二、单自由度系统阻尼自由振动解析

0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18

第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
31
给出初始条件：t＝0时 x x0 , x v0
则可确定系数B和D B v0 ( 2 1)n x0 2n 2 1
D v0 ( 2 1)n x0 2n 2 1
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
不大，特别是当阻尼很小（<<1）时，可
以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
40
2.6 对数衰减率
振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅 的比值来表示，称为衰减率或减幅率或 减缩率；也可以用衰减率的自然对数来 表示，称为对数衰减率。
第2章 单自由度系统自由振动
第2章 单自由度系统自由振动
2.3 能量法
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P15例2-3-2 利用能量法求纯滚动圆盘 系统作微幅振动的固有频率。
第2章 单自由度系统自由振动
2.3 能量法
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2.4 瑞利法
一般不考虑弹性元件的质量对振动系统的 影响，若这些质量不可忽略的时候，“瑞利法” 的思想，是将这些弹性元件所具有的多个集中 质量或分布质量简化到系统的集中质量上去， 从而变成典型的单自由度振动系统。
T 2 n
周期是系统振动一次所需要的时间，单位 为秒（s）。
周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动 的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作 f
f 1 n T 2
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
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固有频率n和频率 f 只相差常数2，因
此经常通称为固有频率。是振动分析中极
已知质量为m，弹簧的刚 度系数为k。取质量的静平衡 位置为坐标原点,当重物偏离 x 时,利用牛顿定律可得到运 动微分方程：

习 题2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值12.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。

解：由题意，可求出系统的运动微分方程为t mxn x p x n 3cos 36022=++ 得到稳态解)3cos(α-=t B x其中m kB B B 45.03604)1(022220==+-=λζλ222122tg λζλωωα-=-=n p n 由d nT i iA A e 2.41===+η489.3π2797.0ln 8.1ln ======dd dd dT p T n T nT ηη 又22n p p n d -=有579.3222=+=n d n p n p p45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg 103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222===-⨯⨯===⨯⨯+-=======ααζωλB p n p n n所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。

解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由m kp n =，共振时m kp n ==1ω 所以 mk =6 ①又由 当 86.512=+==m kp n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。

c 2 k 2m m
称为系统的阻尼比，又称为相对阻尼系数。
粘性阻尼振动系统
cc 2 mk 2mn 2k /n
c cc
式 (2.3-1)可 以 写 成
mxcxkx0 x(0)x0, x(0)x0
x
2
n
x
2 n
x
0
(2.3-3)
根据 的大小，可得到三种不同形式的解：弱阻尼，临界阻尼和过阻尼。
▪ 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。在理论分 析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼，它是由于气体 或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的 热量等能量耗散的度量。
1. 引言
▪ 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。
。2粘
性
阻
尼
系
c
统的
自由2
振动k，
其
2m m
振 动 。实 际 阻 尼 小 于 临 界 阻 尼 的
位 系
统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。
粘性阻尼振动系统
粘性阻尼振动系统
（ 2） 1 ， 临 界 阻 尼 （ critical damped）
这
时
，
系统
的c阻尼
系数c等于2
系
k
统
的
临
界
阻
c
尼
系2数，k这
粘性阻尼器
基于流体力学，作用于活塞上阻 力的大小近似地表示为
Fd
d 2 4
p
4L
d D
2
v
这表明，粘性阻尼器的阻尼力与 速度成正比，方向与速度相反，这时 阻尼系数为