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量化投资之资本资产定价模型（CAPM）刘欢金融122 2012011072一、前言现代金融学的两大基石是有效市场假说（EMH）和资本资产定价模型（CAPM）。
有效市场假说是为了方便研究金融市场而对经济世界做的一个假象，而资本资产定价模型就基于这个假设：（1）这个模型是干嘛的？它是为了研究资本的收益与风险之间的定量关系。
（2）为什么要研究这个？我们知道，这个世界有一个基本规律：风险越高、收益越高。
当一个产品风险低而收益又高的时候，一定会有大量资金涌入瓜分掉收益。
因此，通过研究资本收益与风险之间的定量关系，我们可以判断这只股票价格的“合理性”，如果风险太大而价格又很低、或者风险太小而价格又太高，说明其价格不合理，有很大变动的可能。
此外，还可以估计各种宏观经济变化对股票价格的影响。
二、CAPM模型1．切点组合、分离定理与市场组合我们先把前言中说的“研究资本收益与风险之间的定量关系”这个东西放一放。
先从金融市场上两个很重要的问题入手一一每一天每一刻，投资人们无不在绞尽脑汁思考的两个问题一一（1）有没有一个收益最大、风险最小的投资组合?(2)它在哪里？为了搞清楚这个问题，经济学家们简化了这个世界，在这个简化的世界中，经济学家们找到了这个最优的投资组合，它被称为切点组合。
现在，我们就来聊一聊这个最优的“切点组合”。
要了解它的原理，我们需要走进经济学家威廉夏普等构建的简化世界:在这个世界里：1.所有投资者都是理性的，并且希望财富越多越好。
2.所有投资者都可以及时免费获得充分的市场信息。
3.影响投资决策的主要因素为期望收益率和风险。
即他们依据期望收益率和标准差选择证券(期望收益最大、标准差最小)。
4.投资者具有相同预期，即有相同的投资行为。
也意味着他们对证券的期望收益率、标准差及证券间的相关性有相同预期。
5.市场上存在且只有一种无风险利率。
除此之外，还有一些其他假设：6.股票市场存在买空和卖空。
7.所有投资者都有相同的投资期限，而且只有一期。
资本市场线计算公式
看来非常惊讶：各位优秀的金融求职者，您知道资本市场线的计算公式吗？下面我们来了解一下吧！
资本市场线（Capital Market Line,CML）是一种理论资产组合模型，用于研究可投资资产
的有效组合、资产组合优化等方面的应用。
CML的计算公式为：
CML：E(R)=Rf +β(E(Rm)−Rf )
其中：
E(R)为有效资产组合的期望收益率；
Rf 为无风险利率；
E(Rm)为市场投资组合的期望收益率；
β为有效资产组合的 Beta 系数。
有了CML，可以更清楚地认识到风险性资产获取报酬的机理，解释资产配置为何要追求高回报和相对低风险。
CML这种模型也为研究者提供了一个理论框架，为各种资产配置及决策提供决策指南，增加了资产配置效率。
总之，资本市场线是一个重要的理论框架，用于研究可投资资产的有效组合、资产组合优化等方面的应用。
使用该模型可以更好的理解风险性资产获取报酬的机理，为资产配置提
供决策指南，提升资产配置效率。
证券市场线及β系数证券市场线简称为SML，是资本资产定价模型(CAPM)的图示形式。
可以反映投资组合报酬率与系统风险程度β系数之间的关系以及市场上所有风险性资产的均衡期望收益率与风险之间的关系。
1.资本资产定价模型的假设资本资产定价模型建立在如下基本假设之上：(1)所有投资者均追求单期财富的期望效用最大化，并以各备选组合的期望收益和标准差为基础进行组合选择。
(2)所有投资者均可以无风险利率无限制地借入或贷出资金。
(3)所有投资者拥有同样预期，即对所有资产收益的均值、方差和协方差等，投资者均有完全相同的主观估计。
(4)所有的资产均可被完全细分，拥有充分的流动性且没有交易成本。
(5)没有税金。
(6)所有投资者均为价格接受者。
即任何一个投资者的买卖行为都不会对股票价格产生影响。
(7)所有资产的数量是给定的和固定不变的。
2.证券市场线描述的则是市场均衡条件下单项资产或资产组合(不论它是否已经有效分散风险)的期望收益与风险之间的关系。
测度风险工具是单项资产或资产组合对于整个市场组合方差的贡献程度即β系数。
它告诉我们相对于市场组合而言特定资产的系统风险是多少。
举例：普通股成本，资本资产定价模型中的贝塔值的估计贝塔值是企业的权益收益率与股票市场收益率的协方差：β=cov(Ri,Rm)/бь2其中：cov(Ri,Rm)是股票收益与市场指数之间的协方差;бь2是市场指数的方差。
在确定计算贝塔值时，必须做出两项选择(1)选择有关预测期间的长度（5年或更长）。
公司风险特征无重大变化时，可以采用5年或更长的预测长度;如果公司风险特征发生重大变化，应当使用变化后的年份作为预测期长度。
(2)选择收益计量的时间间隔。
使用每周或每月的收益率被广泛采用。
(3) 财务估价使用的现金流量数据是面向未来的，而计算权益成本使用的β值却是历史的，时间基础不一致的问题β值的驱动因素很多，但关键的因素只有三个：经营杠杆、财务杠杆和收益的周期性。
关于CAPM模型的资料资产定价理论是关于金融资产的价格决定理论，这些金融资产包括股票、债券、期货、期权等有价证券。
价格决定理论在金融理论中占有重要的地位，定价理论也比较多，以股票定价为例，主要有：1.内在价值决定理论。
这一理论认为，股票有其内在价值，也就是具有投资价值。
分析股票的内在价值，可以采用静态分析法，从某一时点上分析股票的内在价值。
一般可以用市盈率和净资产两个指标来衡量；也可以采取动态分析法。
常用的是贴现模型。
贴现模型认为股票的投资价值或者价格是股票在未来所产生的所有收益的现值的总和。
2.证券组合理论。
现代证券组合理论最先由美国经济学者Markowitz 教授创立，他于1954年在美国的《金融》杂志上发表了一篇文章《投资组合选择》，提出了分散投资的思想，并用数学方法进行了论证，从而决定了现代投资理论的基础。
3.资本资产定价理论（Capital Assets Pricing Model，CAPM模型）。
证券组合理论虽然从理论上解决了如何构造投资组合的问题，但是这一过程相当繁杂，需要大量的计算，和一系列严格的假设条件。
这样就使得这一理论在实际操作上具有一定的困难。
投资者需要一种更为简单的方式来进行处理投资事宜。
于是资本资产定价模型就产生了。
1964年是由美国学者Sharpe提出的。
这个模型仍然以证券组合理论为基础，在分析风险和收益的关系时，提出资产定价的方法和理论。
目前已经为投资者广泛应用。
4.套利定价模型（Arbitrage Pricing Theory，APT）。
1976年由Ross 提出，与CAPM模型类似，APT也讨论了证券的期望收益与风险之间的关系，但所用的假设与方法与CAPM 不同。
CAPM 可看作是APT 在某些更严格假设下的特例。
APT 在形式上是把CAPM 的单因子模型变为一个多因子模型。
本文主要就CAPM 理论进行一些探讨，从几个方面对这个重要的资产定价模型进行剖析。
一． CAPM 模型介绍Sharpe 在一般经济均衡的框架下，假定所有投资者都以自变量为收益和风险的效用函数来决策，导出全市场的证券组合的收益率是有效的以及资本资产定价模型（CAPM ）。
学年论文
成绩
国际会计专业0701 年级
学生姓名
指导教师
**大学会计学院
2010年09月14日
证券市场线的数学解析
摘要
在财务管理中，证券市场线和资本市场线的学习是尤为重要的一章，尤其是对于各个证券投资者，投资风险的度量极其重要。
本论文即是基于对财务管理的学习，所整理出的证券市场线和资本市场线的数学推导过程，以帮助广大财务理论学习者。
关键字
证券市场线 资本市场线 CML SML 投资风险
正文
在财务管理中，各种证券的选择一直备受投资者关注，其中，各个证券组合与其对应的投资风险和期望报酬率的关系也是财务管理的一个重要组成部分。
在证券市场的投资中，对于单一证券来说，所投资证券组合的期望报酬率与其相对的投资风险总是正相关，投资风险越大，投资者所要求的报酬率也越高，这是由市场特性所决定的。
然而，通过对证券市场的学习，我们可以知道，每一单一证券所蕴含的风险由两部分构成，系统风险和非系统风险，其中系统性风险是指由市场等系统因素给市场上所有的证券带来损失的风险，非系统风险是指由于某些微观层面上的因素如上市公司摘牌风险从而对单一证券到来损失的可能性，并且非系统风险可以通过多种证券的有效组合被分散，即多种证券的组合的风险小于单一证券的风险。
由此可得，市场组合（即市场上所有证券的同比例组合）M 的投资风险即为整个证券市场的系统风险，小于各个单一证券的风险（无风险证券国债除外，无风险证券的投资风险为零）。
基于此理论，我们可以得到资本市场线，资本市场线反映的是有效资产组合(市场资产组合与无风险资产构成的资产组合)的风险溢价，是该资产组合标准差的函数，在资本市场线中，我们用标准差测度投资者总的资产组合的风险。
设市场组合M 和无风险证券RF 两者比重分别为W 和1-W ， 则P
K ˆ可以表示为:()M
RF RF RF P K W K W K ˆ1ˆ-+= 由于无风险证券的投资风险为零， 证券组合P 的风险与组合中M 的风险成线形关系， 证券组合P 的投资风险P σ可以表示为:
()M RF P W σσ-=1
由此可得， P
K ˆ与P
σ成线性关系，在坐标轴中，任何一个证券都将位于这条直线的
下方。
它的解析式CML 是:
P M RF M RF P K K K K σσ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=ˆˆ
其图像如图下所示，是一条过点(0， RF K )与点(M
σ，M K )的直线：
然而在现实生活中，投资者的投资规模是有限的，无法对市场组合M 进行投资，而往往只投资一个或几个证券，所以单一证券的风险计算便变得尤其重要。
由于单一证券的投资风险与期望报酬率的相关性，投资者投资时可以通过对所投资证券期望报酬率的计算来确定各证券投资风险的大小，从而在不同证券中根据自己的风险承受能力做出选择。
以下是求解单一证券i 的期望报酬率i K 的过程。
设某一组合P ，由市场组合M 和证券i 构成，两者比重分别为w 和1-w ， 则P
K ˆ和P
σ分别为:
()i
M P K W K W K ˆ1ˆˆ-+⋅=
○1
[]
2
/12
222)1(2)1(i M iM i M P r W W W w σσσσσ-+⋅-+⋅= ○
2
由于市场组合M 和证券i 的投资风险均不为零， 其构成的证券组合P 的投资风险与两者的比重和各自的风险相关，不与任何单一风险成线性关系， 所以其图像为过点(M
σ
,M K )， (i σ，i K )的一条曲线， 如图所示:
， P σ
P 组合位于曲线iM 上而且该曲线与投资者的有效集曲线必然相切。
若曲线iM 与有效集曲线相交，则曲线iM 上至少存在一点A 与有效集上的B 点相比，
A 点具有相同的风险，但有更高的期望报酬率，显然A 比
B 更有效。
这暗示着有市场证券组合M 与风险证券i 构成的某个组合要优于有效集上具有相同风险的组合。
但在均衡状态下，所有有效的资产组合都位于有效集曲线上。
有以上矛盾可得，曲线iM 只会与有效集相切于M 点。
对公式○
1○2分别求导可得(对w 求导): ()i
M P K K dw
K d ˆˆˆ-+= ○
3 2
/122
22
2
2
2
)1(2)1(2i
M iM i
M
i
M
iM i M iM i i M
P
r w w w w
r w r w w dw
d σσσ
σσσ
σσσσσ
σ
-+-+⋅-+-+=
○4
○3/○4， 可得: [][
]i
M iM i M
iM i
i
M
i M
iM i M i M
P
P r w r w w r w w w w K K
d K d σσσσ
σ
σ
σ
σσσσσ
⋅-+-+-+-+-+=
2)1(2)1()ˆ(ˆˆ2222
/12
222 ○5
由于此曲线过M 点，过M 点时，w=1，带入○5并化简可得: i
M
iM M
M
i
M P
P r K K d K d σσ
σ
σσ
-⋅-=
2
)ˆˆ(ˆ
由于在M 点，有效集曲线的斜率为M
RF
M K K σ-ˆ， 又因为有效集曲线与曲线iM 相切于M
点，所以在M 点，两斜率相等:
， P σ
M
RF
M i
M
iM M
M
i
M K K r K K σσσ
σ
σ-=
-⋅-⇒
ˆ)ˆˆ(2
)ˆ)(()ˆˆ(22RF
M i M iM M M i M K K r K K --=⋅-⇒σσσσ 整理并化简得:
i
M iM RF M M RF i M r K K K K σσσσ⋅-+⋅=⋅⇒)ˆˆ(ˆˆ22 iM
i M
iM iM
M
i C M i COV r r M i COV ==∴=⋅),()
,(σσσσ
iM
RF M M RF i M C K K K K ⋅-+⋅=⋅⇒)ˆˆ(ˆˆ22σσ 2
)ˆˆ(ˆˆM
iM RF M RF i C K K K K σ⋅-+=⇒ ()
2
2
,M
iM
M
M
i iM i
M M i i C r
r K K COV
b σσσ
σσσβ==
⋅=
=
即 β⋅-+=)ˆˆ(ˆˆRF
M RF i K K K K 由于在均衡状态下， i
i K K ˆ=，所以()i
RF M RF i b K K K K -+=
此公式即为资本市场线SML 的表达公式，其反映的是单个证券的风险溢价，是该证券风险的函数，在这个公式中，测度单个资产风险的工具不再是该资产的方差或标准差，而是该资产对于资产组合方差的影响程度或贡献度β。
参考文献
经济学论坛—中国经济学教育科研./ MBA 智库百科/wiki/
中国注册会计师协会编 财务成本管理 中国财政经济出版社 2010
EugeneF.Brigham, JoelF.Houston, Fundamentals of Financial Management 10e 沈洪涛 改编 财务管理基础 高等教育出版社 2004。
