（一）极坐标中的运算
1．在直角坐标系xOy 中，直线1C :
x =-2，圆2C ：()()2
2
121x y -+-=,以坐标原点
为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=∈，
设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN
的面积.
2．【2015高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,
x t C y t αα=⎧⎨
=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以
O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线
3:C ρθ=．
（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．
【答案】（Ⅰ）(0,0)和3
)2
；
（Ⅱ）4．
（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标
为(2sin ,)αα，B 的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα
=-4in()3
s π
α=-，当56
πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．
3．（2016年全国I 高考）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t
为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos
θ.
（I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2
的公共点都在C 3上，求a .
解：⑴
c o s 1s in x a t y a t
=⎧⎨
=+⎩ （t 均为参数）
∴()
2
2
2
1x y a
+
-= ①
∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为22
2
210
x y y a
+-+-=
∵22
2
sin x y
y ρ
ρθ
+==，
∴2
2
2sin 10
a
ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程 ⑵
24c o s C ρθ
=：
两边同乘ρ得2
2
22
4c o s c o s x y x
ρρθρ
ρθ==+=，
2
2
4x y
x
∴+=
即()2
2
24
x
y
-+= ②
3
C ：化为普通方程为2y x
=
由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：2
4210
x y a
-+-=，即为3C
∴2
10
a
-
=
∴1a =
4：已知圆C 的圆心C 的极坐标为 ，半径为 ，过极点O 的直线L 与圆C 交于A,B 两点， 与 同向，直线的向上的方向与极轴所成的角为α （1） 求圆C 的极坐标方程；
（2） 当α 时，求A,B 两点的极坐标以及弦
的长 5：在直角坐标系xoy 中，曲线 的参数方程为
（为参数）以O 为极点，x 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系.曲线 的极坐标方程为ρ （1） 求曲线 的极坐标方程和 的参数方程；
（2） 若射线θ 与曲线 分别交于M,N 且 = ，求实数 的最大值.
（二）.参数方程中任意点（或动点） 例：曲线 :
(t 为参数)， ：
(θ为参数) （1）.化 ， 为直角坐标系方程，并说明表示什么曲线。
(2).若 上的点P 对应的参数为
,Q 为 上的动点，求PQ 中点M 到直线
(t 为参
数)距离最小值。
例：在极坐标中，射线 θ
与圆 ρ 交于A 点，椭圆D 的方程为
，以极点为原点，极轴为x 正半轴建立平面直角坐标系xoy （1） 求点A 的直角坐标和椭圆D 的参数方程；
（2） 若E 为椭圆D 的下顶点，F 为椭圆D 上任意一点，求 的取值范围。
例：在直角坐标系中，圆 经过伸缩变换
后得到曲线 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L 的极坐标方程为
. （1） 求曲线 的直角坐标方程及直线L 的直角坐标方程； （2） 设点M 是 上一动点，求点M 到直线L 的距离的最小值. 例（2016年全国III 高考）在直角坐标系中，曲线
的参数方程为
，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲
线的极坐标方程为 .
x O y 1
C o s ()sin x y θ
θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数x 2
C s in ()4
ρ
θπ+=
（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（II ）设点P 在上，点Q 在上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.
三．直线与曲线相交问题
例（2016年全国II 高考）在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，
的斜率．
解：⑴整理圆的方程得2
2
12110x y +++=，
由2
2
2
cos sin x y x
y ρρθρθ⎧=+⎪
=⎨⎪
=⎩
可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．
⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，
=
，
即
22
369014
k
k
=
+，整理得2
53
k =
，则k
=
1C 2C 1C 2C x O y C 22
(6)25x y ++=x C l c o s s in x t y t α
α=⎧⎨=⎩t l C ,A B ||A B =
l
