八年级北师大数学二次根式1优质课件公开课

=12×13 =156;
（2） 1 16a4 1 16 • a4 1 4a2 =a2.
4
4
4
5. 化简：(1) 363;(2) 0.72;(3) 33 5(5). 提示：若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．
解： (1) 363 121 3 121 3 11 3;
(2) 0.72 72 72 36 2 6 2 3 2;
C. a＞-2或a≠ 0
D. a≥-2且a≠ 0
2. 下列式子一定是二次根式的是（ C）
A． x 2 B． x
C．x2 2 D. x2 2
3. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ C ）
A．7
B．3
1
C．2
D． 2
4. 计算：
（1）（-144）（-169）; （2） 1 16a4 .
4
解：（1）（-144）（-169） 144 169
4＝ 9
， 4＝
；
9
16 ＝
， 16 ＝
．
25
25
从以上的计算中你发现什么规律？你能用字母表示这个 规律吗？
总结归纳
二次根式的性质：
(1) a b a b (a 0, b 0)
aa
(2)
(a 0, b 0)
bb
Hale Waihona Puke 思考：1. 你认为公式中的字母可以取哪些值？
2. 你能用文字描述上面两个公式吗？
B．1
C．2a－3
D．3－2a
二次根式
课堂小结
定义
带有二次根号 被开方数为非负数
(2) 2 2 2 7 1 14; 7 7 7 7 7
(3) 1 1 3 1 3. 3 3 3 3

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思考 二次根式加减，分为几个步骤？
二次根式的加减主要归纳为两个步骤： 第一步，先将二次根式化成最简二次根式； 第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
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引入新课
现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如
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例2 计算：
讲授新课
（1）（ 2+3）（ 2 -5） ；（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）．
解：（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）=（ 5）2 -（ 3）2
= 5-3= 2 ．
思考1：（2）中，每一步的依据是什么？
每一步的依据是：平方差公式．
讲授新课
请总结二次根式加减的步骤、依据和基本思想．
步骤： “一化简、二判断、三合并”；
依据： 二次根式的性质、分配律和整式加减法则；
基本思想： 把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
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讲授新课
例1 判断下列计算是否正确？为什么？ （1） 8- 3= 8-3 ； × （2） 4+ 9= 4+9 ； ×
图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8
dm2和18 dm2的正方形木板？ 能截出两块正方形木
7.5 dm
5 dm
板的条件是什么？; 18
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讲授新课
8+ 18能否进一步计算？这是一种什么运算？

2、解：由题意得x-6=0且y+1=0． 解得x=6，y=-1． ∴x+4y=6+（-1）×4=2，
∴x+4y的平方根为± 2 .
3、由题意得
x 3≥ 0，
3
x≥
0，
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
2、二次根式的性质及化简
（1）
a
b
二：最简二次根式的条件；
1、被开方数不含 分母
a （开方数不含 能开得尽方的因数或因式 ；
学生自学，教师巡视（4分钟）
例1 化简：
（1） 81 64
81
64
98
72；
被开方数不含开得尽方 的因数或因式
（2） 25 6 25 6 5 6；
（3） 5 5 5 . 9 9 3 为什么50分解
（3）原式
3
3
25
5
2、仿照例2化简： （1） 200 （ 2） 2 1
2
（ 3） 1 6
被解开：方（ 数1是）带原分式 数时 100 2 10 2 ，应先化为假分数
（2）原式
（3）原式
5
5 2
10
2
最2后结2果， 2
1分母中6不能含有根6号
6 6
6
讨论、点拨、更正（3分钟）
1、50是最简二次根式吗？什为么？
例 2 化简：
为25×2，而不 分解成5×10？
被开方数不含分母
整数要分解为含有最 大开得尽方的因数.
（1） 50 25 2 25 2 5 2；
（2） 2 2 7 2 7 7 77 77

初中数学课件-二次根式演示课件北师 大版1 （精品 课件）
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三、师生品学
1.什么样的式子叫做二次根式？ 定义：一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做 二次根式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
①含有“ ” 两个必备条件
②被开方数 a ≥0
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三、师生品学
2.为什么 a 中的被开方数 a ≥0 ？ a 表示一个数 a 的算术平方根 而负数没有算术平方根,
所以， a 中的被开方数 a ≥0.
即：当 a ≥0 时， a 有意义, 当 a<0 时， a 没有意义.
3.当 a 0 时， a 可能为负数吗?为什么？ 当 a 0时， a 表示正数的算术平方根，因此 a 0 ； 当 a 0时， a 表示0的算术平方根，因此 a 0 . 所以说，当 a 0 时， a 0 .
二次根式的被开方
二次根式的 数非负 (a ≥0)
双重非负性 二次根式的值非负
( a ≥0)
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三、师生品学
例2.要使下列各式有意义，x 应是怎样的实数?
(1) x 5
(2) x2 1
解：（1）要使 x 5 有意义，必须 x 5 0 ，即 x 5 ；
（2）不论 x 取何实数，总有 x2 0 ，x2 1 1 ， 二次根式 x2 1 在实数范围内总有意义.
3.边长为1的正方形的对角线长；
2
4.面积为S的圆的半径；

aa b
分母
a b
能开得尽方
a
ab
b
在前面学习了一些带有二次根号的式子，这些式 子都有一些共同的特征和一些性质，这些式子能像我 们以前学过的数一样进行运算吗？我们带着这些问题 走进课本，看能否解决你的问题.
例：当x、y都是实数，对于式子 4x24, (xy)2
1.都是二次根式吗？ （根据二次根式存在的条件判断）
直接9163412.
(2) 1 681 16 814936.
(3)
9x 64y2
9x 3 x 64y2 | 8 y |
(4)
5x 169y2
5x 169y2
5x . 13 | y |
(5) 8 11008 1 10091090.
(6) 54 9 63 6 3 6.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
A x<3
D B
例1：当x是多少时, 3x 1在实数范围内有意义？
解析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或 等于0，所以3x－1≥0时， 3x 1 才有意义.
北师版·八年级数学·上册
2.7 二次根式
1.理解二次根式的概念及其性质； 2.理解最简二次根式的概念，会用性质对二次根式进 行化简. 3.会进行二次根式的运算，知道结果要为最简.
重点：理解二次根式和最简二次根式的概念，会进 行二次根式的化简.
难点：运用性质进行二次根式的运算.
阅读教材P41-46, 了解本节主要内容.
解：由3x－1≥0，得x≥ 1 . 3
因此当x≥ 1时， 3x1 在实数范围内有意义.

化简时，通常要求最终结果中分母不含有 根号
4 3Leabharlann 用字母表示该规律为：b b b
b b b
2 b
b
上述化简过程称为分母有理化
(1) 3 (2) 8 (3) 12 (4) 1 1
16
9
25
4
（5） 1.2
带根号的数的化简要求：
（1）被开方数不含开得尽的因数或因式；
（2）被开方数不含分母．
化简： (1) 45 （2） 27 （3） 54 （4） 32
二次根式的性质
计算下列各式，探究规律
4 ________ 9
估计下列两组式子是否相等？
4与
4
25
25
4 ________ 9
3与
3
2
2
用字母表示该规律为：
a a a 0,b 0
bb
商的算术平方根等于算术平方根的商
化简应用
3 9
二次根式
1.理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质。 2、能根据实数的运算法则、运算律进行二次根式的加
法和减法运算；会进行二次根式的混合运算。 3．会灵活应用二次根式加法交换律、加法结合律、乘
法交换律、乘法结合律和分配律.
观察下列代数式找出共同特征
5, 11, 7.2, 49 , a2 1 121
这样的根式称为最简二次根式
化简：
（1） ；50 （2）
48； 3 （3） 5 ．1
5
（1）
（2）
归纳：
一、 化简的要求：
1、根号内不能含有开的尽的因数. 2、根号内不能是分数 3、分母不能含根号。
二、公式
a b a b（a≥0，b≥0），
a b

1．(3 分)下列各式中 15， 3a， 62－1， a2＋b2， m2＋20， －144，
二次根式的个数有( A )
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
2．(3 分)(2014·武汉)若 x－3在实数范围内有意义，则 x 的取值范
围是( C )
A．x＞0
B．x＞3
C．x≥3
D．x≤3
3．(3 分)对任意实数 a，则下列等式一定成立的是( D )
＝__1_0__5___，… (2)通过观化简情况可得2nn2＝2n n.证明如下：2nn2
＝
2n2 n·
nn＝2n
n
21．(10 分)观察下列各式及其验算过程：
2＋23＝2 23，
验证： 2＋23＝ 2×33＋2＝ 233＝2 23；
7．(8 分)化简： (1) 12；
解：(1)2 3
(3) －－235；
解：(3)
3 5
(2) （－16） × （－2）； (2)4 2
(4) 45. (4)4 5 5
8．(6 分)设 a，b 为实数，且满足(a－3)2＋(b－1)2＝0，求 ba的值．
解：
3 3
9．(8 分)一圆形转盘的面积是 25.12 cm2，该圆形转盘的半径是多少？
17 ． 直角三 角形的 两条 边长分 别 3 和 4 ， 第三条边 的长 度为
___5__或___7____．
18．(9 分)化简： (1) 75；
(2) 35；
解：(1)5 3
(2)
15 5
(3) 27. (3)2 7 7
19．(8 分)已知正方形纸片的面积是 32 cm2，如果将这个正方形做成 一个圆柱的侧面，请问这个圆柱底面的半径是多少？(π取 3，结果保留根

（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
（7）
x 1 x3
(x 2)0 （8）
x2 x
x≥-1且x≠2
x>0
（9） x2 1
x为全体实数
自主探究
填空： 49 ＝ 6 ， 4 9＝ 6 ；
16 25 ＝ 20 ， 16 25 ＝ 20 ；
（1） 1 ；（2） x2 2 ；（3） 0.2 ；（4） 24 x （；5） x3 6x2 9x . 3
解：(1)不是，因为被开方数中含有分母． (2)是. (3)不是,因为被开方数是小数(即含有分母)． (4)不是，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，4＝22. (5)不是，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x ＋3)2，被开方数中 含有能开得尽方的因式．
第二章 实数
2.7.1 二次根式
学习目标
1．认识二次根式和最简二次根式的概念． 2．探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将 二次根式化为最简二次根式的形式.
复习回顾
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 a (a 0) 表示.
B．1
C．2a－3
D．3－2a
二次根式
课堂小结
定义
带有二次根号 被开方数为非负数
在有意义条件下求 字母的取值范围
抓住被开方数必须为 非负数，从而建立不 等式求出其解集.
积的算术平 方根
ab a • b(a 0，b 0)

1 ＝ 9× 2 － 4 × 2 ＋ 8
1 )÷ 3 ＝ 24 ÷ 3 － 6
1 ÷ 3 ＝2 1 11 ＝2 2－6 2＝ 6 2； 6×6
(4)
25 2 ＋ 99 － 18 ＝
25×2 ＋ 2×2
5 1 9×11－ 9×2＝2 2＋3 11－3 2＝－2 2 ＋3 11.
考纲解读 了解二次根式、最简二次根式的概念，理解用二 次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运 算法则进行简单四则运算，掌握用有理数估计无 理数的大致范围的方法.
二次根式的运算仍满足运算律，也可用多项式的 乘法公式来简化运算.
各地中考真题再现
x＋1 [2014· 铜仁] 代数式 有意义，则 x 的取 x－1 值范围是( A ) A．x≥－1 且 x≠1 B．x≠1 C．x≥1 且 x≠－1 D．x≥－1
(2)(1 ＋ 3)(2 － 3) ＝ 2 － 3 ＋ 2 3 － ( 3)2 ＝ 2 － 3 ＋ 2 3
－3＝－1＋ 3.
2． 一个直角三角形的两条直角边长分别 为 5cm 和 45 cm，求这个直角三角形 的面积．
1 解：S＝2× 5× 45 1 ＝2× 5×45 1 ＝2× （5×3）2 1 ＝2×15 ＝7.5(cm )． 答：这个三角形的面积为 7.5 cm2.
(2) 18－ 8＋ (3)( 24－ (4)
1 6)÷ 3；
25 ＋ 99 － 18. 2
解：(1)
3 2－
2 3＝
3×2 － 2×2
2×3 1 1 1 ＝2 6－3 6＝6 6； 3×3 2 1 ＝ 3 2 － 2 2 ＋ 2 ＝ 16 4
(2) 18－ 8＋ 5 4 2； (3)( 24－ 8－
[2014· 荆门 ] 计算： 24 × ×(1－ 2) .