习题二
3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；
（2） X 的分布函数并作图； (3)
133
{},{1},{1},{12}222
P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.
【解】
3
1331512213
3151133
150,1,2.
C 22
(0).
C 35C C 12(1).
C 35
C 1
(2).C 35
X P X P X P X ========== 故X 的分布律为
（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0
当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=
2235
当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435
当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数
0,
022
,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩
(3)
1122()(),
2235333434
(1)()(1)0
223535
3312
(1)(1)(1)2235
341
(12)(2)(1)(2)10.
3535
P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=
<<=--==--=
4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】
设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.
312
32
2
3
3(0)(0.2)0.008
(1)C 0.8(0.2)0.096
(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512
P X P X P X P X ============
0,
00.008,01()0.104,120.488,231,
3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪
=≤<⎨⎪≤<⎪
≥⎪⎩
(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==
5.（1） 设随机变量X 的分布律为
P {X =k }=!
k a
k
λ，
其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .
（2） 设随机变量X 的分布律为
P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，
试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知
1()e !
k
k k P X k a a k λλ∞∞
======∑∑
故 e
a λ
-=
(2) 由分布律的性质知
1
1
1()N
N
k k a
P X k a N
======∑∑
即 1a =.
6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)
(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+
(3,3)P X Y ==
331212
33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++
222233
33C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+
0.32076=
(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==
123223
33C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 332212
33(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+
=0.243
7.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，
则有
()0.01P X N ><
即 200
2002001
C (0.02)(0.98)
0.01k k k
k N -=+<∑
利用泊松近似
2000.02 4.np λ==⨯=
41
e 4()
0.01!k
k N P X N k -∞
=+≥<∑ 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.
8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则
14223
55C (1)C (1)p p p p -=-
故 1
3
p =
所以 4
451210
(4)C ()
33243
P X ===
. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）
5
553(3)C (0.3)(0.7)0.16308k
k k k P X -=≥==∑
(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）
7
773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑
10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分
布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）3
2
(0)e
P X -== (2) 52
(1)1(0)1e
P X P X -
≥=-==-
11.设P {X =k }=k
k
k
p p --22)
1(C , k =0,1,2
P {Y =m }=m
m
m
p p --44)
1(C , m =0,1,2,3,4
分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5
9
，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=
，故4(1)9
P X <=. 而 2
(1)(0)(1)P X P X p <===-
故得 2
4
(1),9p -=
即 1
.3
p =
