此时f(x)≤1不成立．综上所述，不等式|x＋2|－|x－1|≤1的解集为(－∞，0]．3．x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1.证明：因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.由绝对值不等式性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.即|x＋5y|≤1.[临门一脚]1．形如|x＋a|±|x－b|≥c(≤c)不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：(1)求零点；(2)划分区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．2．绝对值不等式也可用|x－a1|±|x－a2|的几何意义求解集．3．应用绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求最值，一定要写出等号成立的条件．题型二根本不等式的应用1．a，b是正数，求证：a2＋4b2＋≥4.证明：因为a，b是正数，所以a2＋4b2≥4ab.所以a2＋4b2＋≥4ab＋≥2＝4，当且仅当a＝2b，且ab＝时取等号．即a2＋4b2＋≥4.2．a，b，c均为正数，求证：a2＋b2＋c2＋＋＋2≥6.证明：法一：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，＋＋≥3(abc)－，所以2≥9(abc)－.故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－，又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，所以原不等式成立．法二：因为a，b，c均为正数，由根本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.同理＋＋≥＋＋.所以a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ca＋＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．所以原不等式成立．[临门一脚]1．根本不等式应用于证明关键是和积转化，所以进展证明前一定要观察不等式两边式子构造的特征系数、方次．2．要根据条件特征选择使用三元还是两元的根本不等式，等号成立条件一定要写．3．屡次使用根本不等式时要关注多个等号成立条件是否可以同时成立．题型三柯西不等式的应用1．求函数y＝3sin x＋2的最大值．解：y＝3sin x＋2＝3sin x＋4，由柯西不等式得y2＝(3sin x＋4)2≤(32＋42)(sin2x＋cos2x)＝25，当且仅当4sin x＝3|cos x|，即sin x＝，|cos x|＝时等号成立，所以y max＝5.所以函数y＝3sin x＋2的最大值为5.2．a，b，c∈R,4a2＋b2＋2c2＝4，求2a＋b＋c的最大值．解：由柯西不等式，得[(2a)2＋b2＋(c)2]·≥(2a＋b＋c)2.因为4a2＋b2＋2c2＝4，所以(2a＋b＋c)2≤10.所以－≤2a＋b＋c≤，所以2a＋b＋c的最大值为，当且仅当a＝，b＝，c＝时等号成立．3．设x，y，z均为正实数，且xyz＝1，求证：＋＋≥xy＋yz＋zx.证明：∵x，y，z均为正实数，且xyz＝1，∴＋＋＝＋＋，∴由柯西不等式可得(xy＋yz＋zx)≥2＝2＝(xy＋yz＋zx)2.∴＋＋≥xy＋yz＋zx.4．设a1，a2，a3均为正数，且a1＋a2＋a3＝.求证：＋＋≥1.证明：法一：因为[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a1)]≥3·3＝9，当且仅当a1＝a2＝a3时等号成立．又a1＋a2＋a3＝.所以·2×≥9，所以＋＋≥1.法二：由柯西不等式得·9＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a1)]＝2＋2＋2·[()2＋()2＋()2]≥·＋·＋·2＝9，当且仅当()2＝()2＝()2，即a1＝a2＝a3＝时取等号，所以＋＋≥1.[临门一脚]1．二元柯西不等式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立．2．三元柯西不等式可以用向量形式记忆：即|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或者存在实数k，得α＝kβ时，等号成立．3．利用柯西不等式来证明不等式和根本不等式一样也要关注式子构造特点、系数、方次、等号成立条件，假设不可以直接使用，要对所给条件进展变形后才能使用．4．利用柯西不等式求最值等问题，也要关注式子构造特点、系数、方次，最后一定要写出等号成立条件.。

专题强化练十九 不等式选讲1．设函数f (x )＝|2x ＋3|－|1－2x |，若存在x ∈R ，使得f (x )＞|3a －1|成立，某某数a 的取值X 围．解：因为f (x )＝|2x ＋3|－|1－2x |≤|(2x ＋3)＋(1－2x )|＝4. 所以f (x )max ＝4.若存在x ∈R ，使得f (x )＞|3a －1|成立， 所以|3a －1|＜4，解得－1＜a ＜53，故实数a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，53. 2．已知函数f (x )＝|2x －1|－|x －a |，a ≤0. (1)当a ＝0时，求不等式f (x )＜1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值X 围．解：(1)当a ＝0时，f (x )＜1化为|2x －1|－|x |－1＜0， 当x ≤0时，不等式化为x ＞0，无解；当0＜x ≤12时，不等式化为x ＞0，解得0＜x ≤12；当x ＞12时，不等式化为x ＜2，解得12＜x ＜2；综上，f (x )＜1的解集为{x |0＜x ＜2}．(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1－a ，x ＜a ，－3x ＋1＋a ，a ≤x ≤12，x －1＋a ，x ＞12. 所以f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为(1－a ，0)，⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 3，0，⎝⎛⎭⎪⎫12，a －12，该三角形的面积为（1－2a ）26.由题设（1－2a ）26＞32，且a ≤0，解得a ＜－1.所以a 的取值X 围是(－∞，－1)．3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件． 证明：(1)因为a ，b ，c ，d 为正数，且a ＋b ＝c ＋d ， 欲证a ＋b ＞c ＋d ，只需证明(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 也就是证明a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd ， 只需证明ab ＞cd ，即证ab ＞cd . 由于ab ＞cd ，因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 所以a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.(1)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1，所以－1＜x ≤－12；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立．当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1，所以12＜x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1. 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)·(1－b )2＜0， 所以(a ＋b )2＜(1＋ab )2，因此|a ＋b |＜|1＋ab |.5．(2018·某某质检)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1x ，a 为实数．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞4的解集； (2)求f (a )的最小值．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )＞4，即f (x )＝|x ＋1|＋|x －1||x |＞4，①当x ＜－1时，得f (x )＝2＞4，无解；②当x ∈[－1，0)∪(0，1]时，得f (x )＝2|x |＞4，解得|x |＜12，得－12＜x ＜0或0＜x＜12； ③当x ＞1时，得f (x )＝2＞4，无解；综上，不等式f (x )＞4的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)f (a )＝|a 2＋1|＋|a 2－1||a |＝a 2＋1＋|a 2－1||a |，①当a ＜－1或a ＞1时，f (a )＝2a2|a |＝2|a |＞2，②当－1≤a ≤1且a ≠0时，f (a )＝2|a |≥2，综上知，f (a )的最小值为2.6．(2018·某某中学检测)已知函数f (x )＝|2x －2|＋|x ＋3|. (1)求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )＞1x＋a 的解集包含[2，3]，某某数a 的取值X 围．解：(1)依题意得|2x －2|＋|x ＋3|≥3x ＋2，当x ＜－3时，原不等式可化为2－2x －x －3≥3x ＋2， 解得x ≤－12，故x ＜－3；当－3≤x ≤1时，有2－2x ＋x ＋3≥3x ＋2，解得x ≤34，故－3≤x ≤34；当x ＞1时，原不等式可化为2x －2＋x ＋3≥3x ＋2，无解． 综上所述，不等式f (x )≥3x ＋2的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34. (2)依题意，|2x －2|＋|x ＋3|＞1x＋a 在[2，3]上恒成立，则3x ＋1－1x＞a 在[2，3]上恒成立．又因为g (x )＝3x ＋1－1x在[2，3]上为增函数，所以有3×2＋1－12＞a ，解得a ＜132.故实数a 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，132.7．(2018·江南名校联考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (2x ＋5)≥x ＋9；(2)若a ＞0，b ＞0，且1a ＋4b ＝2，证明：f (x ＋a )＋f (x －b )≥92，并求f (x ＋a )＋f (x －b )＝92时，a ，b 的值． (1)解：f (x )＋f (2x ＋5)＝|x －1|＋|2x ＋4|≥x ＋9， 当x ≤－2时，不等式为4x ≤－12⇒x ≤－3， 所以x ∈(－∞，－3]；当－2＜x ＜1时，不等式为5≥9，不成立；当x ≥1时，不等式为2x ≥6⇒x ≥3，所以x ∈[3，＋∞)， 综上所述，不等式的解集为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)证明：法一 f (x ＋a )＋f (x －b )＝|x ＋a －1|＋|x －b －1|≥|x ＋a －1－(x －b －1)|＝|a ＋b |＝a ＋b (a ＞0，b ＞0)．又1a ＋4b＝2，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝52＋b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ·2a b ＝92， 即f (x ＋a )＋f (x －b )≥92.当且仅当b 2a ＝2ab ，即b ＝2a 时“＝”成立；由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，12a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.法二 f (x ＋a )＋f (x －b )＝|x ＋a －1|＋|x －b －1|，当x ≤1－a 时，f (x ＋a )＋f (x －b )＝－x －a ＋1－x ＋b ＋1＝－2x ＋2－a ＋b ≥a ＋b ； 当1－a ＜x ＜1＋b 时，f (x ＋a )＋f (x －b )＝x ＋a －1－x ＋b ＋1＝a ＋b ； 当x ≥1＋b 时，f (x ＋a )＋f (x －b )＝x ＋a －1＋x －b －1＝2x －2＋a －b ≥a ＋b ， 所以f (x ＋a )＋f (x －b )的最小值为a ＋b ， (a ＋b )＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝52＋b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ·2a b ＝92. 即f (x ＋a )＋f (x －b )≥92.当且仅当b 2a ＝2ab ，即b ＝2a 时“＝”成立．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，12a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.8．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值X 围． 解：(1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2. 由f (x )≥1可得，①当x ＜－1时，显然不满足题意； ②当－1≤x ≤2时，2x －1≥1， 解得x ≥1，则1≤x ≤2；③当x ＞2时，f (x )＝3≥1恒成立，所以x ＞2. 综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54， 且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.。

卜人入州八九几市潮王学校选修4—5不等式选讲真题试做1．(2021·高考，文9)集合A＝中的最小整数为__________．2．(2021·高考，文2)假设集合A＝{x|2x－1＞0}，B＝{x||x|＜1}，那么A∩B＝__________.3．(2021·高考，理15(2))在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为__________．4．(2021·课标全国高考，理24)函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)假设f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．5．(2021·高考，文24)f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．(1)求a的值；(2)假设≤k恒成立，求k的取值范围．考向分析该局部主要有三个考点，一是带有绝对值的不等式的求解；二是与绝对值不等式有关的参数范围问题；三是不等式的证明与运用．对于带有绝对值不等式，主要考察形如|x|＜a或者|x|＞a及|x－a|±|x－b|＜c 或者|x－a|±|x－b|＞c的不等式的解法，考察绝对值的几何意义及零点分区间去绝对值符号后转化为不等式组的方法．试题多以填空题或者解答题的形式出现．对于与绝对值不等式有关的参数范围问题，此类问题常与绝对值不等式的解法、函数的值域等问题结合，试题以解答题为主．对于不等式的证明问题，此类问题涉及的知识点多，综合性强，方法灵敏，主要考察比较法、综合法等在证明不等式中的应用，试题多以解答题的形式出现．预测在今后高考中，对该局部的考察假设是带有绝对值的不等式，往往在解不等式的同时考察参数的取值范围、函数与方程思想等；假设是不等式的证明与运用，往往就是平均值不等式．试题难度中等．热点例析热点一绝对值不等式的解法【例１】不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为__________．规律方法1．绝对值不等式的解法(1)|x|＜a⇔－a＜x＜a；|x|＞a⇔x＞a或者x＜－a；(2)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；|ax＋b|≥c⇔ax＋b≤－c或者ax＋b≥c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c的解法有三种：一是根据绝对值的意义结合数轴直观求解；二是用零点分区间去绝对值，转化为三个不等式组求解；三是构造函数利用函数图象求解．2．绝对值三角不等式(1)|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；(2)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.变式训练1不等式|2x－1|＜3的解集为__________．热点二与绝对值不等式有关的参数范围问题【例２】不等式|2x＋1|＋|x＋a|＋|3x－3|＜5的解集非空，那么a的取值范围为__________．规律方法解决含参数的绝对值不等式问题，往往有以下两种方法：(1)对参数分类讨论，将其转化为分类函数来处理；(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f(x)的最值或者值域，再根据题目要求，进一步求解参数的范围．变式训练2设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)假设a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)假设关于x的不等式f(x)≤2有解，求a的取值范围．热点三不等式的证明问题【例２】(1)假设|a|＜1，|b|＜1，比较|a＋b|＋|a－b|与2的大小，并说明理由；(2)设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|＞m时，求证：＜2.规律方法证明不等式的根本方法：(1)证明不等式的根本方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．(2)不等式的证明还有一些常用方法：拆项法、添项法、换元法、逆代法、判别式法、函数的单调性法、数形结合法等．其中换元法主要有三角代换、均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性．变式训练3设f(x)＝x2－x＋13，实数a满足|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．1．a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，那么M与N的大小关系是()．A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不确定2．假设存在实数x满足不等式|x－4|＋|x－3|＜a，那么实数a的取值范围是()．A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－1,1)D．(3,4)3．集合A＝{x||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝，那么集合A∩B＝__________.4．不等式|2x＋1|＋|3x－2|≥5的解集是__________．5．(2021·三模，24)设f(x)＝|x－3|＋|x－4|，(1)解不等式f(x)≤2；(2)假设存在实数x满足f(x)≤ax－1，试务实数a的取值范围．参考答案真题试做1．－32．3．4．解：(1)当a＝－3时，f(x)＝当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0．故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．5．解：(1)由|ax＋1|≤3，得－4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．当a＞0时，－≤x≤，得a＝2.(2)记h(x)＝f(x)－2f，那么h(x)＝所以|h(x)|≤1，因此k≥1.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】{x|x≥1}解析：原不等式可化为：或者或者∴x∈或者1≤x＜2或者x≥2.∴不等式的解集为{x|x≥1}．【变式训练1】{x|－1＜x＜2}【例2】－3＜a＜1解析：不等式|2x＋1|＋|x＋a|＋|3x－3|＜5的解集非空，即|2x＋1|＋|3x－3|＜5－|x＋a|有解，令f(x)＝|2x＋1|＋|3x－3|，g(x)＝5－|x＋a|，画出函数f(x)的图象知当x＝1时f(x)min ＝3，故g(x)＝g(1)＝5－|1＋a|＞3即可，解得－3＜a＜1.【变式训练2】解：(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.故f(x)＝当x＜－1时，由－2x≥3，得x≤－.当－1≤x≤1时，f(x)＝2，无解．当x＞1时，由2x≥3，得x≥.综上可得，f(x)≥3的解集为∪.(2)f(x)＝|x－1|＋|x－a|表示数x到1的间隔与到a的间隔和．由f(x)≤2有解可得－1≤a≤3.故a的取值范围为[－1,3]．【例3】(1)解：|a＋b|＋|a－b|＜2.理由：(|a＋b|＋|a－b|)2－4＝2|a|2＋2|b|2＋2|a2－b2|－4＝2(|a|2＋|b|2＋|a2－b2|－2)．设|a|2＋|b|2＋|a2－b2|＝2t，其中t＝max{|a|2，|b|2}，因为|a|＜1，|b|＜1，所以2t＜2，所以2(|a|2＋|b|2＋|a2－b2|－2)＜0.所以|a＋b|＋|a－b|＜2.(2)证明：因为|x|＞m≥|b|且|x|＞m≥1，所以|x|2＞|b|.又因为|x|＞m≥|a|，所以≤＋＝＋＜＋＝2.故原不等式成立．【变式训练3】证明：∵f(x)＝x2－x＋13，∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|.又∵|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|＜1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，∴|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．创新模拟·预测演练1．B2．B3．{x|－2≤x≤5}4．∪5．解：(1)f(x)＝|x－3|＋|x－4|＝作出函数y＝f(x)的图象，它与直线y＝2交点的横坐标为和.由图象知f(x)≤2的解集为.(2)函数y＝ax－1的图象是过点(0，－1)的直线．当且仅当函数y＝f(x)与直线y＝ax－1有公一共点时，存在题设中的x.由图象易知，a的取值范围为(－∞，－2)∪.。

第43练不等式选讲[题型分析·高考展望] 本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值X围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．常考题型精析题型一含绝对值不等式的解法例1 已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．点评 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．变式训练1 (2014·某某改编)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，某某数a 的取值X 围．题型二 不等式的证明例2 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y .求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. (2)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16， 求证：|y |<518.点评 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．变式训练2 (1)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. (2)已知a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＝1，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.题型三 利用算术—几何平均不等式或柯西不等式证明或求最值例3 (1)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立；(2)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值．点评 利用算术—几何平均不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立．变式训练3 (2015·某某)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．高考题型精练1．(2015·某某)解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.2．(2015·某某)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)某某数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．3．(2014·课标全国Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．4．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．5．设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.6．(2014·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值X 围．7．(2014·某某)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.8．(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值X 围．答案精析第43练 不等式选讲常考题型精析例1 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.变式训练1 解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值X 围为[－1，12]． 例2 证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y 2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y 2≥ 33x －y 21x －y 2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3， (2)因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16， 从而3|y |<23＋16＝56， 所以|y |<518. 变式训练2 证明 (1)当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立．当|a ＋b |≠0时，由0<|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |， 所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1 ≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b | ≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c＋c ≥2b ， c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ， 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 例3 解 (1)方法一 因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc ) 23，①1a ＋1b ＋1c≥3(abc )13-， 所以(1a ＋1b ＋1c)2≥9(abc )23-.② 故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2 ≥3(abc ) 23＋9(abc )23-. 又3(abc ) 23＋9(abc ) 23-≥227＝63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )23-时，③式等号成立． 故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立．方法二 因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，② 故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2 ≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥63.③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a＝b＝c＝314时，原不等式等号成立．(2)方法一利用算术—几何平均不等式(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2＝(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋23a＋1·3b＋1＋23b＋1·3c＋1＋23a＋1·3c＋1≤(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋[(3a＋1)＋(3b＋1)]＋[(3b＋1)＋(3c＋1)]＋[(3a＋1)＋(3c＋1)]＝3[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]＝18，∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32，∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)max＝3 2.方法二利用柯西不等式∵(12＋12＋12)[(3a＋1)2＋(3b＋1)2＋(3c＋1)2]≥(1·3a＋1＋1·3b＋1＋1·3c＋1)2∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2≤3[3(a＋b＋c)＋3]．又∵a＋b＋c＝1，∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2≤18，∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32，当且仅当3a＋1＝3b＋1＝3c＋1时，等号成立．∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)max＝3 2.变式训练3 解(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b.所以f(x)的最小值为a＋b＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立． 故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 高考题型精练1．解 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13. 综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13. 2．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[32＋12][4－t 2＋t 2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4. 3．解 (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.4．解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a2}． 由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2. 5．证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 6．(1)证明 由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －x －a ＝1a＋a ≥2. 所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a， 由f (3)<5，得3<a <5＋212. 当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a， 由f (3)<5，得1＋52<a ≤3. 综上，a 的取值X 围是(1＋52，5＋212)． 7．(1)解 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明 由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.8．解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值X 围为(2，＋∞)．。

第2讲 不等式选讲配套作业1．(2018·某某模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式|g (x )|<5；(2)若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，某某数a 的取值X 围． 解 (1)由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5，所以－7<|x －1|<3，解得－2<x <4.(2)因为对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值X 围为a ≥－1或a ≤－5.2．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|.(1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥2的解集；(2)若f (x )≥5－x 对∀x ∈R 恒成立，某某数a 的取值X 围．解 (1)当a ＝3时，即求解|2x －3|＋|x －1|≥2，①当x ≥32时，2x －3＋x －1≥2，∴x ≥2； ②当1<x <32时，3－2x ＋x －1≥2,2－x ≥2，x ≤0，无解； ③当x ≤1时，3－2x ＋1－x ≥2，∴3x ≤2，∴x ≤23. 综上，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤23或x ≥2.(2)f (x )≥5－x 恒成立，即|2x －a |≥5－x －|x －1|恒成立，令g (x )＝5－x －|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6－2x ，x ≥1，4，x <1，则函数图象如图．∴a 2≥3，∴a ≥6. 3．(2018·某某模拟)已知函数f (x )＝|x －5|－|x －2|.(1)若∃x ∈R ，使得f (x )≤m 成立，求m 的X 围；(2)求不等式x 2－8x ＋15＋f (x )≤0的解集．解 (1)f (x )＝|x －5|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤2，7－2x ，2<x <5，－3，x ≥5，其对应图象如图所示．易知f (x )min ＝－3，∴m ≥－3，即m 的取值X 围为[－3，＋∞)．(2)x 2－8x ＋15＋f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－8x ＋18，x ≤2，x 2－10x ＋22，2<x <5，x 2－8x ＋12，x ≥5，①x ≤2，x 2－8x ＋18≤0，解集为∅. ②2<x <5，x 2－10x ＋22≤0,5－3≤x <5.③x ≥5，x 2－8x ＋12≤0,5≤x ≤6.综上所述，不等式的解集为{x |5－3≤x ≤6}．4．(2018·某某模拟)(1)解不等式：|2x －1|－|x |<1；(2)设f (x )＝x 2－x ＋1，实数a 满足|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．解 (1)当x <0时，原不等式可化为－2x ＋x <0，解得x >0，所以x 不存在；当0≤x <12时，原不等式可化为－2x －x <0， 解得x >0，所以0<x <12； 当12≤x 时，原不等式可化为2x －1－x <1， 解得x <2，所以12≤x <2. 综上，原不等式的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：因为|f (x )－f (a )|＝|x 2－x －a 2＋a |＝|x －a |·|x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)，所以|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)． 5．(2018·某某模拟)设函数f (x )＝|x ＋a ＋1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －4a (a >0)． (1)证明：f (x )≥5；(2)若f (1)<6成立，某某数a 的取值X 围．解 (1)证明：f (x )＝|x ＋a ＋1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －4a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1＋4a . ∵a >0，∴f (x )≥a ＋1＋4a ≥2a ·4a＋1＝5.当且仅当a ＝2时“＝”成立． (2)由f (1)<6得：|a ＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－4a <6， ∵a >0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－4a <4－a ，|a －4|a<4－a ①当a ≥4时，不等式|a －4|a<4－a 无解； ②当0<a <4时，不等式|a －4|a<4－a ， 所以1<a <4.综上，实数a 的取值X 围是(1,4)．6．(2018·某某模拟)已知函数f (x )＝|x －m |，m <0.(1)当m ＝－1时，解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ；(2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值X 围．解 (1)当m ＝－1时，f (x )＋f (－x )＝|x ＋1|＋|x －1|，设F (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x <1，2x ，x ≥1，当x <－1时，－2x ≥2－x ，解得x ≤－2；当－1≤x <1时，2≥2－x ，解得0≤x <1；当x ≥1时，2x ≥2－x ，解得x ≥1.综上，原不等式的解集为{x |x ≤－2或x ≥0}．(2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0.设g (x )＝f (x )＋f (2x )，当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ，则g (x )≥－m ；当m <x <m 2时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ，则－m2<g (x )<－m ；当x ≥m 2时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ， 则g (x )≥－m 2. 则g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－m 2，＋∞， 由题知不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，则1>－m 2，解得m >－2，由于m <0，故m 的取值X 围是(－2，0)．7．(2018·某某模拟)已知a ＞0，b ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |的最小值为1.(1)证明：2a ＋b ＝2；(2)若a ＋2b ≥tab 恒成立，某某数t 的最大值．解 (1)证明：∵a >0，b >0，∴－a <b 2， ∴f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b | ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －a ＋b ，x ≤－a ，－x ＋a ＋b ，－a <x <b 2，3x ＋a －b ，x ≥b 2. 显然f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，b 2上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，＋∞上单调递增． ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝a ＋b 2， ∴a ＋b 2＝1，∴2a ＋b ＝2. (2)∵a ＋2b ≥tab 恒成立，∴a ＋2b ab≥t 恒成立． a ＋2b ab ＝1b ＋2a ＝12(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋4＋2a b ＋2b a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22a b ·2b a ＝92. 当且仅当a ＝b ＝23时， a ＋2b ab 取得最小值92. ∴t ≤92.∴t 的最大值为92. 8．(2018·某某模拟)已知x ，y ，z 是正实数，且x ＋2y ＋3z ＝1.(1)求1x ＋1y ＋1z的最小值； (2)求证：x 2＋y 2＋z 2≥114. 解 (1)1x ＋1y ＋1z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z (x ＋2y ＋3z )＝6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3z x ＋x z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3z y ＋2y z ≥6＋22＋23＋26，当且仅当x ＝2y ＝3z 时，等号成立，所以1x ＋1y ＋1z的最小值为6＋22＋23＋2 6. (2)证明：由柯西不等式，得(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z )2＝1，所以x 2＋y 2＋z 2≥114.。