第五章 小波变换基本原理
问题
①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史
③小波变换与短时傅里叶变换比较
a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法
多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现
⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的
5.1 连续小波变换
一．CWT 与时频分析 1.概念：⎰
+∞
∞
--ψ=
dt a
b
t t S a
b a CWT )(
*)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别
小波 构造？
1910 Harr 小波
80年代初兴起 Meyer —小波解析形式
80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现
90年代初 Daubechies 正交小波变换
90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换
3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题
1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原
2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件
∞<ψ=⎰
∞
+∞
-ψdw w
w C 2
)(
①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式
⎰⎰+∞∞-+∞
∞-ψ
-ψ=
dadb a
b t b a CWT a C t S )(),(11
)(2
3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似）
4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化）
)2(2)()(1
)(2
,22,,n t t a b t a
t n b a m m
n m b a m
m
-ψ=ψ⇒-ψ=
⇒•==--ψ
dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,⎰+∞
∞
---ψ=•=
5.小波变换具有时移不变性
)
,()()
,()(00b b a CWT b t S b a CWT t S -↔-↔
6.用小波重构信号
∑∑
∑∑+∞-∞=+∞
-∞
=+∞-∞=+∞
-∞
=ψψ=
m n m n n
m n
m n
m n m t d
t d t S )(ˆ)(ˆ)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{}
n m ,ˆψ
如何构建正交小波？
5.2 分段逼近
P AM
1.=)(t φ 逼近函数)2(2)(n t
n t -→-φφ
)2(2)()()(S ,1,0n t C t S n t C t n
n n
n -≈⇒-≈∑∑φφ 尺度2
1=
a ⇒一般式：∑-=-≈n
m m n
m m a n t C
t S 2)2(2
)(,2
尺度φ
)(,0,τS a m 逼近收敛于→∞→ 0,,0→∞→→逼近a m
2.两尺度函数间关系
)12()2()(-+=t t t φφφ ①张成空间满足10V V ⊂ ②两尺度空间差异在哪？ 3.表征细节的小波变换的引入
很显然采样率越高，s T 越小， 逼近误差越小，采样率∞→无误差
发现
2
)
()()12(2
)
()()2(t t t t t t ϕφφϕφφ-=
-+=
⇒
∑-≈⇒n
n n t C S )2(2)t (,1φ
12,2+=m m n
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+-∑
∑+m m m
m m t C m t C )122()22(212,12,1φφ
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
---+-+-=∑∑+m m m m m t m t C m t m t C 2)()(2)()(21
2,12,1ϕφϕφ ∑
∑
-•-+-•+→++n
n n m
n n n t C C n t C C n m )(2
)(2
1
2,12,11
2,12,1ϕφ
001W V V ⊕=⇒
4.推广 ⇓
⊕⊕⊕⊕⊕=⊕⊕=⊕=⇒----0
12011011W W W W V W W V W V V m m
0121W W W V V ⊕⊕⊕=--∞- ↑⊕⊕⊕=---m W W W V m m m m ,123
,lim ,1012=↓↓⊕⊕⊕⊕⊕==↑↑∞---∞
→∞V m W W W W V V m m m 逼近精度逼近精度
⎭
⎬⎫⎩-)2(n t m 包含信息量决定 →形成最简单的MRA 尺 度
2V
二．分段逼近与小波变换（哈尔小波） 1.信号的尺度逼近与小波表示 尺度逼近 ∑→-n
m n
m m t S n t C
)()2(2
,2
φ 小波表示 ∑∑+∞-∞=+∞
-∞
=-=m n m m
n
m n t d
t S )2(2)(2
,ϕHarr 小波
2.Harr 小波特性
①同一尺度平移正交性：⎰+∞
∞
-'-='--)()(*)(n n dt n t n t δϕϕ
②尺度，平移均正交
⎰
∞
+∞
-''''+''='-->=)(,,)2(*)2(2
)(),(δδϕϕϕϕ
⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-⇒形成正交基)2(22n t m m ϕ⎰∞
+∞
--=dt n t t S d m
m n m )2(*)(22,ϕ影即为小波系数
信号在正交基函数上投 分段逼近的推广—MRA 一．多分辨率分析含义
①由内空间 ⊂⊂⊂⊂+-110m m m V V V 组成
②若0V 空间尺度函数)(t ϕ平移正交：⎰+∞
∞-=-)()(*)(n n t t δφφ
则)(t ϕ为0V 空间尺度函数,任一函数S(t)可用表示)(t φ
③成立当且仅当1)2()(+∈∈m m V t S V t S ④{}00
=m m
m V V 交集为
⑤平方可积空间即为并集逼近m V )(lim 2R L V m m =∞
→ 问题：Harr 小波构成最简单MRA
⇓同尺度m 也满足
⎰
+∞
∞
-''-=)()(*)(,,n n dt t t n m n m δϕϕ 作变量替换即可证明
⎰∑∞
+∞
--=-=dt
n t t S C n t C t S n n
n )(*)()
()(φφ
