作业1图像的傅立叶变换频谱图

相位角
(u, v) arctan I (u, v) R(u, v)
二维离散傅里叶变换
1） 定义
u, v 0,1,N 1 F(u, v)
1
M 1 N 1
f ( x, y)e j 2 (ux / M vy/ N )
MN x0 y0
2） 逆傅立叶变换
M 1 N 1

f (x) F (u)e j2uxdu
3） 傅立叶变换特征参数

f (x, y) F (u, v)e j2 (uxvy)dudv
F(u,v) R(u,v) jI(u,v)
频谱/模
F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
能量谱/功率谱 P(u,v) F(u,v) 2 R2(u,v) I 2(u,v)
图像变换
图像变换主要有： 傅立叶变换、主成份变换、缨帽变换、代数运算、彩色 变换
其中傅立叶（Fourier）变换的应用非常是 广泛的，非常有名的变换之一。
2、傅立叶变换
傅立叶（Fourier），法国数学及物理学家，傅立叶级数（三角级 数）创始人。
1801年任伊泽尔省地方长官，1817年当选科学院院士，1822年任 该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会 主席。
?一维二维连续傅里叶变换一维二维连续傅里叶变换fxy变换到fuv1定义定义??????dxexfufuxj?2dydxeyxfvufvyuxj???????2?2逆傅立叶变换逆傅立叶变换?????dueufxfuxj?2dvduevufyxfvyuxj??????2?3傅立叶变换特征参数傅立叶变换特征参数vujivurvuf??频谱频谱模模22vuivurvuf??能量谱能量谱功率谱功率谱222vuivurvufvup???相位角相位角arctanvurvuivu???二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换1定义定义???0x??????11021mnynvymuxjeyxfmnvuf?2逆傅立叶变换逆傅立叶变换???0x??????1102mnynvymuxjevufyxf?110??nvu?110??nyx?fuv为fxy的频谱题西林壁题西林壁苏轼横看成岭侧成峰远近高低各不同同远近高低各不不识庐山真面目只缘身在此山中?3频率域图像频谱频率域图像频谱或称为傅立叶谱原图频域图傅立叶变换原图傅立叶变换后的频域图对图像信号而言空间频率是指单位长度内亮度对图像信号而言空间频率是指单位长度内亮度也就是是灰度也就是是灰度作周期性变化的次数

实验报告实验一图像的傅里叶变换（旋转性质）实验二图像的代数运算实验三filter2实现均值滤波实验四图像的缩放朱锦璐04085122实验一图像的傅里叶变换（旋转性质）一、实验内容对图（1.1）的图像做旋转，观察原图的傅里叶频谱和旋转后的傅里叶频谱的对应关系。

图（1.1）二、实验原理首先借助极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ,u=wcosϕ,v=wsinϕ,,将f(x,y)和F(u,v)转换为f(r,θ)和F（w，ϕ）.f(x,y) <=> F(u，v)f(rcosθ,rsinθ)<=> F(wcosϕ，wsinϕ)经过变换得f( r,θ+θ。

)<=>F(w,ϕ+θ。

)上式表明，对f(x,y)旋转一个角度θ。

对应于将其傅里叶变换F(u，v)也旋转相同的角度θ。

F(u,v)到f(x,y)也是一样。

三、实验方法及程序选取一幅图像，进行离散傅里叶变换，在对其进行一定角度的旋转，进行离散傅里叶变换。

>> I=zeros(256,256); %构造原始图像I(88:168,120:136)=1; %图像范围256*256，前一值是纵向比，后一值是横向比figure(1);imshow(I); %求原始图像的傅里叶频谱J=fft2(I);F=abs(J);J1=fftshift(F);figure(2)imshow(J1,[5 50])J=imrotate(I,45,'bilinear','crop'); %将图像逆时针旋转45°figure(3);imshow(J) %求旋转后的图像的傅里叶频谱J1=fft2(J);F=abs(J1);J2=fftshift(F);figure(4)imshow(J2,[5 50])四、实验结果与分析实验结果如下图所示（1.2）原图像（1.3）傅里叶频谱（1.4）旋转45°后的图像（1.5）旋转后的傅里叶频谱以下为放大的图（1.6）原图像（1.7）傅里叶频谱（1.8）旋转45°后的图像（1.9）旋转后的傅里叶频谱由实验结果可知1、从旋转性质来考虑，图（1.8）是图（1.6）逆时针旋转45°后的图像，对比图（1.7）和图（1.9）可知，频域图像也逆时针旋转了45°2、从尺寸变换性质来考虑，如图（1.6）和图（1.7）、图（1.8）和图（1.9）可知，原图像和其傅里叶变换后的图像角度相差90°，由此可知，时域中的信号被压缩，到频域中的信号就被拉伸。

f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
由欧拉公式
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
sin0t
1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
1 ej 0 t 2 0
1 ej0 t 2 0
cos0t
同理
1 2
2π
0
2π
0
π
0
π
0
sin0t jπ 0 jπ 0
dt
t
2
E
ejt d t E
e
j
t
e
jt
dt
E
e
j
t
e
jt
dt
2
4
4
ESa
E
2
Sa
π
E
2
Sa
π
F
E sin
1
2
π
E Sa
1 2
π
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
F( ) t ej t d t 1
f t
1
O
t
F
1
O
t看作
1 的矩形脉冲，
0时, B
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不
满足绝对可积条件，不能用定义求。
(t) 1 ( ) 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
F
1
O
1 f t

x(t )
X ( jk0 )
---
0
t
Tp
0
0
2
Tp
正
:
X
(
jk0
)
1 Tp
Tp / 2 x(t )e jk0t dt
Tp / 2
反 : x(t )
X ( jk 0 )e jk0t
k
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 周期的
频域信号 非周期的 离散的
时域：连续、周期（周期为Tp） 频域：非周期、离散（谱线间隔为2π/Tp）
.,
4种傅里叶变换
.,
4种傅里叶变换2.连续傅里叶变换(FT)
非周期连续时间信号 FT 非周期连续频谱
x(t)
正变换：
0
X ( j ) x(t)e jtdt
t
X ( j )
反变换：
0
x(t) 1 X ( j )e jtd
2
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 非周期的
频域信号 非周期的 连续的
时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
.,
4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
.,
--t
s
2 T
正 : X (e j )
x(n)e jn
n
反 : x(n) 1 X (e j )e jn d
2
.,
---
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的
频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T）