机器人技术第4讲.ppt

2.11 微分变换
1 机器人的微运动
首先研究机器人杆件在作微小运动时位姿变化的表达。设机 器人运动链中某一杆件对固定系的位姿为T，经过微运动后， 对固定系的位姿变为T＋dT，若该运动相对于固定系进行的， 总可以用微小的平移和旋转来表示，
T dT Trans(d x , d y , d z )Rot(K , d)T
2020/10/5
13
2.11 微分变换
3 微分旋转的无序性
式（2－107）和式（2－112）等效，故有以下关系：
x K xd y K y d z K z d
于是式（2－108）又可写成：
0 z y
dx
z y
0 x
x 0
d
y
d
z
0
0
0
0
(2-113)
2020/10/5
2020/10/5
12
2.11 微分变换
3 微分旋转的无序性
两者结果相同。微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限 转动的一个重要区别。
对上式左乘或右乘一个绕Z轴的微分转动，得：
1 z y 0
Rot(
X
,
x
)Rot(Y ,
y
) Rot(Z ,
z
)
z
y
1
x
x
1
0
0 (2-112)
0 0 0 1
Rot(
X
,
x
)Rot(Y
,
y
)
x y y
1 x
x 1
0
0
0
y
1 x x 1
0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
1 xy y 0 1 0 y 0
Rot(Y
,
y
)Rot(
X
,
x
)
0
y
1 x
x 1
0 0
0
y
1 x x 1
0 0
0 0
0 1 0 0 0 1
1
2.11 微分变换
在机器人运动中，需要对手部位姿作微小调整， 需要讨论机器人杆件在作微小运动时的位姿变 化。
为了使手部按给定的方向并以给定的速度运动， 可以用小的时间段内机器人的微运动来得到。
从本节开始研究机器人运动中各坐标之间的微 分关系，这是微运动学和动力学的基本点
2020/10/5
2
dT Trans(d x , d y , d z )Rot(K, d)T T （2-104）
2020[/1T0/r5 ans(d x , d y , d z )Rot(K, d) I ]T
3
2.11 微分变换
1 机器人的微运动
根据齐次变换的相对性，若运动是相对于某个杆系i进行的， 则T＋dT可以表示为：
2020/10/5
4
2.11 微分变换
1 机器人的微运动
于是式（2-104）变为： dT 0T
式（2-105）变为：
dT Ti
式中的下标表示相对于不同的坐标系。
2 微分平移与微分旋转
与一般平移变换一样，其变换矩阵为：
2020/10/5
5
2.11 微分变换
2 微分平移与微分旋转
1 0 0 d x
Trans(d
x
,
d
y
,
d
z
)
0 0
1 0
0 1
d
y
d
z
0 0 0 1
(2-106)
a11 a12 a13 0
Rot(K, ) a21 a22 a23 0
a31
a32
a33
0
2020/10/5
0 0 0 1
6
2.11 微分变换
1 机器人的微运动
式中： a11 K x2Vers c a12 K x K yVers K z s
14
2.11 微分变换
3 微分旋转的无序性
因此，可以看成由和d两个向量组成，叫微分旋转向量，d叫 微分平移向量。分别表示为：
xi y j zk
d dxi dy j dzk
和d合称为微分运动向量，表示为：
旋转来说，左乘右乘的次序是无关的。先看绕坐标轴微分旋转的情
况。
当 0
sin d cos 1
x
d
x
y
d y
z
d z，则绕三个坐标
轴的微分旋转矩阵分别为：
1 0 0 0
Rot(
X
,
x
)
0 0
1 x x 1
0 0
0 0 0 1
2020/10/5
(2-109)
10
2.11 微分变换
3 微分旋转的无序性
T dT TTrans (d x , d y , d z )Rot(K , d)
dT TTrans(d x , d y , d z )Rot(K, d) T
T[Trans(d x , d y , d z )Rot(K, d) I ]
而方括号的公共部分表示为：
（2-105）
Trans(d x , d y , d z )Rot(K , d) I
1 机器人的微运动
于是变为：
Trans(d x , d y , d z )Rot(K, d) I
0 K z d K y d d x
K
z
d
K y d
0 K x d
K x d 0
dy
d
z
0
0
0
0
(2-108)
2020/10/5
9
2.11 微分变换
3 微分旋转的无序性
在齐次变换中，矩阵左乘与右乘的意义和效果是不同的，而对微分
1 0 y 0
Rot
(Y
,
y
)
0
y
1 0
0 1
0 0
0 0 0 1
(2-110)
1 z 0 0
Rot(Z
,
z
)
z 0
1 0
0
0
1 0
(2-111)
0
0
0
1
2020/10/5
11
2.11 微分变换
3 微分旋转的无序性
现在来看左乘与右乘的结果,最后结果中忽略了高阶最小项 x y
1 0 y 0 1 0 y 0
2.11 微分变换
前几节讲述了机器人手部位姿与关节运 动间的关系，其目的是使机器人的手部 达到空间某一给定的位姿。
在对机器人进行操作与控制时，常常涉 及到机械手位置和姿态的微小变化，这 些变化可由描述机械手位姿的齐次变换 矩阵的微小变化来表示。在数学上，这 种微小变化可用微分变化来表达。
2020/10/5
7
2.11 微分变换
1 机器人的微运动
Vers 1 cos 0
当 0 时，sin d，cos 1 ，Vers 0 ，上式变为：
1 K z d K y d 0
Rot (K
,
)
K
z
d
K
y
d
1 K x d
K x d 1
0
0
0
0
0
1
(2-107)
2020/10/5
8
2.11 微分变换
a13 K x K zVers K y s a21 K x K yVers K z s
a22 K yzVers c
a23 K y K zVers K x s
a31 K x K zVers K y s
a32 K y K zVers K x s
a33 K z2Vers c
202ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/10/5