[习题解答]
2-1 处于一斜面上的物体，在沿斜面方向的力F作用下，向上滑动。已知斜面长为5.6m，顶端的高度为3.2m，F的大小为100N，物体的质量为12kg，物体沿斜面向上滑动的距离为4.0 m，物体与斜面之间的摩擦系数为0.24。求物体在滑动过程中，力F、摩擦力、重力和斜面对物体支撑力各作了多少功？这些力的合力作了多少功？将这些力所作功的代数和与这些力的合力所作的功进行比较，可以得到什么结论？
解物体受力情形如图2-3所示。力F所作的功
；
摩擦力
图2-3
,摩擦力所作的功
；
重力所作的功
;
支撑力N与物体的位移相垂直，不作功，即
；
这些功的代数和为
.
物体所受合力为
,
合力的功为
.
这表明，物体所受诸力的合力所作的功必定等于各分力所作功的代数和。
2-3物体在一机械手的推动下沿水平地面作匀加速运动，加速度为0.49 m⋅s-2 。若动力机械的功率有50%用于克服摩擦力，有50%用于增加速度，求物体与地面的摩擦系数。
解设机械手的推力为F沿水平方向，地面对物体的摩擦力为f，在这些力的作用下物体的加速度为a，根据牛顿第二定律，在水平方向上可以列出下面的方程式
,
在上式两边同乘以v，得
,
上式左边第一项是推力的功率()。按题意，推力的功率P是摩擦力功率fv的二倍，于是有
.
由上式得
,
又有
,
故可解得
.
2-4有一斜面长5.0 m、顶端高3.0 m，今有一机械手将一个质量为1000 kg的物体以匀速从斜面底部推到顶部，如果机械手推动物体的方向与斜面成30 ，斜面与物体的摩擦系数为0.20，求机械手的推力和它对物体所作的功。
解物体受力情况如图2-4所示。取x轴沿斜面向上，y轴垂直于斜面向上。可以列出下面的方程
,(1)
,(2)
. (3)
根据已知条件
, .
由式(2)得
图2-4
.
将上式代入式(3)，得
.
将上式代入式(1)得
,
由此解得
.
推力F所作的功为
.
2-5有心力是力的方向指向某固定点(称为力心)、
力的大小只决定于受力物体到力心的距离的一种力，万
有引力就是一种有心力。现有一物体受到有心力
的作用(其中m和α都是大于零的常量)，从
r P 到达r Q，求此有心力所作的功，其中r P和r Q是以力图2-5
心为坐标原点时物体的位置矢量。
解根据题意，画出物体在有心力场中运动的示意图，即图2-5，物体在运动过程中的任意点C 处，在有心力f的作用下作位移元d l，力所作的元功为
,
所以，在物体从点P (位置矢量为r P)到达点Q (位置矢量为r Q)的过程中，f所作的总功为
.
2-6马拉着质量为100 kg的雪撬以2.0 m⋅s-1 的匀速率上山，山的坡度为0.05(即每100 m升高5 m)，雪撬与雪地之间的摩擦系数为0.10。求马拉雪撬的功率。
解设山坡的倾角为α，则
.
可列出下面的方程式
,
,
.
式中m、F、f和N分别是雪橇的质量、马的拉力、地面对雪橇的摩擦力和地面对雪橇的支撑力。从以上方程式可解得
,
,
.
于是可以求得马拉雪橇的功率为
.
2-7机车的功率为2.0⨯106 W，在满功率运行的情况下，在100 s内将列车由静止加速到20 m⋅s-1 。若忽略摩擦力，试求：
(1)列车的质量；
(2)列车的速率与时间的关系；
(3)机车的拉力与时间的关系；
(4)列车所经过的路程。
解
(1)将牛顿第二定律写为下面的形式
, (1)
用速度v点乘上式两边，得
.
式中Fv = P，是机车的功率，为一定值。对上式积分
,
即可得
,
将已知数据代入上式，可求得列车的质量，为
.
(2)利用上面所得到的方程式
,
就可以求得速度与时间的关系，为
. (2)
(3)由式(2)得
,
将上式代入式(1)，得
,
由上式可以得到机车的拉力与时间的关系
.
(4)列车在这100秒内作复杂运动，因为加速度也在随时间变化。列车所经过的路程可以用第一章的位移公式(1-11)
来求解。对于直线运动，上式可化为标量式，故有
.
2-8 质量为m的固体球在空气中运动将受到空气对它的黏性阻力f的作用，黏性阻力的大小与球相对于空气的运动速率成正比，黏性阻力的方向与球的运动方向相反，即可表示为f = -β v，其中β是常量。已知球被约束在水平方向上，在空气的黏性阻力作用下作减速运动，初始时刻t0 ，球的速度为v0 ，试求：
(1) t时刻球的运动速度v；
(2)在从t0 到t的时间内，黏性阻力所作的功A。
解
(1)根据已知条件，可以作下面的运算
,
式中
.
于是可以得到下面的关系
,
对上式积分可得
. (1)
当t = t0时，v = v0，代入上式可得
.
将上式代入式(1)，得
. (2)
(2)在从t0 到t的时间内，黏性阻力所作的功可以由下面的运算中得出
.
2-9一个质量为30 g的子弹以500 m⋅s-1 的速率沿水平方向射入沙袋内，并到达深度为20 cm 处，求沙袋对子弹的平均阻力。
解根据动能定理，平均阻力所作的功应等于子弹动能的增量，即
