一类函数的值域的几种求法

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一类函数的值域的几种求法赵国清１何冬梅２（１腾冲县中和中学，云南腾冲６７９１１８；２保山师范高等专科学校，云南保山６７８０００）摘要：求解这类函数的值域，有初等方法，也有高等数学分析方法。在高等数学观点的指导下，探析出了七种求法。关键词：一类；函数；值域；求法中图分类号：０１２文献标识码：Ａ文章编号：１００８—６５８７（２００２）０５一００２６—０６

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求分式函数，，：譬譬訾（口，口，不全为ｏ）的值域，这是高中生也能解决的问题，本文关于在限

似’＋０％＋Ｃ定条件下，即菇∈［ｅ，厂］或（ｅ，厂）时，通过举例对如何求这类函数的值域作些探讨。１二次函数最值法

命题：设函数厂（戈）：冬兰｝在【ｃ，ｄ】有定义且口，６≠曲，，则函数．厂（戈）在【。，ｄ】严格单调。Ｌｎ十Ｕ

证明：，．‘，（石）＝之｝警在［ｃ，ｄ】有定义．·．，（戈）在［ｃ，ｄ】连续可导，７（戈）＝锚

ｙ菇∈［ｃ，ｄ］有，（僦＋６）２＞０·．‘口’６≠如’．·．口’６一口６’＞Ｏ或口７６一０６’＜Ｏ当口’６一口６’＞Ｏ时，，’（菇）＞Ｏ．·．，（算）在［ｃ，ｄ】严格单增；当口’６一曲’＜０时，厂（菇）＜０．·．，（石）在【ｃ，ｄ】严格单减。故，（戈）在［ｃ，ｄ］严格单调。

例Ｉ求函斯＝彘，石∈［一２，ＩＪ的值域。

解：将原函数变成方程：（ｙ一１）戈２＋（），一１）菇一６ｙ＝Ｏ显然ｙ≠１。．·．算２＋石：—』型÷二ｙ一上

令厂（菇）＝石２＋戈则厂（石）在【一２，１】的最大值是２，最小值是一音

令２＝鲁得：，，＝一｛。令一｛＝鲁得：，，＝古。

收稿日期：２００２一０４—０９　万方数据』丝————丝堕』丝』丝丝丝墅型型二——』；∑即知“＝去知缸＝一号．·．所求函数的值域是【一吉，击】例２求函数ｙ＝专糍，算∈【一１，３】的值域。

解：将函数变成方程：（ｙ一２）戈２—２（），一２）名＋８，，一１：Ｏ显然，，，≠２．．．菇：一２箸：上粤Ｖ—Ｚ令八引＝矿一如，贝“，ｈ）在【一１，３】的最大值是３，最小值是一１令３＝专粤得：胁＝音

令一ｌ＝专粤得：％ｈ：一号．·．所求函数的值域是［一号，音］当６‘。＝６，∽’＝后时，可用二次函数最值法求函数ｙ＝堡篆辫，石∈［ｅ，门的值域。求法

分三步，（１）将原函数变成方程髫２＋‰＝嚣三｝。（２）令厂（戈）＝％２＋氐，求出厂（ｚ）在［。，厂】的最小值ｍ和最大值肘（３）求出函数ｙ在［ｅ，，Ｊ上的最小值ｍ７和最大值肘，，则区间［ｍ，，肘，】即为

原求函数的值域。

２三角代换法

例３求函数ｙ＝铧

，戈∈【一２，２】的值域解冷省＝啦ａ∈［一ａｒｃ啦，ａｒｃ唔２】则，，＝豆掣

当ａ卜一号时，％。＝２。当地＝号时，知。＝ｏ。

ｍ】ａ－，她∈【一ａｒｃ培２，ａｒｃｔ９２］。．’．所求函数的值域是【０，２】

例４求函数ｙ＝帮，茗∈［一２，２／了］的值域

解：令石＝２￡ｇａａ∈【一号，号】则ｙ＝ｌ一言ｓｉｎ２仅当ａ－＝号时，灿如＝一｛，当地＝一号时，知。：号而ａｌ，ａｚ∈［一号，号］．·．所求函数的值域是［二｛，号】例５求函数ｙ＝云参揣龙∈［一号，号】的值域。

解：将原函数化成ｙ＝号萎筹

令２戈一４＝培ａ或戈＝｛乜ａ＋２。ａ∈【一ａＩ℃噜５，ａｒｃ培号］

＼　万方数据保山师专学报第２１卷则），＝ｃ。孑ａ（ｔｇａ＋√３）。整理得：），＝一型手＋ｓｉｎ（２ａ＋号）ａ－＝一言兀∈【一龇培５，ａｒｃｔ毒】。．·．知蛔＝孚一１。毗＝一古兀∈［一龇培５，ａｒｃｔ畦】。．·．‰＝譬＋１．·．所求函数的值域是【孚＿１＇牟＋１】。一般地，当口≠ｏ且△＝６２—４。ｃ＜ｏ时，可用三角代换法求函数ｙ＝旦乞≥等戈∈［ｅ，门的

值域。求法分为四步：（１）将二次三项式僦２＋ｋ＋ｃ化成ｏ（髫＋ｍ）２＋ｎ的形式；（２）作变换戈＝奈ａ—ｍ。ａ∈［ｅ’，厂，】（３）原函数整理变成，，＝Ａｓｉｌｌ（２ａ＋①）＋曰，ａ∈［ｅ，，厂，］的形

式（４）求出函数），＝Ａｓｉｎ（２ａ＋①）＋曰，ａ∈［ｅ’，，，】的值域，即为原函数的值域。３倒数法当口７≠ｏ且△’＝６“一４口’ｃ’＜ｏ时，可用三角代换法求出函数厂（菇）＝了荸‰戈∈【ｅ，门

的值域［ｍ，Ｍ】，然后解不等式ｍ≤专≤肘。即可求出函数），＝旦乏≥等聋∈【ｅ，卅的值域。例６求函数ｙ＝虿怒石∈【一２，一｛］的值域。

解：设，（戈）＝鱼群戈∈［一２，一｛］用三角代换法求得，（戈）的值域是［吉一专／虿，一击］。

由丢一专／虿≤专一≤一古解得：一１８≤ｙ≤一』学即所求函数的值域是【一１８，一』过弘］

４构造不等式法引理：若函数，（ｘ）在［口，６】连续，则，（％）在［口，６】存在最大值Ｍ和最小值ｍ，使Ｖ。∈［口，６】，有ｍ≤／（咒）≤Ｍ。推论：函数），＝堡琶≥等ｚ∈［ｅ，门的值域是一个有限闭

区间［ｍ，肘］。命题：设函数ｙ＝，（并）＝盟篆糕戈∈［ｅ，／１的值域是［ｍ，肘】，若／铲）＝，（ｅ）则ｙ，∈，ｍ，

Ｍ］。方程（町一ｎ’）ｚ２＋（砂一６’）石＋钞一ｃ’＝ｏ的根必在［ｅ，门内。证明：（１）如＝譬∈［ｍ，Ｍ】，则由连续函数的介值性定理知：至少存在一点加∈［ｅ，门，使ｙ０＝旦鼍孥等成立，而如＝譬时，方程ｒ吖。一口’）戈２＋（６蜘一６

７）戈＋啪一ｃ’＝ｏ至多有一个根．·．它只能是加．－．当州一口，：Ｏ时，方程的根在［ｅ，厂】内。

　万方数据第５期赵国清１何冬梅２：一类函数的值域的几种求法（２）令町一口’≠ｏ，即々诺［ｍ，脑］，设方程的两个根为石－，菇ｚ，ｙ，∈【ｍ，Ｍ】，菇－，戈２中至少有一个在［ｅ，，】内，不妨设并一芒【ｅ，，】，而石：∈【ｅ，，】，由费尔马定理知：戈－不是极值点，否则戈－＝菇：。·．‘函数，（戈）在［ｅ，，】连续可导且，（ｅ）＝厂咿）。．·．在（ｅ，厂）内至少存在一个极值点ｃ。．·．直线，，＝Ⅳ菇Ｊ与曲线ｙ＝，（算）菇∈【ｅ，，】至少有两个交点。．·．在曲线ｙ＝，（髫）石∈【ｅ，，】上至少还存在一点（戈，，，，，），使），，＝，（戈，）＝／（戈－）。这样一来，方程（口ｙ一口’）石２＋（妨一６’）戈＋掣一ｃ’＝０至少有三个根，根据代数基本定理知：０ｙ一口’＝０，咖一６，＝０，够一ｃ７＝０，．．．ｏ’：口＝６’：６＝ｃ’：ｃ．·．函数ｙ＝，（戈）是常数函数，矛盾＇．．．菇ｌ，戈：∈［ｅ，门，命题得证。例７求函数），＝≯赫，戈∈［一ｌ，１】的值域。

例：将函数变成方程：（），一１）菇２＋蜘＋勺＋１＝ｏ，当），＝１时，石＝一ｊ薯［一１，１】。令），≠ｌ，设方程的两根为戈ｌ，菇２，则石ｌ，算２∈【一１，１］。．·．△≥０，一２≤戈ｌ＋戈２≤２（戈Ｉ＋１）（戈２＋１）≥Ｏ（ｚｌ一１）（算２—１）≥０．·．（４ｙ）２—４（），一１）（４），＋１）≥０—２≤击≤２，等＋者＋１≥ｏ解之：｛≤ｙ≤ｏ

即所求函数的值域是［一｛，ｏ】例８求函数ｙ：鱼￡掣戈∈［一｛，１］的值域。

解：将函数变成方程：乱２＋（），一３）菇一匆一１＝０设方程的两根为菇。，菇：，则戈。，匏∈【一｛，ｌ】

．·．△≥ｏ，一｛≤茗－＋髫：≤２（髫ｔ＋｛）（省：＋｛）≥ｏ，（菇ｔ一１）（石：一１）≥ｏ．·．（ｙ－３）２＋１６（２川伽，一丢≤等掣一孕＋等＋枷，孕＋等心。

解之：一１≤），≤Ｏ所求函数的值域是【一ｌ，０】。一般地，若函数，（并）＝盟芑≥等在区间【ｅ，门两个端点的函数值相等，即，（ｅ）＝，ｕ），则可

用构造不等式法求此类函数的值域。５平移变换法例９求函数，，＝虿爹端戈∈［ｏ，１］的值域。

解：将函数变成方程：（匆一１）石２一（勿一１）石＋ｙ一３＝０。当２ｙ一１＝ｏ时，方程无解．·．，，≠吉

设方程的两根为菇ｌ，髫２则菇ｌ＋石２≥Ｏ菇ｌ·戈２≥０

解出），≥３或ｙ≤吉，令并＝ｆ＋１ｆ∈【一ｌ，ｏ】

得到方程：（２），一１）ｔ２＋（巧一１）ｔ＋，，一３＝０

　万方数据保山师专学报第２１卷同理：ｙ≥３或，，≤吉·．·函数），＝芎赫的值域是【吉，等】。

．·．所求函数的值域是［３，号】。例１０求函数），＝参并，戈∈【一２，２］的值域。解：将函数变成方程：（），一１）戈２＋，，＋ｌ＝Ｏ，显然），≠１。作变换：石＝ｔ一２，ｔ∈［Ｏ，４】得方程（），一１）ｔ２一（知一１）ｔ＋５，，一３＝０

设两根为￡，，‰则ｔ。＋ｔ：≥ｏ，ｆ，·ｔ：≥ｏ．·．ｙ≤号或ｙ≥１

同理作变换戈＝￡＋２，ｆ∈【一４，０】可解出ｙ≤号或），≥１。而函数，，＝参吾的值域是【一ｌ，１】

．·．所求函数的值域是［一１，号】例１１求函数），＝≯煞戈∈【一１，３】的值域

解：将函数变成方程：（ｙ一１）戈２＋４弦＋４ｙ＋１＝Ｏ当），＝１时，石＝一丢，磷［一１，３】。．·．ｙ≠１

作变换石＝ｔ＋３，ｔ∈（一４，０］得到方程：（），一１）ｔ２＋（１０ｙ一６）ｆ＋２５，，一８＝Ｏ￡。＋￡：≤ｏ，￡。ｆ：≥ｏ．·．ｙ≥１或），≤去

作变换ｚ＝￡一２，￡∈［１，５］，同理解出ｙ≤１或ｙ≥一１而函数ｙ＝赫的值域是ｙ≥一号

所求函数的值域是［一｛，啬］注：在此题中，不能作变换彤：ｔ一１，原因是方程，（３）＝黠的另一个根是算＝一罟隹

［一１，３］由函数的连续性知：有无数个关于菇的方程的根不全在［一１，３］内，因此在作变换戈＝ｔ一１后，有无数个关于ｔ的方程的根不全在【０，４］内。一般地，在函数，（ｘ）＝堡篆糕并∈［ｅ，门中，若厂（ｅ）＝，（戈）的另一个根在【ｅ，门内，则可作

变换算＝￡＋，同理可作变换石＝￡＋ｅ，否则就要适当地改变变换式中的参数。６区间讨论法

命题：设有函数厂（戈）＝生篆专毫掣｝戈∈［ｅ，，】

若方程，（ｅ）＝，（戈），存在另一个根戈。圣［ｅ，，】且方程厂盯）＝厂（菇）存在另一个根戈：《［ｅ，，］，则，（戈）在［ｅ，，】的最值是，（ｅ）和，咿）。证明：不妨设厂（ｅ）＜，（，），同理可证厂（ｅ）＞，（厂）的情形。设，（戈）石∈【ｅ，厂】的值域是【ｍ，肘］，则存在点戈，，，戈：，∈［ｅ，，］，使ｍ＝厂（戈。７），Ｍ＝，（戈：，）Ｉ若ｍ＜，（ｅ），则石ｔ’是，（戈）在［ｅ，，］内的一个极值点．·．直线ｙ＝，（ｅ）与曲线），＝，（戈）。戈∈［ｅ，，】必有两个交点。．·．戈－∈［ｅ，厂】，矛盾。．‘．ｍ＝厂（ｅ）。同理，，咿）：Ｍ．故命题得证。