广州大学2018-2019常微分方程试卷A答案
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《常微分方程》考试参考答案(A卷)《常微分方程》考试参考答案(A 卷)一、填空题(每空2分,共30分)1、()dy y g dx x = ln y x c x=+ 2、()()dy f x y dx= 2x y e = 3、2222M N y x= 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-5、存在不全为0的常数12,k c c c ,使得恒等式11()()0k k c x tc x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立()0w t ≡6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c tc t -=+++7、322x xy y c -+=二、判断题(每题2分,共10分)1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题(每题15分,共60分)1、解:231()dy y dx x x y +=+ 变量分离231y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x xλ+=-++ 2211ln 1ln ln 122y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++=从而解得通解为:222(1)(1)x y cx ++=2、解:先求30dx x dt+=的通解:33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法,令原方程解为3()t x c t e -= 解得:3223551()5dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+ ∴原方程的通解为:533211()55t t t t x e c e ce e --=+=+3、解:先求对应齐线性方程:(4)20x x x ''-+=的通解特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==-从而通解为:1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解,这里:2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根,即原方程有形如:2x At Bt c =++的特解把它代入原方程有:2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C ===21x t =+ ∴原方程通解为:21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++4、解:令cos sin y p t x t '==?=2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为:11sin 242y t t c =++ 5、解:由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y Rf M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?∴11min(,)min(1,)44b h a M === 从而解存在区间为114x +≤ 231123221327()011()3311()[()]3311111139186342o o x x x y x x dx x x x x dx x x x x --====+=-+=---+?? 2(21)1(21)!24o ML y y h +-≤=+。
大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案一、填空题1.微分方程0)(22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 答:12.若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 答:)()1)((y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂ 3._________________________________________ 称为齐次方程.答:形如)(xy g dx dy =的方程 4.如果),(y x f ___________________________________________ ,则),(y x f dx dy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0 上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ= ,其中=h _______________________ .答:在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),min(mb a h = 5.对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.答: 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6.方程22y x dxdy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上 ,则经过点 )0,0(的解的存在区间是 ___________________ 答:4141≤≤-x 7.若),.....2,1)((n i t x i =是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程 ___________________________________答:0)(1'=+w t a w8.若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组,)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答:x x c x n i i i +=∑=19.若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限,则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________ 答:1)!1(++n nh n ML 10.______________________称为黎卡提方程,若它有一个特解)(x y ,则经过变换 ___________________ ,可化为伯努利方程. 答:形如)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=的方程 y z y += 11.一个不可延展解的存在区间一定是 区间.答:开12.方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 . 答:}0),{(2>∈=y R y x D ,(或不含x 轴的上半平面)13.方程y x xy sin d d 2=的所有常数解是 . 答: ,2,1,0,±±==k k y π14.函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 在区间I 上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零.答:充分15.二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 . 答:线性无关(或:它们的朗斯基行列式不等于零)16.方程02=+'-''y y y 的基本解组是 .答:x x x e ,e17.若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续,则方程y x x y )(d d ϕ=的任一非零解 与x 轴相交. 答:不能18.在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中,如果)(x p ,)(x q 在),(∞+-∞上连续,那么它的任一非零解在xoy 平面上 与x 轴相切.答:不能19.若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组,则它们 共同零点.答:没有20.方程21d d y xy -=的常数解是 .答:1±=y21.向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ,I x ∈.答:必要22.方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 . 答: xoy 平面23.方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 .答:1,1±=±=x y24.方程04=+''y y 的基本解组是 .答:x x 2cos ,2sin25.一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线. 答:2二、单项选择题1.n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是( A )个.(A )n (B )n -1 (C )n +1 (D )n +22.如果),(y x f ,y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续,那么方程),(d d y x f x y=的任一解的存在区间(D ).(A )必为),(∞+-∞ (B )必为),0(∞+(C )必为)0,(-∞ (D )将因解而定3.方程y x x y+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( D ).(A )上半平面 (B )xoy 平面(C )下半平面 (D )除y 轴外的全平面4.一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差( C ).(A )不是其对应齐次微分方程组的解 (B )是非齐次微分方程组的解(C )是其对应齐次微分方程组的解 (D )是非齐次微分方程组的通解5. 方程21d d y x y-=过点)1,2(π共有( B )个解.(A )一 (B )无数 (C )两 (D )三6. 方程2d d +-=y x xy ( B )奇解. (A )有三个 (B )无 (C )有一个 (D ) 有两个7.n 阶线性齐次方程的所有解构成一个( A )线性空间.(A )n 维 (B )1+n 维 (C )1-n 维 (D )2+n 维8.方程323d d y xy =过点( A ). (A )有无数个解 (B )只有三个解 (C )只有解0=y (D )只有两个解 9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的( B )条件.(A )充分 (B )充分必要 (C )必要 (D )必要非充分10.二阶线性非齐次微分方程的所有解( C ).(A )构成一个2维线性空间 (B )构成一个3维线性空间(C )不能构成一个线性空间 (D )构成一个无限维线性空间11.方程y x y =d d 的奇解是( D ). (A )x y = (B )1=y (C )1-=y (D )0=y12.若)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解,则该方程的通解可用这两个解表示为( C ).(A ))()(21x x ϕϕ- (B ))()(21x x ϕϕ+(C ))())()((121x x x C ϕϕϕ+- (D ))()(21x x C ϕϕ+13.),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy =初值解唯一的( D )条件. (A )必要 (B )必要非充分 (C )充分必要 (D )充分14. 方程1d d +=y x y ( C )奇解.(A )有一个 (B )有两个 (C )无 (D )有无数个15.方程323d d y xy =过点(0, 0)有( A ). (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、求下列方程的通解或通积分1.3yx y dx dy += 解:23y y x y y x dy dx +=+= ,则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以 cy y x +=23另外 0=y 也是方程的解2.求方程2y x dxdy +=经过)0,0(的第三次近似解 解:0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ []52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ []81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x+++=+=⎰ϕϕ 3.讨论方程2y dx dy = ,1)1(=y 的解的存在区间 解:dx y dy =2两边积分 c x y+=-1 所以 方程的通解为 cx y +-=1 故 过1)1(=y 的解为 21--=x y 通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-,但向右只能延拓到 2,所以解的存在区间为 )2,(-∞4. 求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解 解: 利用p 判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以 1±=y 是方程的奇解5.0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: y M ∂∂=2--y , xN ∂∂=2--y , y M ∂∂=x N ∂∂ , 所以方程是恰当方程.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ϕ++= )('2y xy yu ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为 c y yx x =++ln sin 6. x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为2z dx dz -= , c x z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 cx x y ++=1sin 7.0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--yd xy d dx 所以 c y xy x =--732 , 另外 0=y 也是方程的解 8.21d d x xy x y += 解 当0≠y 时,分离变量得x x x y y d 1d 2+= 等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++=即通解为21x C y +=9. x y xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程,确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 51 10. 5d d xy y xy += 解 方程两端同乘以5-y ,得x y xy y +=--45d d 令 z y =-4,则xz x y y d d d d 45=--,代入上式,得 x z x z =--d d 41 通解为41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x 11.0)d (d 222=-+y y x x xy解 因为xN x y M ∂∂==∂∂2,所以原方程是全微分方程. 取)0,0(),(00=y x ,原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2 即 C y y x =-3231 12. y y xy ln d d = 解:当0≠y ,1≠y 时,分离变量取不定积分,得C x yy y +=⎰⎰d ln d 通积分为 x C y e ln = 13.03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= 14.xy x y x y +-=2)(1d d 解:令xu y =,则xu x u x y d d d d +=,代入原方程,得 21d d u x u x -= 分离变量,取不定积分,得C xx u uln d 1d 2+=-⎰⎰ (0≠C ) 通积分为: Cx xy ln arcsin= 15. xy x y x y tan d d += 解 令u xy =,则x u x u x y d d d d +=,代入原方程,得 u u x u x u tan d d +=+,u xu x tan d d = 当0tan ≠u 时,分离变量,再积分,得C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln +=即通积分为: Cx x y =sin16. 1d d +=xy x y 解:齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程,确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为Cx y =+x x ln17. 0d d )e (2=+-y x x y x y解 积分因子为21)(x x =μ原方程的通积分为1012d d )(e C y x x y y x x=+-⎰⎰即 1e ,e C C C x yx +==+18.0)(2='+''y y y解:原方程为恰当导数方程,可改写为0)(=''y y即1C y y ='分离变量得x C y y d d 1=积分得通积分21221C x C y +=19.1)ln (='-'y x y解 令p y =',则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1由基本关系式 y x y'=d d ,有p p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p)d 11(-= 积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120.022=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= 21. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解:由于xN xy y M ∂∂==∂∂2,所以原方程是全微分方程. 取)0,0(),(00=y x ,原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x yx=++⎰⎰ 即 C y y x x =++42242四、计算题1.求方程x y y e 21=-''的通解. 解 对应的齐次方程的特征方程为:012=-λ特征根为: 1,121-==λλ故齐次方程的通解为: x x C C y -+=e e 21因为1=α是单特征根.所以,设非齐次方程的特解为x Ax x y e )(1=代入原方程,有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+, 可解出 41=A . 故原方程的通解为 x x x x C C y e 41e e 21++=- 2.求下列方程组的通解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x ty y x t x 43d d 2d d . 解 方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A即 0232=+-λλ特征根为 11=λ,22=λ11=λ对应的解为t b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量,满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得1,111-==b a .同样可算出22=λ对应的特征向量分量为 3,212-==b a .所以,原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3.求方程x y y 5sin 5='-''的通解.解:方程的特征根为01=λ,52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。
福师《常微分方程》期末试卷解析一、选择题(共10题,每题2分,共20分)1. 答案:A解析:对常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法,可得:dy/g(y) = f(x)dx,再进行积分即可得到结果。
2. 答案:C解析:对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程,可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程,再进行积分,最后解出y。
3. 答案:B解析:常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程,可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx,再进行积分,最后解出y。
4. 答案:D解析:常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程,可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x,再进行积分,最后解出y。
5. 答案:A解析:常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法,可得:dy/g(y) = f(x)dx,再进行积分即可得到结果。
6. 答案:C解析:对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程,可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程,再进行积分,最后解出y。
7. 答案:B解析:常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程,可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx,再进行积分,最后解出y。
8. 答案:D解析:常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程,可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x,再进行积分,最后解出y。
9. 答案:A解析:常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法,可得:dy/g(y) = f(x)dx,再进行积分即可得到结果。
10. 答案:C解析:对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程,可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程,再进行积分,最后解出y。
常微分方程试题及答案一、单项选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪一项不是常微分方程的特点?A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案:A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数,下列哪一项不是解的性质?A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案:D3. 一阶线性微分方程的一般形式是:A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案:A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \),那么它的通解是:A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \),其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \),其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \),其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
常微分方程卷 A 参考答案与评分标准一、判断题, 本题共5小题,每小题2分,满分 10 分 1、√ 2、× 3、× 4、√ 5、×二、填空题, 本题共5小题,每小题2分,满分 10 分 1、()()dy f x y dx =ϕ 2、x N y M ∂∂=∂∂ 3、()dyp x y dx= 4、2p =-, 3q =- 5、()()t t C ψ=Φ三、单项选择题,本题共5小题,每题3分,满分15分.1、D2、A3、C4、B5、C四、计算题:本题共7小题,满分65分. 1、(8分)求解方程2d cos d yy x x=. 解 当0y ≠时,分离变量,方程化为22cos ,(0)dyxdx y y=≠, --------------------(3分) 两边积分得2sin dyx c y -=+ --------------------(3分)即1sin y x c=-+此外,0y =也为方程的解. 所以原方程的通解为1sin y x c=-+(c 为任意常数). --------------------(2分)2、(8分)求解方程22d d yx xy y x=-.解 将方程化成2()dy y y dx x x=- --------------------(2分) 令y ux =,代入上式得2duu xu u dx+=- 即2duxu dx=- --------------------(2分) 易于看出,0u =为这方程的一个解,从而0y =为原方程的一个解. 当0u ≠时,分离变量得, 2du dxu x-=.两端积分后得 1ln ||x C u=+ 或1ln ||u x C=+ --------------------(2分)将u 换成yx,并解出y ,便得到原方程的通解ln ||x y x C =+. --------------------(2分)3、(8分)求方程(2)0x y dx xdy +-=的通解. 解 原方程变形为221dy x y ydx x x+==+ --------------------(2分) 对应的齐次方程的通解为2y cx = --------------------(2分)由常数变易法知2()c x x -'=从而1()c x x C -=-+ --------------------(2分)故原方程通解为2y cx x =-. - -------------------(2分)4、(8分)求解方程2()(2)0x y dx x y dy ++-= 解 由于1M Ny x∂∂==∂∂,所以方程为全微分方程 --------------------(3分) 分项组合得220x dx ydx xdy ydy ++-= --------------------(2分)所以原方程的通解为2203x xy y +-= --------------------(3分)5、(10分)对于初值问题22(1)0dy x ydx y ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩, :11,1R x y +≤≤,试求解的存在区间,以及它的第二次近似解,并给出在解的存在区间上的误差估计.解 22(,)11max 4,min(1,),24x y RM x y h L M ∈=-====, 114x +≤或5344x -≤≤- --------------------(2分)000y ϕ==, --------------------(1分)231011(1)3xy s ds x ϕ-=+=+⎰, --------------------(2分)23220111[()]33xy s s ds -=+-+⎰ϕ.374111139186342x x x x =---+ --------------------(2分) 121()()(1)!24n n ML x x h n +-≤=+ϕϕ -------------------- (3分) 6、(8分)求方程244tx x x e '''-+=的通解.解 特征方程0442=+-λλ,特征根为22,1=λ,---------------------(2分) 于是,所对应的齐次方程的通解为2212t tx c e c te =+,---------------------(2分)对于方程244tx x x e '''-+=,因为2λ=为方程的二重根,故有形如222()t x t At e =的特解,将其代入244t x x x e '''-+=,得222tt Ae e =,解之得12A =,---------------------(2分) 所以原方程的通解为222121()()2t t x t e c c t t e =++.---------------------(2分)7、(15分)试求方程组x Ax '=的基解矩阵,其中011101.110A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦解 211det()11(1)(2)011A E --=-=+-=-λλλλλλ1,231,2λ=-λ= --------------------(5分)对于1,21=-λ,解1()0E A v λ-= 得 111,001v --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--------------------(3分)对于32=λ,解2()0E A u λ-= 得 111u ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ----------------------------------(3分) 则方程组x Ax '=的基解矩阵222()00tt t tt tt e e e t ee e e ----⎡⎤--⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. --------------------(4分)。
广州大学2017-2018学年第一学期考试卷参考答案及评分标准课程 常微分方程 考试形式(闭卷,考试)学院 系 专业 班级 学号 姓名_特别提醒:2017年11月1日起,凡考试作弊而被给予记过(含记过)以上处分的,一律不授予学士学位。
一、 填空(5*3分=15分)1. 方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=为恰当微分方程的充要条件是x Ny M ∂∂=∂∂. 2. 若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐次线性方程1111()()()0n n n n n n d x d xdxa t a t a t x dt dtdt---++++=的基本解组,则该齐次线性方程的所有解可表为112212()()()(),,,,n n n x t c x t c x t c x t c c c =+++为任意常数。
3. 设n 阶常系数齐次线性方程11110n n n n n n d x d xdxa a a x dt dtdt---++++=的特征方程有一对k 重共轭复根i λαβ=±,则它们对应的方程的实值解是11cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,,sin t t k t t t k t e t te t t e t e t te t t e t ααααααββββββ--。
4. 常系数方程组()x Ax f t '=+的通解为0()()(),t tA t s A t x t e c e f s ds -=+⎰ 其中c 为任意常数列向量。
5. 定义微分算子dD dt=。
设()P D 是关于D 的一个n 次多项式,它的逆算子记为1()P D 。
则1()()t e v t P D λ= 1()()t e v t P D λλ+ 。
二、解下列方程(3*10分=30分) 1.1dy dx x y=+ 解:令x y u +=,则原方程化为 1du udx u+=分离变量,得(1)1udu dx u u=≠-+ 积分,得ln |1|u u x c -+=+ … … … (6分) 变量还原,得原方程的通解ln |1|y x y c =+++,c 为任意常数。
2018—2019学年度第一学期《微积分(上)》期末考试试卷(A 卷)考试时间:2小时 考试方式:闭卷复查总分 总复查人一、求下列极限(每小题8分,共56分)1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→x x x x x x x 2sin 211sin 1arctan lim 32. 【解】原式x x x x arctan 1lim 2+=∞→212101cos 11sin lim 3=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x x x . 其中0arctan 1lim2=+∞→x x x x (因01lim 2=+∞→x x x ,且2arctan π≤x ); ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x x 1cos 11sin lim 3【等价】21121.1.lim 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→x x x x .2.()322021sin limx x x dt t ex tx ⎰+---→.【解】原式220031sin lim x x x e xx +--=-→200031lim x x e x x +-=-→6131613sin lim 220-=-=-→x x x . 其中2031limx x e xx +--→x e xx 61lim 00+-=-→616lim 000==-→x x e . 3.设()⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=,0,1,0,sin 2x x x x xx f 讨论()x f 在0=x 点的连续性与可导性.【解】因()()11lim lim 20=+=--→→x x f x x ;()1sin lim lim 0==++→→xxx f x x ,故 ()=-→x f x 0lim ()()01lim 0f x f x ==+→,所以()x f 在0=x 点处连续.又()()()0lim 00lim 000==--='--→→-x x f x f f x x ; ()()()xx x x f x f f x x 1sin lim 00lim 000-=--='++→→+20sin lim x x x x -=+→021cos lim 000=-=→x x x , 故()x f 在0=x 点处不可导. 4.设()xx x y sin 2tan 22++=,求|=x dy .【解】因()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++='22sin 22tan 22.sin 2ln cos 2sec .2ln 2x x x x x x x y xx ,故 ()dx dx y dy x 2ln 20|='==.5. 求dx xx⎰24cos sin . 【解法一】()dx xx ⎰-222cos cos 1dx x x )cos 2(sec 22+-=⎰dx x x )2cos 2123(sec 2+-=⎰ C x x x ++-=2sin 4123tan .【解法二】dx x x ⎰24cos sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰x xd cos 1sin 3【分部】()⎰-=x d x x x 33sin cos 1cos sin ⎰-=xdx x x 23sin 3cos sin ()⎰--=dx x x x 2cos 123cos sin 3 C x x x x ++-=2sin 4323cos sin 3. x x x 2sin 42cos sin 3+x x x x cos sin cos sin 3+=()x xxx x tan cos cos sin sin 22=+=,故x x x x 2sin 4323cos sin 3+-x x x x x 2sin 41232sin 42cos sin 3+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x 2sin 4123tan +-=. 【解法三】dx xx⎰24cos sin ()xdx x xdx x ⎰⎰-==2222sin 1sec sin tan ()xdx x d x ⎰⎰-=22sin tan sin ⎰-=xdx x x 22sin 3tan .sin()⎰--=dx x x x 2cos 123tan .sin 2C x x x x ++-=2sin 4323tan .sin 2. 【注意】因x x x x 2sin 4323tan .sin 2+-x x x x 2sin 4323cos sin 3+-=、=x x x 2sin 4123tan +-=.表明三解法的原函数是一样的.【解法四】dx x x ⎰24cos sin dx xxdx x x x ⎰⎰-+=24244cos cos cos cos sin ()dx x dx xx x x x ⎰⎰--+=2222222cos cos cos sin 2cos sin()dx x dx x x ⎰⎰--=222cos sin 2sec ()⎰⎰--=dx dx x x 22sin sec x dx x x ---=⎰22cos 1tan C x x x x +-+-=2sin 412tan C x x x ++-=2sin 4123tan .【解法五】dx x x ⎰24cos sin ()dx x x ⎰+-=24cos 11sin ()()⎰⎰+-+-=dx x dx xx x 2222cos 1sin 11sin 1sin ()⎰⎰++-=xdx dx x 22sec 1sin x dx x tan 122cos 1+⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎰ C x x x +++-=tan 2sin 4123.6.求()xdx x x arctan 11⎰-+.【解】原式xdx x arctan 11⎰-=xdx x arctan 11⎰-+【对称性】0arctan 21+=⎰xdx x()210tan x xd rc a ⎰=dx x x x x ⎰+-=10221021arctan |12arctan 14|10-=+-=ππx . 7.将函数()3212---=x x x x f 展开为x 的幂级数.【解】()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=113121x x x f ()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=x x 11311.3121 ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=∑∑∞=∞=003312111311.3121n n n n x x x x ()11,3112101<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∞=+x x n n n n. 二、(共12分)全面讨论函数xey x=的性态,并作出它的图形. 【解】(一)函数的定义域为()()+∞⋃∞-=,00,D ;(二)因0lim=-∞→x e x x ,+∞==+∞→+∞→1lim lim x x x x e x e ,故0=y 是曲线x e y x=的一条水平渐近线;因∞=→x e x x 0lim ,故0=y 是曲线x e y x=的一条铅直渐近线;又因 =+→x x e xx 0lim ∞=→20lim x e x x ,故曲线x e y x =无斜渐近线.(三)令()21x x e y x -=',()3222x x x e y x +-=''.(四)令()012=-='x x e y x ,得1=x ;令()02232=+-=''xx x e y x ,无解; (五)列表如下:三、求下列积分(共12分)设D 由上半圆22x x y -=与直线x y =所围成.(1)求D的面积;(2)求D 绕x 轴旋转所生成旋转体的体积. 【解法一】()()()21411211212-=---=--=⎰⎰⎰πxdx dx x dx x x x D S ;()()3332212212πππππ=-=--=⎰⎰dx x dx x x D V .【解法二】显见D 的面积为四分之一圆的面积减去一个直角三角形的面积,即()21411211412-=⨯⨯-⨯⨯=ππD S ;显见D 绕x 轴旋转所生成旋转体的体积为四分之一球体的体积减去一个圆锥体的体积,即()333211311342123πππππ=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=D V . 四、 (共10分)证明:(1)方程01=-+nx x n 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内有唯一实根(),...3,2=n x n ;(2)级数()12>∑∞=ααn nx 收敛; (3)级数()n n nx ∑∞=-21收敛.【证明】(1)令()1-+=nx x x f n .则()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n 1,11上连续.又因 0111111<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n f n ;011>⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n f ,故由根值定理知方程()0=x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内至少有一实根;又因()()+∞∈>+='-,0,01x n nx x f n ,故方程()0=x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内至多有一实根. 综上所述,方程()0=x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内有且仅有唯一实根n x .(2)因n x n 10<<,故ααn x n 1<,又已知∑∞=21n n α收敛,所以级数∑∞=2n n x α收敛;(3)因{}n x 单减,且0lim =∞→n n x ,故由莱布尼兹判别法知()n n nx ∑∞=-21收敛.五、(共10分)已知函数()x f 在[)+∞,a 上有二阶导数,()()()0,0,0>''>'=x f x f a f ,设a b >,曲线()x f y =在()()b f b ,处的切线与x 轴的交点是()0,0x .证明:b x a <<0.【证明】(一)曲线()x f y =在()()b f b ,处的切线方程为:()()()b x b f b f y -'=-. 令0=y ,可得()()b f b f b x '-=0.因()()0,0=>'a f x f ,故()()0=>a f b f ,所以()()b b f b f b x <'-=0;(二)又()()()()()b f ab a b a f b f b b f b f b x '----='-=.0【由拉格朗日定理】 ()()()a b b f f b -''-=ξ,()b a ,∈ξ. 注意到已知()0>''x f ,故()(),b f f '<'ξ所以()()()a a b b f b f b x =-''->0. 综合(一)、(二)知b x a <<0.。
第1页 共7页《常微分方程》A 卷 一、判断题(8分,每题2分)n 阶常微分方程的通解包2、函数y=C 1e是微分方程yH-y ,-2y = 0 的通解。
(W(t) HO,t 引a,b ]。
空(t) =6(t)C 。
A 三阶非线性方程C 四阶非线性方程下列方程中为齐次方程的是A y =xy7半(y)B xy' = y + xtan , xc y Jxy'+f(y)D cos ydx = cosxdyA 结点B 焦点C 中心D 鞍点安庆师范学院3、n 阶线性齐次微分方程的n 个解为(t),X 2(t),川,X n (t)在[a,b ]上线性无关的充要条件是得分 二、选择题(10分,每题2分)2微分方程y" + (y")-y= cosyn 阶齐次线性微分方程的所有解构成一个 B n+1n —1 )维线性空间。
D n +2 4、Lipschitz 条件是一阶微分方程初值问题存在唯一解的( A 充分条件 C 充分必要条件B 必要条件 D 既不是充分也不是必要条件)条件。
Idxi — = _y 5.方程< dt的奇点(0,0) I —L dt 的类型是三、填空题(12分,得分 每空 2 分)1、向量函数x 1(t),x 2(t)JH,x n (t)是线性方程组 X =A(t)X 的基本解组的充要条件是:含了它的所有解。
4、设①(t)为X ‘ = A(t)X 的基解矩阵,则甲(t)为其基解矩阵=存在n 阶常数矩阵C ,使三阶线性方程 四阶线性方程得分1、(1) ;(2)第2页共7页2、方程M (X, y )dx + N (X, y )dy = 0存在只与y 有关而与x 无关的积分因子的充分必要条件是3、 方程9丫 =、瓦的奇解是。
dx 74、 伯努利方程=P (x )y+Q (x )y n,(n 工0,1)通过变量替换 dx可化为线性方程。
■ 2I 5、欧拉方程x y" — xy' + y=O 的通解为四、求下列方程的通解(40分,每题10 分)1、xy ‘-2y =x 3 COSX.1 12、(sin y + ysi n x +—)dx +(x cosy-cos x + — )dy =0.x y3、(y 中 x)dx + (y - x)dy = 04、x 」1q .14 1丿五、计算与证明题(30分,每题10分)9丫 =x 2— y 通过点(1,0)的第二次近似解。
《 常微分方程 》(A)答案:(省去了作题的详细步骤)一. 填空题(每小题3分, 共15分)1. );())()(()(121x y x y x y c x y +-=;2. 1||,<∈y R x ;3. tttee22,--; 4. n ; 5. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t te te e 0.二.单项选择题(每小题3分, 共15分)1. A2.B3. C 4 . D 5. A 三. 求下列微分方程的解 ( 共36分) 1. 分离变量:2211xdx ydy -=- (3分)积分,得通解 ,arcsin arcsin c x y += (6分) 特解: 1±=y (7分)2. 令 ,1-=y z 则 (2分),2x z xdx dz --= (3分) ,422x x c z -= (5分) 得通解:4244x c x y -=.(6分)有特解: .0=y (7分) 3.令 ,2,2x y x N y x M -=+= (1分),2x N x Ny M -=∂∂-∂∂ 积分因子 .1)(2xx u = (4分) 通解: ,||ln 2c xyy x =-+ (7分) 4.02'3''=++x x x 的特征根:,2,121-=-=λλ 通解:.221t te c e c x --+=(3分)原方程特解设为:t C t B Atex tcos sin 1++=-, (5分)代入原方程,可得: .103,101,1-===C B A 即.cos 103sin 1011t t tex t-+=- (7分) 所求通解为:.cos 103sin 101221t t te e c e c y tt t -+++=--- (8分)5.令 ,'2yt y =- 代入原方程,可得: (2分).1'12t y t ty -=⇒+= (3分).11'2c t x dt ty dy dx +=⇒-==(5分) 故通解为:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t t y c t x 11 消去 ,t 得 .1c x c x y -+-= (6分)2±=y 为特解. (7分)四. 特征根:.2,121=-=λλ (2分)11-=λ 对应特征向量:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11;22=λ 对应特征向量:⎪⎪⎭⎫⎝⎛21;(4分) 基解矩阵: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Φ--t tt te e e e t 222)(, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Φ---t t t t e ee e s 221231)(, (6分) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+--=ΦΦ=ΦΦ+ΦΦ=-----⎰⎰t t t t tt e e t t e e t t dss f s t dss f s t t t 22101013435cos 3sin 3235cos sin 2)()()()()()()0()0()()(ϕϕ (10分)五.,222)24(24242by by ax xy b a ax dtdV----+-= (2分) 取 ,2,1==b a 则 222),(y x y x V += 定正. (4分)42424422y y x x dtdV----= 定负, (6分) 故零解渐近稳定. (8分)六.),)(exp()'( ))(exp()''''()(0222⎰⎰-=++='xx xx dt t p qy y dt t p p yy yy y x f (4分)由于)(x y y =为非0解, 可得y 与'y 在区间],[b a 上任何点处不同时为0 (否则与解的唯一性矛盾), 又 ,0<q 故 )(0)('],,[x f x f b a x ⇒>∈∀在],[b a 上严格单增.(8分)七.作逐步逼近序列: ),()(0x f x =ϕ0,1,2,n ,)(),()()(01 =+=⎰+xx n n d x K x f x ξξϕξλϕ(2分)记 ⎰===≤≤≤≤baba b x a dx x f M x f x K M ,|)(| ),(|),(|max2,1ξξ由 ,|||)(),(||||)()(|21001M M d x K x x b aλξξϕξλϕϕ≤=-⎰以及数学归纳法可得)(|||)()(|1211-+-≤-n nn n n a b M M x x λϕϕ. (4分)取 ,)(1||1a b M -<λ则∑∞=--1121)(||n n nn a b M M λ收敛,故 )(x n ϕ在],[b a 上一致收敛. 设 ],,[),()(b a x x x n ∈→ϕϕ 则 )(x ϕ为连续解. (5分) 设 )(x ψ为另一连续解, )()(x x ϕψ≠. 记 ,0||max ],[>-=∈ψϕb a x Q 由,1)(||)(|| )(||||||||1111≥-⇒-≤⇒-≤-≤-⎰a b M a b Q M Q a b Q M dx M baλλλψϕλψϕ矛盾. 故 ),()(x x ϕψ= 即解唯一. (8分)。
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1.任意微分方程都有通解。
( X )2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
( X )3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( O ) 4.函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( X )5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21 (C 为任意常数)。
( O )6.y y sin ='是一阶线性微分方程。
( X ) 7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( O ) 8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( O )9.221xy y x dxdy +++=是可分离变量的微分方程。
( O )二、填空题1.在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。
③xy y dx dy x ln ⋅=是齐次方程。
④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。
⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。
2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。
3.x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。
4.x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。
5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。
6.微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。
广州大学 2018-2019 学年第 一 学期考试卷课程 常微分方程 考试形式(闭卷,考试)学院 系 专业 班级 学号 姓名_警示:《广州大学授予学士学位工作细则》第五条:“考试作弊而被给予记过、留校察看或开除学籍处分并且被取消相应课程本次考试成绩的,不授予学士学位。
” 一、填空(5*3分=15分)1. Bernoulli 方程dydx =a (x )y +f (x )y α的积分因子是y −αe (α−1)∫a (x )dx 。
2. 设x 1(t ),x 2(t ),⋯x n (t )为齐次线性方程d n xdt n +a 1(t )d n−1xdt n−1+⋯+a n−1(t )dxdt +a n (t )x =0的n 个解,则它们线性无关的充分必要条件是 由它们构成的Wronski 行列式恒不为零 。
3. 方程的d 2ydx 2+9y =0的基本解组是 cos 3t, sin 3t 。
4. 若x 1(t ),x 2(t )是一阶线性非齐次方程x ′=a (t )x +f (t )的两个不同的解,则此非齐次方程的通解可以表示为 c 1(x 1(t )−x 2(t ))+x 1(t ),其中c 1为任意常数 。
5. 定义微分算子D =ddt 。
设P (D )是关于D 的一个n 次多项式,它的逆算子记为1P (D )。
若a 为实数,且P (−a 2)≠0,则1P (D 2){cos at sin at }= 1P (−a 2){cos at sin at} 。
二、解下列方程(3*10分=30分) 1. 2xy ln y dx +(x 2+y 2√1+y 2)dy =0 解:由方程表达式可得M (x,y )=2xy ln y, N (x,y )=x 2+y 2√1+y 2由于所以它不是恰当方程。
…………………………………………………………………………………………………3分由于−E M=−1y与x 无关,因此该方程有只依赖于y 的积分因子μ(y )=exp (−∫1ydy)=1y………………………………………5分因此方程乘以该积分因子后,2x ln y dx +(x 2y +y√1+y 2)dy =0…………………………………7分为恰当方程, 取x 0=0,y 0=1, 可计算出故该方程的通解为x 2ln y +13(1+y 2)3/2=C , 其中C 为任意常数。
………………………………………………10分2. ()22212d y dy x x dx dx+=解:令p =dydx ,则d 2ydx 2=dpdx ,原方程可以化为(1+x 2)dp dx=2xp ………………………………………3分为变量分离方程。
当p =0时,dydx =0,所以y =C 是方程的解,其中C 是任意常数。
当p ≠0时,上述方程变量分离得dp p =2xdx 1+x 2, 积分后得p =C 1(1+x 2)…………………………………………7分由于p =dy dx ,对dydx =C 1(1+x 2)积分得y =C 1(x +13x 3)+C 2是原方程的通解,其中C 1,C 2是任意常数。
………………………………………………………10分 3. 3()0ydx x y dy +-=解:原方程可化为ydx +xdy −y 3dy =0等价于d (xy )−d (14y 4)=0…………………………………………5分该方程有首次积分为U (xy )=xy −14y 4…………………………………………8分所以原方程的通解为xy −14y 4=C其中C 是任意常数。
…………………………………………………………………………………10分三、(12分)求二阶常系数非齐次线性方程2232sin t d x dxx e dt dt--+=的实通解。
解:方程所对应的齐次方程为d 2x dt 2−3dxdt+2x =0 其特征方程为r 2−3r +2=0,有两个不同的特征根分别为r 1=1,r 2=2。
……………………3分 所以齐次方程的通解为x (t )=c 1e t +c 2e 2t ,其中c 1,c 2为任意常数。
………………………………………………………………………………6分 设x ̅是非齐次方程的一个特解,则x ̅满足原微分方程,且x ̅=1P(D)(sin e −t ),…………………………………………8分其中P (D )=D 2−3D +2=(D −1)(D −2),所以x ̅=1(D −1)(D −2)(sin e −t )=1(D −1)(D −2)e t e −t (sin e −t )=e t1D −11D e −t (sin e −t )=e t 1D −1(cos e −t )=e t 1D −1e t e −t (cos e −t )=e 2t 1D e −t (cos e −t )=−e 2t sin e −t ……………………………10分所以原方程的通解为x (t )=c 1e t +c 2e 2t −e 2t sin e −t ………………………………12分四、(15分)设n n ⨯矩阵函数()A t 在[,]a b 上连续,n 维向量函数(,)f t x 在区域1{(,):,||||}n t x R a t b x +∈≤≤<∞ 上连续。
证明初值问题00()(,),()dxA t x f t x x t x dt=+= 等价于求解积分方程1100()()()()()(,())tt x t X t X t x X t X s f s x s ds --=+⎰其中,0,[,],()t t a b X t ∈ 是相应齐次线性方程组的基解矩阵。
证明:设x(t)为所给积分方程的解, 则故 x(t) 也为所给微分方程的解。
同时t =t 0时,易见x (t 0)=x 0,故x(t)为所给初值问题的解。
7分 反之, 设x(t)为所给初值问题的解, 则有其中g(t) = f(t,x(t))为已知函数。
由常数变易公式得故x(t)也为所给积分方程的解。
……………………………………………………………………15分 五、(14分)已知常系数线性方程组为dx dt=−3x +48y −28z ,dy dt=−4x +40y −22z ,dz dt=−6x +57y −31z .(1) 求此方程组系数矩阵的特征值及其对应的特征向量; (2) 试给出此方程组的通解。
解:方程的系数矩阵所对应的特征方程为|r +3−48284r −40226−57r +31|=(r −1)(r −2)(r −3) 它有 3 个彼此互异的特征根r 1=1,r 2=2, r 3=3.………………………………………………3分 特征根r 1=1所对应的特征向量为(x,y,z )T ,则此特征向量满足(−348−28−440−22−657−31)(xy z)=1∙(x y z )求解得其对应的特征向量分别为c 1=(3,2,3)T.………………………………………………7分 同理r 2=2, r 3=3对应的特征向量分别为c 2=(4,1,1)T, c 1=(2,2,3)T…………………………10分(2)由上可知方程存在一个解矩阵为((323)e t ,(411)e 2t,(223)e 3t )…………………………………12分 所以方程组的通解为(x y z )=C 1(323)e t +C 2(411)e 2t+C 3(223)e 3t 其中C 1,C 2,C 3为任意常数。
……………………………………………………………………14分 六、(14分)利用Picard 存在惟一性定理求定义在矩形区域R ={(t,x )∈R 2:|t|≤1,|x|≤1}上的方程dxdt=x 2+t 过点(0,0)的解的存在区间, 并求在此区间上与真正的解的误差不超过0.05的近似解。
解: 这里t 0=0,x 0=0,a =1,b =1,因此在所给区域R 上,可以求得M =max {|x 2+t |: (t,x )∈R }=2………………………………3分所以h =min {a,bM}=12, 由Picard 存在唯一性定理,所给初值问题在区间[−12,12]上存在唯一。
……………………………………………………………………………………………………5分对f (t,x )关于x 求导,可得Lipschitz 常数L =max {|∂f∂x |:(t,x )∈R}=2. 由误差估计式,可得在解的存在区间[−12,12]上,|φn (t )−φ(t )|≤2∙2n (n+1)!(12)n+1=1(n+1)!………………………………8分其中φ(t )为所给初值问题的真正解, φn (t )为所给初值问题的第n 次近似解。
显然当n = 3时, φ3(t )为所给初值问题在区间[−12,12]上与真正的解的误差不超过0.05的近似解, 因为这时有,|φ3(t )−φ(t )|≤=1(3+1)!=14!≤0.05.所给初值问题的Picard 迭代序列前四项为:φ0(t )=0……………………………………………………10分 φ1(t )=∫(φ02(τ)+τ)dτt0=t 22,φ2(t )=∫(φ12(τ)+τ)dτt0=t 22+t 520,……………………………12分φ3(t )=∫(φ22(τ)+τ)dτt=t 22+t 520+t 8160+t 114400,故所求近似解为φ3(t )=t 22+t 520+t 8160+t 114400.………………………………14分的存在区间, 并求在此区间上与真正的解的误差不超过0.05的近似解。