概率论与数理统计课后答案徐雅静
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概率论习题答案
第1章 三、解答题
5. 从5双不同的鞋子种任取4只,问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少? 解:显然总取法有410C n
=种,以下求至少有两只配成一双的取法k : 法一:分两种情况考虑:15C k
=24C 212)(C +25C
其中:2
122
41
5)(C C C 为恰有1双配对的方法数
法二:分两种情况考虑:!
21
61815
C C C k ⋅⋅=+2
5C
其中:!
216
1815
C C C ⋅⋅
为恰有1双配对的方法数
法三:分两种情况考虑:)(142815C C C k -=+25C
其中:)(142
8
1
5C C C -为恰有1双配对的方法数
法四:先满足有1双配对再除去重复部分:2
815C C k =-25C
法五:考虑对立事件:410C k =-45C 412)(C
其中:4
5
C 4
12)(C 为没有一双配对的方法数
法六:考虑对立事件:!
41
4
1618110410
C C C C C k ⋅⋅⋅-
=
其中:
!414
1618110C C C C ⋅⋅⋅为没有一双配对的方法数
所求概率为.21
13
410=
=C k p 6.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任取3人记录其纪念章的号码.求: (1) 求最小号码为5的概率; (2) 求最大号码为5的概率.
解:(1) 法一:12131025==C C p ,法二:121
3
102513==A A C p (2) 法二:20
13102
4==C C p ,法二:201
3
102413==A A C p 7.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 解:设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件,则
834)(3341==A M P , 1694)(324232=⨯=A C M P , 16
1
4)(31
43
==C M P
8.设5个产品中有3个合格品,2个不合格品,从中不返回地任取2个,求取出的2个中全是合格品,仅有一个合格品和
没有合格品的概率各为多少?
解:设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品,则
3.0)(25232==C C M P ,6.0)(2
512131==C C C M P ,1.0)(25
2
2
1==C C M P
9.口袋中有5个白球,3个黑球,从中任取两个,求取到的两个球颜色相同的概率.
解:设M 1=“取到两个球颜色相同”,M 1=“取到两个球均为白球”,M 2=“取到两个球均为黑球”,则
φ==2121M M M M M 且.
所以.28
13
C C C C )()()()(282
328252121=+=+==M P M P M M P M P
10. 若在区间(0,1)内任取两个数,求事件“两数之和小于6/5”的概率.
解:这是一个几何概型问题.以x 和y 表示任取两个数,在平面上建立xOy 直角坐标系,如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间 = {(x ,y ):0 x ,y 1}
事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ,y )
: x + y
6/5}
因此
25
17154211)(2
=
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⨯-=Ω=的面积的面积A A P . 图?
11.随机地向半圆220x ax y -<<
(a 为常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,求
原点和该点的连线与x 轴的夹角小于
4
π
的概率. 解:这是一个几何概型问题.以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标,表示原点和该点的连线与x 轴的夹角,在平
面上建立xOy 直角坐标系,如图.
随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间
={(x ,y ):220,20x ax y a x -<<<<
}
事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于
4
π” ={(x ,y ):4
0,20,202π
θ<
<-<<<<
x ax y a x }
因此
2112
14121)(222+=+=Ω=πππa a
a A A P 的面积的面积.
12.已知2
1
)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ,求)(B A P . 解:,12
1
3141)()()(=
⨯==A B P A P AB P ,6121121)|()()(=÷==B A P AB P B P .3
11216141)()()()(=-+=
-+=
AB P B P A P B A P 13.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概