19届高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.4函数y=Asinωx+φ的图像及应用学案理

1 §4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用

最新考纲

考情考向分析

1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象．

2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．

3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题，中档难度.

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示：

x 0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

2 3.函数y＝sin x的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种途径

知识拓展

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图像平移的规律：“左加右减，上加下减”．

2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．

3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)y＝sinx－π4的图像是由y＝sinx＋π4的图像向右平移π2个单位长度得到的．( √ )

(2)将函数y＝sin ωx的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图像．( × )

(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )

(4)由图像求函数解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图像中最高点的值与最低点的值确定的．( √ )

题组二 教材改编

2．为了得到函数y＝2sin2x－π3的图像，可以将函数y＝2sin 2x的图像( )

A．向右平移π6个单位长度

B．向右平移π3个单位长度 3 C．向左平移π6个单位长度

D．向左平移π3个单位长度

答案 A

3．函数y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为( )

A．2,4π，π3 B．2，14π，π3

C．2，14π，－π3 D．2,4π，－π3

答案 C

解析 由题意知A＝2，f＝1T＝ω2π＝14π，初相为－π3.

4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为 ．

答案 y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]

解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数

y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，

所以A＝12×(30－10)＝10，

b＝12×(30＋10)＝20，

又12×2πω＝14－6，

所以ω＝π8.

又π8×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝3π4，

所以y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]．

题组三 易错自纠 4 5．要得到函数y＝sin4x－π3的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像( )

A．向左平移π12个单位长度 B．向右平移π12个单位长度

C．向左平移π3个单位长度 D．向右平移π3个单位长度

答案 B

解析 ∵y＝sin4x－π3＝sin4x－π12，

∴要得到y＝sin4x－π3的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像向右平移π12个单位长度．

6．(2016·全国Ⅰ)将函数y＝2sin2x＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )

A．y＝2sin2x＋π4 B．y＝2sin2x＋π3

C．y＝2sin2x－π4 D．y＝2sin2x－π3

答案 D

解析 函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，

所得函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3，

故选D.

7．(2018·长春模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式为 ．

答案 f(x)＝2sin2x＋π3

解析 由题图可知A＝2，

T4＝7π12－π3＝π4， 5 所以T＝π，故ω＝2，

因此f(x)＝2sin(2x＋φ)，

又7π12，－2为最小值点，

所以2×7π12＋φ＝2kπ＋3π2，k∈Z，

所以φ＝2kπ＋π3，k∈Z，

又|φ|＜π，

所以φ＝π3.

故f(x)＝2sin2x＋π3.

题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换

典例 已知函数y＝2sin2x＋π3.

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像；

(3)说明y＝2sin2x＋π3的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变换而得到．

解 (1)y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，

周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.

(2)令X＝2x＋π3，则y＝2sin2x＋π3＝2sin X.

列表如下：

x －π6 π12 π3 7π12 5π6

X 0 π2 π 3π2 2π

y＝sin X 0 1 0 －1 0

y＝2sin2x＋π3 0 2 0 －2 0 6

描点画出图像，如图所示：

(3)方法一 把y＝sin x的图像上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y＝sinx＋π3的图像；

再把y＝sinx＋π3的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x＋π3的图像；

最后把y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图像．

方法二 将y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin

2x的图像；

再将y＝sin 2x的图像向左平移π6个单位长度，得到y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图像；

再将y＝sin2x＋π3的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin2x＋π3的图像．

思维升华 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．

(2)由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图像有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

跟踪训练 (1)(2018·石家庄调研)若把函数y＝sinωx－π6的图像向左平移π3个单位长度，所得到的图像与函数y＝cos ωx的图像重合，则ω的一个可能取值是( )

A．2 B.32 C.23 D.12

答案 A 7 解析 y＝sinωx＋ω3π－π6和函数y＝cos ωx的图像重合，可得ω3π－π6＝π2＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.∴2是ω的一个可能值．

(2)把函数y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移π4个单位长度，得到的函数图像的解析式是 ．

答案 y＝cos 2x

解析 由y＝sin x图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图像的解析式为y＝sin 2x，再向左平移π4个单位长度得y＝sin 2x＋π4，即y＝cos 2x.

题型二 由图像确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

典例 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则y＝ .

答案 2sin2x－π6

解析 由题图可知，A＝2，T＝2π3－－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y＝2sin2x－π6.

(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，|φ|

答案

x x＝kπ－π3，k∈Z

解析 根据所给图像，周期T＝4×7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图像经过点7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，再由|φ|

思维升华 y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法

(1)代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入．

(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．

跟踪训练 (2018·石家庄质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，|φ|0)个单位长度后，得到函数g(x)的图像关于点π3，32对称，则m的值可能为(

)

A.π6 B.π2

C.7π6 D.7π12

答案 D

解析 依题意得 A＋B＝332，－A＋B＝－32，解得 A＝3，B＝32，

T2＝πω＝2π3－π6＝π2，

故ω＝2，则f(x)＝3sin(2x＋φ)＋32.

又fπ6＝3sinπ3＋φ＋32＝332，

故π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，即φ＝π6＋2kπ(k∈Z)．

因为|φ|