线性代数实对称阵的对角化chapter 5-3

λ −1
−1 λ −1 −1 −1 − 1 = λ2 ( λ − 3) λ −1
| λE − A |= − 1 −1
1 1 1 A = 1 1 1 。 1 1 1 0(二重 二重) 得λ1= 0(二重),λ2=3
对特征值λ=0 方程组 方程组(0E-A)X=o的基础解系 的基础解系: 的基础解系 将η1,η2正交化,得 正交化, 对特征值λ=3 将β1,β2,β3单位化得
实对称阵与对角化有关的性质
定理3： 的重数是k 定理 ： 如果实对称阵的特征值 λ的重数是 (即λ是k重特征根 则A恰好会有 个属于特征值 重特征根),则 恰好会有 恰好会有k个 即 重特征根 λ的线性无关的特征向量。 线性无关的特征向量 的特征向量。
实对称矩阵定能对角化。 注1：实对称矩阵定能对角化。 个向量正交化, 注2：用施密特正交化方法可把这 个向量正交化 ：用施密特正交化方法可把这k个向量正交化 得到属于λ的k个正交特征向量组。 个正交特征向量组。 线性无关)的特征 注3：实对称阵一定有 个正交 线性无关 的特征 ：实对称阵一定有n个正交(线性无关 向量. 向量 注4：实对称阵一定有 个特征向量构成一个标准 ：实对称阵一定有n个特征向量构成一个标准 正交基。 正交基。
T T 1 T
T 1
T
T 1
于是
λ1α 1Tα 2 = α 1T Aα 2 = α 1T ( λ2α 2 ) = λ2α 1Tα 2 ,
⇒
∵ λ1 ≠ λ2 ,
( λ1 − λ2 ) α
T 1
α 2 = 0.
∴ α 1Tα 2 = 0.即α 1与α 2正交.
同步练习T1(5),并求A 同步练习T1(5),并求A。 T1(5),并求
1 ξ 3 = 2 . 2
由于ξ 1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 .
第四步 将特征向量单位化
ξi , i = 1,2,3. 令 ηi = ξi
23 得 η1 = − 2 3 , 13
对 λ3 = −2,由 ( −2 E − A ) x = 0, 得 − 4 2 0 1 −1 / 2 0 −2 E − A = 2 −3 2 → 0 − 1 1 0 2 −2 0 0 0
解之得基础解系
第三步
将特征向量正交化
解答1： 解答 ：
根据α 1，α 2，α 3彼此正交，可求得α 3 = ( 2,1,2 ) ,
T
将α 1，α 2，α 3单位化，按列构成正交矩阵Q . 0 1 Q = − 2 1 2 1 3 1 − 3 1 − 3 2 6 −2 1 −1 , Q AQ = 1 6 4 1 6
β 1 = η1 = ( −1,1,0)T ,
η1 = ( − 1 1 0)T ,η 2 = ( − 1 0 1)T
T 2 T 1
−1 / 2 η β1 β 2 = η2 − β 1 = −1 / 2 β β1 1
得方程组(3E-A)X=o的基础解系 的基础解系: 得方程组 的基础解系
练习： 练习：
1.已知三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1 = −2, λ2 = 1, λ3 = 4
α 1 = ( 0, −1,1) , α 2 = ( 1, −1, −1) 分别是A 对应于特征值
T T
λ1 = −2, λ2 = 1的特征向量，试求正交矩阵Q , 使Q −1 AQ
为对角矩阵。 2.设n阶实对称矩阵A满足A3 + A2 + A = 3 E , 求A.
说明：本节所提到的对称矩阵， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 均指实对称矩阵． 实对称矩阵 定理1 定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 实对称矩阵的特征值为实数. 实数
定理1 定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值λ i为实数, 所以齐次 线性方程 组 是实系数方程组,由 λ iE − A = 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可以取实向量. ( λ i E − A) x = 0
§5.3 实对称阵的对角化
一、n阶实对称矩阵特征值和特征向量的性质 阶实对称矩阵特征值和特征向量的性质 二、实对称矩阵对角化 在经济计量学或实际问题中经常遇到实对 称矩阵， 称矩阵，它们在进行对角化方面有一些特殊 的便利，我们下面将进行专门的研究。 的便利，我们下面将进行专门的研究。
一、实对称矩阵的性质
对 λ2 = 1,由 ( E − A ) x = 0, 得
−1 2 0 1 −2 0 E − A = 2 0 2 → 0 2 1 0 2 1 0 0 0
解之得基础解系
2 ξ 2 = 1 . − 2
解答2 Байду номын сангаас答
设λ是A的特征值，则由A3 + A2 + A = 3 E，λ满足
λ 3 + λ 2 + λ = 3，即(λ − 1)(λ 2 + 2λ + 3 ) = 0,由于
A是实对称矩阵，它的所有特征值为实数，则
λ = 1是A的所有特征值，且一定存在可逆矩阵P
1 1 , 即得A = E 使 P -1 AP = ⋱ 1
2 0 λ − 2 (1)第一步 求 A的特征值 第一步 解 λE − A = 2 λ −1 2 0 λ −2 2 0 2 λ λ E − A = 2 λ − 1 2 = ( λ − 4) ( λ − 1) ( λ + 2) = 0
0
2
λ
得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = −2.
− 1/ 6 1/ 3 − 1 / 6 1 / 3 , 2/ 6 1/ 3
0 0 Λ= , 3
则Q-1AQ=Λ。 Λ
实对称幂等矩阵的性质
幂等矩阵的特征值只有0或 。 幂等矩阵的特征值只有 或1。 实对称矩阵一定能对角化。 实对称矩阵一定能对角化。 实对称幂等矩阵一定能对角化。 实对称幂等矩阵一定能对角化。 P186 例3，例4 ，
β 3 = (1,1,1)T
α 2 = ( −1 / 6 , − 1 / 6 , 2 / 6 )T α 1 = ( −1 / 2 , 1 / 2 , 0 ) ,
T
α 3 = (1 / 3 , 1 / 3 , 1 / 3 )T
− 1/ 2 Q = (α 1 , α 2 , α 3 ) = 1 / 2 0
实对称矩阵
(1)实对称矩阵的特征值为 实数 .
( 2 )实对称矩阵的属于不同 特征值的特征向 量必正交 . ( 3)若 λ是实对称矩阵 A的 r重特征值 , 则对应 λ
的必有 r个线性无关的特征向量 . ( 4)实对称矩阵必可对角化 .即若 A为 n阶实对
称阵 , 则必有正交阵 P , 使得 P − 1 AP = Λ , 其中 Λ 是 以 A的 n个特征值为对角元素的 对角阵 .
二 第 步 由( λi E − A) x = 0, 求出A 特征向量 的
对 λ1 = 4,由 ( 4 E − A ) x = 0, 得
2 2 0 1 0 −2 2 2 3 2 → 0 1 2 4E − A = 解之得基础解系 ξ = −2 . 1 0 2 4 0 0 0 1
于是得正交阵
1 0 0 P = (η1 ,η 2 ,η 3 ) = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 1 2 2 0 0 −1 P AP = 0 4 0 . 0 0 4
则
练习: 练习 解：
求正交阵Q,使 为对角阵,其中 求正交阵 使Q-1AQ为对角阵 其中 为对角阵
ξ 2与ξ 3 恰好正交 ,
所以 ξ1 , ξ 2 , ξ 3两两正交 .
ξi (i = 1,2,3)得 再将 ξ1 , ξ 2 , ξ 3单位化 , 令η i = ξi
0 0 1 η1 = 1 2 , η2 = 0 , η3 = 1 2 . 1 2 − 1 2 0
2
0 ξ = 1 对 λ1 = 2,由 ( 2 E − A ) x = 0, 得基础解系 1 − 1
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
对 λ2 = λ3 = 4,由 ( 4 E − A ) x = 0, 得 基 础 解 系
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . 0 1
则
4 0 0 0 1 0 . T −1 P AP = P AP = 0 0 −2
4 0 0 ( 2) A = 0 3 1 0 1 3 0 λ −4 λE − A = 0 λ −3
0 −1
0 −1 = ( λ − 2 ) ( λ − 4 ) , λ −3
k1 k2 km
λ1 ,⋯ , λ1 , λ 2 ,⋯ , λ 2 ,⋯ , λ m ,⋯ , λ m .
对下列各实对称矩阵，分别求出正交 正交矩阵 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P ， 使 P −1 AP 为对角阵. 为对角阵 2 −2 0 4 0 0 (1) A = − 2 1 − 2 , ( 2) A = 0 3 1 0 −2 0 0 1 3
定理4
设 A为 n阶 对 称 矩 阵 , 则 必 有 正 交 矩 阵 Q , 使
Q −1 AQ = Λ , 其 中 Λ 是 以 A的 n 个 特 征 值 为 对 角 元 素的对角矩阵.
实对称矩阵对角化的步骤: 实对称矩阵对角化的步骤 1. 求|λE-A|=0的全部不同的根λ1,λ2,…,λm。 的全部不同的根 2. 对每个特征值λi(设重数为 i,k1+k2+…+km=n),求 设重数为k 设重数为 求 方程组( 方程组 λE-A)X=0的基础解系ηi1,ηi2,…,ηiki;采 采 的基础解系 用施密特正交化方法将其正交化得βi1, βi2,…, 用施密特正交化方法将其正交化 正交 βiki;再将其单位化得αi1,αi2,…,αiki;它们是单位 再将其单位化 再将其单位化得 它们是单位 正交向量组。 正交向量组。 3. 属于不同特征值的特征向量组合为一个向量组 属于不同特征值的特征向量组合为一个向量组: