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为使成立的最小值。
（3）模型三：需求是连续的。
需求r是连续随机变量，分布函数为；，从中解出Q；若，则，从中解出Q。
（4）模型四：型库存策略，连续型。
需求r是连续随机变量，分布函数为，密度函数为；，从中解出S；已知I，，，计算：为使成立的最小值。
14.2课后习题详解14.1 设某工厂每年需用某种原料1800吨，不需每日供应，但不得缺货。
设每吨每月的保管费为60元，每次订购费为200元，试求最佳订购量。
解：由题意知，该模型为“不允许缺货，生产时间很短”，按E.O.Q计算Q*得所以最佳订购量为32吨。
14.2 某公司采用无安全存量的存储策略。
每年使用某种零件100000件，每件每年的保管费为30元，每次订购费为600元。
试求：（1）经济定购批量；（2）订购次数。
解：（1）按E.O.Q模型计算，得所以经济订购批量为2000件。
（2）订购次数为：＝50（次）所以每年的订购次数为50次。
14.3 某工厂生产某种零件，每年需要量为18000个，该厂每月可生产3000个，每次生产后的装配费为5000元，每个零件的存储费为1.5元，求每次生产的最佳批量。
解：由题意知，该题模型为“不允许缺货，生产需一定时间”，已知，，。
最佳批量是所以，每次生产的最佳批量为4472个。
14.4 某产品每月用量为4件，装配费为50元，存储费每月每件为8元，求产品每次最佳生产量及最小费用。
若生产速度为每月可生产10件，求每次生产量及最小费用。
解：（1）用“不允许缺货，生产时间很短”的模型求解。
已知。
则最佳批量为以月为单位的平均费用为（2）用“不允许缺货，生产需一段时间”的模型求解。
已知，，则最佳批量为最小费用为所以，如果生产时间足够短，那么最佳生产量为7件，最小费用为56.6元；如果生产速度为每月可生产10件，那么最佳生产量为9件，最小费用为43.8元。
14.5 每月需要某种机械零件2000件，每件成本l50元，每年的存储费用为成本的16％，每次订购费100元，求E.O.Q及最小费用。
解：按月份将问题分为四个阶段，阶段变量，设状态变量为第k 月末的工人数，决策变量表示第k 月招聘或解聘的工人数（招聘为正，解聘为负），允许决策集合为，表示第k 个月所需的工人数，状态转移方程为。
为第1个月至第k 个月的最小总花费。
动态规划的基本方程为：3．某公司有资金4百万元，可向A 、B 、C 三个分公司增加投资，已知各分公司增加不同数量资金后增加的相应效益如表9-2所示，问如何分配资金可使公司总效益最大？（提示：用动态规划方法）（北京交通大学2009年研）表9-2解：将问题按分公司分为三个阶段，将A 、B 、C 三个分公司分别编号1、2、3。
设为分配给第k 个分公司至第3个分公司的投资。
为分配给第k 个分公司的投资。
表示分配给第k 个分公司的投资为后增加的效益。
表示为的投资分配给第k 个分公司至第3个分公司时所增加的最大效益。
可写出递推关系式：k=3时，，其数值计算如表9-3所示：表9-30 1 2 3 4 0 0 0 0 126 261240 40 2 358583 468 684当k=2时，，其数值计算如表9-4所示：表9-40 1 2 3 4 00 0 0 1 0+2622+026 0 2 0+40 22+2637+048 1 3 0+58 22+40 37+26 55+063 2 40+6822+5837+4055+2666+813当k=1时，，其数值计算如表9-5所示： 表9-50 1 2 3 4 40+81 21+63 35+48 50+26 60+841所以，得到最优解为：。
4．某公司有五台新设备，将有选择地分配给三个工厂，所得的收益如表9-6所示：表9-6表9-6中“—”表示不存在返样的方案。
请用动态规划求出收益最大的分配方案。
（北京理工大学2001年研） 解：将问题按工厂的个数分为3个阶段， 设表示为分配给第k 个工厂到第n 个工厂的新设备数目，表示为分配给第k 个工厂的新设备数目， 则为分配给第k+1个工厂至第n 个工厂的设备数目， 表示为个新设备分配给第k 个工厂所得的收益，表示为个设备分配给第k 个工厂到第n 个工厂时所得到的最大收益。
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题一、思考题1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？2．简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量），其经济意义是什么？7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量的检验数（标准形为求最小值），其经济意义是什么？8．将的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？二、判断下列说法是否正确1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量，说明在最优生产计划中，第种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量，说明在最优生产计划中，第种资源一定还有剩余。
8．对于来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9．若某种资源的影子价格为，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加个单位，相应的目标函数值增加。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量，且所在行的所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
三、写出下列线性规划的对偶问题（1）（2）；；（3）（4）；；（5）（6）；。
四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（1）（2）；；（３）（４）；；五、对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时与的变化范围。
在上述两个约束条件中分别减去剩余变量，再加入人工变量，得其中，是一个任意大的正数，应用单纯形法进行计算如表2-10所示：表2-10可得问题的最优解，最优目标函数值。
因为非基变量的检验数中，所以该线性规划问题有无穷多最优解。
②两阶段法在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量，再加上人工变量，得第一阶段的数学模型为：第一阶段的求解过程如表2-11所示：表2-11上述线性规划问题最优，其目标函数最优值，可以继续进行第二阶段计算。
第二阶段初始单纯形表如表2-12所示：表2-12已满足所有检验数非负，可得问题的最优解，最优目标函数值。
因为非基变量的检验数中，故此线性规划问题有无穷多最优解。
2.7 求下述线性规划问题目标函数z的上界和下界。
其中:。
解：（1）要求z的上界，则应取其最大值；应取其最小值，此时，得到的线性规划问题为在上述问题的第一个约束条件中加入松弛变量，第二个约束条件左右两边同时除以2再加入松弛变量，得到该线性规划问题的标准型单纯形法的计算过程如表2-13所示：表2-13解得最优解，目标函数z的上界。
（2）要求z的下界，则应取其最小值；应取其最大值，此时，得到的线性规划问题为在上述问题的第一个约束条件中加入松弛变量，第二个约束条件左右两边同时除以2再加入松弛变量，得到该线性规划问题的标准型单纯形法的计算过程如表2-14所示：表2-14解得最优解，目标函数z的下界2.8 表2-15是某求极大化线性规划问题计算得到的单纯形表。
表中无人工变量，为待定常数。
试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。
（1）表中解为惟一最优解；（2）表中解为最优解，但存在无穷多最优解；（3）该线性规划问题具有无界解；（4）表中解非最优，为对解改进，换入变量为，换出变量为。
表2-15解：（1）当时，表中解为惟一最优解；（2）当且=0时，表中的解为最优解，且原问题有无穷多个最优解；（3）当时，该线性规划问题具有无界解；（4）当时，表中的解非最优，对解进行改进，换入变量为，换出变量为。
