直线与平面平行的判定

直线与平面平行判定定理证明

1. 引言

嘿，朋友们，今天咱们来聊聊一个数学里的小秘密——直线与平面平行的判定。听起来可能有点儿枯燥，但相信我，等你听完这个故事，你一定会觉得原来数学也能这么有趣！就像是你在一杯清茶里发现了几片香料，顿时觉得味道大不同。首先，咱们得弄明白什么是“平行”。平行，就像是你和你的小伙伴并肩走路，虽然你们的方向一致，但绝对不会碰撞，这就是直线与平面之间的关系。

2. 平行的基本概念

2.1 直线的定义

首先，直线就是一条不折不扣的“直”，从头到尾都是笔直的，丝毫不弯曲，就像你在追公交车时的拼命奔跑。无论你怎么延伸，它都不会变得粗糙，永远保持着那份优雅。这条直线在三维空间中，可能会遇到许多事物，但它最怕的就是转弯。想象一下，要是它转了个弯，估计得心烦意乱。

2.2 平面的定义

再说说平面，它就像是一块无边无际的“桌布”，在空间中伸展开来。可以是你早餐时的桌子，也可以是辽阔的草原。这个平面也很霸道，任何东西只要在它的范围内，都得服从它的指挥。但最重要的是，平面是永远不会弯曲的，就像那块千年不变的老地方。

3. 判定直线与平面平行的方法

3.1 条件与判定

好，现在咱们进入正题，怎么判定一条直线是否与一个平面平行呢？这里有个小窍门，首先你要知道，平行的条件就是直线跟平面上的任何一条直线都不能相交。换句话

说，假如你在平面上随便找一条直线，然后和你的直线比一比，如果两者之间没有交点，那恭喜你，这条直线就和这个平面平行。就像你在马路上开车，如果你的车始终不跟别人并道，那你就可以高高兴兴地认为，你和其他车是“平行”的。

3.2 向量的使用

如果用向量来形容，那就更简单了。直线的方向向量和平面的法向量如果是“互相平行”的，那这条直线就毫无疑问是与平面平行。想象一下，这就好比一条鱼在水中游动，而水面是你家老爸的板凳，鱼始终不会碰到板凳，这种自由自在的感觉就说明了它们之间的关系。

4. 实际应用与小结

- 1 - 直线平行平面的判定定理及性质定理

直线平行平面的判定定理及性质定理是几何学中常见的一条定理，它认为如果两个平面之间存在着一条平行线，则这两个平面也是平行的。其实，这条定理也可以用来判定直线是否与平面平行，利用这条定理，我们可以推出许多关于平行平面性质的定理，并学会利用它来研究三维平面几何问题。

这条定理的确切说法是：设A、B、C、D四个不共线的点，且点A、C在平面X上，点B、D在平面Y上，若AB||CD，则X||Y。也就是说，如果其中两个平面之间的两条线段是平行的，那么这两个平面也是平行的。反之，当两个平面之间有一条线段不平行时，它们也不是平行的。

由此，我们可以推出一系列有关平行平面性质的定理，如判定两个平面之间是否存在一条直线，求两个平面间的垂线，计算两个平面之间的距离，判定两个平面的所在的同一空间等。

首先，我们可以用这条定理来证明直线与平面之间的关系。假设将一条直线平行投影到一个平面上，那么与直线平行的两个平面就会存在一条共线线段，因此这两个平面也是平行的。另一方面，如果两个平面之间有一条共线线段，那么它们就是平行的，而且也存在一条平行于它们共线线段的直线。这样，我们就可以判断一条直线是否与平面平行，只需检测是否存在一条共线线段即可。

此外，我们还可以使用这条定理来求解三维几何问题。比如，假设ABCD是四个不共线的点，则可以使用这条定理，即点A、C在平面 - 2 - X上，点B、D在平面Y上，若AB||CD，则X||Y。我们就可以判断这四个点是否都处在同一个平面上，即可以通过检查它们的四条边是否是平行的来判断。

其实，利用这条定理，我们还可以求解更多关于三维几何问题的性质。比如，可以用它来判断某个平面是否与一个球面接触，也可以用它来求解空间两个平面之间的夹角，等等。

总而言之，直线平行平面的判定定理及性质定理是几何学中一条重要的定理，它不仅可以用来判断直线与平面之间的关系，而且还可以用来求解三维平面几何问题，让我们更全面地理解空间几何的特性和性质。

直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定

[新知初探]

1．直线与平面平行的判定

表示

定理 图形 文字 符号

直线与平面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行 a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α

[点睛] 用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：

(1)直线a在平面α外，即a⊄α；

(2)直线b在平面α内，即b⊂α；

(3)两直线a，b平行，即a∥b.

2．平面与平面平行的判定

表示

位置 图形 文字 符号

平面与平面平行的判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂βb⊂βa∩b＝Pa∥αb∥α⇒α∥β

[点睛] (1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．

(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α( )

(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行( )

(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行( ) 答案：(1)× (2)× (3)×

2．能保证直线a与平面α平行的条件是( )

A．b⊂α，a∥b

B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c

C．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD

D．a⊄α，b⊂α，a∥b

解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D正确．

3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )

A．一定平行 B．一定相交

C．平行或相交 D．以上判断都不对

解析：选C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．

直线与平面平行的判定

[典例] 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.

2.2直线、平面平行的判定及其性质

整理人：刘华伟

基础知识：

1. 直线和平面平行的定义：直线和平面没有公共点。

2. 直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.即“线线平行，线面平行”。

符号表示为：,,////ababa. 图形如右图所示.

3. 平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．即“线面平行，面面平行”。

用符号表示为：,,////,//ababPab。

4. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.即“线面平行，线线平行”。

用符号表示为：////aaabb.

5. 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 即“面面平行，线线平行”。

用符号表示为：//,,//abab，如右图。

6. 其它性质：①//,//ll；

②//,ll；

③夹在平行平面间的平行线段相等。

例题解析：

例1 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点。（1）求证：//MN平面PAD；（2）若4MNBC，43PA，求异面直线PA与MN所成的角的大小。

β a

 b 解：（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点，

∴NH//12DC。由M是AB的中点，∴ NH//AM，

即AMNH为平行四边形。∴ //MNAH。

由MNPAD平面，AHPAD平面，

∴ //MNPAD平面。

（2） 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，