2015-2016学年度高一下学期期末模拟试卷

2015-2016学年福建省宁德市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）已知直线l1：x﹣2y+a=0．l2：ax﹣y+1=0．若l1∥l2，则实数a的值为（）A．B．C．﹣2 D．02．（5分）在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（3，2）B．=（﹣1，2），=（3，﹣2）C．=（6，4），=（3，2）D．=（﹣2，5），=（2，﹣5）3．（5分）半径为1，弧长为4的扇形的面积等于（）A．8 B．4 C．2 D．14．（5分）如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（））A．= B．•=1 C．≠ D．||=||5．（5分）若||=1，||=2，•=1，则和夹角大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°6．（5分）棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．8πB．16πC．24πD．32π7．（5分）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π8．（5分）已知直线x﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．B．C．2 D．49．（5分）设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β10．（5分）为了得到函数y=sin（x﹣）+1的图象，只需将函数y=sinx图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度B．向左平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度C．向右平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度D．向右平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点，则EF与A1C1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）已知α，β均为锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）直线x+2y+2=0在y轴上的截距为．14．（5分）已知向量=（0，1），=（﹣1，m），=（1，2），若（+）∥，则m=．15．（5分）圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是．16．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+），给出下列判断：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数y=f（x+）是偶函数；③函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称；④函数f（x）在区间[，]上是单调递减函数．其中正确的判断是．（写出所有正确判断的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知直线l的倾斜角α=30°，且过点P（，2）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m过点（1，）且与直线l垂直，求直线m与两坐标轴围成的三角形面积．18．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P为BC的中点，且=λ（λ∈R）．（Ⅰ）试用和表示；（Ⅱ）若•=4时，求λ的值．19．（12分）已知锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），角β的终边经过点B（3，1）．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求α+β的大小．20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，AB=2，AA1=AC=CB=2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求三棱锥V的体积．21．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及其相应的x的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（，m）上单调递减，求实数m的取值范围．22．（12分）已知圆E过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心E在直线l：x+y ﹣2=0上，直线l′与直线l关于原点对称，过直线l′上点P向圆E引两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（Ⅰ）求圆E的方程；（Ⅱ）求证：直线MN恒过一个定点．2015-2016学年福建省宁德市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）已知直线l1：x﹣2y+a=0．l2：ax﹣y+1=0．若l1∥l2，则实数a的值为（）A．B．C．﹣2 D．0【解答】解：直线l1：x﹣2y+a=0，即：y=x+，l 2：ax﹣y+1=0，即y=ax+1，若l1∥l2，则a=，故选：A．2．（5分）在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（3，2）B．=（﹣1，2），=（3，﹣2）C．=（6，4），=（3，2）D．=（﹣2，5），=（2，﹣5）【解答】解：对于A：零向量与任一向量共线，因此与共线，不能作为基底；B：由≠λ，与不共线，可以作为基底；C：=2，因此与共线，不能作为基底；D：=﹣，因此与共线，不能作为基底；故选：B．3．（5分）半径为1，弧长为4的扇形的面积等于（）A．8 B．4 C．2 D．1【解答】解：由题意得：S=×4×1=2．故选：C．4．（5分）如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（））A．= B．•=1 C．≠ D．||=||【解答】解：A.，是两个单位向量，长度相等，但方向不一定相同，则=错误，B.，向量的夹角不确定，则•=1不一定成立，C.=，故C错误，D．||=||=1，故D正确．故选：D．5．（5分）若||=1，||=2，•=1，则和夹角大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵||=1，||=2，•=1，∴cos＜，＞==，则＜，＞=60°，即向量夹角大小为60°，故选：B．6．（5分）棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．8πB．16πC．24πD．32π【解答】解：∵棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的直径等于正方体的棱长，∴2r=4，即内切球的半径r=2，∴内切球的表面积为4πr2=16π．故选：B．7．（5分）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【解答】解：由已知可得该几何体为圆柱，且圆柱的底面直径为2，高h=2即圆柱的底面半径r=1，故该几何体的侧面积S=2πrh=4π．故选：A．8．（5分）已知直线x﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：∵圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，∴圆心到直线x﹣y+=0的距离d==1，∴弦长|AB|=2=2故选：C．9．（5分）设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【解答】解：对于A，若l⊥m，m⊥n，则l∥n或相交或异面，故不正确；对于B，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或相交，故不正确；对于C，利用一条直线垂直与两个平行平面中的一个，则也与另一个平行，正确；对于D，两个平面相交，m与交线平行，也满足条件，故不正确．故选：C．10．（5分）为了得到函数y=sin（x﹣）+1的图象，只需将函数y=sinx图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度B．向左平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度C．向右平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度D．向右平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度【解答】解：将函数y=sinx图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得函数y=sin（x﹣）的图象；再把所的图象向上平行平移1个单位长度，可得函数y=sin（x﹣）+1的图象，故选：D．11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点，则EF与A1C1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图所示，连接A1B，BC1．∵E，F分别为AB，AA1的中点，∴EF∥A1B．∴∠C1A1B或其补角为异面直线EF与A1C1所成的角．∵△A1BC1为等边三角形，∴∠C1A1B=60°即为异面直线EF与A1C1所成的角．故选：C．12．（5分）已知α，β均为锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α，β均为锐角，cosα=，∴sinα==，∵sin（α﹣β）=﹣，∴cos（α﹣β）==，则sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=﹣•（﹣）=，故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）直线x+2y+2=0在y轴上的截距为﹣1．【解答】解：直线x+2y+2=0，当x=0时，y=﹣1，直线x+2y+2=0在y轴上的截距为：﹣1故答案为：﹣1．14．（5分）已知向量=（0，1），=（﹣1，m），=（1，2），若（+）∥，则m=﹣3．【解答】解：∵+=（﹣1，1+m），（+）∥，∴1+m+2=0，解得m=﹣3．15．（5分）圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是相交．【解答】解：把圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0分别化为标准方程得：x2+y2=4，（x﹣2）2+y2=9，故圆心坐标分别为（0，0）和（2，0），半径分别为R=2和r=3，∵圆心之间的距离d=2，R+r=5，|R﹣r|=1，∴|R﹣r|＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故答案为：相交．16．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+），给出下列判断：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数y=f（x+）是偶函数；③函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称；④函数f（x）在区间[，]上是单调递减函数．其中正确的判断是①②③．（写出所有正确判断的序号）【解答】解：对于函数f（x）=sin（2x+），由于它的周期为=π，故①正确；由于函数y=f（x+）=sin[2（x+）]=sin（2x++）=cos2x 是偶函数，故②正确；由于当x=﹣时，sin（2x+）=sin（kπ﹣+）=sin（kπ）=0，故函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称，故③正确；在区间[，]上，2x+∈[，]，故函数f（x）在区间[，]上不是单调函数，故④错误，故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知直线l的倾斜角α=30°，且过点P（，2）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m过点（1，）且与直线l垂直，求直线m与两坐标轴围成的三角形面积．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的倾斜角α=30°，∴直线l的斜率设出，且过点P（，2）．∴直线l的方程是y﹣2=（x﹣），即x﹣y+=0；（Ⅱ）∵直线m与直线l垂直，∴直线m的斜率是﹣，且直线m过点（1，）∴直线m的方程是y﹣=﹣（x﹣1），即y=﹣x+2，直线m与x轴交点坐标是（2，0），与y轴交点坐标是（0，2），∴直线m与两坐标轴围成的三角形面积是：×2×2=2．18．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P为BC的中点，且=λ（λ∈R）．（Ⅰ）试用和表示；（Ⅱ）若•=4时，求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）=+=+=+．（Ⅱ）在矩形ABCD中AD⊥DC，则•=0，∵•=（+）•=（+λ）•=•+λ•2=16λ=4，∴λ=19．（12分）已知锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），角β的终边经过点B（3，1）．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求α+β的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），∴x=2，y=1，r=|OA|=，∴sinα===，cosα===，tanα==．（Ⅱ）∵角β的终边经过点B（3，1），∴tanβ=．又tan（α+β）==1，α+β∈（0，π），∴α+β=，20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，AB=2，AA1=AC=CB=2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA 1B1B；（Ⅱ）求三棱锥V的体积．【解答】证明：（I）∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又AB⊂平面AA1B1B，AA1⊂平面AA1B1B，AB∩AA1=A，∴CD⊥平面AA1B1B．（II）∵AB=2，AC=CB=2，∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC．∵D是AB的中点，===1．∴S△ACD又AA1⊥平面ABC，∴V=V===．21．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及其相应的x的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（，m）上单调递减，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=∴当，即时，f（x）取到最大值为2；（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由得，所以，函数法f（x）在区间上单调递减，∵f（x）在区间（，m）上单调递减，∴，即实数m的取值范围是（，]．（12分）22．（12分）已知圆E过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心E在直线l：x+y ﹣2=0上，直线l′与直线l关于原点对称，过直线l′上点P向圆E引两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（Ⅰ）求圆E的方程；（Ⅱ）求证：直线MN恒过一个定点．【解答】（Ⅰ）解；设圆E的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由已知得：解得a=b=1，r=2 …（4分）∴圆E的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 …（5分）（Ⅱ）证明：直线l关于原点对称的直线l′的方程为x+y+2=0…（7分）由已知得，∠PME=90°=∠PNE所以以PE为直径的圆F过点M，N，故线段MN为圆F、圆E的公共弦．…（8分）设P（a，b），则圆F的方程为=+即x2+y2﹣（a+1）x﹣（b+1）y+a+b=0 ①…（9分）又圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0 ②②﹣①得直线MN的方程为（a﹣1）x+（b﹣1）y﹣a﹣b﹣2=0…（10分）又点P在直线l≤上，所以a+b+2=0，∴（a﹣1）x+（﹣a﹣3）y=0…（11分）∴a（x﹣y）﹣x﹣3y=0，∴，∴x=y=0∴直线MN过定点（0，0）．…（12分）。

咸林中学2015-2016学年高一下学期期末考试英语试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分,考试用时120分钟。

第I 卷（共两部分，满分100分)第一部分听力(共两节，满分30分）第一节（共五小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置.听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What does the man think the woman should do？A. Make the dress shorter。

B. Get her money back。

C. Exchange the dress for another color.2. What will the woman do tomorrow？A. Learn English at home。

B. Check her exam result。

C。

Take an exam。

3. Where does the man want to go?A。

A hospital。

B. A supermarket。

C. A hotel。

4。

What will the woman do on the Internet？A. Buy Shelly a birthday present。

B。

Find some games to play。

C. Chat with some friends。

5。

Which salad does the man probably want?A。

Steak salad。

B. Chicken salad。

C. Fruit salad。

第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22。

5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

2015-2016学年四川省成都市新都区高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题5分）1．（5分）sin15°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）设x、y∈R+，且x≠y，a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．b＜a＜c D．b＜c＜a3．（5分）如图为某四面体的三视图（都是直角三角形），则此四面体的表面三角形为直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）空间三条不同直线l，m，n和三个不同平面α，β，γ，给出下列命题：①若m⊥l且n⊥l，则m∥n；②若m∥l且n∥l，则m∥n；③若m∥α且n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n；⑤若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；⑥若α∥γ，β∥γ，则α∥β；⑦若α⊥l，β⊥l，则α∥β．其中正确的个数为（）A．6 B．5 C．4 D．35．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列关系式正确的是（）A．a=bsinC+csinB B．a=bcosC+ccosBC．a=bcosB+ccosC D．a=bsinB+csinC6．（5分）函数f（x）=asinx+cosx关于直线x=对称，则a的取值集合为（）A．{1}B．{﹣1，1}C．{﹣1}D．{0}7．（5分）等差数列{a n}和等比数列{b n}中，给出下列各式：①a7=a3+a4；②a2+a6+a9=a3+a4+a10；③b7b9=b3b5b8；④b62=b2b9b13．其中一定正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2a n且a1=2，则（）A．a n=B．a n=C．a n=D．a n=9．（5分）给出下列命题：①若a2＞b2，则|a|＞b；②若|a|＞b，则a2＞b2；③若a＞|b|，则a2＞b2；④若a2＞b2，则a＞|b|．其中一定正确的命题为（）A．②④B．①③C．①②D．③④10．（5分）对任意非零向量：，，．则（）A．（•）•=•（•）B．•=•，则=C．|•|=||•|| D．若|+|=|﹣|，则•=011．（5分）若sinα，sin2α，sin4α成等比数列，则cosα的值为（）A．1 B．0 C．﹣ D．﹣或112．（5分）点O、I、H、G分别为△ABC（非直角三角形）的外心、内心、垂心和重心，给出下列关系式①=；②sin2A•+sin2B•+sin2C•=；③a+b+c=；④tanA•+tanB•+tanC•=．其中一定正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分）13．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，a k﹣4=191，S k=10000，则k 的值为．14．（5分）三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠APC=∠CPB=40°，PA=5，PB=6，PC=7，点D、E分别在棱PB、PC上运动，则△ADE周长的最小值为．15．（5分）若平面向量满足|2|≤3，则的最小值是．16．（5分）已知函数f（x）=sin6x+cos6x，给出下列4个结论：①f（x）的值域为[0，2]；②f（x）的最小正周期为；③f（x）的图象对称轴方程为x=（k∈Z）；④f（x）的图象对称中心为（，）（k∈Z）其中正确结论的序号是（写出全部正确结论的序号）三、解答题17．（10分）若对任意实数x，不等式x2﹣mx+（m﹣1）≥0恒成立（1）求实数m的取值集合；（2）设a，b是正实数，且n=（a+）（mb+），求n的最小值．18．（12分）如图，四边形ABCD中，若∠DAB=60°，∠ABC=30°，∠BCD=120°，AD=2，AB=5．（1）求BD的长；（2）求△ABD的外接圆半径R；（3）求AC的长．19．（12分）△ABC中，a=4，b=5，C=，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点D在边AB上，且=．（1）用和表示；（2）求|CD|．20．（12分）四面体ABCD中，已知AB⊥面BCD，且∠BCD=，AB=3，BC=4，CD=5．（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；（2）求此四面体ABCD的体积和表面积；（3）求此四面体ABCD的外接球半径和内切球半径．21．（12分）△ABC中（非直角三角形），角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；（2）若tanA：tanB：tanC=6：（﹣2）：（﹣3），求a：b：c．22．（12分）在等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n+r（r为常数），记b n=1+log2a n．（1）求r的值；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n；（3）记数列{}的前n项和为P n，若对任意正整数n，都有P2n+≤k+P n，求+1实数k的最小值．2015-2016学年四川省成都市新都区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．（5分）sin15°的值为（）A．B．C．D．【解答】解：sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=﹣=，故选：C．2．（5分）设x、y∈R+，且x≠y，a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：x、y∈R+，且x≠y，∴＞，＜=，∴a＞b＞c，故选：B．3．（5分）如图为某四面体的三视图（都是直角三角形），则此四面体的表面三角形为直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据三视图得出几何体为三棱锥，AB⊥面BCD，BC⊥CD，∴AB⊥BC，AB⊥AD．CD⊥面ABC，CD⊥AC，RT△ABC，RT△ABD，RT△DBC，RT△ADC，共有4个，故选：D．4．（5分）空间三条不同直线l，m，n和三个不同平面α，β，γ，给出下列命题：①若m⊥l且n⊥l，则m∥n；②若m∥l且n∥l，则m∥n；③若m∥α且n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n；⑤若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；⑥若α∥γ，β∥γ，则α∥β；⑦若α⊥l，β⊥l，则α∥β．其中正确的个数为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：①若m⊥l且n⊥l，则m与n可能平行、相交或者异面；故①错误；②若m∥l且n∥l，根据平行公理得到m∥n；②正确；③若m∥α且n∥α，则m∥n或者相交或者异面；故③错误；④若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故④正确；⑤若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或者相交；故⑤错误；⑥若α∥γ，β∥γ，则α∥β；正确⑦若α⊥l，β⊥l，根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得到α∥β．故⑦正确；所以正确的有四个；故选：C．5．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列关系式正确的是（）A．a=bsinC+csinB B．a=bcosC+ccosBC．a=bcosB+ccosC D．a=bsinB+csinC【解答】解：∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴由正弦定理可得：a=bcosC+ccosB，故选：B．6．（5分）函数f（x）=asinx+cosx关于直线x=对称，则a的取值集合为（）A．{1}B．{﹣1，1}C．{﹣1}D．{0}【解答】解：由题意，f（x）=asinx+cosx=sin（x+θ），其中tanθ=，∵其图象关于直线x=对称，∴θ+=kπ+，k∈z，∴θ=kπ+，k∈z，∴tanθ==1，∴a=1，故选：A．7．（5分）等差数列{a n}和等比数列{b n}中，给出下列各式：①a7=a3+a4；②a2+a6+a9=a3+a4+a10；③b7b9=b3b5b8；④b62=b2b9b13．其中一定正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设等差数列{a n}的公差是d，等比数列{b n}的公比是q，①、因为a7=a1+6d，a3+44=2a1+5d，所以只有当a1=d时a3+a4成立，①不正确；②、因为a2+a6+a9=3a1+14d，a3+a4+a10=3a1+14d，所以a2+a6+a9=a3+a4+a10，②正确；③、因为b7b9=（b1q6）（b1q8）=，b3b5b8=，所以当b1=q时b7b9=b3b5b8成立，③不正确；④、因为b62=，b2b9b13=，所以当=1时b62=b2b9b13，④不正确，所以一定正确的个数是1，故选：A．8．（5分）数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2a n且a1=2，则（）A．a n=B．a n=C．a n=D．a n=【解答】解：由题意得，S n=n2a n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2a n﹣[（n﹣1）2a n﹣1]，化简得，，则，，，…，以上n﹣1个式子相乘得，=，又a1=2，则a n=，故选：A．9．（5分）给出下列命题：①若a2＞b2，则|a|＞b；②若|a|＞b，则a2＞b2；③若a＞|b|，则a2＞b2；④若a2＞b2，则a＞|b|．其中一定正确的命题为（）A．②④B．①③C．①②D．③④【解答】解：对于①a2＞b2⇔|a|2＞|b|2⇔|a|＞|b|，故正确，对于②若a=1，b=﹣2，虽然满足若|a|＞b，但a2＞b2不成立，故不正确，对于③a＞|b|⇌a2＞|b|2，则a2＞b2，故正确，对于④，若a=﹣2，b=1，虽然满足a2＞b2，但是a＞|b|不成立，故不正确，故其中一定正确的命题为①③，故选：B．10．（5分）对任意非零向量：，，．则（）A．（•）•=•（•）B．•=•，则=C．|•|=||•|| D．若|+|=|﹣|，则•=0【解答】解：A．（•）•=||•||cos＜，＞•与共线，•（•）=•||•||cos，＞与共线，则（•）•=•（•）不一定成立，故A错误，B．由•=•，得•（﹣）=0，则⊥（﹣），无法得到=，故B错误，C.•=||•||cos＜，＞=||•||不一定成立，故C错误，D．若|+|=|﹣|，则平方得||2+|||2+2•=|||2+||2﹣2•，即4•=0，即•=0成立，故D正确故选：D．11．（5分）若sinα，sin2α，sin4α成等比数列，则cosα的值为（）A．1 B．0 C．﹣ D．﹣或1【解答】解：∵sinα，sin2α，sin4α成等比数列，∴（sin2α）2=sinα•sin4α，则（sin2α）2=sinα•2sin2αcos2α，又sin2α≠0，∴sin2α=sinα•2cos2α，2sinαcosα=sinα•2cos2α，又sinα≠0，cosα=cos2α，即2cos2α﹣cosα﹣1=0，解得cosα=或1，当cosα=1时，sinα=0，舍去，∴cosα的值是，故选：C．12．（5分）点O、I、H、G分别为△ABC（非直角三角形）的外心、内心、垂心和重心，给出下列关系式①=；②sin2A•+sin2B•+sin2C•=；③a+b+c=；④tanA•+tanB•+tanC•=．其中一定正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，点G是△ABC的重心，如图①所示，所以==×（+）=（+），同理=（+），=（+），∴++=（+++++）=，所以=，命题正确；对于②，点O是△ABC的外心，如图②所示，OA=OB=OC，所以S△BOC ：S△AOC：S△AOB═sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin2A：sin2B：sin2C，所以sin2A•+sin2B•+sin2C•=，命题正确；对于③，点I是△ABC的内心，如图所示，所以S△BIC ：S△AIC：S△AIB=a：b：c，所以a+b+c=，命题正确；对于④，点H是△ABC（非直角三角形）的垂心，如图所示，所以S△BHC ：S△AHC：S△ANB=tanA：tanB：tanC，所以tanA•+tanB•+tanC•=，命题正确．综上，以上正确的命题有4个．故选：D．二、填空题（每题5分）13．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，a k﹣4=191，S k=10000，则k 的值为100．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S9=81，a k﹣4=191，S k=10000，∴S9==81，解得a5=9，∴a1+a k=a5+a k﹣4=9+191=200，S k==100k=10000，解得k=100．故答案为：100．14．（5分）三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠APC=∠CPB=40°，PA=5，PB=6，PC=7，点D、E分别在棱PB、PC上运动，则△ADE周长的最小值为5．【解答】解：如图，沿棱PA将三棱锥侧面剪开并展开，可得展开图如图，此时|PA|=|PA′|=5，且角APA′=120°，∴△ADE周长的最小值为|AA′|=．故答案为：．15．（5分）若平面向量满足|2|≤3，则的最小值是﹣．【解答】解：∵平面向量满足|2|≤3，∴，∴≥=4||||≥﹣4，∴，∴，故的最小值是﹣．故答案为：﹣．16．（5分）已知函数f（x）=sin6x+cos6x，给出下列4个结论：①f（x）的值域为[0，2]；②f（x）的最小正周期为；③f（x）的图象对称轴方程为x=（k∈Z）；④f（x）的图象对称中心为（，）（k∈Z）其中正确结论的序号是②③④（写出全部正确结论的序号）【解答】解：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x﹣sin2xcos2x+cos4x）=1•（sin2x+cos2x）2﹣3sin2xcos2x=1﹣sin22x=+cos4x，①、因为﹣1≤cos4x≤1，所以f（x）的值域为[，1]，①不正确；②、由T==得，f（x）的最小正周期为，②正确；③、由4x=kπ（k∈Z）得，f（x）图象的对称轴方程是，③正确；④、由得，，则f（x）的图象对称中心为（，）（k∈Z），④正确，综上可得，正确的命题是②③④，故答案为：②③④．三、解答题17．（10分）若对任意实数x，不等式x2﹣mx+（m﹣1）≥0恒成立（1）求实数m的取值集合；（2）设a，b是正实数，且n=（a+）（mb+），求n的最小值．【解答】解：（1）∵x2﹣mx+（m﹣1）≥0在R恒成立，∴△=m2﹣4（m﹣1）≤0，解得：m=2，故m∈{2}；（2）∵m=2，a，b是正实数，∴n=（a+）（mb+）=（a+）（2b+）=2ab++≥2+=，故n的最小值是．18．（12分）如图，四边形ABCD中，若∠DAB=60°，∠ABC=30°，∠BCD=120°，AD=2，AB=5．（1）求BD的长；（2）求△ABD的外接圆半径R；（3）求AC的长．【解答】解：如图，由∠DAB=60°，∠BCD=120°，可知四边形ABCD为圆内接四边形，（1）在△ABD中，由∠DAB=60°，AD=2，AB=5，利用余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠DAB=．∴；（2）由正弦定理得：，则△ABD的外接圆半径R=；（3）在△ABC中，由正弦定理得：，∴AC=．19．（12分）△ABC中，a=4，b=5，C=，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点D在边AB上，且=．（1）用和表示；（2）求|CD|．【解答】解：（1）∵=，∴=，即=，则=+=+=+（﹣）=+．（2）∵a=4，b=5，C=，∴•=||||cos120°=4×=﹣10．∵=+．∴2=（+）2=2+2×ו+2=×25+2×ו（﹣10）+×16=，则|CD|==．20．（12分）四面体ABCD中，已知AB⊥面BCD，且∠BCD=，AB=3，BC=4，CD=5．（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；（2）求此四面体ABCD的体积和表面积；（3）求此四面体ABCD的外接球半径和内切球半径．【解答】（1）证明：∵AB⊥面BCD，CD⊂面BCD，∴AB⊥CD，∵∠BCD=，∴CD⊥BC，∵AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，∵CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD；（2）解：此四面体ABCD的体积V==10表面积S==；（3）解：此四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点，半径为=设内切球半径为r，则（）r=10，∴r=．21．（12分）△ABC中（非直角三角形），角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；（2）若tanA：tanB：tanC=6：（﹣2）：（﹣3），求a：b：c．【解答】（1）证明：∵△ABC不是直角三角形，∴A、B、C均不为直角，且A+B+C=π，任意两角和不为，由两角和的正切公式可得tan（A+B）=，∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=tan（π﹣C）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）∴tanA+tanB+tanC=﹣tanC（1﹣tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC；（2）由tanA：tanB：tanC=6：（﹣2）：（﹣3），设tanA=6k，tanB=﹣2k，tanC=﹣3k，代入（1）得到k=36k3，因为△ABC非直角三角形，并且最多一个钝角，所以k=﹣，即tanA=﹣1，tanB=，tanC=，所以A=135°，sinB=，sinC=，所以a：b：c=sinA：sinB：sinC==5：：2．22．（12分）在等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n+r（r为常数），记b n=1+log2a n．（1）求r的值；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n；+≤k+P n，求（3）记数列{}的前n项和为P n，若对任意正整数n，都有P2n+1实数k的最小值．【解答】解：（1）等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n+r，可得a1=S1=2+r；a n=S n﹣S n﹣1=2n+r﹣（2n﹣1+r）=2n﹣1，上式对n=1也成立，即有2+r=1，解得r=﹣1．（2）b n=1+log2a n=1+log22n﹣1=1+n﹣1=n，数列{a n b n}的前n项和T n=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，2T n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，两式相减可得，﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n，化简可得，T n=（n﹣1）•2n+1；（3）数列{}的前n项和为P n=1+++…+，P2n+1+≤k+P n，即为1+++…++…++≤k+1+++…+，化为k≥++…+，可设f（n）=++…+，f（n+1）﹣f（n）=+…+++﹣（++…+）=+﹣=﹣＜0，即有f（n）在自然数集上递减，可得f（1）取得最大值，且为1++=．则k ≥．即实数k 的最小值为．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：45°45°45°运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

重庆市重庆一中2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．已知集合， QUOTE，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查集合的基本运算.由集合， QUOTE，，则.故选D.2．设a＝，b＝(3,1)，若a b，则实数k的值等于A.－B.－C.D.【答案】A【解析】本题主要考查平面向量数量积.由a＝，b＝(3,1)，若a b，则，即得，故选A.3．设等差数列{}的前n项和为，若a5＋a14＝10，则S18等于A.20B.60C.90D.100【答案】C【解析】本题主要考查等差数列的性质及前项和公式.根据等差数列的性质,a5＋a14＝10,则,故选C.4．圆与圆的位置关系为A.内切B.相交C.外切D.相离【答案】B【解析】本题主要考查两圆的位置关系.圆心距，又，则两圆相交，故选B.5．已知变量x,y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为A.12B.11C.3D.-1【答案】B【解析】本题主要考查线性规划的最优解的求解.由题意，变量满足约束条件，可以得到可行域，如图所示，则目标函数z =3x +y 平移到过y =x -1与y =2的交点(3，2)时目标函数取得最大值为 ，故选B6．已知等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝＋＋…＋的结果可化为A.1－B.1－C. (1－)D.(1－)【答案】C【解析】本题主要考查等比数列通项及前 项和公式.依题意， ，设，即 为首项为 ，公比为 的等比数列，则Tn ＝＋＋…＋(1－)，故选C.7．“m =1”是“直线 与直线 平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】本题主要考查两直线的位置关系.若直线 与直线 平行，则 得 ，当 时，两直线重合，舍去，当 时，两直线平行，故“m =1”是“直线 与直线 平行”的充要条件，故选C.8．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为,xyA.15B.105C.245D.945【答案】B【解析】本题主要考查程序框图.依题意，执行程序，S=1,i=1,第一次进入循环体，T=3，S=3，i=2，判定为否，第二次进入循环体，T=5，S=15，i=3,判定为否，第三次进入循环体，T=7，S=105，i=4，判定为是，退出循环，输出S=105，故选B.9．现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查古典概型的概率.列表得：所有等可能的情况有9种，其中差为负数的情况有6种，则P=，故选D.10．在平行四边形ABCD中,AD＝2,∠BAD＝60°,E为CD的中点,若＝1,则AB的长为A. B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的数量积.依题意得即AB的长为6,故选D.11．已知函数，且对于任意实数关于的方程都有四个不相等的实根，，，，则的取值范围是A. B.C.，D.，【答案】C【解析】本题主要考查函数的零点.依题意，关于的方程都有四个不相等的实根，则当时，有两个实根，函数过点，则有解得，又根据函数对称性得,故选C.12．已知集合，，若，则的最小值A. B. C.(6－2) D.【答案】A【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.依题意，直线与圆相交或相切，圆的方程可化为，其方程过原点，且半径为，当圆的直径为原点到直线的距离时，圆的半径最小，此时最小，由原点到直线的距离为，即，，得，即的最小值为，故选A.二、填空题：共4题13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取名学生．【答案】15【解析】本题主要考查分层抽样.由高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，则高二在总体中所占的比例是，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则要从高二抽取×50=15，故答案为15.14．在中，角所对边长分别为，若，则b=___________．【答案】2【解析】本题主要考查正弦定理.依题意，得，根据正弦定理得即，故填2.15．已知点P，Q为圆C：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|<6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为__________．【答案】【解析】本题主要考查几何概型.当|PQ|=6时，圆心到线段PQ的距离，此时M位于半径是4的圆上，则若|PQ|<6，则PQ中点组成的区域为M为半径为4的圆及其内部，即x2+y2<16，PQ中点组成的区域为M如图所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为，故填.16．点C是线段AB上任意一点，O是直线AB外一点，，不等式对满足条件的x，y恒成立，则实数k的取值范围．【答案】，【解析】本题主要考查平面向量基本定理及基本不等式.由点C是线段AB上任意一点，O是直线AB外一点，，则，又不等式对满足条件的x，y恒成立，转化为，令，则，即，当时，有最小值，故，故填，.三、解答题：共6题17．已知的面积是3，角所对边长分别为，．(1)求；(2)若，求的值．【答案】由，得.又，∴(1).(2)，=13,∴.【解析】本题主要考查平面向量数量积和余弦定理.利用同角三角函数基本关系求得的值，根据三角形面积公式求得的值.(1)利用平面向量数量积公式求得.(2)根据的值求得的值，然后利用余弦定理求得.18．已知圆：，直线l过定点．(1)若l与圆相切，求直线l的方程；(2)若l与圆相交于P、两点，且，求直线l的方程．【答案】(1)当斜率不存在时，方程x=1满足条件；当直线l的斜率存在时，设其方程是y=k(x-1),则，解得，所以所求方程是x=1和3x-4y-3=0.(2)由题意，直线斜率存在且不为0，设其方程是y=k(x-1),则圆心到直线的距离d=，，，此时k=1或k=7，所以所求直线方程是或.【解析】本题主要考查直线方程和直线与圆的位置关系.(1)当斜率不存在时，方程x=1满足条件；当直线l的斜率存在时，设其方程是y=k(x-1),利用圆心到直线的距离等于半径求得斜率的值，从而求得直线方程.(2)由题意，直线斜率存在且不为0，设其方程是y=k(x-1),求得圆心到直线的距离d=，根据勾股定理求得的值，从而求得直线方程.19．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值;(2)若该校高一年级共有学生640名,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生,求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.【答案】解:(1)因为图中所有小矩形的面积之和等于1,所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1,解得a=0.03.(2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1-10×(0.005+0.01)=0.85.由于该校高一年级共有学生640名,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544.(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2,成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4,若从这6名学生中随机抽取2人,则总的取法有=15种.如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10;如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内,那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法数为+=7,所以所求概率为P=.【解析】本题主要考查频率分布直方图,考查由样本估计总体的思想方法,考查随机变量的概率的求解,是统计与概率相结合的题目.20．已知数列{an}满足(其中且)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设，其前n项和是，求证：<．【答案】(1)解：.(2)证明：，其前n项和＝，，∴－＝，∴＝.【解析】本题主要考查数列的通项公式及错位相减法求和.(1)利用累加法求得数列{}的通项公式.(2)求得，利用错位相减法求得＝，通过放缩证得不等式.21．已知动点满足方程．(1)求动点P到直线距离的最小值；(2)设定点，若点，之间的最短距离为,求满足条件的实数的取值．【答案】(1)，当且仅当时距离取得最小值.(2)设点(),则设(),则,设()对称轴为分两种情况:(1)时,在区间上是单调增函数,故时,取最小值∴,∴,∴(舍)(2)>时,∵在区间上是单调减,在区间上是单调增,∴时,取最小值,∴,∴,(舍)综上所述,或.【解析】本题主要考查点到直线的距离公式、基本不等式及二次函数在区间上的最值.(1)将代入点到直线的距离公式然后利用基本不等式即可求得最小值.(2)设点(),利用点到直线的距离公式换元后，利用二次函数在区间上的最值分类讨论即可求得最小值，从而求得的值.22．已知函数为奇函数，且．(1)求实数a与b的值；(2)若函数，设为正项数列，且当时，，(其中)，的前项和为，，若恒成立，求的最小值．【答案】(1)因为为奇函数，，得，又，得(2)由，得，且，∴，∴.由：，恒成立，即：恒成立，当时，，再由复合函数单调性知，数列为单调递减数列，且时，，当时，中的每一项都大于，∴恒成立；当时，数列为单调递减数列，且时，而，说明数列在有限项后必定小于，设，且数列也为单调递减数列，.根据以上分析：数列中必有一项(设为第项)，(其中，且)∴(∵为单调递减数列)，当时，，∴，∴时，不满足条件.综上所得：.【解析】本题主要考查函数的性质及数列的应用.(1)利用奇函数求得的值，然后利用的值求得.(2)由，得，且，得，∴.则，问题转化为恒成立，然后分类讨论，利用极限思想及放缩放求得的最小值．。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.角α的终边过点(4,3),(0)P k k k -<，则cos α的值是( ) A ．35B ．45C ．35-D ．－45【答案】B 【解析】 试题分析：()()()0553422<-==+-=k k k k k r ，而5454cos =--==k k r x α，故选B. 考点：三角函数的定义2.sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( ) A ．23-B ．23C ．21-D ．21【答案】D 【解析】试题分析：原式等于()2130sin 1020sin 10sin 20cos 10cos 20sin 000000==+=+，故选D. 考点：两角和与差的三角函数3.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =( )A ． 1-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C考点：向量数量积4.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y=sin （2x+2π） B ．y=cos （2x+2π） C ．y=sin2x+cos2x D ．y=sinx+cosx【答案】B考点：三角函数的性质5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， =x+y，且=3，则( )A ．x=，y=B ．x=，y=C ．x=，y=D ．x=，y=【答案】D 【解析】试题分析：()OP OA OB OP PA BP -=-⇔=33,整理为OP OB OA OP 34+=⇔+=所以43=x ，41=y ，故选D. 考点：平面向量基本定理6.若3cos()45πα-=，则sin 2α=( ) A ．725 B ．725- C ．15- D ．15【答案】B【解析】 试题分析：()53sin cos 224cos =+=⎪⎭⎫⎝⎛-αααπ，两边平方后得:()2518sin cos 2=+αα25182sin 1=+⇔α,解得2572sin -=α，故选B. 考点：三角函数恒等变形 7.将函数y=2sin (2x+6π)的图像向右平移4π个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y=2sin(2x+4π) B ．y=2sin(2x+3π) C ．y=2sin(2x –4π) D ．y=2sin(2x –3π)【答案】D考点：三角函数的变换【易错点睛】本题考查了三角函数的变换，属于基础题型，在三角函数的变换中，容易出错在两个地方，举例，①函数x y 2sin =向左平移6π个单位得到哪个函数，很多同学会写成⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y ，谨记“左+右－”指的是x ，所以应是⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 62sin ππx x y ，②⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，很多同学会写成⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12sin 6221sinππx x y ，谨记，横坐标伸长或缩短到原来的ω1倍，仅仅是x 前面的系数变了，与ϕ无关，所以应是⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y . 8.函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=【答案】A考点：()ϕω+=x A y sin 的图像 9.()()01tan181tan 27++的值是( )A B ．1．2 D ．()002tan18tan 27+【答案】C 【解析】试题分析：根据公式()127tan 18tan 127tan 18tan 2718tan 000000=-+=+，所以000027tan 18tan 127tan 18tan -=+，原式等于227tan 18tan 27tan 18tan 10000=+++，故选C.考点：两角和的正切函数10.在ABC ∆+ABC ∆一定是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 【答案】C 【解析】-+BABA⋅-+=⋅++222222,化简为0=⋅,即BC BA ⊥,角B 为直角，所以是直角三角形，故选C. 考点：向量数量积11.设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( ) A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A考点：三角函数的图像和性质【方法点睛】本题考查了()ϕω+=x A y sin ⎪⎭⎫⎝⎛<>>200πϕω，，A 的性质，本题考查了两个问题，一是如何求函数解析式，二是如何判断三角函数的性质，A 是振幅，一般根据函数的最值求解，ωπ2=T ,ω一般根据周期求解，ϕ一般根据“五点法”求解，而象本题给出三角函数后，如何判断所给区间是否具有单调性，首先由x 的区间，代入求ϕω+=x u 的区间，然后判断ϕω+=x u 是否落在u y sin =的单调区间内. 12.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[-3，-2]上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则( )A ．()()sin sin f f αβ>B ．()()sin cos f f αβ<C ．()()sin cos f f αβ>D ．()()cos cos f f αβ< 【答案】C考点：函数的性质【思路点睛】本题考查了函数性质与解三角形的综合考察，属于中档题型，本题的难点是如何转化锐角三角形这个条件，即若是锐角三角形，需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+<<<<22020πβαπβπα，这样βπα->2，这样根据函数的单调性，两边取三角函数，ββπαcos 2sin sin =⎪⎭⎫⎝⎛->，或是⎪⎭⎫⎝⎛-<βπα2cos cos βsin =，这个难点克服后，就容易想到根据函数的性质，转化为求函数()x f 在区间()1,0的单调性.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分28分，将答案填在答题纸上） 13.设向量a =(x ，x+1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x= . 【答案】23- 【解析】试题分析：根据两向量垂直，可得()0211=⨯++⨯x x ，解得32-=x ，故填：32-.考点：向量数量积14.已知向量()()(),12,4,5,,10OA k OB OC k ===-，且,,A B C 三点共线，则k = . 【答案】23-考点：向量共线的充要条件 15.已知,022ππαπβ<<<<，3tan 4α=-，()5cos 13βα-=， 则sin β的值为 . 【答案】6365【解析】试题分析：0-<<-αβπ，又因为()0135cos >=-αβ，所以02<-<-αβπ，()1312sin -=-αβ， 因为43tan -=α，所以53sin =α，54cos -=α，而()[]()()6563131********sin cos cos sin sin sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=-+-=-+=αβααβααβαβ，故填：6563. 考点：三角函数恒等变形16.函数()sin(2)sin()()66f x x x x ππ=++-∈R 的值域为 .【答案】928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】 试题分析：设t x =-6π，那么()8941sin 2sin sin 21sin 2cos sin 22sin 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t t t t t t f π，因为[]1,1sin -∈t ，所以当41sin =t 时，函数取得最大值89，当1sin -=t 时，函数取得最小值-2，所以函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2，故填：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2.考点：三角函数的性质17.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为 .【答案】81考点：向量数量积18.已知函数5()),6f x x π=+方程()f x m =在区间[0,]2π上有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是 .【答案】( 【解析】试题分析：如图，画出函数u y sin 3=的图像，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=611,65652πππx u ，此时()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,3x f ，当2π=x 时，23-=y 根据图像可得若有两个不同的实根，那么⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈23,3m ，故填：⎥⎦⎤⎝⎛23-3-，.考点：三角函数图像的应用【方法点睛】本题考查了三角函数图像的应用，属于基础题型，以复合函数的观点解决函数零点问题，首先设π652+=x u ，并且求出u 的取值范围，然后画出函数u y sin 3=的图像，这问题转化为m y =与三角函数图像交点的问题，通过图像很容易求出没有交点，一个交点，以及两个交点的m 的取值范围问题，切记，最好不要画⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π652sin 3x y 的图像，因为画这个图像对很多同学来说比较浪费时间得不偿失，一定画换元后的图像.19.已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 . 【答案】9考点：三角函数的性质【思路点睛】本题考查了三角函数的性质，属于中档题型，本题的难点是如何将这两个条件结合在一起，ω是与周期有关的量，对称轴与零点间的距离也与周期有关，这样根据图像得到244--4kTT +=⎪⎭⎫⎝⎛ππ,即ωππ24124122⋅+=+=k T k ，第二个条件⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，是单调区间的子集，所以其长度小于等于半个周期，这样就得到了ω的一个范围与形式，最后求最大值，只能通过从最大的逐个代起，找到ω的最大值. 三、解答题 （本大题共5小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 20.（本题满分12分）已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求|+|；（3）求在+方向上的投影．【答案】（1）127-；（2）6；（3）126.∴cos ＜•＞===﹣；（2）|+|===；（3）在+方向上的投影为===．考点：向量数量积【方法点睛】本题考查了向量数量积，属于基础题型，所涉及的公式包括（1）θcos b a b a=⋅，（2）ba b a⋅=θcos ，（3）22a a =，以及()2ba b a+=+，（4）0=⋅⇔⊥b a b a，（5）投影公式：向量a在b 方向上的投影为θcos a或是bb a ⋅，对于这类型的向量问题，要谨记公式，并且熟练运用公式避免计算错误.21.（本题满分16分） （1）已知，求的值．(2) 已知3177cos(),,45124x x πππ+=<<求2sin 22sin 1tan x x x +-的值．【答案】（1）41；（2）7528. ∴．原式==，由以上知cosx ﹣sinx≠0，考点：三角函数的恒等变形求值 22.（本题满分为10分）如图所示，某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN 建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M ，N 分别在边AB ，AD 上．由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN 的周长为2千米，请探究∠MCN 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【答案】∠MCN 是定值，且∠MCN=4π． 【解析】试题分析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，若MCN ∠为定值，那么βα+为定值，即()βα+tan 为定值，根据所设条件，得到()βα+tan ()xyy x y x -++-=2，因为AMN ∆的周长等于222=+++y x y x ，将此式进行化简为()y x y x +-=+222，两边平方得到()22-+=y x xy ，代入正切公式得到定值.试题解析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，在△CBM 中，tan α=1﹣x ，在△CDN 中，tan β=1﹣y ，所以：tan （α+β）=()()()xyy x y x y x y x -++-=----+-=-+211111tan tan 1tan tan βαβα，（5分） △AMN 的周长为2千米，所以222=+++y x y x ，化简得()22-+=y x xy ，代入（*）式，可得tan （α+β）=()()()[]()()1222222=+-+-=-+-++-=-++-y x y x y x y x y x xy y x y x ， 由于α+β(0,)2π∈，所以α+β=4π，所以∠MCN 是定值，且∠MCN=4π．﹣﹣﹣（10分）考点：三角函数的实际应用 23.（本题满分为12分）已知函数f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的单调增区间； （2）将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，若y=g（x ）在[0，b]（b ＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．【答案】（1）Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ；（2）1259π.试题解析：（1）由题意得f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3=sin2ωx ﹣3cos2ωx=2sin （2ωx ﹣3π），由最小正周期为π，得ω=1，所以()⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2πx x f ， 由Z k k x k ∈+≤-≤-,223222πππππ，整理得k k x k ,12512ππππ+≤≤-Z ∈， 所以函数f （x ）的单调增区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ．【方法点睛】本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数图像的问题，属于基础题型，重点说说对于（1）所考查到的三角恒等变换的问题，比较常见，所使用的公式包括ααα2sin 21cos sin =，22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=，降幂后采用辅助角公式化简，()ϕ++=+x b a x b x a sin cos sin 22，其中ab=ϕtan ，这样函数就可以化简为()ϕω+=x A y sin .24.（本题满分为12分）已知函数x c x b a x f sin cos )(++=的图像经过点)1,0(A 及)1,2(πB(1)已知)2,0(π∈x 时，2|)(|≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)当a 取上述范围内的最大整数．．．．值时，若有实数φ,,n m ，使得1)()(=-+φx nf x mf 对于 R x ∈恒成立，求φ,,n m 的值.【答案】（1）[]234,2-+；（2）161=m ，161=n ，Z k k ∈+=,2ππφ. 【解析】试题分析：（1）首先根据条件可得a c b -==1，将函数转化为()()a x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4sin 12π，根据条件可得⎪⎭⎫⎝⎛+4sin πx 的范围，最终讨论a -1的取值范围后，得到函数的值域，根据条件()2≤x f 得到a 的取值范围；（2）由（1）的结论可得8=a ，代入()()1=-+ϕx nf x mf ，要使上式对R x ∈∀恒成立，则需满足()⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0sin 0cos 18φφn n m n m ，得到参数的取值范围.试题解析：由12,1)0(=⎪⎭⎫⎝⎛=πf f ，可得，1,1=+=+c a b a ， 所以a c b -==1，所以()()a x a a x x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=4sin 12)cos )(sin 1(π，（1）设t x =⎪⎭⎫⎝⎛+4sin π，()a t a y +-=12， 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππ43,44x ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,22t ，(2)可得8=a ，则()⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 278πx x f 由()()1=-+φx nf x mf ，可得()14sin 274sin 278=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+φππx x m n m ，令X x =+4π得，考点：1.三角函数的性质；2.恒成立问题.。

2015-2016学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大題共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．232．（5分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=03．（5分）过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A．y=B．y=﹣C．D．4．（5分）由直线y=x+1上的一点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2 C．D．35．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定8．（5分）数列{a n}中，，且a1=2，则a n等于（）A．B．C．D．9．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（）A．16πB．32πC．48πD．64π10．（5分）设数列{a n}满足：a1=1，a2=3，且2na n=（n﹣1）a n﹣1+（n+1）a n+1，则a20的值是（）A．4B．4C．4D．411．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．112 B．80 C．72 D．6412．（5分）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线L，使L与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线L可以作（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为．14．（5分）m，n，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，下列命题中①若m，n与l都垂直，则m∥n；②若m∥α，m∥n，则n∥α；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）15．（5分）已知⊙O：x2+y2=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是．16．（5分）在直角三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC=，AC=4，AA1=4，M为AA1中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC，则PQ的长度为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应该写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）设直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求直线l的倾斜角；（2）求证：对m∈R，直线l与圆C恒有两个交点．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n（n，S n）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，且过点P n（n，S n）的切线的斜率为k n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设Q={x|x=k n，n∈N*}，R={x|x=2a n，n∈N*}，等差数列{c n}的任一项c n∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，110＜c10＜115，求{c n}的通项公式．20．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（1）求证：平面FBC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．21．（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．22．（12分）已知圆x2+y2=25，△ABC内接于此圆，A点的坐标（3，4），O为坐标原点．（1）若△ABC的重心是，求直线BC的方程；（三角形重心是三角形三条中线的交点，并且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍）（2）若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．2015-2016学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大題共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选：C．2．（5分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选：A．3．（5分）过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A．y=B．y=﹣C．D．【解答】解：如图，圆方程为（x+2）2+y2=12，圆心为A（﹣2，0），半径为1，．故选：C．4．（5分）由直线y=x+1上的一点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：圆x2﹣6x+y2+8=0⇒（x﹣3）2+y2=1的圆心C（3，0），半径r=1，∵半径一定，∴切线最短则圆心和点的距离最小，则此时就是C到x﹣y+1=0的距离d==2，由勾股定理切线长最小值为：=．故选：C．5．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．6．（5分）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2=2，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．故选：B．7．（5分）已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定【解答】解：因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），从而﹣+3=0，即m=6．故选：C．8．（5分）数列{a n}中，，且a1=2，则a n等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴即∴数列{}是首项为，公差为3的等差数列则=+（n﹣1）×3=3n﹣=∴a n=故选：B．9．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（）A．16πB．32πC．48πD．64π【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、P扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，PA=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，∴AB=3，∴AE==．AO==2．所求球的体积为：（2）3=32π．故选：B．10．（5分）设数列{a n}满足：a1=1，a2=3，且2na n=（n﹣1）a n﹣1+（n+1）a n+1，则a20的值是（）A．4B．4C．4D．4【解答】解：令b n=na n，则由2na n=（n﹣1）a n﹣1+（n+1）a n+1，得2b n=b n﹣1+b n+1，∴数列{b n}构成以1为首项，以2a2﹣a1=5为公差的等差数列，则b n=1+5（n﹣1）=5n﹣4，即na n=5n﹣4，∴，则．故选：D．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．112 B．80 C．72 D．64【解答】解：由三视图可知，此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体，棱柱的体积为4×4×4=64；棱锥的体积为×4×4×3=16；则此几何体的体积为80；故选：B．12．（5分）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线L，使L与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线L可以作（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为x+2y﹣5=0．【解答】解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为﹣==﹣，故切线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+2y﹣5=0，故答案为：x+2y﹣5=0．14．（5分）m，n，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，下列命题中①若m，n与l都垂直，则m∥n；②若m∥α，m∥n，则n∥α；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β其中正确的命题是③．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：m，n，l表示不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，对于①，∵若m⊥l，n⊥l，则m与n平行，相交或异面，故①错误；对于②，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故②不正确；对于③，由于n∥β且α∥β可得出n⊂α或n∥α，又m⊥α可得出m⊥n，故若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n，故③正确；④α⊥γ，β⊥γ，如图：显然此时α与β相交，故④错误．故答案为：③．15．（5分）已知⊙O：x2+y2=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．【解答】解：∵圆心为O（0，0），半径R=1．设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有PO=R=，∴圆心O到直线y=kx+2的距离d≤，即，即1+k2≥2，解得k≥1或k≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）16．（5分）在直角三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC=，AC=4，AA1=4，M为AA1中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC，则PQ的长度为．【解答】解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），∴Q（0，1，1），∴PQ的长度为|PQ|==．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应该写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）设直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求直线l的倾斜角；（2）求证：对m∈R，直线l与圆C恒有两个交点．【解答】（1）解：由圆C：x2+（y﹣1）2=5，得半径r=，又|AB|=，∴圆心C（0，1）到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离d=．由点到直线的距离公式得d=，解得m=．∴直线的斜率等于．故直线的倾斜角为或；（2）证明：圆C：x2+（y﹣1）2=5的圆心C（0，1），半径为，圆心C到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离d=．∴直线l与圆C相交，即对∀m∈R，直线l与圆C恒有两个交点．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，可得S==．△ABC因为PA⊥平面ABC，PA=1，所以V P=•S△ABC•PA=；﹣ABC（2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=，从而NC=AC﹣AN=．由MN∥PA得==．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n（n，S n）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，且过点P n（n，S n）的切线的斜率为k n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设Q={x|x=k n，n∈N*}，R={x|x=2a n，n∈N*}，等差数列{c n}的任一项c n∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，110＜c10＜115，求{c n}的通项公式．【解答】解：（1）因为点P n（n，S n）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，所以S n=n2+2n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1，当n=1时，a n=3满足上式，所以数列{a n}的通项公式a n=2n+1；（2）由f（x）=x2+2x求导得f′（x）=2x+2，∴k n=2n+2，∴Q={x|x=2n+2，n∈N*}，又R={x|x=4n+2，n∈N*}，所以Q∩R=R，又c n∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，所以c1=6，又{c n}是公差为4的倍数的等差数列，所以令c10=4m+6，又110＜c10＜115，解得m=27，所以c10=114，设等差数列{c n}的公差为d，则c10﹣c1=9d，d=12．所以{c n}的通项公式c n=6+（n﹣1）×12=12n﹣6．20．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（1）求证：平面FBC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3，∴AB2=AC2+BC2，∴BC⊥AC．∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE．又∵BC⊂平面FBC，∴平面ACFE⊥平面FBC．…（5分）（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM=λ（0≤λ≤），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1），设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由，得取x=1，则=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cosθ=cos＜＞==，…（10分）∵0≤λ≤，∴当λ=0时，cosθ有最小值，当λ=时，cosθ有最大值．∴cosθ∈[]．…（12分）21．（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1（2分）d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l 1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=（8分）整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有无穷多个，所以或（10分）解得或这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）（12分）22．（12分）已知圆x2+y2=25，△ABC内接于此圆，A点的坐标（3，4），O为坐标原点．（1）若△ABC的重心是，求直线BC的方程；（三角形重心是三角形三条中线的交点，并且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍）（2）若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．【解答】解：设B（x1，y1），C（x2，y2），由题意可得：即，又，相减得：（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴∴直线BC的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）设AB：y=k（x﹣3）+4，代入圆的方程整理得：（1+k2）x2+（8k﹣6k2）x+9k2﹣24k﹣9=0∵3，x1是上述方程的两根，∴同理可得：∴赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

南京师范大学附中高一数学模拟测试卷二(三角函数部分)班级学号姓名一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．终边在x 轴上的角的集合是 {x |x ＝k π， k ∈Z}．2．一个扇形的圆心角是2弧度，弧长为4cm ，则扇形的面积是 4cm 2．3．sin19π6的值是 －12． 4．角α的终边经过点P (－1， 3 )，则sin(π2＋α)＝ －12．5．在△ABC 中，若cos (B ＋C )＝0．5， 则tan A ＝－ 3． 6．若α是第二象限角，则sin (sin α)， sin (cos α)， cos (sin α)， cos (cos α)中正数的个数是 3 ．7．函数y ＝5＋4cos (3－2πx )的最小正周期是 1 ．8．若y ＝15sin [π6(x ＋1)]表示一个振动，则这个振动的初相是 π6 ．9．1－2sin40°cos40°cos40°－1－cos 2140°的值是1．10．函数y ＝1－tan x 的定义域是{x | k π－π2<x ≤k π＋π4， k ∈Z} ．11．函数y ＝f (x )的图象向左平移π12单位，得到函数y ＝3sin 4x 的图象，则f (x )的解析式是 y ＝3sin (4x －π3)．12．已知f (x )是奇函数，若x ＞0时， f (x )＝sin x ＋cos x ，则x ＜0时， f (x )＝sin x －cos x ． 13．函数f (x )＝3sin (ωx ＋φ) (ω≠0)对于任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (1－x )，则f (1) ＝ ±3 ．14．设k ∈Z ，下列四个命题中正确的有 ③④ ．(填所有正确命题的序号) ①若sin α＋sin β＝2，则α＝β＝2k π＋π2；②若tan α＋1tan α＝2，则α＝2k π＋π4；③若sin α＋cos α＝1，则sin 5 α＋cos 5 α＝1；④若sin 5 α＋cos 5 α＝1，则sin α＋cos α＝1．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分9分)已知sin α＋cos α＝15，0＜α＜π，求下列各式的值．(1)tan α；(2) sin 2α－2sin αcos α＋3cos 2α．解：(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， sin α>0>cos α， sin α－cos α＝75， sin α＝45， cos α＝－35，(1) tan α＝－43;(2) sin 2α－2sin αcos α＋3cos 2α＝(sin α－cos α)2＋2cos 2α＝(75)2＋2(－35)2＝6725．16．(本小题满分9分)设f (x )＝12sin (2x ＋φ)，(φ是常数)．(1) 求证：当φ＝π2时，f (x )是偶函数；(2) 求使f (x )为偶函数的所有φ值的集合．解：(1) 当φ＝π2时，f (x )＝12sin (2x ＋π2)＝12cos 2x ， f (－x )＝f (x ) ，f (x )是偶函数;(2) 12sin (－2x ＋φ)＝12sin (2x ＋φ)对一切实数x 成立，－2x ＋φ＝2x ＋φ＋2k π，或－2x ＋φ＝π－（2x ＋φ）＋2k π（ k ∈Z ）对一切实数x 成立， 所以φ＝k π＋π2， k ∈Z ，f (x )为偶函数的φ值的集合是{φ|φ＝k π＋π2， k ∈Z}．17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ) (A ＞0， ω＞0， －π2＜φ＜π2)，在一个周期内，当x ＝π12时取得最大值1，当x ＝7π12时取得最小值－1．(1) 求f (x )的解析式；(2) 画出f (x )的简图，并写出f (x )的单调区间． 解：(1) A ＝1， 周期是2(7π12－π12)＝π，函数f (x )＝sin (2x ＋φ)的图象过点（π12，1），φ＝π3，f (x )＝sin (2x ＋π3);(2) 仿课本P30例1，P37例1方法，先用“五点法”作出一个周期的图象，列表，描点画图；然后通过周期性，向左右平移（每次平移π个单位）得到整个图象． 增区间是[k π－5π12， k π＋π12] (k ∈Z)，减区间是[k π＋π12， k π＋7π12] (k ∈Z)．18．(本题满分10分)如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8m ，圆环的圆心O 距离地面的高度为10m ，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P 0处．（1）试确定在时刻t (min)时蚂蚁距离地面的高度h (m)；（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过14m ？ 解：（1）以O 点为原点，直线OP 0为y 轴， 建立平面直角坐标系，设蚂蚁在时刻t (min)时到达P 点，由OP 在t 分钟内所转过的角为π6t ，可知以OX 为始边，OP 为终边的角为π6t －π2，则P 点的纵坐标为8sin (π6t －π2)，则h ＝8sin (π6t －π2)＋10＝10－8cos π6t (m)，t ≥0．（2）10－8cos π6t ≥142422()363k t k k Z πππππ⇒+≤≤+∈．因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，故不妨令]12,0[∈t ，∴48t ≤≤， 所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m ．19．(本小题满分10分)设函数y ＝2sin 2x ＋2a cos x ＋2a －1的最大值是－12．(1) 求a 的值；(2) 求y 取最大值时x 的集合．20．(本小题满分10分)偶函数f (x )满足：f (x ＋2)＝f (x )对一切实数x 成立，且当x ∈(－2013，－2012)时，f (x )＝cos π2x ，f (－2012)＝a ，f (－2013)＝b ，(a ＜b )．(1) 若△ABC 是钝角三角形，C 是钝角，证明：f (sin A )＞f (cos B )； (2) 若f (x )的值域是[a ，b ]，求a ，b 的值，并求方程f (x )＝b 的解集． 解：(1) x ∈(－1，0) 时x －2012∈(－2013，－2012)， f (x )＝f (x －2012)＝cos π2(x －2012)＝cos π2x ，因为f (x )是偶函数，所以x ∈(0，1) 时， f (x )＝cos π2x ，f (x )在(0，1)上是减函数，因为△ABC 是钝角三角形，C 是钝角，所以0＜A ＜π2－B ＜π2，所以0＜sin A ＜cos B ＜1，所以f (sin A )＞f (cos B )； (2) x ∈(－1，0)∪(0，1) 时f (x )＝cos π2x ∈(0，1)，f (0)＝f (－2012)＝a ，f (－1)＝f (1)＝f (－2013)＝b ， 若f (x )的值域是[a ，b ]，则a ＝0，b ＝1．方程f (x )＝b 的解集是{x |x ＝2k ＋1， k ∈Z }．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分． 1． {x |x ＝k π， k ∈Z}．2．4cm 2．3．－12．4．－12．5．－ 3 ．6．3．7．1．8．π6．9．1．10．{x | k π－π2<x ≤k π＋π4， k ∈Z}．11．y ＝3sin (4x －π3)．12．sin x －cos x ．13．±3．14．③④．二、解答题：本大题共6小题，9＋9＋10＋10＋10＋10＝58分．． 15．解：∵(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， sin α>0>cos α， ∴sin α－cos α＝75， ∴sin α＝45， cos α＝－35，（5分）(1) tan α＝－43；（2分）(2) sin 2α－2sin αcos α＋3cos 2α＝(sin α－cos α)2＋2cos 2α＝(75)2＋2(－35)2＝6725．（2分）16．解：(1) 当φ＝π2时，f (x )＝12sin (2x ＋π2)＝12cos 2x ，∵ f (－x )＝f (x ) ，∴f (x )是偶函数;（3分）(2) f (x )是偶函数等价于12sin (－2x ＋φ)＝12sin (2x ＋φ)对一切实数x 成立，就是－2x ＋φ＝2x ＋φ＋2k π，或－2x ＋φ＝π－（2x ＋φ）＋2k π（ k ∈Z ）对一切实数x 成立， 等价于φ＝k π＋π2， k ∈Z ，∴f (x )为偶函数的φ值的集合是{φ|φ＝k π＋π2， k ∈Z}．（6分）(如果只说明当φ＝k π＋π2（k ∈Z ）时f (x )是偶函数，则不超过3分)17．解：(1) A ＝1， ∵周期是2(7π12－π12)＝π， ∴ω＝2,∵函数f (x )＝sin (2x ＋φ)的图象过点（π12，1），∴φ＝π3，f (x )＝sin (2x ＋π3);（3分）(2) 仿课本P30例1，P37例1方法，先用“五点法”作出一个周期的图象，列表，描点画图；然后通过周期性，向左右平移（每次平移π个单位）得到整个图象．（4分） 增区间是[k π－5π12， k π＋π12] (k ∈Z)，减区间是[k π＋π12， k π＋7π12] (k ∈Z)．（3分）18.解：（1）以O 点为原点，直线OP 0为y 轴， 建立平面直角坐标系， 设蚂蚁在时刻t (min)时到达P 点，由OP 在t 分钟内所转过的角为π6t ，可知以OX 为始边，OP 为终边的角为π6t －π2，则P 点的纵坐标为8sin (π6t －π2)，则h ＝8sin (π6t －π2)＋10＝10－8cos π6t (m)，t ≥0．（6分）（2）10－8cos π6t ≥142422()363k t k k Z πππππ⇒+≤≤+∈．因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，故不妨令]12,0[∈t ，∴48t ≤≤， 所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m ．（4分）19．解：(1) 设cos x ＝t ， 则y ＝－2(t －a 2)2＋a 22＋2a ＋1，（2分）当－1＜a 2＜1时，a 22＋2a ＋1＝－12，解得a ＝－1；当a 2≥1时，－(1－a 2)2＋a 22＋2a ＋1＝－12，无解； 当a 2≤－1时，－(－1－a 2)2＋a 22＋2a ＋1＝－12，无解．a 的值是－1．（5分） (2) 由（1）知， y 取最大值时， cos x ＝－12，x 的集合：{x |x ＝2k π±2π3， k ∈Z}．（3分）20．解：(1) x ∈(－1，0) 时x －2012∈(－2013，－2012)， f (x )＝f (x －2012)＝cos π2(x －2012)＝cos π2x ，（2分）因为f (x )是偶函数，所以x ∈(0，1) 时， f (x )＝cos π2x ，f (x )在(0，1)上是减函数，（2分）因为△ABC 是钝角三角形，C 是钝角，所以0＜A ＜π2－B ＜π2，所以0＜sin A ＜cos B ＜1，所以f (sin A )＞f (cos B )；（2分） (2) x ∈(－1，0)∪(0，1) 时f (x )＝cos π2x ∈(0，1)，（2分）f (0)＝f (－2012)＝a ，f (－1)＝f (1)＝f (－2013)＝b ， ∵若f (x )的值域是[a ，b ]，∴a ＝0，b ＝1．方程f (x )＝b 的解集是{x |x ＝2k ＋1， k ∈Z }．（2分）。

金山中学2015学年度第二学期高一年级语文学科期末考试卷（考试时间：120分钟；满分:100分；）一阅读（60分)（一）阅读下文，完成1—6题。

（18分)访叶圣翁①黄裳②①几个月前，我将一本原刻的《拙政园诗余》寄给俞平伯先生，请他在书前写几个字。

俞平老生长姑苏,也就是女词人徐灿的故乡.不久,他就在我寄去的旧绿格子纸上写了跋文.平老近来作书,多用退笔写大字，这篇跋却是小行楷，丰神绝妙，还是三十多年前《遥夜归思引》那种风格,真使我欢喜、感谢。

后来我又忽发奇想，叶圣翁也是苏州人,何不顺便也请他就近写几个字呢？就请平老转请，自己也写了信去。

很快，圣老的回信来了。

他告诉我,跋已写好，不过寄去的旧格纸行距太狭，先后写坏了两纸,还附来了写错的一纸，“藉见我确已不能作小字"。

②这使我非常惶恐。

我事行竟未考虑他们两位都已是八旬开外的老人,圣老的眼睛又不好，只是随手寄了旧格子纸去请他们写字，"的不但失礼,简直是不可原谅的.想想至今还保留着这种“少不更事．．．．鲁莽脾气,心里有说不出的不安.圣老寄来的跋文是用钢笔写在道林纸上的，但写得非常认真，他要我自己缮录一过，现在就把那大略转录在这里：“久不得黄裳兄音问，去夏始获来书,喜甚。

……拙政园者，余自幼常涉，三十年来每到苏亦必一往。

前夏割除胆结石，体气颇衰，未识能再访否。

又年来目力大不济，览书报眼镜、放大镜并用，犹复辨认难真。

忽发奇想，安得书报大字精雕如此集者耶.一九八零年五月一日叶圣陶于晴窗下题。

"，所以这次到京后的第二天上午，就到③因为有着这样的原因．．．．．东四八条去访候老人，想当面为自己的失礼谢罪。

八条是一条很长的胡同，在东四下了电车，找到巷口,走了好半日才在巷底找到叶宅,这是一所典型的四合院，院子不大，杂植了一些花木，显得异常安静.等了一会,不见有人走动，只得自动走进北房里去.北房一溜三间，右手的一间里临窗放着一只写字台，上面堆满了书报，我想这大概就是圣老的工作室了。