2021届重庆市第一中学高三上学期期中考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.函数()sin cos f x x x =的最小正周期等于（ ）
A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．2π
2.已知向量(1,2)a =，(,2)b x =-，且a b ⊥，则||a b +=（ ）
A ．5
B
C ．
D 3.已知x ，y 均为非负实数，且满足1,42,x y x y +≤⎧⎨
+≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ） A ．1 B ．12 C ．53 D ．2
4.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为（ ）
A ．829尺
B ．1629尺
C ．3229尺
D ．12
尺 5.设函数()2sin(2)6f x x π
=+，将()f x 图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数
()y g x =，则()g x 图象的一条对称轴方程为（ ）
A ．24x π
=
B ．512x π=
C ．2x π=
D ．12x π= 6.已知函数()x x f x e ae
-=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标等于（ ）
A ．ln 2
B ．2ln 2
C ．2 D
7.若“1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦
，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ）
A ．(,-∞
B ．⎡⎤⎣⎦
C ．⎡⎤-⎣⎦
D ．=3λ
8.若函数()f x x λ=-+在[]1,1-上有两个不同的零点，则λ的取值范围为（ ）
A ．
B ．(
C ．(1]-
D ．[1,1]-
9.设椭圆22
11612
x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且满足129PF PF ⋅=，则12||||PF PF ⋅的值为（ ）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．15
10.已知函数21()1214x x f x =
+++满足条件(log 1))1a f =，其中1a >，则(log 1))a f -=（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 11.已知(0,
)2x π∈，则函数()sin tan cos cot f x x x x x =+的值域为（ ）
A ．[1,2)
B ．)+∞
C ．
D ．[1,)+∞
12.设A ，B 在圆221x y +=上运动，且||AB =点P 在直线34120x y +-=上运动，则||PA PB +的
最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．175
D ．195
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.点(1,3)P 关于直线220x y +-=的对称点为Q ，则点Q 的坐标为 ．
14.已知(,)2π
απ∈，且sin α=，则tan(2)4πα+= ．
15.设正实数1x y +=，则22x y +的取值范围为 ．
16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件2221b c a bc +-==，
1cos cos 8
B C =-，则△ABC 的周长为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等比数列{}n a 单调递增，记数列{}n a 的前n 项之和为n S ，且满足条件26a =，326S =．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项之和n T ．
18.根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．
（1）已知[30,40)、[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；
（2）该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X 的分布列与数学期望．
19.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且3BAD π∠=
，1AA ⊥平面ABCD ，11AA =，
设E 为CD 的中点．
（1）求证：1D E ⊥平面1BEC ；
（2）点F 在线段11A B 上，且//AF 平面1BEC ，求平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值．
20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22
，椭圆C 和抛物线2y x =交于M ，N 两点，且直线MN 恰好通过椭圆C 的右焦点。
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）经过椭圆C 右焦点的直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，点P 在椭圆上，且2OA BP =，其中O 为坐
