算法第八章要点

第八章 矢量算法与场论初步·张量算法与黎曼几何初步本章包括两个部分.第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有：矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示；以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质，以及它们在不同坐标系中的表达式；叙述了矢量的积分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式)；引进了仿射坐标系，阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量，同时把这些概念推广到n 维空间中去.第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量算法，然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如，仿射联络、矢量和张量的平行移动，及协变微分法与自平行曲线等；并在n 维空间中引进度量的概念，来定义黎曼空间，从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络，于是有关仿射联络空间中的一些性质可以搬到黎曼空间中来.可是，因为黎曼空间是由度量定义的，所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的.§1 矢量算法一、 矢量代数［矢量概念］ 只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量.具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量．在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB 来表示矢量.用长度AB 表示大小，用端点的顺序A →B 表示方向.A 称为始点，B 称为终点，这个矢量记作AB →，或用黑正体字母a 表示.矢量的大小(或长度)的数值称为它的模或绝对值，用记号AB →或|a |表示.矢量按其效能可分成三种基本类型：具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶. 沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力. 作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度.在这里所讨论的矢量，除特别说明外，都指自由矢量，就是说，所有方向相同，长度相等的矢量，不管始点如何，都看作相同的矢量. 模等于1的矢量称为单位矢量.模等于零的矢量称为零矢量，记作０，它是始点和终点重合的矢量. 模与矢量a 的模相等而方向相反的矢量称为a 的负矢量，记作-a .始点与原点O 重合而终点位于一点M 的矢 量OM →(图8.1)称为点M 的矢径(或向径)，记作 r ，原点称为极点.如果M 的直角坐标为x ，y ，z , 则有r ＝→OM ＝(x ，y ，z )＝x i ＋y j ＋z k 式中i ，j ，k 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向单位 矢量，称为坐标单位矢量(或基本矢量).［矢量的基本公式］［加法］ 若a ＝(a x ,a y ,a z )，b ＝(b x ,b y ,b z )，则a ＋b =( a x ＋b x ,a y ＋b y ,a z ＋b z )把矢量的始点移到原点O ，以a ，b 为边作平行四边行，由原点作出的对角线就表示和矢量a ＋b (称为平行四边形法则，见图8.2);或者把二矢量首尾相接,由始点到终点的矢量即为和矢量a +b (称为三角形法则，见图８.3).加法运算适合如下规律：=a++(交换律)bab++))+((结合律)(=bca+acba＋０＝０＋a＝a，a＋(－a)＝０［减法］若a＝(a x,a y,a z)，b＝(b x,b y,b z)，则a－b＝(a x－b x，a y－b y，a z－b z)把矢量b的负矢量与矢量a相加，得矢量a－b(图8.4).对任意两个矢量a和b成立三角形不等式：|a＋b|≤|a|＋|b|［数乘］以实数λ乘矢量a称为数乘，记作λa.当λ>０时，a的模伸缩λ倍，方向保持不变；当λ<０时，a的模伸缩|λ|倍，而方向与a相反(图8.5)，如果a=(a x,a y,a z)则λa＝(λa x, λa y, λa z)设λ，μ为两实数，a，b为两矢量，则数乘运算适合下列规律：λ(μa)＝(λμ)a (结合律)(λ＋μ)a＝λa＋μa (分配律)λ(a＋b)＝λa＋λb (分配律)［矢量的分解］1 设a，b，c为三个共面的矢量，而b和c为非共线矢量，如果把它们移到公共始点Ｏ，由矢量c的终点C作两条平行于a，b的直线，各交a，b(或延长线)于Ｍ，Ｎ(图８.6)，则c＝OM→+ON→= λa＋μb这称为矢量c对a，b的分解.2 设a，b，c为非共面矢量，而d为任一矢量，把它们移到公共始点Ｏ，由矢量d的终点D作三个平面分别平行于(b，c)平面，(c，a)平面和(a，b)平面，且与a，b，c(或延长线)分别交于Ｌ，Ｍ，Ｎ(图8.7)，则υd＝OL→+OM→+ON→＝λa＋μb＋c称为矢量d对a，b，c的分解.3 如果两个非零矢量a与b有线性关系λa＋μb＝０式中λ, μ不全为0，则称这两个矢量共线(即a//b)；反之也真.称这两个矢量a，b为线性相关.4 设a,b为两个非零矢量，若λa＋μb＝０，则有λ＝０，μ＝０，这时称a，b为线性无关.5 若三个非零矢量a ，b ，c 有线性关系λa ＋μb ＋c υ＝０，式中λ，μ，υ不全为零，则这三个矢量共面，反之也真.这时，称a ，b ，c 为线性相关.如果a ，b ，c 为三个非零矢量，而λa ＋μb ＋c υ＝０，则有λ＝μ＝υ＝０，这时,称a ，b ，c 为线性无关.6 四个(或四个以上)矢量a ，b ，c ，d 必有线性关系；就是说它们一定线性相关.这时，必有不全为０的四个数λ，μ，υ，ξ，成立λa ＋μb ＋c υ＋ξd ＝０.［标量积(数量积、点积、内积)］ 设a ＝(a x , a y , a z )，b ＝(ｂx ,ｂy ,ｂz )，|a |＝a ，|b |＝b ，a ，b 两矢量的夹角为θ，则称数值ab cos θ为矢量a ，b 的标量积(也称为数量积、点积或内积).记作a ·b ＝ab ＝ab cos θ(０≤θ≤π)可以看作矢量a 的长度乘以矢量b 在a 上的投影的长度(图8.8). 标量积运算适合以下的规律：a ·b ＝b ·a (交换律) a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)(λa )·(μb )＝λμa ·b (数乘的结合律)a ·a ＝a ２＝|a |２＝a ２若a ，b 为非零矢量，a ·b ＝０，则a ⊥b ；反之也真.i ·i ＝j ·j ＝k ·k ＝1，i ·j ＝j ·k ＝k ·i ＝０ a ·b ＝a x b x ＋a y b y ＋a z b z (即对应坐标相乘之和)［矢量积(叉积、外积)］ 设a ＝(a x ,a y ,a z )，b ＝(b x ,b y ,b z )，|a |＝a ，|b |＝b ，a ，b 两矢量的夹角为θ，则定义a ×b 为两矢量的矢量积(也称为叉积或外积),它是一个矢量,即长度等于以a ，b 为边的平行四边形的面积(图8.9阴影部分) |a ×b |＝ab sin θ (０≤θ≤π)它的方向垂直于两矢量a 和b ,并且a ，b ，a ×b 构成 右手系(图8.9).矢量积运算适合下列规律：a ×b ＝－b ×a (反交换律)(a +b )×c ＝a ×c ＋b ×c (分配律，次序不能交换)(λa )×(μb )＝λμ(a ×b )[(λ＋μ)a ]×b ＝(λ＋μ)(a ×b )＝λ(a ×b )＋μ(a ×b )a ×a ＝０若a ，b 为非零矢量，则a ，b 共线(即a //b )的充分必要条件是：a ×b ＝０i ×i ＝j ×j ＝k ×k ＝０，i ×j ＝k ，j ×k ＝i ，k ×i ＝ja ×b ＝zyxz y xb b b a a a kj i＝(a y b z - a z b y )i +( a z b x －a x b z )j +( a x b y －a y b x )k [两矢量的夹角]cos(a ，b )＝ba ba ⋅ sin(a ，b )＝ba b a ⨯[拉格朗日恒等式](a ×b )·(c ×d )＝(a ·c )(b ·d )－(a ·d )(b ·c )特别 (a ×b )2=a 2b 2－(ab )2即 (a y b x - a z b y )2+( a z b x －a x b z )2+( a x b y －a y b x )2 ＝(a x 2+a y 2+a z 2)(ｂx 2+b y 2+b z 2)－(a x b x +a y b y +a z b z )2[三个矢量的混合积] 设a ＝(a x ,a y ,a z )，b ＝(b x ,b y ,b z )，c ＝(c x ,c y ,c z )为三个矢量,则它们的混合积定义为(abc )＝a ·(b ×c )＝a a a b b b c c c xy zxy z xyz＝a x (b y c z －b z c y )＋a y (b z c x －b x c z )＋a z (b x c y －b y c x ) 混合积具有性质:1 a ·(b ×c )＝(a ×b )·c 注意,一般情况下等式(a ·b )·c =a ·(b ·c ) (a ×b )×c =a ×(b ×c )不成立.2 (abc )＝(bca )＝(cab )=－(acb )=－(bac )=－(cba ) 即有轮换性：a ·(b ×c )＝b ·(c ×a )＝c ·(a ×b )＝－a (c ×b )＝－b (a ×c )＝－c (b ×a )3 混合积(abc )是一个数，它的绝对值等于以a ，b ，c 为边的平行六面体的体积.4 三个矢量共面的充分必要条件是：(abc )＝0. [三重矢积]a ×(b ×c )＝(a ·c )b －(a ·b )c (a ×b )×c ＝(a ·c )b －(b ·c )a采用a ，b ，c 轮换法还可推出其余两个同类公式. [多重积的几个公式]a ×(b ×c )＋b ×(c ×a )＋c ×(a ×b )＝０(a ×b )·(c ×d )＝db c b d a c a ⋅⋅⋅⋅＝(a ·c )(b ·d )－(a ·d )(b ·c )(a ×b )×(c ×d )＝(abd )c －(abc )d ＝(cda )b －(cdb )a a ×[b ×(c ×d )]＝(b ·d )(a ×c )－(b ·c )(a ×d )(a ×b b ×c c ×a )＝(abc )２(a １a ２a ３)(b １b ２b ３)＝332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a (a ×b c ×d e ×f )＝(abd )(cef )－(abc )(def )二、 矢量分析1．矢量微分[矢函数] 对于自变量t (标量)的每一个数值都有变动矢量a 的确定量(长度与方向都确定的一个矢量)和它对应，则变(矢)量a 称为变量t 的矢函数，记作a ＝f (t )矢函数也可表为a =a x i ＋a ｙj ＋a z k式中a x ＝f x (t )，a y ＝f ｙ(t )，a z ＝f z (t )为三个标函数.若把变动矢量表成点M 的矢径形式r ＝r (t )则当t 变动时，点M 在空间中描出一条曲线，称为矢函数的矢端曲线.它的坐标由三个等式给定：r =x i ＋y j ＋z kx ＝x (t )，y ＝y (t )，z ＝z (t ) [矢函数的极限与连续性] 若对任意给定的ε>0 , 都存在数δ>0，使得当t －t ０<δ时r (t )－r ０<ε成立，则称r ０为矢函数r (t )当t →t ０时的极限，记作()t t t r 0lim →= r 0若()t t t r 0lim →存在，则()t t t r 0lim →＝()lim t t x t →0i +()lim t t y t →0j +()lim t t z t →0k若 ()t t t r 0lim →= r (t 0),则称矢函数r (t )在t ＝t ０处连续.[矢函数的导数与微分] 如果极限()()tt t t t ∆-∆+→∆f f 0lim存在，就称它为矢函数a ＝f (t)的导数，记作td d a .矢函数a ＝f (t )的导数仍为矢函数，从而还可求它的导数，即二阶导数，记作22d d t a ，等等.d a ＝td d a d t称为矢函数a ＝f (t )的微分. [矢函数求导公式]td d c ＝0 (c 为常矢量) td d(k a )＝k t d d a (k 为常数)td d(a ＋b ＋c )＝t t t d d d d d d c b a ++t d d (ϕa )＝t d d ϕa ＋ϕt d d a(ϕ是t 的标函数) t d d (a ·b )＝t d d a ·b ＋a ·td d b (顺序可以交换) t d d (a ×b )＝t d d a ×b ＋a ×t d d b (顺序不可以交换) t d d (abc )=( t d d a bc )+(a t d d b c )+(ab td d c ) (顺序不可以交换)t d d a [ϕ(t )]=ϕd d a td d ϕ (ϕ是t 的标函数，这是复合函数的求导公式)[矢径形式的矢函数求导公式] 设r ＝r (t )＝x (t )i ＋y (t )j ＋z (t )k表示矢函数的矢端曲线，则1 r＝td d r= x i ＋ y j ＋ z k表示矢端曲线的切线矢量(图8.10)，指向t 增加的方向，式中 x ＝t x d d , y =t y d d , z =tzd d2sd d r= t 式中s 为矢端曲线的弧长，t 为切线的单位矢量.3 22d d t r r = ＝x i ＋ y j ＋ z k 式中 x ＝22d d t x , y =22d d t y , z =22d d tz[矢函数的泰勒公式]r (t ＋∆t )＝r (t )＋r(t )∆t ＋r !21(t )(∆t )２＋···＋1n !r (n )(t )(∆t )n ＋()11n +!R n (∆t )n +1式中R n ＝x (n +1)(t 1)i ＋y (n +1)(t 2)j ＋z (n +1)(t 3)k (t < t 1 , t 2 , t 3 < t ＋∆t )r (n )(t )= x (n )(t )i ＋y (n )(t )j ＋z (n )(t )kx (n )=n n t x d d , y (n )=n n t y d d , z (n )=n n tz d d[矢量函数的几个常用性质]1 定长矢量r (t )⊥r(t )，反之也真.从而切线的单位矢量ｔ的导数与原矢量垂直. 2 定向矢量r (t )//r(t )，反之也真. 3 一个变动矢量r (t )平行于一个定平面的充分必要条件是：混合积(rr r )＝0 2．矢量积分[不定积分] 设a (t )，b (t )为矢函数，则矢量微分方程()tt d d b ＝a (t ) 的解⎰a (t )d t ＝b (t )＋c (式中c 为任意常矢量)称为矢函数a (t )的不定积分.[定积分] 设a (t )和b (t )为矢函数，则⎰21t t a (t )d t ＝b (t 2)－b (t 1)称为矢函数a (t )的定积分，t １，t ２分别称为下、上限. [平面面积矢量] 设r ＝ r (t )＝x (t )i ＋y (t )j ＋z (t )k d r ＝i d x ＋j d y ＋k d z则S ＝⎰L21r ×d r式中L 为r (t )矢端所画的闭曲线，S 为L 所包围的面积矢量，原点在闭曲线Ｌ内.。

第八章 常微分方程的数值解法一．内容要点考虑一阶常微分方程初值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy微分方程的数值解：设微分方程的解y (x )的存在区间是[a,b ]，在[a,b ]内取一系列节点a= x 0< x 1<…< x n =b ,其中h k =x k+1-x k ；(一般采用等距节点，h=(b-a)/n 称为步长)。

在每个节点x k 求解函数y(x)的近似值:y k ≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。

用数值方法，求得f(x k )的近似值y k ，再用插值或拟合方法就求得y(x)的近似函数。

(一)常微分方程处置问题解得存在唯一性定理对于常微分方程初值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy如果：(1) 在B y y A x x 00≤-≤≤,的矩形内),(y x f 是一个二元连续函数。

(2) ),(y x f 对于y 满足利普希茨条件，即2121y y L y x f y x f -≤-),(),(则在C x x 0≤≤上方程⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解存在且唯一，这里C=min((A-x 0),x 0+B/L),L 是利普希茨常数。

定义：任何一个一步方法可以写为),,(h y x h y y k k k 1k Φ+=+，其中),,(h y x k k Φ称为算法的增量函数。

收敛性定理：若一步方法满足： (1)是p 解的.(2) 增量函数),,(h y x k k Φ对于y 满足利普希茨条件.(3) 初始值y 0是精确的。

则),()()(p h O x y kh y =-kh =x -x 0,也就是有0x y y lim k x x kh 0h 0=--=→)((一)、主要算法 1．局部截断误差局部截断误差：当y(x k )是精确解时，由y(x k )按照数值方法计算出来的1~+k y 的误差y (x k+1)- 1~+k y 称为局部截断误差。