2019版高三数学 研讨会 三角与向量课件

高 中 总 复 习
人教数学
理基础自主夯实
析考点层级突破
提考能课时冲关
第5节 三角恒等变换
最新考纲 1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公 式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和 差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
第三章
理基础自主夯实
析考点层级突破
提考能课时冲关
(2)升幂公式 1＋cos α＝2cos ；1－cos α＝2sin . 2 2 (3)降幂公式 1－cos 2α 1＋cos 2α 2 sin α＝ ；cos α＝ . 2 2
2 2α 2α
4．辅助角公式 a asin α＋bcos α＝ a ＋b sin(α＋φ)，其中 cos φ＝ 2 2，sin φ a ＋b
1－cos α α sin α tan2＝ ＝ sin α . 1＋cos α
第三章
理基础自主夯实
析考点层级突破
提考能课时冲关
[思考辨析] 判断下列说法是否正确， 正确的在它后面的括号里打“√”， 错 误的打“×”． (1)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立．( )
第三章
理基础自主夯实
析考点层级突破
提考能课时冲关
(2)互余与互补关系
π 3π 例如，4＋α＋ 4 －α＝π， π π π ＋α＋ －α＝ . 3 6 2
(3)非特殊角转化为特殊角 例如，15° ＝45° －30° ，75° ＝45° ＋30° .

2
2
方法二:由已知得sin(α- )=sin(2α- ) =2sin(α- )·cos(α- ),
4 4 4 2
)= 1 或sin(α- )=0, 4 4 2 则sin 2α=cos[2(α- )]=2cos2(α- )-1 4 4 1 1 =2× -1=- 或sin 2α=1. 4 2
热点题型2
解三角形
【感悟经典】
【典例】1.(2018·江苏高考)在△ABC中,角A,B,C所对
的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于 点D,且BD=1,则4a+c的最小值为____________.
2.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
a,b,c,已知sin A+ 3 cos A=0,a=2 7 ,b=2. (1)求c.
4 4 4 2 4 4 4 2 2
3 所以β+ ∈[ , ], 4 4 4 所以cos(β+ )∈[- 2 , 2 ], 4 2 2
所以sin(2α-β)+sin(α-2β)=sin(β+π)+
sin( -β)=cos β-sin β= 2 cos(β+ )∈[-1,1].
2 4
第二讲
三角恒等变换与解三角形
热点题型1
三角恒等变换与求值
【感悟经典】
【典例】1.已知sin α +cos α = 1 ,则sin2 ( －) =
3
4
( A. 1 B.17 C. 8
9
)
18
18
D. 2
9
2.(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角α 与

答案
17 2 50
3．(2018·浙江)已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始 边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P－35，－45.
(1)求 sin(α＋π )的值； (2)若角 β 满足 sin(α＋β)＝153，求 cos β 的值． 解析 (1)由角 α 的终边过点 P－35，－45得 sin α ＝－45，所以 sin(α＋π)＝－sin α＝45.
－17，故 cos2π4 －α＝1＋cos2π2 －2α＝1＋si2n 2α＝12＋
sin
α cos
α，其中
sin
αcos
α
＝
sin αcos α sin2α＋cos2α
＝
tatna2nαα＋1＝－570，故12＋sin αcos α＝295.
答案
9 25
2．设 α 为锐角，若 cosα ＋π6 ＝45，则 sin2α ＋π12 的值为________．
2＋3 2.
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[突破练 2]
(2018·衡水调研)在△ABC 中，A→C·A→B＝|A→C－A→B
|＝3，则△ABC 面积的最大值为
A. 21
3 21 B. 4
21 C. 2
D．3 21
解析 设角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
聚焦热点·核心突破
热点一 三角恒等变换及求值（基础练通）
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α ＝2sin α cos α . (2)cos 2α ＝cos2α －sin2α ＝2cos2α －1＝1－2sin2α . (3)tan 2α ＝12－tatnanα2α .

第2讲　三角恒等变换与解三角形高考定位　1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.答案　A真 题 感 悟3.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.在△BCD中，由余弦定理得所以BC＝5.1.三角函数公式考 点 整 合2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式探究提高　1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)热点二　正弦定理与余弦定理考法1　利用正(余)弦定理进行边角计算【例2－1】(2018·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A＝0.解　(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0，(sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0，sin(A＋B)＋2sin C cos B＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2ac cos B.∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－ac，解　由b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，则9＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤9(当且仅当a＝c＝3时，取等号)，探究提高　1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.。